25.8 位似图形 题型专练 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

冀教版（2024）九年级上册 25.8 位似图形 题型专练 【题型1】位似图形的判断及相关概念 【典例】下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是 （      ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为，且三角尺一边长为，则投影三角形的对应边长为（   ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，E，P，F分别是AB，AC，AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD __________ (填“是”或“不是”)位似图形. 【举一反三3】位似图形的概念：如果两个相似图形，每组对应顶点的连线都交于__________，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的__________又称为位似比． 【举一反三4】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，那么▱ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？为什么？ 【举一反三5】如图所示，在△ABC中，已知DE∥BC． （1）△ADE与△ABC相似吗？为什么？ （2）它们是位似图形吗？如果是，请指出位似中心． 【题型2】位似图形的性质（移题） 【典例】已知与是一对位似三角形，则位似中心最有可能的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三1】在任意一个三角形内部，画一个小三角形，使其各边与原三角形各边平行，则它们的位似中心是(   ) A．一定点 B．原三角形三边垂直平分线的交点 C．原三角形角平分线的交点 D．位置不定的一点 【举一反三2】某零件长是，若该零件在设计图上的长为，则这幅设计图的比例尺为__________． 【举一反三3】如图，在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题： (1)图形ABCD与图形A1B1C1D1关于直线MN成轴对称，请在图中画出对称轴并标注上相应字母M、N； (2)以图中O点为位似中心，将图形ABCD放大，得到放大后的图形A2B2C2D2，则图形ABCD与图形A2B2C2D2的对应边的比是多少(注：只要写出对应边的比即可)； (3)求图形A2B2C2D2的面积． 【举一反三4】如图1，点E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同侧. (1)AE和ED的数量关系为__________；AE和ED的位置关系为__________；  (2)在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD.分别得到图2和图3. ①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比为1∶2，H是EC的中点.求证：GH=HD，GH⊥HD. ②在图3中，点F在的BE延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC=2，请直接写CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示). 【题型3】位似作图 【典例】如图所示，△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是 A．4 B．3 C．2 D．1 【举一反三1】如图，在正方形网格图中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点A的对应顶点，则点B的对应顶点是点__________ . 【举一反三2】画位似图形的步骤： (1)确定__________； (2)把位似中心与__________连线(或延长)； (3)根据__________在所连直线上截取相应线段； (4)把所截各点用实线连接． 【举一反三3】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)． (1)将△ABC向左平移1个单位，再向上平移5个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； (2)请在网格中将△ABC以A为位似中心放大3倍，得△AB2C2，请画出△AB2C2. 【举一反三4】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)和格点O. (1)以O为位似中心，将△ABC作位似变换，且放大到原来的两倍，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； (2)若△A1B1C1三边中点分别为P1、P2、P3，将△A1B1C1绕P1、P2、P3中的某一点顺时针旋转90°，使得格点A1落在旋转后得到的△A2B2C2内，画出△A2B2C2，并标出旋转中心． 【题型4】坐标系中的位似变换（移题） 【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 【举一反三1】如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1：2的位似图形，点O为位似中心，若△OAB内一点P（x，y）与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标为（　　） A．（﹣x，﹣y） B．（﹣2x，﹣2y） C．（﹣2x，2y） D．（2x，﹣2y） 【举一反三2】已知△ABC的三个顶点坐标为A（5，0）、B（6，4）、C（3，0），将△ABC以坐标原点O为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点B所对应的点的坐标为　  　． 【举一反三3】如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比． 【举一反三4】正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn+1BnCn，按如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3，…，Cn在直线y=x上，点A1的坐标为(1，0). (1)写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn+1BnCn的位似中心坐标； (2)正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标. 【题型5】坐标系中的位似作图 【典例】如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A(4，2)，B(3，0)，以原点为位似中心，A'B'与AB的相似比为，得到线段A'B'.正确的画法是(　　) A．答案A B．答案B C．答案C D．答案D 【举一反三1】如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′．正确的画法是（　　） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（　　） A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1）， 【举一反三3】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上.