2.1有理数的加法与减法（思维导图+知识归纳+题型典例+能力提升练+课后练习）同步备课-2026-2027学年人教版七年级数学上册

彭老师数学工作室 第二章：有理数的运算 2.1有理数的加法与减法 内容导航 思维导图 1 知识点一 有理数的加法运算 1 【题型1 有理数的加法运算】 2 【题型2 有理数加法中的符号问题】 3 【题型3 有理数加法在生活中的应用】 5 【题型4 有理数加法运算律】 6 知识点二 有理数的减法运算 8 【题型5 有理数减法运算】 8 【题型6 有理数减法的实际应用】 9 【题型7 有理数的加减混合运算】 11 【题型8 有理数的加减中的简便运算】 12 【题型9 有理数的加减混合运算的应用】 14 【题型10 省略加法和括号的形式】 16 能力提升 18 课后检测 26 思维导图 知识点一 有理数的加法运算 1．有理数的加法运算法则 （1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加；例：(+2)+(+5)=+7，(-3)+(-6)=-9 （2）异号两数相加（绝对值不相等）：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 例：(+5)+(-2)=+3，(+2)+(-7)=-5 （3）互为相反数的两个数相加得0：例： （4）一个数与0相加，仍得这个数．例：0+ 【注】多个数相加时，加法交换律和加法结合律仍然成立． 2．有理数的加法运算律： （1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。字母表示：a+b = b+a （2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。字母表示：(a+b)+c = a+(b+c) 【注】多个有理数相加，可任意交换加数位置、任意分组结合运算，和不变。 3．加法运算技巧： （1）化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式； 例： （2）符号相同的数可以先结合在一起； 例： （3）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特别是有互为相反数的两个数时，可先结合相加得零；例：； （4）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起． 例： 【题型1 有理数的加法运算】 1．（26-27七上·广东汕头·随堂练习）下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，此项错误； B、，此项错误； C、，此项正确； D、，此项错误． 2．（26-27九上·浙江温州·独立作业）某同学记录了班级同学进、出教室的人数，某节课间进教室5人，出教室7人，记进教室为正，出教室为负，下列算式能表示当节课间教室人数变化的是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵进教室记为正，出教室记为负， ∴进5人记为，出7人记为． ∴当节课间教室人数变化为． 3．（26-27七上·陕西咸阳·阶段检测）在古代数学名著里，记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图①表示计算的过程，按照这种方法，图②表示的计算过程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知白色代表正数，阴影代表负数，据此可得答案． 【详解】解：由图①可知，白色代表正数，阴影代表负数， ∴图②表示的计算过程为． 4．（26-27七上·浙江杭州·阶段检测）两个数的和是负数，则这两个数（     ） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．至少有一个为负数 【答案】D 【分析】利用有理数加法的符号规律，结合反例排除错误选项，或从反面推导正确结论． 【详解】解：两个正数的和为正数，故A错误； 取两数为和，和为是负数，但两数一正一负，故B错误； 取两数为和，和为是负数，两数同为负数；取两数为和，和为是负数，有一个数为0，故C错误； 若两个数均为非负数，则它们的和必为非负数，与两数和为负数矛盾，则这两个数至少有一个为负数，故D正确． 【题型2 有理数加法中的符号问题】 1．（26-27七上·河北唐山·学情调研）在计算时，按照有理数加法法则，需转化成（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数加法法则，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 【详解】解：． 2．（25-26七上·天津葛沽·期中考试）把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 3．（25-26七上·江苏无锡·月考）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 4．（25-26七上·福建福州·期末考试）（福建福州市连江县2025-2026学年第一学期七年级期末适应性练习 数学（A））有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，掌握相反数的定义，化简绝对值，由数轴可知，，，由b与c互为相反数，得，，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵b与c互为相反数， ∴，故选项A正确； 由数轴图可知，，，，故选项C正确； ∴，， 故选项B错误；选项D正确； 故选：B． 【题型3 有理数加法在生活中的应用】 1．（26-27九上·浙江温州·暑假作业）某同学记录了班级同学进、出教室的人数，某节课间进教室5人，出教室7人，记进教室为正，出教室为负，下列算式能表示当节课间教室人数变化的是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵进教室记为正，出教室记为负， ∴进5人记为，出7人记为． ∴当节课间教室人数变化为． 2．（26-27七上·江苏南通·学情自测）《黑神话：悟空》游戏中，某关卡设定角色的初始血量为点，战斗中回血记作正数、掉血记作负数．若角色本关的四个气血变化依次为、、、，则本关结束时该角色的血量为（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】将四次气血变化相加，结果为，用初始血量加上即可． 