8.2 两条直线的位置关系讲义-2027届高三数学一轮复习

8.2 两条直线的位置关系 知识点一、两条直线的位置关系 1.直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0的位置关系如下表: 位置关系 l1,l2满足的条件 l3,l4满足的条件 平行 k1=k2且b1≠b2 A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0 垂直 k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0 相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 2.平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3.垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 知识点二、两条直线的交点坐标 1.两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标是方程组的解,解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 2.两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3.直线系方程 过直线l1：A1x+B1y+C1＝0与l2：A2x+B2y+C2＝0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+ B2y+C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 知识点三、距离公式 1.两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|=. 特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=. 2.点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=. 3.两条平行线间的距离公式 一般地,两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离d=. 知识点四、点、线间的对称关系 1.点关于点对称：点P（x1，y1）关于点Q（x0，y0）的对称点为（2x0－x1，2y0－y1）. 证明：设点（x1，y1）关于点Q（x0，y0）的对称点为P'（x2，y2），则根据中点坐标公式，有，则：，可得对称点P'的坐标为（2x0－x1，2y0－y1）. 2.点关于直线对称：设点P（x1，y1）关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为P'（x2，y2）. 证明：点P（x1，y1）关于直线l：Ax+By+C=0对称的点为P'（x2，y2），连接PP'，交l于M点，则l垂直平分PP'，所以PP'⊥l，且M为PP'的中点，又因为M在直线l上，故可得 ，解出（x2，y2）即可． 3.直线关于点对称 （1）在已知直线上取两点，求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； （2）求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4.直线关于直线对称 已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程. 若l1不平行于l2，则： 第一步：联立l1，l2算出交点（x0，y0）. 第二步：在l1上任找一点（非交点）B（x1，y1），利用点关于直线对称的方法算出对称点B'（x2，y2）. 第三步：利用两点式写出l3方程. 知识点五、两直线的夹角（到角公式） 1.夹角的正切公式：已知两条直线的夹角为（）且两条直线的斜率为，. 注：两直线的夹角指的是两直线所成的小于等于90°的角，当夹角为90°时， k不存在；当k存在时， 始终为正. 2.夹角的余弦公式：设直线分别为则两直线的方向向量分别为 则两直线夹角为. 3.到角公式：将直线逆时针方向旋转到与直线第一次重合时所转的角为 , 则. 题型一：两条直线的平行和垂直 例1.已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 解：由，得，直线恒过点． 因为的斜率为，所以所求直线的斜率为，其方程为，即，故选：A． 例2.若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 解：依题意得，，得，解得或， 若时，直线与直线平行，符合题意； 若时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或．故选：D. 例3.(多选)已知直线l1：x+ay-a=0和直线l2：ax-(2a-3)y-1=0，下列说法正确的是(　　) A.当a=-1时，l1的一个方向向量为(1，1) B.若l1∥l2，则a=1 C.若l1⊥l2，则a=0或a=2 D.当a>0时，l1始终不经过第三象限 解：当a=-1时，直线l1：x-y+1=0，其斜率为k=1， 所以l1的一个方向向量为(1，1)，故A正确； 当a=1时，l1：x+y-1=0，l2：x+y-1=0，l1，l2重合，故B错误； 由l1⊥l2得1×a+a×(3-2a)=0，得a=0或a=2，故C正确； 当a>0时，l1：y=-x+1始终过点(0，1)，斜率为负，不会经过第三象限，故D正确. 故选：ACD. 跟踪训练： 1.已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 解：由题意知，，则直线的斜率, 因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为， 所以直线的斜率，再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为，即，故选：A. 2.设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 解：若，则直线，直线，此时平行， 若平行，则即， 当时，平行， 当时，直线，直线，此时也平行， 故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件. 故选：A. 3.设λ∈R,则“λ=1”是“直线3x+(λ-1)y=1与直线λx+(1-λ)y=2平行”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解：若直线3x+(λ-1)y=1与直线λx+(1-λ)y=2平行,则3(1-λ)-λ(λ-1)=0, 解得λ=1或λ=-3,经检验,λ=1或λ=-3时两直线平行, 故“λ=1”是“直线3x+(λ-1)y=1与直线λx+(1-λ)y=2平行”的充分不必要条件.