以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2∶1，则点B的对应点B1的坐标是__________ . 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，4)，C(－3，2). (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标； (2)以原点O为位似中心，位似比为1∶2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标； (3)如果点D(a，b)在线段AB上，请直接写出经过(2)的变化后D的对应点D2的坐标. 冀教版（2024）九年级上册 25.8 位似图形 题型专练（参考答案） 【题型1】位似图形的判断及相关概念 【典例】下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据位似图形的定义可知，选项A，B，D中的两个图形都是位似图形，不符合题意；选项C中的两个图形不是位似图形，符合题意. 【举一反三1】如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为，且三角尺一边长为，则投影三角形的对应边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【举一反三2】如图，E，P，F分别是AB，AC，AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD __________ (填“是”或“不是”)位似图形. 【答案】是 【解析】∵E，P，F分别是AB，AC，AD的中点， ∴PF，EP分别是△ACD，△ABC的中位线， ∴PF∥CD，EP∥BC， ∴△APF∽△ACD，△AEP∽△ABC， ∴四边形AEPF∽四边形ABCD， ∴根据位似图形的定义，得四边形AEPF和四边形ABCD是位似图形. 【举一反三3】位似图形的概念：如果两个相似图形，每组对应顶点的连线都交于__________，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的__________又称为位似比． 【答案】一点； 相似比． 【解析】位似图形的概念：如果两个相似图形，每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比， 故答案为：一点，相似比． 【举一反三4】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，那么▱ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？为什么？ 【答案】解：是， 理由：∵E、F分别是OA、OB的中点， ∴FE＝AB，FE∥AB，G、H分别是OC、OD的中点， ∴HG＝CD，HG∥CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴EF＝HG，FE∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形； ∵FE∥AB， ∴∠OEF＝∠OAB， 同理∠OEH＝∠OAD， ∴∠HEF＝∠DAB， 同理，∠EFG＝∠ABC，∠FGH＝∠BCD，∠GHE＝∠CDA，＝＝＝＝， ∴平行四边形EFGH∽平行四边形ABCD， 又∵各组对边对应点得连线相交于点O， ∴平行四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，O为位似中心． 【举一反三5】如图所示，在△ABC中，已知DE∥BC． （1）△ADE与△ABC相似吗？为什么？ （2）它们是位似图形吗？如果是，请指出位似中心． 【答案】解：（1）△ADE与△ABC相似． ∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE； （2）是位似图形．由（1）知：△ADE∽△ABC． ∵△ADE和△ABC的对应顶点的连线BD，CE相交于点A， ∴△ADE和△ABC是位似图形，位似中心是点A． 【题型2】位似图形的性质（移题） 【典例】已知与是一对位似三角形，则位似中心最有可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【举一反三1】在任意一个三角形内部，画一个小三角形，使其各边与原三角形各边平行，则它们的位似中心是(   ) A．一定点 B．原三角形三边垂直平分线的交点 C．原三角形角平分线的交点 D．位置不定的一点 【答案】D 【解析】在任意一个三角形内部，画一个小三角形，使其各边与原三角形各边平行，则它们的位似中心是位置不定的一点． 故选D． 【举一反三2】某零件长是，若该零件在设计图上的长为，则这幅设计图的比例尺为__________． 【解析】 【举一反三3】如图，在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题： (1)图形ABCD与图形A1B1C1D1关于直线MN成轴对称，请在图中画出对称轴并标注上相应字母M、N； (2)以图中O点为位似中心，将图形ABCD放大，得到放大后的图形A2B2C2D2，则图形ABCD与图形A2B2C2D2的对应边的比是多少(注：只要写出对应边的比即可)； (3)求图形A2B2C2D2的面积． 【解析】(1)如图所示：画出对称轴MN； 【举一反三4】如图1，点E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同侧. (1)AE和ED的数量关系为__________；AE和ED的位置关系为__________；  (2)在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD.分别得到图2和图3. ①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比为1∶2，H是EC的中点.求证：GH=HD，GH⊥HD. ②在图3中，点F在的BE延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC=2，请直接写CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示). 【答案】(1)解　∵点E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形， ∴BE=EC=DC=AB，∠B=∠C=90°， ∴△ABE≌△DCE(SAS)， ∴AE=DE， ∠AEB=∠DEC=45°， ∴∠AED=90°， ∴AE⊥ED. (2)①证明　由题意得∠B=∠C=90°，AB=BE=EC=DC， ∵△EGF与△EAB的相似比为1∶2， ∴∠GFE=∠B=90°，GF=AB，EF=EB， ∴∠GFE=∠C， ∵点H是EC的中点， ∴EH=HC=EC， ∴GF=HC，FH=FE+EH=EB+EC=BC=EC=CD， ∴△HGF≌△DHC(SAS)， ∴GH=HD，∠GHF=∠HDC. ∵∠HDC+∠DHC=90°， ∴∠GHF+∠DHC=90°， ∴∠GHD=90°， ∴GH⊥HD. ②解　∵GH⊥HD， ∴∠FHG+∠DHC=90°， ∵∠FHG+∠FGH=90°， ∴∠FGH=∠DHC， 在△GFH和△HCD中， ∴△GFH≌△HCD(AAS)， ∴FG=CH， ∵EF=FG， ∴EF=CH， ∵△EGF与△EAB的相似比是k∶1，BC=2， ∴BE=EC=1，∴EF=k， ∴CH的长为k. 【题型3】位似作图 【典例】如图所示，△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】第一个图形中的位似中心为点A，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为点O，第四个图形中的位似中心为点O. 