【详解】解：把四次气血变化相加得， 则本关结束时该角色的血量为（点）． 3．（2026年·广西南宁·入学考试）以婷婷家为起点，向东走为正、向西走为负．如果婷婷从家走了米，又走了米，这时婷婷所在的位置是（    ）米 A．离家东20 B．离家西20 C．离家东80 D．离家西80 【答案】B 【详解】解：∵题目规定向东走为正，向西走为负， ∴米表示婷婷从家向东走米，米表示婷婷再向西走米， 计算总位置得：（米）， 负号表示方向向西，因此这时婷婷所在的位置是离家西20米． 4．（2026年·吉林长春·中考一模）嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵题目规定支出记作负数，收入记作正数， ∴支出元可记为，获得元收入可记为， ∴嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为． 【题型4 有理数加法运算律】 1．（25-26七上·湖北随州·质量监测）小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 【详解】原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 2．（25-26七上·广西柳州·周测）下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法运算律是解本题的关键．利用加法交换律及结合律判断即可得到结果． 【详解】解：、，故错误，不符合题意； 、，故正确，符合题意； 、，故错误，不符合题意； 、，故错误，不符合题意． 故选：． 3．（25-26七上·北京·期中考试）计算的依据是（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．符号化简 D．加法交换律和结合律 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，等式左边到右边的变形涉及加数顺序的调整和分组的改变，因此同时运用了加法交换律和结合律，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解：原式先通过加法交换律改变顺序为，再通过加法结合律分组为，故依据是加法交换律和结合律， 故选：D． 4．（25-26七上·福建南平·月考）下面是小梦做的一道计算题的解题过程，和代表的计算依据分别是（    ） 解： ． A．有理数减法法则、加法结合律 B．加法结合律、加法交换律 C．加法交换律、加法结合律 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，运算律，根据有理数加法法则，运算律即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∴第一步到第二步交换了加数的位置，使用了加法交换律；第二步到第三步改变了加法的分组方式，使用了加法结合律， ∴和代表的计算依据分别是加法交换律、加法结合律， 故选：． 知识点二 有理数的减法运算 1．有理数的减法运算法则 （1）运算法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即：． （2）运算转化要点：减法变加法，减数变相反数，被减数保持不变。 例： 2．有理数加减法混合运算技巧 （1）把算式中的减法转化为加法； （2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉； （3）多观察，巧妙利用运算律简便计算． 【题型5 有理数减法运算】 1．（25-26七上·新疆墨玉·学情自测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项：，故选项不符合题意； 选项：，故选项不符合题意； 选项：，故选项不符合题意； 选项： ，故选项符合题意． 2．（25-26七上·河北唐山·学情调研）若（     ），那么括号里的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用两数的和减去其中一个加数，即可得到另一个加数． 【详解】解：括号内的数为． 3．（26-27七上·新疆·阶段练习）数轴上表示与3两点间的距离是（     ） A．1 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】因为数轴上两点的距离等于对应两数之差的绝对值，所以确定需要计算两个数差的绝对值．确定题目给出的两个数分别是和3，代入距离公式进行计算即可． 【详解】． 4．（26-27七上·内蒙古·阶段检测）已知，，且，则的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据绝对值进行分类讨论，结合筛选取值后进行有理数减法计算即可． 【详解】解：由得或， 由得或， ， 只能取，或， 若，则； 若，则． 综上为或． 【题型6 有理数减法的实际应用】 1．（25-26七上·湖北襄阳·阶段检测）樊城区汉江边一段河堤大道，每天晨练跑步者络绎不绝．以河堤大道的平面为基准，河面高，陆地上的沿江马路地面高，则地面比河面高（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 地面高度为，河面高度为， 高度差为 ， 即地面比河面高． 2．（25-26七上· 内蒙古乌海·阶段测试）某地今年1月1日至4日每天的最高气温与最低气温如下表： 日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 最高气温 最低气温 其中温差最大的是（     ） A．1月1日 B．1月2日 C．1月3日 D．1月4日 【答案】A 【分析】温差为最高气温与最低气温的差，先根据有理数减法计算出每天的温差，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 温差最高气温最低气温， 分别计算每天的温差： 1月1日：， 1月2日：， 1月3日：， 1月4日：， ∵， ∴温差最大的是1月1日． 3．（2026年·湖南长沙·中考二模）国际科考队通过冰钻钻透南极冰盖，派遣水下机器人对冰下湖进行探测，机器人从冰层下表面先向下潜至湖面以下740米，随后为调整观测角度，上浮120米，此时机器人所处的位置为（   ） A．湖面以下520米 B．湖面以下620米 C．湖面以下740米 D．湖面以下860米 【答案】B 【详解】解：，故此时机器人所处的位置为湖面以下620米． 4．