故选：A. 4.已知直线l1：(2a+1)x+ay+1=0，l2：(a+2)x+ay+2=0，则“a=1”是“l1∥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：若直线l1，l2平行，则(2a+1)a=(a+2)a，所以a=0或a=1. 将a=1代入直线l1，l2的方程，得l1：3x+y+1=0，l2：3x+y+2=0，易知l1∥l2； 将a=0代入直线l1，l2的方程，得l1：x+1=0，l2：2x+2=0，即x+1=0，直线l1，l2重合，故a=0舍去.综上所述，“a=1”是“l1∥l2”的充要条件.故选：C. 5.若a,b为正实数,直线2x+(2a-4)y+1=0与直线2bx+y-2=0互相垂直,则ab的最大值为　　　　.  解：由两直线垂直得4b+2a-4=0,即2=a+2b≥2,ab≤,当且仅当a=1,b=时,等号成立, 故ab的最大值为.故答案为：. 6.已知直线l1：ax-(a-1)y+6=0，直线l2：x+2y+4=0，若l1⊥l2，则a=　　 　. 解：由于直线l2的斜率存在且不为零，且l1⊥l2， 故直线l1的斜率也存在且不为零，直线l1：y=x+(a≠1且a≠0)， ∴k1=，直线l2：y=-x-2，∴k2=-，∴k1k2=-1，即×=-1，解得a=2.故答案为：2. 7.已知直线，直线，若 ，则实数的值为　　　. 解：根据两直线平行，可知，解得.故答案为：. 8.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0. （1）试判断l1与l2是否平行; （2）当l1⊥l2时,求a的值. 解：（1）法一：由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-1×2=0, 由A1C2-A2C1≠0,得a(a2-1)-1×6≠0,所以l1∥l2⇔ ⇒可得a=-1,故当a=-1时,l1∥l2;a≠-1时,l1与l2不平行. 法二：当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2; 当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2; 当a≠1且a≠0时,两直线方程可化为l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1), l1∥l2⇔解得a=-1, 综上,当a=-1时,l1∥l2;a≠-1时,l1与l2不平行. （2）法一：由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,可得a=. 法二：当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直,故a=1不成立; 当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2,故a=0不成立; 当a≠1且a≠0时,l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),由·=-1,得a=. 题型二：两直线的交点问题 例1.经过两直线l1:2x-y+3=0与l2:x+2y-1=0的交点,且平行于直线3x+2y+7=0的直线方程是(　　) A.2x-3y+5=0 B.2x+3y-1=0 C.3x+2y-2=0 D.3x+2y+1=0 解：法一：由解得所以直线l1与l2的交点为(-1,1), 设与直线3x+2y+7=0平行的直线为3x+2y+m=0(m≠7),所以3×(-1)+2×1+m=0,解得m=1, 所以所求直线方程为3x+2y+1=0. 法二：设所求直线方程为2x-y+3+λ(x+2y-1)=0,即(λ+2)x+(2λ-1)y+3-λ=0, 又该直线与3x+2y+7=0平行,故(λ+2)·2-3·(2λ-1)=0,解得λ=, 故所求直线方程为x+y+3-=0,即3x+2y+1=0.故选：D. 例2.直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 解：直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到.联立方程组 解得.把代入，得. 所以交点坐标为.故选：C. 跟踪训练： 1.直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 解：由方程组，得，即交点为．故选：C． 2.已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 解：联立直线、的方程，，解得，故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为.故选：B. 3.过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 解：由，解得，则所求方程的直线过点， 设所求直线方程为，于是，解得， 所以所求直线方程为. 故选：D. 4.若直线和直线的交点在轴上，则的值是( ) A. B. C. D. 解：方法1待定系数法:设两直线的交点坐标为，则,消去，可得. 方法2解方程组法:由消去得.令，解得. 故选：C. 5.若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解：由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得，即实数的取值范围是.故选：A. 6.（多选）已知三条直线相交于一点，则的值为( ) A. B. C. D. 解：解方程组得.所以两条直线的交点坐标为. 该点也在第三条直线上，即坐标满足方程，所以， 解得或.故选：AC. 题型三：距离问题 例1.已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 解：法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即，化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故；若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则．经检验，或均符合题意.故选：C. 例2.平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 解：因为直线与平行， 所以，即，则，也就是， 所以两直线间的距离为.故选：D. 例3.若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：5x-12y+2=0与l2：5x-12y+8=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A. B. C. D. 解：设AB的中点M的坐标为(x，y)，则有 又A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：5x-12y+2=0与l2：5x-12y+8=0上， ∴联立两式相加得5(x1+x2)-12(y1+y2)+10=0，∴10x-24y+10=0，即5x-12y+5=0， 即AB的中点M在直线5x-12y+5=0上移动， ∴M到原点距离的最小值即原点到直线5x-12y+5=0的距离d==.故选：A. 跟踪训练： 1.已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 解：由得，即，所以点到直线 的距离为，故选：A． 2.若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 解：因为直线：与直线：平行， 所以，所以， 所以直线：即， 所以这两条直线间的距离为.故选：B. 3.已知，直线，若，则与之间的距离为 . 解：由得，解得， 则直线，即，与之间的距离为 故答案为：. 4.直线4x+3y-5=0与8x+6y+a=0(a<0)之间的距离为2，则实数a等于(　　) A.-20 B.-30 C.-20 D.-30 解：直线8x+6y+a=0(a<0)的方程可化为4x+3y+=0， 可知直线4x+3y-5=0与8x+6y+a=0(a<0)平行，≠-5， ∴两条直线之间的距离d==2，解得a=10或a=-30，又a<0，∴a=-30.故选：B. 5.已知直线l1：y=x和l2：x-2y+1=0的交点为P，则点P到直线y=kx+1的距离的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(0，1] C.[0，1) D.∪ 解：联立解得即点P的坐标为(1，1)， 点P(1，1)到直线l：kx-y+1=0的距离d==， 当k=0时，d=0，当k≠0时，d==，因为+1>1，所以0<d<1. 综上，0≤d<1，即点P到直线y=kx+1的距离的取值范围是[0，1).故选：C. 6.已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 解：为直线上的点到原点距离的平方， 所以的最小值为原点到直线的距离的平方， 又原点到直线的距离， 所以的最小值为1． 故选：D. 7.已知x＋y－3＝0，则的最小值为 . 解：设P(x，y)，A(2，－1)，则点P在直线x＋y－3＝0上， 且＝|PA|.|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离 d＝.故答案为：. 8.已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)． （1）在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小； （2）在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大． 解：(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)， 则,解得.故A′(－2,8)． 因为P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，则，解得：. 故所求的点P的坐标为(－2,3)． (2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|， 当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，则，解得：. 故所求的点P的坐标为(12,10)． 题型四：直线系方程 例1.过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 解：设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 例2.已知两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点为P,过点P且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为　　　　　　.  解：设所求直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0. 因为直线l与l3垂直,所以3(1+λ)-4(λ-2)=0,所以λ=11, 所以直线l的方程为4x+3y-6=0.故答案为：4x+3y-6=0. 跟踪训练： 1.过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（     ） A． B． C． D． 解：由已知，可设所求直线的方程为：， 即，又因为此直线与直线平行， 所以：，解得：， 所以所求直线的方程为：，即． 故选：A． 2.过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为　　　　　　　　.  解：设所求直线方程为2x+3y+c=0(c≠5),由题意知2×1+3×(-4)+c=0,解得c=10, 故所求直线方程为2x+3y+10=0.故答案为：2x+3y+10=0. 3.经过点和两直线；交点的直线方程为 . 解：设所求直线方程为， 点在直线上，，解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 4.经过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程为　　　　　　　　.  解：因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直,所以设该直线方程为x-2y+c=0. 又直线过点A(2,1),所以有2-2×1+c=0,解得c=0,故所求直线方程为x-2y=0. 故答案为：x-2y=0. 5.过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 解：令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为：. 题型五：点、线间的对称问题 例1.已知不同的两点P（a，-b）与 Q（b+1，a-1）关于（3,4）对称，则ab= . 解：由题意知：，解得：.所以ab=7.故答案为：7. 例2.已知直线l：y=3x+3，则点P（4,5）关于l的对称点的坐标为 . 解：设点P关于直线l的对称点P'（x1，y1），则线段PP'的中点为M（，）.因此点M在直线l上，且直线PP'垂直于直线l，所以，解得：.所以点P'（-2，7）.故答案为：（-2，7）. 例3.求直线l1：3x﹣y+3＝0关于直线l：x﹣y+2＝0对称的直线l2方程　 　． 解：设直线l2上任意一点为P（x，y）， 则P关于直线L：x﹣y+2＝0的对称点P′（m，n）在直线l1上， 由对称性可得 ，解得 ， 代入直线l1可得3（y﹣2）﹣（x+2）+3＝0， 化简可得所求直线方程为：x﹣3y+5＝0. 故答案为：x﹣3y+5＝0． 例4.光线经过点A（1，），经直线l：x+y+1＝0反射，反射线经过点B（1，1），则入射线 所在直线方程为 ；反射点的坐标为 ． 解：设点B关于直线x+y＝﹣1的对称点为（a，b），则， 解得a＝﹣2，b＝﹣2 即对称点（﹣2，﹣2） 则入射光线所在直线方程，即：5x﹣4y+2＝0， 则，可得， 反射点的坐标为 （）． 故答案为：5x﹣4y+2＝0；（）． 跟踪训练： 1.点A（2，2）关于直线2x﹣4y+9＝0的对称点的坐标为　 　． 解：根据题意，设要求点的坐标为（a，b），则有， 解可得a＝1，b＝4，即A（2，2）关于直线2x﹣4y+9＝0的对称点的坐标为（1，4）； 故答案为：（1，4）． 2.已知点A（1，3）关于直线l的对称点为B（﹣5，1），则直线l的方程为　 　． 解：∵已知点A（1，3）关于直线l的对称点为B（﹣5，1），故直线l为线段AB的中垂线． 求得AB的中点为（﹣2，2），AB的斜率为 ，故直线l的斜率为﹣3， 故直线l的方程为 y﹣2＝﹣3（x+2），化简可得3x+y+4＝0.故答案为：3x+y+4＝0． 3.直线2x﹣y+3＝0关于直线x﹣y+2＝0对称的直线方程是　 　． 解：在所求直线上任意取一点A（x，y），则它关于直线x﹣y+2＝0对称的点B（y﹣2，x+2）在直线2x﹣y+3＝0上，故有2（y﹣2）﹣（x+2）+3＝0，化简可得x﹣2y+3＝0. 故答案为：x﹣2y+3＝0． 4.点（2，2）关于直线x﹣y+3＝0的对称点坐标是　 　． 解：设点（2，2）关于直线x﹣y+3＝0的对称点坐标是（a，b）， 则由，求得，故答案为（﹣1，5）． 5.已知直线l：y＝3x+3，那么直线x﹣y﹣2＝0关于直线l对称的直线方程为 　． 解：在直线x﹣y﹣2＝0关于直线l对称的直线上任意取一点M（x，y）， 设它关于直线l：y＝3x+3的对称点为N（a，b），则点N在直线x﹣y﹣2＝0上， 即 a﹣b﹣2＝0 ①．由 求得 ②， 再把②代入①，可得7x+y+22＝0，故答案为：7x+y+22＝0． 6.已知直线l：y＝3x+7，试求： （1）直线y＝x+3关于直线l对称的直线方程； （2）直线l关于A（4，2）对称的直线方程． 解：（1）已知直线l：y＝3x+7，直线y＝x+3，由可得， 则直线y＝x+3与直线l：y＝3x+7的交点为E（﹣2，1）， 再在直线y＝x+3上取一点M（0，3）， 设点M（0，3）关于直线l：y＝3x+7的对称点为N（m，n）， 则由，解得，即， 由题意可得E、N两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 根据点斜式方程可得直线方程为y﹣1＝﹣7（x+2），化简为7x+y+13＝0， 则直线y＝x+3关于直线l对称的直线方程为7x+y+13＝0； （2）在直线l：y＝3x+7上任意取出两个点C（0，7），D（﹣1，4）， 求出这两个点关于点A（4，2）对称点分别为Q（8，﹣3），H（9，0）， 由题意可得Q（8，﹣3），H（9，0）是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线l关于A（4，2）对称的直线方程为y＝3（x﹣9），即3x﹣y﹣27＝0． 7.已知直线l：2x﹣y﹣1＝0，动点P（x，y）在直线l上． （1）若A（0，4），B（﹣2，0），求|PA|+|PB|的最小值并求此时点P的坐标； （2）若A（0，4），C（4，1），求|PC|﹣|PA|的最大值并求此时点P的坐标． 解：（1）如图所示， 设点A关于直线l的对称点A′（x，y），则，解得A′（4，2）． 连接A′B交直线l于点P，则点P即为所求． 否则在直线l上除了点P以外的任取点P′，则BP′+AP′＞A′B＝BP+AP． ∴|PA|+|PB|的最小值＝|BA′|2． 直线BA′：，化为x﹣3y+2＝0．联立，解得P（1，1）． （2）如图所示， 由（1）可知：点A关于直线l的对称点A′（4，2）， 连接CA′并延长交直线l于点P（4，7）， 则点P满足使得|PC|﹣|PA|取得最大值|A′C|＝1． 否则在直线l上除了点P以外的任取点P′，则|P′C|﹣|P′A|＜|A′C|． ∴P（4，7）满足使得|PC|﹣|PA|取得最大值|A′C|＝1． 8.已知直线l：y＝2x+1，A（5，1），B（﹣7，2）． （1）求直线l关于点A的对称直线； （2）若点P在直线l上，求|PA|﹣|PB|的最小值及取最小值时点P的坐标． 解：（1）设直线l关于点A的对称直线上一点为M（x，y）， 可得M（x，y）关于A（5，1）的对称点为M′（10﹣x，2﹣y）必在直线直线l上， 将M′（10﹣x，2﹣y）代入直线l：y＝2x+1，可得2﹣y＝2（10﹣x）+1， 可得2x﹣y﹣19＝0，即直线l关于点A的对称直线为2x﹣y﹣19＝0； （2）如图， 设A关于直线y＝2x+1的对称点为E（m，n），因为A（5，1）， 所以，解得m＝﹣3，n＝5，则E（﹣3，5）， 所以|PA|﹣|PB|＝|PE|﹣|PB|， 结合图形则当B，E，P三点共线时，此时|PE|﹣|PB|取得最小值，即P在Q点位置时，最小值为|PE|﹣|PB|＝﹣|BE|5， 则kBE，直线BQ为y﹣2（x+7），即3x﹣4y+29＝0， 于是，解得x＝5，y＝11，即Q（5，11）， 故|PA|﹣|PB|取得最小值时点P坐标为（5，11）． 题型六：两直线的夹角（到角公式） 例1.直线与直线所成角是（    ） A． B． C． D． 解：直线斜率，直线斜率， 设两直线的夹角为，则， 且，所以.故选：B. 例2.已知等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 . 解：设底边斜率.两腰斜率，，底边与两腰夹角相等： ，原点在底边上，解得.故答案为:3. 跟踪训练： 1.直线的斜率分别为，，夹角为，则（ ） A. B. C. D. 解：两直线夹角公式：. ，.，由三角函数的概念可得，，. .故选:C. 2.直线与直线的夹角是（ ） A. B. C. D. 解：是水平直线，斜率；变形为，斜率. ，，.故选：A. 3.若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（ ） A.或 B.或 C.或 D.或 解：设斜边斜率为，直角边斜率，直角边与斜边夹角. ，， ① ②， 所以斜边斜率为或.故选：C. 4.直线与直线的夹角大小为 . 解：，，，.故答案为：. 5.两条直线与的夹角的大小是 . 解：，，.故答案为：. 6.直线与直线的夹角大小为 . 解：是竖直线，倾斜角；斜率，倾斜角. 两直线夹角：.故答案为：. 7.若正方形一条对角线所在直线的斜率为，则两条邻边所在直线斜率分别为 . 解：设邻边斜率，对角线与邻边夹角，，， ①； ②.故答案为：-3或. （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.若直线与直线互相平行，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或-1 解：因为直线与直线互相平行， 所以有且， 解得，故选：A. 2.已知直线l1：ax+y+a=0与l2：(a-4)x-5y-4=0，则“a=5”是“l1⊥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：由l1⊥l2，得a(a-4)-5=0，解得a=5或a=-1，所以“a=5”是“l1⊥l2”的充分不必要条件. 故选：A. 3.已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（  ） A． B． C． D． 解：的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为 又过点，所以直线方程为，整理可得.故选：D. 4.已知A(4，5)，直线l：y=kx+m，当k变化时，点A到直线l的距离的最大值为5，则m等于(　　) A.3或7 B.3或8 C.2或7 D.2或8 解：当k变化时，直线l恒过定点M(0，m)，所以点A到直线l的距离的最大值为|AM|=5， 即=5，解得m=2或m=8.故选：D. 5.已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,且有一点D满足CD⊥AB,CB∥AD,则D点的坐标为(　　) A.(-1,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1) 解：D(x,y),则kCD==,kAD=.由题意得kAB==3,kCB==-2, ∵CD⊥AB,CB∥AD,∴∴即解得即D(0,1).故选：D. 6.实数满足，则的最小值为（     ） A．2 B．1 C．0 D． 解：，其中为两点与距离的平方， 所以其最小值即为到直线距离的平方，即， 所以的最小值为1，故选：B. 7.光线沿着直线y=-3x+b射到直线x+y=0上,经反射后沿着直线y=ax+2射出,则有(　　) A.a=,b=6 B.a=-3,b= C.a=3,b=- D.a=-,b=-6 解：由题意,直线y=-3x+b与直线y=ax+2关于直线y=-x对称, 所以直线y=ax+2上的点(0,2)关于直线y=-x的对称点(-2,0)在直线y=-3x+b上, 所以(-3)×(-2)+b=0,所以b=-6,所以直线y=-3x-6上的点(0,-6)关于直线y=-x的对称点(6,0)在直线y=ax+2上,所以6a+2=0,所以a=-.故选：D. 8.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，0)，(4，0)，点C的坐标为(m，m)(m>0)，则|CA|+|CB|的最小值是(　　) A.6 B.3 C.2 D.5 解：如图，∵C(m，m)(m>0)， ∴C在直线y=x(x>0)上， 设点A(2，0)关于直线y=x的对称点为A'(x，y)， 则解得故A'(-1，)，∴|A'B|==2， ∵|CA|+|CB|=|CA'|+|CB|≥|A'B|=2， 当且仅当A'，C，B三点共线时等号成立，∴|CA|+|CB|的最小值是2.故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（多选）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．若，则 C．若，则 D．直线的纵截距为 解：对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为， 故A错误； 对于B，，等价于，解得，故B正确； 对于C，若，则，故，故C错误； 对于D，，当时，，所以直线的纵截距为，故D正确． 故选BD． 10.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A.y=x+1 B.y=2 C.y=x D.y=2x+1 解：由题意知,当点M到直线的距离不超过4时,符合要求. 对于A,点M(5,0)到直线y=x+1的距离为=3>4,故不符合; 对于B,点M(5,0)到直线y=2的距离为2-0=2<4,故符合; 对于C,点M(5,0)到直线y=x的距离为=4,故符合; 对于D,点M(5,0)到直线y=2x+1的距离为=>4,故不符合. 故选：BC. 11.(多选)以下四个命题为真命题的是(　　) A.直线l：mx-y+3m+1=0过定点(-3，1) B.点(5，0)关于直线y=2x的对称点的坐标为(3，-4) C.直线x+2y-3=0关于A(1，0)对称的直线方程为x+2y+1=0 D.直线l：x+y+2=0关于直线x+2y-3=0对称的直线方程为x+7y-28=0 解：对于A，m(x+3)-y+1=0，令可得所以直线l过定点(-3，1)，故A正确； 对于B，设点(5，0)关于直线y=2x的对称点的坐标为(a，b)，则有解得则所求对称点的坐标为(-3，4)，故B不正确； 对于C，设所求直线上任意一点为(x，y)，则它关于A(1，0)对称的点(2-x，-y)在直线x+2y-3=0上，则(2-x)-2y-3=0，整理得x+2y+1=0，故所求直线方程为x+2y+1=0，故C正确； 对于D，设直线l关于直线x+2y-3=0的对称直线为l2，l2一定经过直线l和直线x+2y-3=0的交点，设为P，由可得所以P(-7，5)， 在直线l上任取一点Q(-2，0)，则其关于直线x+2y-3=0的对称点Q'(a，b)一定在l2上， 所以解得所以Q'(0，4)，P(-7，5)在直线l2上，所以=，化简可得x+7y-28=0，故所求直线方程为x+7y-28=0，故D正确.故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知直线与直线，若，则 ． 解：若，则， 所以或． 当时，，重合；当时，符合题意． 故答案为：. 13.一条光线从点P(0，1)射出，与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　. 解：点P(0，1)关于x轴的对称点为P'(0，-1)，故P'(0，-1)，Q(2，0)在反射光线所在的直线上，故直线方程为+=1，即x-2y-2=0.故答案为：x-2y-2=0. 14.已知实数a，b，c，d满足==，则(a-c)2+(b-d)2的最小值为　　　　　　. 解：由题意知实数a，b，c，d满足==，则3a-4b=0(b≠0)，3c-4d+9=0(d≠3)， 故点(a，b)在直线3x-4y=0上，点(c，d)在直线3x-4y+9=0上， 而(a-c)2+(b-d)2表示点(a，b)和点(c，d)之间的距离的平方， 故(a-c)2+(b-d)2的最小值为两平行直线3x-4y=0和3x-4y+9=0之间距离的平方， 最小值为=.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 解：（1）因为 ，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 16.（15分）如图，平行四边形的面积为8.为原点，点的坐标为，点在第一象限. (1)求直线的方程； (2)若，求点的坐标. 解：(1)因为四边形是平行四边形，所以，所以. 设直线的方程为，即. 因为平行四边形的面积为8，，所以与间的距离为. 又直线的方程为，所以，解得. 由图可知，所以.故直线的方程为. （2）设点的坐标为.因为，所以. 所以，解得或.故点的坐标为或. 17.（15分）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 解：（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 18.（17分）唐代诗人李颁的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗 中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发， 先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？ 在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A（4，1），军营所在位置为B（3，5），河岸线所在直线的方程为x+y﹣3＝0． （1）求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； （2）设“将军饮马”路程最短时的饮马点为C，在△ABC中，求BC边上的高所在直线的方程． 解：（1）由题意可知A，B在x+y﹣3＝0的同侧， 设点B关于直线x+y﹣3＝0的对称点为B1（a，b）， A，C，B1三点共线满足题意，点C为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即B1（﹣2，0）， 此时“将军饮马”走过的总路程为； （2）由（1）知，故直线方程为，故直线AB1的方程是x﹣6y+2＝0，联立，解得， 即将军在河边饮马的地点的坐标为，此时直线BC的斜率为6， 根据两直线垂直可得BC边上的高所在直线的斜率为， 则BC边上的高所在直线的方程为y﹣1（x﹣4），即x+6y﹣10＝0． 19.（17分）已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1)点A关于直线l的对称点A'的坐标; (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点A对称的直线l'的方程. 解：(1)设A'(x,y),则 解得即A'. (2)在直线m上取一点,如M(2,0), 则M(2,0)关于直线l的对称点必在m'上. 设对称点为M'(a,b), 则 解得即M'. 设m与l的交点为N,则由 得N(4,3).又m'经过点N(4,3), ∴由两点式得直线m'的方程为 9x-46y+102=0. (3)法一　在l:2x-3y+1=0上任取两点, 如P(1,1),N(4,3), 则P,N关于点A的对称点P',N'均在直线l'上. 易知P'(-3,-5),N'(-6,-7), 由两点式可得l'的方程为2x-3y-9=0. 法二　设Q(x,y)为l'上任意一点, 则Q(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为 Q'(-2-x,-4-y). ∵Q'在直线l上, ∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即直线l'的方程为2x-3y-9=0. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2 两条直线的位置关系 知识点一、两条直线的位置关系 1.直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0的位置关系如下表: 位置关系 l1,l2满足的条件 l3,l4满足的条件 平行 k1=k2且b1≠b2 A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0 垂直 k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0 相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 2.平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3.垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 知识点二、两条直线的交点坐标 1.两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标是方程组的解,解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 2.两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3.直线系方程 过直线l1：A1x+B1y+C1＝0与l2：A2x+B2y+C2＝0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+ B2y+C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 知识点三、距离公式 1.两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|=. 特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=. 2.点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=. 3.两条平行线间的距离公式 一般地,两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离d=. 知识点四、点、线间的对称关系 1.点关于点对称：点P（x1，y1）关于点Q（x0，y0）的对称点为（2x0－x1，2y0－y1）. 证明：设点（x1，y1）关于点Q（x0，y0）的对称点为P'（x2，y2），则根据中点坐标公式，有，则：，可得对称点P'的坐标为（2x0－x1，2y0－y1）. 2.点关于直线对称：设点P（x1，y1）关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为P'（x2，y2）. 证明：点P（x1，y1）关于直线l：Ax+By+C=0对称的点为P'（x2，y2），连接PP'，交l于M点，则l垂直平分PP'，所以PP'⊥l，且M为PP'的中点，又因为M在直线l上，故可得 ，解出（x2，y2）即可． 3.直线关于点对称 （1）在已知直线上取两点，求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； （2）求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4.直线关于直线对称 已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程. 若l1不平行于l2，则： 第一步：联立l1，l2算出交点（x0，y0）. 第二步：在l1上任找一点（非交点）B（x1，y1），利用点关于直线对称的方法算出对称点B'（x2，y2）. 第三步：利用两点式写出l3方程. 知识点五、两直线的夹角（到角公式） 1.夹角的正切公式：已知两条直线的夹角为（）且两条直线的斜率为，. 注：两直线的夹角指的是两直线所成的小于等于90°的角，当夹角为90°时， k不存在；当k存在时， 始终为正. 2.夹角的余弦公式：设直线分别为则两直线的方向向量分别为 则两直线夹角为. 3.到角公式：将直线逆时针方向旋转到与直线第一次重合时所转的角为 , 则. 题型一：两条直线的平行和垂直 例1.已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 例2.若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 例3.(多选)已知直线l1：x+ay-a=0和直线l2：ax-(2a-3)y-1=0，下列说法正确的是(　　) A.当a=-1时，l1的一个方向向量为(1，1) B.若l1∥l2，则a=1 C.若l1⊥l2，则a=0或a=2 D.当a>0时，l1始终不经过第三象限 跟踪训练： 1.已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2.设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 3.设λ∈R,则“λ=1”是“直线3x+(λ-1)y=1与直线λx+(1-λ)y=2平行”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.已知直线l1：(2a+1)x+ay+1=0，l2：(a+2)x+ay+2=0，则“a=1”是“l1∥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若a,b为正实数,直线2x+(2a-4)y+1=0与直线2bx+y-2=0互相垂直,则ab的最大值为　　　　.  6.已知直线l1：ax-(a-1)y+6=0，直线l2：x+2y+4=0，若l1⊥l2，则a=　　 　. 7.已知直线，直线，若 ，则实数的值为　　　. 8.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0. （1）试判断l1与l2是否平行; （2）当l1⊥l2时,求a的值. 题型二：两直线的交点问题 例1.经过两直线l1:2x-y+3=0与l2:x+2y-1=0的交点,且平行于直线3x+2y+7=0的直线方程是(　　) A.2x-3y+5=0 B.2x+3y-1=0 C.3x+2y-2=0 D.3x+2y+1=0 例2.直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练： 1.直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2.已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 3.过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 4.若直线和直线的交点在轴上，则的值是( ) A. B. C. D. 5.若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.（多选）已知三条直线相交于一点，则的值为( ) A. B. C. D. 题型三：距离问题 例1.已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 例2.平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 例3.若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：5x-12y+2=0与l2：5x-12y+8=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A. B. C. D. 跟踪训练： 1.已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 2.若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 3.已知，直线，若，则与之间的距离为 . 4.直线4x+3y-5=0与8x+6y+a=0(a<0)之间的距离为2，则实数a等于(　　) A.-20 B.-30 C.-20 D.-30 5.已知直线l1：y=x和l2：x-2y+1=0的交点为P，则点P到直线y=kx+1的距离的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(0，1] C.[0，1) D.∪ 6.已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 7.已知x＋y－3＝0，则的最小值为 . 8.已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)． （1）在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小； （2）在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大． 题型四：直线系方程 例1.过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 例2.已知两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点为P,过点P且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为　　　　　　.  跟踪训练： 1.过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（     ） A． B． C． D． 2.过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为　　　　　　　　.  3.经过点和两直线；交点的直线方程为 . 4.经过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程为　　　　　　　　.  5.过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 题型五：点、线间的对称问题 例1.已知不同的两点P（a，-b）与 Q（b+1，a-1）关于（3,4）对称，则ab= . 例2.已知直线l：y=3x+3，则点P（4,5）关于l的对称点的坐标为 . 例3.求直线l1：3x﹣y+3＝0关于直线l：x﹣y+2＝0对称的直线l2方程　 　． 例4.光线经过点A（1，），经直线l：x+y+1＝0反射，反射线经过点B（1，1），则入射线 所在直线方程为 ；反射点的坐标为 ． 跟踪训练： 1.点A（2，2）关于直线2x﹣4y+9＝0的对称点的坐标为　 　． 2.已知点A（1，3）关于直线l的对称点为B（﹣5，1），则直线l的方程为　 　． 3.直线2x﹣y+3＝0关于直线x﹣y+2＝0对称的直线方程是　 　． 4.点（2，2）关于直线x﹣y+3＝0的对称点坐标是　 　． 5.已知直线l：y＝3x+3，那么直线x﹣y﹣2＝0关于直线l对称的直线方程为 　． 6.已知直线l：y＝3x+7，试求： （1）直线y＝x+3关于直线l对称的直线方程； （2）直线l关于A（4，2）对称的直线方程． 7.已知直线l：2x﹣y﹣1＝0，动点P（x，y）在直线l上． （1）若A（0，4），B（﹣2，0），求|PA|+|PB|的最小值并求此时点P的坐标； （2）若A（0，4），C（4，1），求|PC|﹣|PA|的最大值并求此时点P的坐标． 8.已知直线l：y＝2x+1，A（5，1），B（﹣7，2）． （1）求直线l关于点A的对称直线； （2）若点P在直线l上，求|PA|﹣|PB|的最小值及取最小值时点P的坐标． 题型六：两直线的夹角（到角公式） 例1.直线与直线所成角是（    ） A． B． C． D． 例2.已知等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 . 跟踪训练： 1.直线的斜率分别为，，夹角为，则（ ） A. B. C. D. 2.直线与直线的夹角是（ ） A. B. C. D. 3.若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（ ） A.或 B.或 C.或 D.或 4.直线与直线的夹角大小为 . 5.两条直线与的夹角的大小是 . 6.直线与直线的夹角大小为 . 7.若正方形一条对角线所在直线的斜率为，则两条邻边所在直线斜率分别为 . （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.若直线与直线互相平行，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或-1 2.已知直线l1：ax+y+a=0与l2：(a-4)x-5y-4=0，则“a=5”是“l1⊥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（  ） A． B． C． D． 4.已知A(4，5)，直线l：y=kx+m，当k变化时，点A到直线l的距离的最大值为5，则m等于(　　) A.3或7 B.3或8 C.2或7 D.2或8 5.已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,且有一点D满足CD⊥AB,CB∥AD,则D点的坐标为(　　) A.(-1,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1) 6.实数满足，则的最小值为（     ） A．2 B．1 C．0 D． 7.光线沿着直线y=-3x+b射到直线x+y=0上,经反射后沿着直线y=ax+2射出,则有(　　) A.a=,b=6 B.a=-3,b= C.a=3,b=- D.a=-,b=-6 8.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，0)，(4，0)，点C的坐标为(m，m)(m>0)，则|CA|+|CB|的最小值是(　　) A.6 B.3 C.2 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（多选）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．若，则 C．若，则 D．直线的纵截距为 10.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A.y=x+1 B.y=2 C.y=x D.y=2x+1 11.(多选)以下四个命题为真命题的是(　　) A.直线l：mx-y+3m+1=0过定点(-3，1) B.点(5，0)关于直线y=2x的对称点的坐标为(3，-4) C.直线x+2y-3=0关于A(1，0)对称的直线方程为x+2y+1=0 D.直线l：x+y+2=0关于直线x+2y-3=0对称的直线方程为x+7y-28=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知直线与直线，若，则 ． 13.一条光线从点P(0，1)射出，与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　. 14.已知实数a，b，c，d满足==，则(a-c)2+(b-d)2的最小值为　　　　　　. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 16.（15分）如图，平行四边形的面积为8.为原点，点的坐标为，点在第一象限. (1)求直线的方程； (2)若，求点的坐标. 17.（15分）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 18.（17分）唐代诗人李颁的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗 中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发， 先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？ 在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A（4，1），军营所在位置为B（3，5），河岸线所在直线的方程为x+y﹣3＝0． （1）求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； （2）设“将军饮马”路程最短时的饮马点为C，在△ABC中，求BC边上的高所在直线的方程． 19.（17分）已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1)点A关于直线l的对称点A'的坐标; (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点A对称的直线l'的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $