广西南宁市第三中学2026-2027学年上学期九年级9月学情自测数学试题

2026—2027学年度秋季学期九月随堂练习（一）九年级数学 （时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器、考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1．刘徽在《九章算术注》对负数做了很自然的解释：“两算得失相反，要令正、负以名之”．若收入元记作元，那么支出元应记作（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．窗花是我国民间剪纸中分布最广、数量最多、最为普及的品类，也是源远流长的传统民间艺术珍宝．下列窗花作品示意图为轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．2026年，农历丙午年，也是马年．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，邮票上的骏马，扬蹄奋起，呼啸前行，既展现出“一马当先”的开拓气概，也诠释了“万马奔腾”的团结力量．此次计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（ ） A． B． C． D． 4．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 5．下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A． 6． C． D． 6．已知方程的一个根是，则的值是（ ） A． B． C． D． 7．将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则所得抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 8．根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的是的高的是（ ） A． B． C． D． 9．如图为一次函数的图象，则二次函数在平面直角坐标系中的图象大致为（ ） A． B． C． D． 10．2023年中秋、国庆期间，某省累计游客数量约4800万人次，2025年中秋、国庆期间，该省累计游客数量约7500万人次．设年平均增长率为，可列方程为（ ） A． B． C． D． 11．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C．且 D． 12．二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④其顶点坐标为；⑤当时，随的增大而减小；⑥中正确的有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．二次根式有意义，则的取值范围是 ▲ ． 14．二次函数图象的顶点坐标是 ▲ ． 15．一元二次方程的两根分别是，，则 ▲ ． 16．某型号电暖气及其工作原理的简化电路图如图1所示，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为（其中），关于的函数图象如图2所示．小明同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为 ▲ ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分8分） （1）计算：；（2）解方程：． 18．（本题满分10分）如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，请判断四边形的形状，并说明理由． 19．（本题满分10分）为了提高学生的科学素养，某校举办中学生科技知识竞赛．现从九年级学生中随机抽取部分学生成绩进行整理与分析（测试满分100分且成绩均为整数，成绩用表示，分为四个等级：D：，C：，B：，A：）部分信息如下： 信息一： 信息二：被抽取的学生成绩在B等级中的具体分数为： 80，80，81，82，83，84，85，86，87，88，88，89 请根据上述信息解决下列问题： （1）求所抽取学生成绩为C等级的人数，并补全条形统计图； （2）所抽取的学生成绩的中位数为 ▲ ． （3）若全校九年级有800名学生，请估计成绩在范围内的学生人数 20．（本题满分10分）广西壮锦是中国四大名锦之一，与南京云锦、成都蜀锦、苏州宋锦并列．它不仅仅是一种布料，更是一部“穿在身上的史书”，凝聚了壮族人民的智慧、审美和历史记忆．为弘扬地方文化，让更多游客了解广西文化，某文旅公司推出了一款壮锦马甲．已知每件马甲的成本为40元，根据调查发现，当售价为50元时，平均每天可以售出100件；若售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件． （1）当每件马甲售价为60元时，平均每天售出马甲 ▲ 件，每天的利润是 ▲ 元； （2）设每件马甲售价为元（且为整数），平均每天的销售量为件，每天销售利润为元． ①求关于的函数关系式，并写出的取值范围． ②当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 21．（本题满分10分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图． 列表：如表是与的几组对应值，其中 ▲ ； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． … … … … （2）通过观察图象，当时，随着的增大而 ▲ ．（填“增大”或“减小”） （3）已知点在函数的图象上，在函数的第一象限内的图象上，是否存在点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由． 22．（本题满分12分）如图①，在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，． （1）如图②，当直线经过点时，若，求证：是等边三角形． （2）如图③，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长． 23．（本题满分12分）某城市公园计划建造一座“彩虹门”喷泉景观．喷泉由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”．公园设计团队需要对喷泉进行精确设计． （1）任务一：建立模型 如图1，设计团队测得喷泉场地宽度米，在，处各安装一个喷水装置，将出水口高度，都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点到地面的距离为5米．以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请求出“彩虹门”喷泉中抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）任务二：游客通道设计 如图2，设计团队计划在“彩虹门”下方地面上建造一条与垂直的笔直游客通道，并在游客通道上绘制5条平行的地面标志线，每两条标志线之间的间距相等，为了避免游客被淋湿，团队需要在所在直线与标志线交点处安装挡雨伞，伞的顶端离地面的距离保持3米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧挡雨伞顶端与水柱间的竖直高度为1米．请你求出每相邻两条标志线的间距应为多少米； （3）任务三：灯光设计 设计团队通过进一步分析发现，为使下一次“彩虹门”的设计更具创意，首先将两个喷水装置同时向外侧移动米（在所在直线上），此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，接着在两个喷水装置的外侧各安装一盏射灯（在所在直线上左右对称安装），每盏射灯与同侧喷水装置底端的水平距离均为米（左右相同），射灯射出的光线与地面的夹角为且两条光线相交于一点，若光线与水柱之间的最小竖直距离为2米，求，的值． 学科网（北京）股份有限公司 $