26.1 锐角三角函数 题型专练 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

冀教版（2024）九年级上册 26.1 锐角三角函数 题型专练 【题型1】直接由定义求正弦值 【典例】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝1，则sinB的值是(　　) A． B． C． D．2 【举一反三1】在△ABC 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足a2＋|c－10|＋＝12a－36，则sin B的值为__________ . 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=3∶4，则sin B的值为__________. 【举一反三3】在△ABC中，已知D为中点，，，求的值． 【举一反三4】已知a，b，c是△ABC的三边，a，b，c满足等式b2=(c+a)(c-a)，且5b-4c=0，求sin A+sin B的值. 【题型2】已知正弦值求边长 【典例】在中，，则（    ） A．5 B． C．45 D． 【举一反三1】如图，一根竖直的木杆在离地面1的A处折断，木杆顶端落在地面的B处上，与地面的夹角为，若，则木杆折断之前高度为__________． 【举一反三2】三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”(标号1)沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”(标号2-9)转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形和四边形都是平行四边形，，，，已知关闭折伞后，点，，三点重合，点与点重合.当时，点到伞柄的距离为__________. 【举一反三3】如图，在矩形中，为边上一点，连结．若，过点作于点． 若，，求的长． 【题型3】直接由定义求余弦值 【典例】如图，在中，，则的值是（    ） A． B． C．3 D． 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，则cos A的值为(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝6，BC＝8，则cosB的值是(　　) A． B． C． D． 【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，则cosA的值是__________． 【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cos B的值. 【举一反三5】已知：如图，在中，求的值． 【题型4】已知余弦值求边长 【典例】在中，，，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝6，cos A＝，那么AC＝__________. 【举一反三2】中，，，，则的长为__________． 【题型5】直接由定义求正切值 【典例】如图，在的正方形网格中，的值为（     ） A． B．2 C． D． 【举一反三1】如图，在中，平分，于点，，若，，则的值为　　 A．5 B． C．3 D． 【举一反三2】等腰三角形中，腰长为5 cm，底边为8 cm，则它的底角的正切值为__________． 【举一反三3】如图，中，，则__________． 【举一反三4】如图，在RtABC中，∠C=90°，BC=1，，求tanA与tanB的值． 【题型6】已知正切值求边长 【典例】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，tan B=，则BC的值为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 【举一反三1】如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC若AB＝8，tan∠ACB＝，则BD的长是__________． 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，tan A=，求AC的长. 【举一反三3】如图1，在等边的边和边上分别取点D、E，使得，将绕点A顺时针旋转，得到图2所示的图形. (1) 求证：； (2) 如图3，若，，且旋转角为时，求的长； (3) 如图4，连接，并延长交于点F，若旋转至某一位置时，恰有，，求的值. 【题型7】同角或等角三角函数的关系 【典例】在△ABC中，∠C＝90°，，则cosA为（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】在△ABC中，∠A＝90°，，则cosC的值是（　　） A． B． C． D． 【举一反三2】已知tanA＝4，则sinA＝__________． 【举一反三3】如图，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①中，sin A＝　　　　，cos A＝　　　　，sin2A＋cos2A＝　　　　； 在图②中，sin A1＝　　　　，cos A1＝　　　　，sin2A1＋cos2A1＝　　　　. 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，tan A＝　　　　，＝　　　　； 在图②中，tan A1＝　　　　，＝　　　　. 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明. 【举一反三4】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）求证：sin2A+cos2A＝1； （2）若sinA+cosA，求sinA•cosA的值． 【题型8】互余两角的三角函数关系 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则cosB＝__________． 【举一反三2】（tan70°）2015•（3tan20°）2015＝__________． 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinB． （1）求BC； （2）求sinA． 