（2026年·内蒙古·中考一模）泰山是五岳中的东岳，有“五岳之首”“天下第一山”之称，3月份的泰山，山脚平均气温为零上，山顶平均气温为零下，山脚气温比山顶气温高（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将零上、零下气温用正负数表示，再利用有理数减法法则计算温差，即可得到结果. 【详解】解：∵ 规定零上气温为正，零下气温为负， ∴ 山脚平均气温为，山顶平均气温为， 故山脚气温比山顶气温高的度数为：. 【题型7 有理数的加减混合运算】 1．（26-27七上·新疆·阶段测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接根据异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用大绝对值减小绝对值计算； （2）把减负数转化为加正数，再做加法运算； （3）先化简符号，再从左往右依次进行有理数加减计算； （4）先把负数合并计算，再和正数相加，简化运算． 【详解】（1）解：． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 2．（26-27七上·新疆·阶段测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) (5)8 (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ； （5）解：； （6）解： ． 【题型8 有理数的加减中的简便运算】 1．（26-27七上·广东汕头·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【答案】(1)2 (2)0.5 (3) (4)50 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（26-27七上·广东佛山·阶段练习）计算： (1)； (2) ； (3)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 【题型9 有理数的加减混合运算的应用】 1．（26-27七上·湖北武汉·学情自测）振大超市出售三种品牌的大米，袋子上分别标有千克，千克，千克．从中任意拿出两袋，这两袋米的质量最多相差（    ）． A．0.8千克 B．0.6千克 C．0.5千克 D．0.4千克 【答案】B 【分析】质量最多相差就是质量最重的－质量最轻的．千克的意思是大米的标准重量是25千克，但是或有轻微的误差，即最轻是（千克），最重就是（千克）．则这三种品牌的大米最重比25千克多0.3千克，最轻比25千克少0.3千克．最多相差0.6千克． 【详解】解： （千克） 即这两袋米的质量最多相差0.6千克． 2．（2025年·辽宁抚顺·中考三模）2025年全国多地开展“城市地下水位监测”工作，某监测站记录的一周内地下水位变化量（均与前一天进行对比，上升为正，下降为负）如下表所示： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 水位变化量／m 其中水位最低的一天是（   ） A．周二 B．周四 C．周五 D．周日 【答案】B 【分析】设上周日水位为初始值，根据每天的水位变化量依次计算出本周每天的水位，再比较大小即可得出水位最低的一天． 【详解】解：设上周日的水位为， 依次计算本周每天的水位： 周一水位：， 周二水位：， 周三水位：， 周四水位：， 周五水位：， 周六水位：， 周日水位：， ∵ ∴， ∴周四的水位最低． 3．（25-26七上·贵州遵义·阶段测试）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】先根据两点间的距离公式求出点A对应点所表示的数，再利用中点公式求出C表示的数． 【详解】解：，， 当A落在16对应的点时，点C表示的数为：， 当A落在4对应的点时，点C表示的数为：． 综上所述，点C表示的数为1或． 4．（25-26七上·黑龙江·学情自测）某商店营业五天的盈亏情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 盈亏/元 这个商店营业五天的总情况是（   ） A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题通过将五天的盈亏数值相加，根据结果的正负判断总盈亏情况，正数代表盈利，负数代表亏损，零代表不盈不亏． 【详解】解：∵总盈亏为五天盈亏数值的总和． ∴总盈亏 （元）． ∵计算结果为正数． ∴该商店五天营业的总情况是盈利． 故选：A． 【题型10 省略加法和括号的形式】 1．（26-27七上·广东汕头·随堂练习）把式子写成省略加号的和的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．（25-26七上·宁夏吴忠·随堂练习）不改变原式的值，去括号后，可以写成的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 3．（25-26七上·安徽铜陵·随期末考试）式子有下面的两种读法 读法一：负3，负，正5与的和 读法二：负3减4加5减8 关于这两种读法，正确的选项是（   ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都正确 D．两种读法都不正确 【答案】B 【分析】本题考查有理数加减混合运算的两种读法规则，需区分运算符号与性质符号的读法逻辑． 【详解】解：① 按运算符号读取：将式子中的“”“”看作运算符号，即“负3减4加5减8”，对应题目中的读法二，该读法正确； ② 按性质符号读取：可将原式转化为，即读作“负3、负4、正5、负8的和”，题目中读法一的“负”为书写笔误； ∴只有读法二正确， 故选：B． 4．（25-26七上·福建泉州·随期末考试）不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式． 直接根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 能力提升 一、单选题 1．数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为2，则点A表示的数是（    ） A．7 B．7或 C．5或 D．7或3 【答案】D 【详解】解：∵点到原点的距离为， ∴点表示的数为或， ∵点向左移动个单位后到达点， ∴点表示的数比点表示的数大， 当点表示时，点表示， 当点表示时，点表示． 2．