【举一反三1】如图，在正方形网格图中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点A的对应顶点，则点B的对应顶点是点__________ . 【答案】N 【解析】∵OA＝1，OD＝3， ∴△ABC与其位似图形的相似比为1∶3， ∴点B的对应点是点N. 【举一反三2】画位似图形的步骤： (1)确定__________； (2)把位似中心与__________连线(或延长)； (3)根据__________在所连直线上截取相应线段； (4)把所截各点用实线连接． 【答案】(1)位似中心　(2)对应顶点　(3)放缩比例 【解析】画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【举一反三3】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)． (1)将△ABC向左平移1个单位，再向上平移5个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； (2)请在网格中将△ABC以A为位似中心放大3倍，得△AB2C2，请画出△AB2C2. 【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求； (2)如图所示：△AB2C2，即为所求． 【举一反三4】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)和格点O. (1)以O为位似中心，将△ABC作位似变换，且放大到原来的两倍，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； (2)若△A1B1C1三边中点分别为P1、P2、P3，将△A1B1C1绕P1、P2、P3中的某一点顺时针旋转90°，使得格点A1落在旋转后得到的△A2B2C2内，画出△A2B2C2，并标出旋转中心． 【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所求； (2)如图，△A2B2C2为所求，旋转中心为A1C1的中点P1. 【题型4】坐标系中的位似变换（移题） 【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 【答案】D 【解析】∵点A（﹣3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小， ∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2）， 故选：D． 【举一反三1】如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1：2的位似图形，点O为位似中心，若△OAB内一点P（x，y）与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标为（　　） A．（﹣x，﹣y） B．（﹣2x，﹣2y） C．（﹣2x，2y） D．（2x，﹣2y） 【答案】B 【解析】∵P（x，y），相似比为1：2，点O为位似中心， ∴P′的坐标是（﹣2x，﹣2y）． 故选：B． 【举一反三2】已知△ABC的三个顶点坐标为A（5，0）、B（6，4）、C（3，0），将△ABC以坐标原点O为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点B所对应的点的坐标为　  　． 【答案】（3，2）或（﹣3，﹣2） 【解析】∵点B的坐标为（6，4），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为2：1， ∴点B的对应点的坐标为（3，2）或（﹣3，﹣2）． 【举一反三3】如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比． 【答案】解：∵点B的坐标是（4，0），点D的坐标是（6，0）， ∴OB＝4，OD＝6， ∴＝＝， ∵△OAB与△OCD关于点O位似， ∴△OAB与△OCD的相似比． 【举一反三4】正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn+1BnCn，按如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3，…，Cn在直线y=x上，点A1的坐标为(1，0). (1)写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn+1BnCn的位似中心坐标； (2)正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标. 【答案】解　(1)连接C1，C2，C3和B1，B2，B3，相交于点O，如图所示，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn+1BnCn的位似中心坐标为(0，0). (2)∵点C1，C2，C3，…，Cn在直线y=x上，点A1的坐标为(1，0)， ∴OA1=A1C1=1，OA2=A2C2=2，则OA3=A3C3=4， ∴可得OA4=A4C4=8， 则OA5=16， 故A4(8，0)，A5(16，0)，B4(16，8)，C4(8，8). 【题型5】坐标系中的位似作图 【典例】如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A(4，2)，B(3，0)，以原点为位似中心，A'B'与AB的相似比为，得到线段A'B'.正确的画法是(　　) A．答案A B．答案B C．答案C D．答案D 【答案】D 【举一反三1】如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′．正确的画法是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】画出图形，如图所示： 故选：D． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（　　） A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1）， 【答案】B 【解析】如图所示：位似中心F的坐标为：（2，2），k的值为：＝． 故选：B． 【举一反三3】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上.以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2∶1，则点B的对应点B1的坐标是__________ . 【答案】(4，2)或(－4，－2) 【解析】如图所示，△A1B1C1和△A'B'C'与△ABC的相似比为2，点B的对应点B1的坐标是(4，2)或(－4，－2). 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，4)，C(－3，2). (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标； (2)以原点O为位似中心，位似比为1∶2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标； (3)如果点D(a，b)在线段AB上，请直接写出经过(2)的变化后D的对应点D2的坐标. 【答案】解　(1)如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为(3，2). (2)如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为(－6，4). (3)点D2的坐标为(2a，2b). 学科网（北京）股份有限公司 $