冀教版（2024）九年级上册 26.1 锐角三角函数 题型专练（参考答案） 【题型1】直接由定义求正弦值 【典例】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝1，则sinB的值是(　　) A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】根据勾股定理可得AC＝＝，∴sin B＝＝.故选C. 【举一反三1】在△ABC 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足a2＋|c－10|＋＝12a－36，则sin B的值为__________ . 【答案】 【解析】∵a2＋|c－10|＋＝12a－36， ∴(a－6)2＋|c－10|＋＝0. ∴a－6＝0，c－10＝0，b－8＝0. ∴a＝6，c＝10，b＝8. ∵在△ABC 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c， ∴sin B＝. 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=3∶4，则sin B的值为__________. 【答案】 【解析】如图， 由条件可设AC=3a，则BC=4a， ∴AB==5a， ∴sin B===. 【举一反三3】在△ABC中，已知D为中点，，，求的值． 【解析】解：过点作，交边于点E． 【举一反三4】已知a，b，c是△ABC的三边，a，b，c满足等式b2=(c+a)(c-a)，且5b-4c=0，求sin A+sin B的值. 【答案】解　∵b2=(c+a)(c-a)， ∴b2=c2-a2， 即a2+b2=c2， ∴△ABC是以c为斜边的直角三角形， ∵5b-4c=0， ∴=， 设b=4k，则c=5k， ∴△ABC中，a=3k， ∴sin A+sin B=+=+=+=. 【题型2】已知正弦值求边长 【典例】在中，，则（    ） A．5 B． C．45 D． 【答案】A 【举一反三1】如图，一根竖直的木杆在离地面1的A处折断，木杆顶端落在地面的B处上，与地面的夹角为，若，则木杆折断之前高度为__________． 【解析】 【举一反三2】三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”(标号1)沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”(标号2-9)转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形和四边形都是平行四边形，，，，已知关闭折伞后，点，，三点重合，点与点重合.当时，点到伞柄的距离为__________. 【答案】 【解析】关闭折伞后，点、、三点重合， ， ， ， ， 如图，、、三点共线并且，过点作于点，过点作于点， ，， ， ，， ， ，， ，， . ， . ， ， 关闭折伞后，点、、三点重合，点与点重合， ，， . 同理， ， ， ，， . ， 点到伞柄距离为. 故答案为：. 【举一反三3】如图，在矩形中，为边上一点，连结．若，过点作于点． 若，，求的长． 【解析】解：∵， 【题型3】直接由定义求余弦值 【典例】如图，在中，，则的值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，则cos A的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6， 所以cos A===. 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝6，BC＝8，则cosB的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝6，BC＝8，故AB＝2，则cosB＝＝＝.故选A. 【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，则cosA的值是__________． 【答案】 【解析】如图，∵∠C＝90°，BC＝，AC＝，∴AB＝＝3，∴cosA＝＝. 【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cos B的值. 【答案】解　∵∠C=90°，MN⊥AB， ∴∠C=∠ANM=90°， 又∵∠A=∠A， ∴△AMN∽△ABC， ∴==， 设AC=3x，AB=4x， 由勾股定理得BC==x， 在Rt△ABC中，cos B===. 【举一反三5】已知：如图，在中，求的值． 【解析】解：在中， 【题型4】已知余弦值求边长 【典例】在中，，，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝6，cos A＝，那么AC＝__________. 【答案】4 【解析】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosA＝，∴cosA＝＝，则AC＝AB＝×6＝4，故答案为4. 【举一反三2】中，，，，则的长为__________． 【解析】 【题型5】直接由定义求正切值 【典例】如图，在的正方形网格中，的值为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【举一反三1】如图，在中，平分，于点，，若，，则的值为　　 A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】如图，延长交于点．平分，于点，，．在和中，，．．，．，．．． 故选：B． 【举一反三2】等腰三角形中，腰长为5 cm，底边为8 cm，则它的底角的正切值为__________． 【答案】 【解析】如图，作底边BC上的高AD，∵底边为8 cm，∴BD＝BC＝×8＝4(cm)，在Rt△ABD中，AD＝＝＝3 (cm)，∴底角的正切值tanB＝＝. 【举一反三3】如图，中，，则__________． 【解析】 【举一反三4】如图，在RtABC中，∠C=90°，BC=1，，求tanA与tanB的值． 【解析】解：∵在RtABC中，∠C=90°，BC=1，， 【题型6】已知正切值求边长 【典例】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，tan B=，则BC的值为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【解析】∵∠C=90°，tan B=， ∴=，即BC=AC， ∵AC=8， ∴BC=6. 【举一反三1】如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC若AB＝8，tan∠ACB＝，则BD的长是__________． 【解析】20 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，tan A=，求AC的长. 【答案】解　∵∠C=90°， ∴tan A=， ∵BC=3，tan A=， ∴=， 解得AC=. 【举一反三3】如图1，在等边的边和边上分别取点D、E，使得，将绕点A顺时针旋转，得到图2所示的图形. (1) 求证：； (2) 如图3，若，，且旋转角为时，求的长； (3) 如图4，连接，并延长交于点F，若旋转至某一位置时，恰有，，求的值. 【答案】(1) 证明：∵绕点A顺时针旋转，∴， ∵是等边三角形， ∴， 在与中， ； (2) 解：∵，， ∴， 过点E作于点F， ∵旋转角为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； (3) ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【题型7】同角或等角三角函数的关系 【典例】在△ABC中，∠C＝90°，，则cosA为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先根据正切的定义得到tanA，则可设BC＝4x，AC＝3x，利用勾股定理得到AB＝5x，然后根据余弦的定义求解． ∵∠C＝90°， ∴tanA， 设BC＝4x，AC＝3x， ∴AB5x， ∴cosA． 故选：A． 【举一反三1】在△ABC中，∠A＝90°，，则cosC的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据sin2α+cos2α＝1，进行计算即可解答． 在△ABC中，∠A＝90°，， ∴sin2C+cos2C＝1， ∴cos2C＝1， 解得：cosC或cosC（舍去）， ∴cosC的值是， 故选：B． 【举一反三2】已知tanA＝4，则sinA＝__________． 【答案】． 【解析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的意义，设辅助未知数可求出答案． 如图，在Rt△ABC中， 由于tanA＝4， 设AC＝k，则BC＝4k， 由勾股定理得， ABk， 所以sinA， 故答案为：． 【举一反三3】如图，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①中，sin A＝　　　　，cos A＝　　　　，sin2A＋cos2A＝　　　　； 在图②中，sin A1＝　　　　，cos A1＝　　　　，sin2A1＋cos2A1＝　　　　. 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，tan A＝　　　　，＝　　　　； 在图②中，tan A1＝　　　　，＝　　　　. 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明. 【答案】解　(1)sin A＝，cos A＝，sin2A＋cos2A＝1， sin A1＝，cos A1＝，sin2A1＋cos2A1＝1， 规律：对于任意锐角α有sin2α＋cos2α＝1. 证明：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵sin α＝，cos α＝，c2＝a2＋b2， ∴sin2α＋cos2α＝＝1. (2)tan A＝，， tan A1＝，， 规律：对于任意锐角α有tan α＝. 证明：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵tan α＝，， ∴tan α＝. 【举一反三4】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）求证：sin2A+cos2A＝1； （2）若sinA+cosA，求sinA•cosA的值． 【答案】（（1）证明：∵sinA，cosA， ∴sin2A+cos2A， ∵∠C＝90°， ∴根据勾股定理，得BC2+AC2＝AB2， ∴sin2A+cos2A＝1． （2）解：∵sinA+cosA， ∴（sinA+cosA）2＝（）2，即sin2A+cos2A+2sinA•cosA， ∵sin2A+cos2A＝1， ∴1+2sinA•cosA， ∴sinA•cosA． 【题型8】互余两角的三角函数关系 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据锐角三角函数的定义即可解答． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA， ∴sinB， 故选：B． 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则cosB＝__________． 【答案】． 【解析】根据锐角三角函数的定义即可得出答案． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA， ∴cosBsinA． 故答案为：． 【举一反三2】（tan70°）2015•（3tan20°）2015＝__________． 【答案】1. 【解析】利用积的乘方法则可得原式＝（tan70°×3tan20°）2015，再根据正切函数定义得出tan70°×tan20°＝1，即可求解． （tan70°）2015•（3tan20°）2015 ＝（tan70°×3tan20°）2015 ＝1． 故答案为1． 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinB． （1）求BC； （2）求sinA． 【答案】解：（1）在△ABC中，∠C＝90°， ∵AB＝4，sinB． ∴AC， ∴BC3； （2）在△ABC中，∠C＝90°， sinA． 学科网（北京）股份有限公司 $