与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 【答案】D 【分析】需注意绝对值等于的数有两个，分两种情况计算和. 【详解】解：∵绝对值等于的数是或， ∴当这个数为时，； 当这个数为时，， ∴所求的和为或. 3．对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【答案】A 【分析】通过定义判断、举反例、分类讨论验证每个说法的正误即可． 【详解】解：①若，则与互为相反数，故①正确； ②若，举反例：取，，满足，但、同为负，是同号，故②错误； ③若且两数同号，根据同号两数相加的法则：同号相加取相同符号，若两数同为负，和一定为负，无法满足和大于0，因此两数只能同为正，即，故③正确； ④若且两数异号，举反例：取，，满足且两数异号，，不符合结论，故④错误； ⑤若，因为， 因此可得， 分类讨论：若，则，可得； 若，则，整理得， 因此无论取何值，都有，故⑤正确． 综上，正确的说法共3个． 4．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 【答案】A 【分析】将五个相邻两数之和的等式相加，求出五个数的总和，再结合已知条件依次求出各数，比较大小即可． 【详解】解：由题意得：，，，，， 将以上五式相加得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，即， ∴卡片上的数最大的编号记为D． 5．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求出的值，即可得到答案． 【详解】解：； ， ， ； ． 6．若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质得到m、n的所有可能取值，再结合筛选出符合条件的组合，最后分类计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当时，，符合要求；，符合要求； 分两种情况计算： 当，时，； 当，时，； ∴的值为或，故A正确． 7．计算：的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法．观察每个分母为两个连续整数的乘积，利用裂项法将每个分数拆分为两个分数的差，然后求和时中间项相互抵消，从而简化计算. 【详解】解：∵，，，，， ∴原式. 故选：C． 8．“幻圆”是古老的数学问题，将1，，3，，5，，7，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中，，7，已填入如图所示的位置，则图中的值为（   ） A．1或 B．1或4 C．4或6 D．6或8 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减法，求得横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和是关键． 先计算所有数的和，结合横、竖及内外圆的和的关系求出公共和，再确定、的值． 【详解】解：根据题意可知，所有数的和为：， 则横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和为， ， 则内圈中剩下数字为， 1，，，，7，已经确定位置， 或， 或， 故选：C． 二、填空题 9．规定：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，表示最接近x的整数（，n为整数），如．当且x不等于时，化简的结果是_________． 【答案】或或0 【分析】根据的不同取值范围，结合题目给出的定义分类计算即可． 【详解】解：分三种情况讨论： 当时， ∵ 表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数 ∴ ，， ∴ ； 当时， ∴ ，， ∴ ； 当时， ∴ ，， ∴ ； 综上，化简的结果为或或0． 10．某加密程序预先约定：把26个英文字母按顺序与正整数1至26一一对应，即第几个字母就对应几（对应数字1，对应数字2，…，对应数字10，…，对应数字20，…，对应数字26）．加密时把单词中每个字母对应的数字按“偶数记为正、奇数记为负”做变换，再把变换得到的各个数相加，所得的和叫做该单词的“密值”．例如单词“”中，对应数字3，变换后记为，对应数字1，变换后记为-1，密值为．单词“”的密值为________． 【答案】 【分析】先确定单词中每个字母对应的数字，按照变换规则确定每个数变换后的符号，再相加得到密值． 【详解】解：按规则逐个处理每个字母： 是第个字母，对应数字，为偶数，变换后记为； 是第个字母，对应数字，为奇数，变换后记为； 是第个字母，对应数字，为偶数，变换后记为； 最后一个对应数字，为奇数，变换后记为； 计算密值：， 因此单词的密值为． 11．的最小值为_____________． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义可得，表示到与的距离的和，计算即可得出结果． 【详解】解：表示到与的距离的和， ∴当时，取得最小值，即． 12．观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得：． (1)猜想并写出：． (2)尝试解决：． (3)试一试：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用所给的变化规律解答即可； （2）利用所给的变化规律，再结合有理数的加减法即可得出答案； （3）利用所给的变化规律，再结合有理数的加减法及提公因式法即可得出答案； 【详解】（1）略 （2）解： （3）解：， 由此可得出规律：，n为正整数， ∴ 三、解答题 13．如图，三个有理数的位置已在数轴上标出，字母就代表它们． (1)在数轴上标出表示的点； (2)化简：__________，_____________________； (3)若，求式子的值． 【答案】(1)数轴如图所示： (2)；； (3) 【分析】（1）根据相反数定义和数轴上点的特点，在数轴上表示出即可； （2）根据绝对值意义求解即可； （3）根据相反数定义和绝对值意义进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴ ． 14．某仓库一周内货物的进、出情况如下表（进库为正，出库为负，单位：吨）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)这周内哪一天进库的货物最多？哪一天出库的货物最多？ (2)这周结束时，仓库的货物总量比上周结束时增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ (3)若上周结束时仓库存货为200吨，则本周结束时存货为多少吨？ 【答案】(1)进库最多的是星期四（吨），出库最多的是星期三（吨） (2)减少了1吨 (3)本周结束时存货为199吨 【详解】（1）解：观察表格知：进库最多的是星期四（吨），出库最多的是星期三（吨）； （2）解：， 即减少了1吨； （3）解：（吨）． 答：本周结束时存货为199吨． 15．对于任意的两个有理数a、b，定义． (1)计算的结果； (2)计算的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得，再根据绝对值的性质，及有理数的加减法法则计算； （2）由新定义可得，再计算可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 课后检测 一、单选题 1．规定温度零上为正，温度由零下上升了，现在温度为（     ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【答案】B 【分析】根据题意列式计算即可． 【详解】解：∵ 温度零上为正， ∴零下记为， 上升后温度为： ， 即零下． 2．嘉淇同学在计算时，将式子变形成后再进行计算，其过程运用了（     ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】将加减混合运算转化为加法形式，对比变形前后项的位置与分组方式，判断所用运算律． 【详解】解：原式可化为． ∵变形后与的位置发生交换， ∴运用了加法交换律． ∵同分母的两组数被分别结合优先计算， ∴运用了加法结合律． 3．若有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴得到，且，即可判断各选项． 【详解】解：由数轴知，且， 故， 故选项B中结论正确，符合题意． 4．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 故选：B． 5．有理数满足：，则（     ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】根据异号两数相加的法则，结合已知条件判断的正负性． 【详解】解：∵，，， ∴． 6．不改变原式的值，将中的减法改成加法并写成省略加号和括号的形式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行化简即可． 【详解】解： ． 7．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），图①表示的计算过程是，则图②表示的计算过程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，图②表示的计算过程是． 8．南通素有“建筑之乡”的美誉．某建筑工地上一个零件的标准直径是20毫米，质检规定：直径与标准直径的偏差不得超过0.05毫米（偏差可正可负）．按此规定，该零件直径的合格范围是（     ） A．19.95毫米至20.05毫米 B．19.97毫米至20.03毫米 C．19.90毫米至20.10毫米 D．19.95毫米至20.03毫米 【答案】A 【分析】求出20减去0.05和20加上0.05的结果即可得到答案． 【详解】解：（毫米），（毫米） ∴该零件直径的合格范围是19.95毫米至20.05毫米． 9．点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，再向右移动7个单位，则点P最终表示的数是（     ）． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据数轴上的点左移减，右移加，可得答案． 【详解】解：点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，表示， 再向右移动7个单位，表示为， 即点P最终表示的数是6． 10．如图是一个数字运算程序流程图，按照这个程序运算，若输入数字，则输出结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据程序流程图的运算规则，依次计算每一次循环的结果，直到结果重复出现为止． 【详解】解：①若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时； ②若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时； ③若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时； ④若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时，与上一次运算结果相同，即重复出现； 所以输出的结果为． 二、填空题 11．若a，b两数互为相反数，则a与b的和是_________． 【答案】0 【分析】根据相反数的定义即可推导得到结果． 【详解】解：∵ 与互为相反数， ∴． 12．若，，且，则____． 【答案】或 【分析】首先化简绝对值得到，，然后结合分两种情况讨论，分别代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴当，时，； 当，时，； 综上所述，或． 13．把写成省略加号和括号的形式______． 【答案】 【分析】先将减法转化为加法，再省略加号和括号即可得到省略形式． 【详解】解：原式． 14．规定：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，表示最接近x的整数（，n为整数），如．当且x不等于时，化简的结果是_________． 【答案】或或0 【分析】根据的不同取值范围，结合题目给出的定义分类计算即可． 【详解】解：分三种情况讨论： 当时， ∵ 表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数 ∴ ，， ∴ ； 当时， ∴ ，， ∴ ； 当时， ∴ ，， ∴ ； 综上，化简的结果为或或0． 三、解答题 15．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 16．临沧市某超市对一批袋装茶叶进行抽检，每袋标准质量为克．超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．随机抽取袋茶叶，称重结果如下： 克，克，克，克，克，克 (1)这袋茶叶中，最重的一袋和最轻的一袋各是多少克？ (2)这袋茶叶的总质量比标准总质量多（或少）多少克？ 【答案】(1)最重的一袋是克，最轻的一袋是克 (2)这袋茶叶的总质量比标准总质量多克 【分析】（1）根据正偏差最大的是最重的一袋，偏差最小的负数的是最轻的一袋，计算即可得到答案． （2）计算出总质量偏差，即所有正负偏差的和，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵标准质量是克，最重的为偏差最大的正数，最轻的为偏差最小的负数， ∴最重：（克）， 最轻：（克）； 答：最重的一袋是克，最轻的一袋是克； （2）解：总质量偏差：（克），即多克， 答：这袋茶叶的总质量比标准总质量多克． 17．已知，，，． (1) ． (2)请计算． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件中的思路去掉绝对值符号； （2）根据已知条件中的思路去掉绝对值符号再相加即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： . 18．如图，数轴上两点 A，B 分别表示有理数和 5，我们用来表示 A，B 两点之间的距离． (1) ； (2)若数轴上一点 C 表示有理数，且，则的值可以为 ； (3)已知为有理数． ①已知可表示数轴上有理数到 5 的距离，则可表示数轴上有理数到 的距离； ②对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)① ；② 有最小值，最小值为 【分析】（1）观察数轴直接计算； （2）根据距离列出算式，由绝对值的意义得出结果； （3）①将化为即可解答； ②由①可知表示到的距离与到 5 的距离之和，根据数轴上两点间的距离即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 或， 或， 即的值为或； （3）解：① 可表示数轴上有理数到的距离； ②即到的距离与到 5 的距离之和， 距离之和最小则在和之间（包括和）， 此时最小距离和即为和之间的距离， ， 故距离之和最小为7． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $彭老师数学工作室 第二章：有理数的运算 2.1有理数的加法与减法 内容导航 思维导图 1 知识点一 有理数的加法运算 1 【题型1 有理数的加法运算】 2 【题型2 有理数加法中的符号问题】 3 【题型3 有理数加法在生活中的应用】 3 【题型4 有理数加法运算律】 4 知识点二 有理数的减法运算 4 【题型5 有理数减法运算】 5 【题型6 有理数减法的实际应用】 5 【题型7 有理数的加减混合运算】 6 【题型8 有理数的加减中的简便运算】 6 【题型9 有理数的加减混合运算的应用】 7 【题型10 省略加法和括号的形式】 7 能力提升 8 课后检测 11 思维导图 知识点一 有理数的加法运算 1．有理数的加法运算法则 （1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加；例：(+2)+(+5)=+7，(-3)+(-6)=-9 （2）异号两数相加（绝对值不相等）：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 例：(+5)+(-2)=+3，(+2)+(-7)=-5 （3）互为相反数的两个数相加得0：例： （4）一个数与0相加，仍得这个数．例：0+ 【注】多个数相加时，加法交换律和加法结合律仍然成立． 2．有理数的加法运算律： （1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。字母表示：a+b = b+a （2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。字母表示：(a+b)+c = a+(b+c) 【注】多个有理数相加，可任意交换加数位置、任意分组结合运算，和不变。 3．加法运算技巧： （1）化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式； 例： （2）符号相同的数可以先结合在一起； 例： （3）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特别是有互为相反数的两个数时，可先结合相加得零；例：； （4）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起． 例： 【题型1 有理数的加法运算】 1．（26-27七上·广东汕头·随堂练习）下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九上·浙江温州·独立作业）某同学记录了班级同学进、出教室的人数，某节课间进教室5人，出教室7人，记进教室为正，出教室为负，下列算式能表示当节课间教室人数变化的是(     ) A． B． C． D． 3．（26-27七上·陕西咸阳·阶段检测）在古代数学名著里，记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图①表示计算的过程，按照这种方法，图②表示的计算过程为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27七上·浙江杭州·阶段检测）两个数的和是负数，则这两个数（     ） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．至少有一个为负数 【题型2 有理数加法中的符号问题】 1．（26-27七上·河北唐山·学情调研）在计算时，按照有理数加法法则，需转化成（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七上·天津葛沽·期中考试）把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七上·江苏无锡·月考）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 4．（25-26七上·福建福州·期末考试）（福建福州市连江县2025-2026学年第一学期七年级期末适应性练习 数学（A））有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 有理数加法在生活中的应用】 1．（26-27九上·浙江温州·暑假作业）某同学记录了班级同学进、出教室的人数，某节课间进教室5人，出教室7人，记进教室为正，出教室为负，下列算式能表示当节课间教室人数变化的是(     ) A． B． C． D． 2．（26-27七上·江苏南通·学情自测）《黑神话：悟空》游戏中，某关卡设定角色的初始血量为点，战斗中回血记作正数、掉血记作负数．若角色本关的四个气血变化依次为、、、，则本关结束时该角色的血量为（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（2026年·广西南宁·入学考试）以婷婷家为起点，向东走为正、向西走为负．如果婷婷从家走了米，又走了米，这时婷婷所在的位置是（    ）米 A．离家东20 B．离家西20 C．离家东80 D．离家西80 4．（2026年·吉林长春·中考一模）嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． 【题型4 有理数加法运算律】 1．（25-26七上·湖北随州·质量监测）小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 2．（25-26七上·广西柳州·周测）下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七上·北京·期中考试）计算的依据是（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．符号化简 D．加法交换律和结合律 4．（25-26七上·福建南平·月考）下面是小梦做的一道计算题的解题过程，和代表的计算依据分别是（    ） 解： ． A．有理数减法法则、加法结合律 B．加法结合律、加法交换律 C．加法交换律、加法结合律 D．无法确定 知识点二 有理数的减法运算 1．有理数的减法运算法则 （1）运算法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即：． （2）运算转化要点：减法变加法，减数变相反数，被减数保持不变。 例： 2．有理数加减法混合运算技巧 （1）把算式中的减法转化为加法； （2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉； （3）多观察，巧妙利用运算律简便计算． 【题型5 有理数减法运算】 1．（25-26七上·新疆墨玉·学情自测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七上·河北唐山·学情调研）若（     ），那么括号里的数是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七上·新疆·阶段练习）数轴上表示与3两点间的距离是（     ） A．1 B．7 C． D． 4．（26-27七上·内蒙古·阶段检测）已知，，且，则的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型6 有理数减法的实际应用】 1．（25-26七上·湖北襄阳·阶段检测）樊城区汉江边一段河堤大道，每天晨练跑步者络绎不绝．以河堤大道的平面为基准，河面高，陆地上的沿江马路地面高，则地面比河面高（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26七上· 内蒙古乌海·阶段测试）某地今年1月1日至4日每天的最高气温与最低气温如下表： 日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 最高气温 最低气温 其中温差最大的是（     ） A．1月1日 B．1月2日 C．1月3日 D．1月4日 3．（2026年·湖南长沙·中考二模）国际科考队通过冰钻钻透南极冰盖，派遣水下机器人对冰下湖进行探测，机器人从冰层下表面先向下潜至湖面以下740米，随后为调整观测角度，上浮120米，此时机器人所处的位置为（   ） A．湖面以下520米 B．湖面以下620米 C．湖面以下740米 D．湖面以下860米 4．（2026年·内蒙古·中考一模）泰山是五岳中的东岳，有“五岳之首”“天下第一山”之称，3月份的泰山，山脚平均气温为零上，山顶平均气温为零下，山脚气温比山顶气温高（   ） A． B． C． D． 【题型7 有理数的加减混合运算】 1．（26-27七上·新疆·阶段测试）计算： (1) (2) (3) (4) 2．（26-27七上·新疆·阶段测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型8 有理数的加减中的简便运算】 1．（26-27七上·广东汕头·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 2．（26-27七上·广东佛山·阶段练习）计算： (1)； (2) ； (3)； 【题型9 有理数的加减混合运算的应用】 1．（26-27七上·湖北武汉·学情自测）振大超市出售三种品牌的大米，袋子上分别标有千克，千克，千克．从中任意拿出两袋，这两袋米的质量最多相差（    ）． A．0.8千克 B．0.6千克 C．0.5千克 D．0.4千克 2．（2025年·辽宁抚顺·中考三模）2025年全国多地开展“城市地下水位监测”工作，某监测站记录的一周内地下水位变化量（均与前一天进行对比，上升为正，下降为负）如下表所示： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 水位变化量／m 其中水位最低的一天是（   ） A．周二 B．周四 C．周五 D．周日 3．（25-26七上·贵州遵义·阶段测试）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或 4．（25-26七上·黑龙江·学情自测）某商店营业五天的盈亏情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 盈亏/元 这个商店营业五天的总情况是（   ） A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．无法判断 【题型10 省略加法和括号的形式】 1．（26-27七上·广东汕头·随堂练习）把式子写成省略加号的和的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七上·宁夏吴忠·随堂练习）不改变原式的值，去括号后，可以写成的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七上·安徽铜陵·随期末考试）式子有下面的两种读法 读法一：负3，负，正5与的和 读法二：负3减4加5减8 关于这两种读法，正确的选项是（   ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都正确 D．两种读法都不正确 4．（25-26七上·福建泉州·随期末考试）不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 能力提升 一、单选题 1．数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为2，则点A表示的数是（    ） A．7 B．7或 C．5或 D．7或3 2．与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 3．对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 4．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 5．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 7．计算：的值为（  ） A． B． C． D． 8．“幻圆”是古老的数学问题，将1，，3，，5，，7，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中，，7，已填入如图所示的位置，则图中的值为（   ） A．1或 B．1或4 C．4或6 D．6或8 二、填空题 9．规定：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，表示最接近x的整数（，n为整数），如．当且x不等于时，化简的结果是_________． 10．某加密程序预先约定：把26个英文字母按顺序与正整数1至26一一对应，即第几个字母就对应几（对应数字1，对应数字2，…，对应数字10，…，对应数字20，…，对应数字26）．加密时把单词中每个字母对应的数字按“偶数记为正、奇数记为负”做变换，再把变换得到的各个数相加，所得的和叫做该单词的“密值”．例如单词“”中，对应数字3，变换后记为，对应数字1，变换后记为-1，密值为．单词“”的密值为________． 11．的最小值为_____________．． 12．观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得：． (1)猜想并写出：． (2)尝试解决：． (3)试一试：． 三、解答题 13．如图，三个有理数的位置已在数轴上标出，字母就代表它们． (1)在数轴上标出表示的点； (2)化简：__________，_____________________； (3)若，求式子的值． 14．某仓库一周内货物的进、出情况如下表（进库为正，出库为负，单位：吨）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)这周内哪一天进库的货物最多？哪一天出库的货物最多？ (2)这周结束时，仓库的货物总量比上周结束时增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ (3)若上周结束时仓库存货为200吨，则本周结束时存货为多少吨？ 15．对于任意的两个有理数a、b，定义． (1)计算的结果； (2)计算的结果． 课后检测 一、单选题 1．规定温度零上为正，温度由零下上升了，现在温度为（     ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 2．嘉淇同学在计算时，将式子变形成后再进行计算，其过程运用了（     ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．分配律 3．若有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 4．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 5．有理数满足：，则（     ） A． B． C． D．无法判断 6．不改变原式的值，将中的减法改成加法并写成省略加号和括号的形式的是（     ） A． B． C． D． 7．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），图①表示的计算过程是，则图②表示的计算过程是（     ） A． B． C． D． 8．南通素有“建筑之乡”的美誉．某建筑工地上一个零件的标准直径是20毫米，质检规定：直径与标准直径的偏差不得超过0.05毫米（偏差可正可负）．按此规定，该零件直径的合格范围是（     ） A．19.95毫米至20.05毫米 B．19.97毫米至20.03毫米 C．19.90毫米至20.10毫米 D．19.95毫米至20.03毫米 9．点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，再向右移动7个单位，则点P最终表示的数是（     ）． A．2 B．4 C．6 D．8 10．如图是一个数字运算程序流程图，按照这个程序运算，若输入数字，则输出结果为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若a，b两数互为相反数，则a与b的和是_________． 12．若，，且，则____． 13．把写成省略加号和括号的形式______． 14．规定：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，表示最接近x的整数（，n为整数），如．当且x不等于时，化简的结果是_________． 三、解答题 15．计算： (1) (2) 16．临沧市某超市对一批袋装茶叶进行抽检，每袋标准质量为克．超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．随机抽取袋茶叶，称重结果如下： 克，克，克，克，克，克 (1)这袋茶叶中，最重的一袋和最轻的一袋各是多少克？ (2)这袋茶叶的总质量比标准总质量多（或少）多少克？ 17．已知，，，． (1) ． (2)请计算． 18．如图，数轴上两点 A，B 分别表示有理数和 5，我们用来表示 A，B 两点之间的距离． (1) ； (2)若数轴上一点 C 表示有理数，且，则的值可以为 ； (3)已知为有理数． ①已知可表示数轴上有理数到 5 的距离，则可表示数轴上有理数到 的距离； ②对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $