第8章 8.2 两条直线的位置关系（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §8.2两条直线的位置关系 ★[考试要求] 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间 的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 复盘>必备知识 学生用书P161 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 (3)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和L2:A2x 1.两条直线的位置关系 十B2y十C2=0的交点的直线系方程：A1x十B1y 直线L1:y=k1x十b1,l2:y=k2x十b2,Lg:A1x+B1y +C1十入(A2x十B2y十C2)=0(A∈R),这个直线系 +C1=0,L4:A2x+B2y+C2=0(其中1与L3是同 不包括直线L2:A2x十B2y十C2=0,解题时，注意 一直线，l2与4是同一直线，l3的法向量y1=(A1, 检验2是否满足题意，以防漏解. B1),l4的法向量v2=(A2,B2)的位置关系如下表： 2.五种常见的对称 (1)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,一y),关于y轴 位置 法向量满 4,l2满足 3,4满足的条件 的对称点为（一x,y). 关系 足的条件 的条件 (2)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于 k1=k2 A1B2-A2B1=0且 直线y=-x的对称点为（一y,一x). 平行 y1∥2 且b1≠bg A1C2-A2C1≠0 (3)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a一x,y), 关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). 垂直 1⊥2 k1·k2=一1 A1A2+B1B2=0 (4)点(.x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). (5)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k一y, 相交 v1与2 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 k一x),关于直线x一y=k的对称点为(k十y,x一k). 不共线 3.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 2.三种距离公式 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式. (1)两点间的距离公式 (2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为 ①条件：点P1(x1y1),P2(x2y2). 般式，且x,y的系数对应相等. ②结论：PP2=√(x2-x1)2+(y2-y1)2. 自主诊断查验 ③特例：点P(x,y)到原点O(0,0)的距离|OP 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或 =√x+y. “X”) (2)点到直线的距离 (1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然。 点P(xo,yo)到直线l:Ax十By十C=0(A,B不同 (×) 时为0)的距离d=Ax。十B,+C (2)如果两条直线1与2垂直，那么它们的斜率之积 √A+B 一定等于-1. (×) (3)两条平行直线间的距离 (3)点P(xo,yo)到直线y=.x十b的距离为 两条平行直线l1:Ax十By十C1=0与l2:Ax+By |kx。+b (×) +C2=0(C1≠C2)之间的距离d= IC-C2 √1+k √A+B 2.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y十3=0的距离 知识拓展用活 为1，则a等于 1.三种常见的直线系方程 A.√2 B.2-√2 (1)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Ax+ C.√2-1 D.√2+1 By+C。=0(C≠C,). 解析：C[由题意得a-2+3=1,即a十1= (2)垂直于直线Ax十By十C=0的直线系方程：Bx √2 Ay+C。-0. √2，又a>0,.a=√2-1.] ·206· 第八章直线和圆、圆锥曲线 3.直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx十3y-2=0 4.两条平行直线1：2x十3y-8=0,l2:2x+3y-10=0 平行，则m等于 之间的距离为 A.2 B.-3 解析：因为1∥2，所以由两条平行直线间的距离 C.2或-3 D.-2或-3 公式得d=-8-(-10)1=213 解析：C[直线2x十(m+1)y十4=0与直线mx+ √22+32 13 3y-2=0年行.则有品-m子名加0，故m 答案.2√1③ 13 =2或-3.] 跃升>关键能力 学生用书P162 核心考点分类突破 题型1 两条直线的平行与垂直 解法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x一3y 十m=0, [例1](1)[多选]已知直线L1:A1x+B1y+C1=0 2x+3y+1=0, 和直线L2:A2x十B2y+C2=0,则下列说法正确 由方程组 (x-3y+4=0, 的是 ) A.若A2=0,则l2表示与x轴平行或重合的直线 可每得文点为（音号} B.直线1可以表示任意一条直线 代入4.x-3y十m=0得m=9, C.若A1B2-A2B1=0,则l1∥L2 故所求直线方程为4x-3y十9=0. D.若A1A2十B1B2=0,则L1⊥2 解法三：由题意知直线x一3y十4=0不满足条件， [解析]对于A,当A2=0时，L2斜率为0，与x轴 设所求直线方程为(2x+3y+1)十入(x-3y十4) 平行或重合，故A正确；对于B,当B1=0时，l1斜 =0, 率不存在，当B1≠0时，L1斜率存在，能表示任意直 即(2+入)x+(3-3λ)y+1十4λ=0，① 线，故B正确；对于C,若A1B2-A2B1=0,且A1C2 又因为所求直线与直线3.x十4y-7=0垂直， -A,C1≠0或B,C2-B,C1≠0，则l1∥l2,故C错 所以3(2+A)+4(3-3入)=0，所以A=2, 误；对于D,若B1B2≠0，则由A1A2十B1B2=0可 代入①式得，所求直线方程为4.x-3y十9=0. 得斜率之积为-1，故l1⊥l2,若B1=0(B2=0),可 [答案]4x-3y十9=0 得A2=0(A1=0),此时满足A1A2十B1B2=0,此时 两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故11⊥ 规律方法 L2,故D正确. 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直 [答案]ABD 线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况， (2)经过两条直线2x十3y+1=0和x-3y+4=0 也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注 的交点，并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方 意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件. 程为 2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直 2x+3y+1=0, 线方程的系数间的关系得出结论， [解析] 解法一：由方程组 -3y+4=0, 日跟踪训练 5 3 1.已知直线l1:2.x-ay十1=0，l2:(a-1)x-y+a=0, 解得 即文点为(-号·) 则“a=2”是“l1∥L2”的 y 9 A.充分不必要条件 因为所求直线与直线3.x十4y一7=0垂直， B.必要不充分条件 所以所求直线的针率为及=青 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 由点斜式得所求直线方程为y一哥-气+号)】 台a=2.] 即4x-3y十9=0. 解析：C[4/4,台aa-1)=2 1a2≠1 ·207· 高考总复习数学 2.已知直线l1:a.x十2y十3a=0和直线l2:3x十(a [解析]若所求直线的斜率存在，则可设其方程为 1)y十7一a=0,下列说法正确的是 y-2=k(x-1),即k.x-y-k+2=0, A.当a=号时，4,1山 由题设有2k-3-6十2-10十5-+2 √1+k √1+k B.当a=-2时，l1∥l2 即k-1=|7-k|,解得k=4. C.直线l1过定点（一3,0），直线l2过定点（一1,1） 此时直线方程为4x一y一2=0. D.当4，山4平行时，两直线的距离为3丽 若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x=1经 检验，满足题设条件 解析：AD[对于A,当Q=会时，那么直钱（为 故所求直线的方程为4x一y一2=0或x=1. 号+2y+8=0,直线4为3-是y+7-号=0… [答案]4x-y-2-0或x=1 规律方法 此时两直线的斜率分别为1=一青和，=5，所以 两平行线间的距离的求法 有k1·k2=一1，所以l1⊥l2,故A选项正确；对于 ①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一 B,当a=-2时，那么直线l1为x-y十3=0，直线 条直线上任意一点到另一条直线的距离； l2为x一y十3=0，此时两直线重合，故B选项错 ②利用两平行线间的距离公式求解，利用公式前需 误；对于C,由直线l1:a.x十2y十3a=0,整理可得a 把两平行线方程化为一般式，且x,y的系数对应 (x十3)十2y=0,故直线l1过定点（一3,0），直线 相等，即一定要化成l1:Ax十By十C1=0,l2:Ax十 l2:3x+(a-1)y+7-a-0,整理可得a(y-1)+ By十C2=0的形式. 3x-y十7=0，故直线l2过定点（一2,1），故C选项 跟踪训练 错误；对于D,当1，l2平行时，两直线的斜率相等， 1.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5 即-名=-“兮，解得a=3或a=一2，当a=-2 a =0上任意一点，则|PQ的最小值为 时，两直线重合，舍去；当a=3时，直线l1为3x十 A号 B. c器 D 2y+9=0,l2为3.x十2y十4=0，此时两直线的距离 d=9-4纠=5S,故D选项正确.] 解析：C[因为音-合≠，所以两直线平行， √32+22 13 将直线3.x+4y-12=0化为6x+8y-24=0,由题 题型2 两直线的交点与距离问题 意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距 [例2](1)两条平行直线2x-y十3=0和a.x+3y-4 离，即4-器所以PQ的最小位为器] =0间的距离为d,则a,d的值分别为 ( √62+8 A.a=6,d= 6 2.点(0，一1)到直线y=k(x十1)距离的最大值为 3 B.a=-6,d=5 3 ( C.a=6,d= D.a=-6,d=y6 A.1 B.√2 C.5 D.2 3 3 解析：B[由y=k(x十1)可知直线过定点P(一1,0)， [解析]由题知2X3=一a,解得a=一6， 设A(0,-1),当直线y=k(x十1)与AP垂直时，点A 又-6x十3y-4=0可化为2x-y+3=0, 到直线y=k(.x十1)的距离最大，即为AP|=√2.] 题型3〔 对称问题 .d 5 √5 31 [角度1]点关于点中心对称 [答案]B [例3-1]过点P(0,1)作直线1使它被直线1：2x (2)己知直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，一5) 十y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P 的距离相等，则此直线的方程为 平分，则直线的方程为 ·208· 第八章直线和圆、圆锥曲线 [解析]设l1与l的交，点为A(a,8-2a), 跟踪训练 则由题意知，点A关于点P的对称点B(一a,2a一6) 已知直线l:2.x-3y+1=0,点A(-1,-2).求： 在l2上，代入l2的方程得-a-3(2a-6)十10=0， (1)点A关于直线（的对称点A'的坐标； 解得a=4,即点A(4,0)在直线1上， (2)直线m:3.x-2y-6=0关于直线l的对称直线 所以由两点式得直线1的方程为x十4y一4=0. m'的方程； [答案]x十4y-4=0 (3)直线1关于点A的对称直线'的方程. [角度2]点关于直线对称 解：(1)设A'(x,y),由已知条件得 [例3一2]若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2) 〔y+2.2 33 x+1·3 =一1 x= 13 与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m,n)重合，则m十n 解得 2.1-3.y2 4 2 2 +1=0, y-13 [解析] 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连 A(路) 线的中垂线，即直线y=2x一3，它也是点(7,3)与点 (2)在直线m上取一点，如M(2,0),则M(2,0)关 3+n=2×7+m-3, 2 于直线l的对称点M'必在直线m'上. (m,n)连线的中垂线，于是 设对称点M(a,b), n-3 1 m-7 -2 2.0+2-3.b+0+1=0. 2 2 3 m= 则 解得 故m十n 34 导1 31 n 5 解得a=高0-器4w(信) [答案] 34 设直线m与直线l的交点为N, [角度3]直线关于直线的对称问题 必 2.x-3y+1=0, 得N(4,3). 3x-2y-6=0, [例3-3]直线2x-y+3=0关于直线x-y十2=0 对称的直线方程是 又m经过点N4.3m(g): A.x-2y+3=0 B.x-2y-3=0 .由两点式得直线m的方程为9x一46y十102=0. C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0 (3)解法一：在l:2x-3y十1=0上任取两点， [解析]设所求直线上任意一点P(x,y),则P关 如P(1,1),Q(4,3),则P,Q关于点A(-1,-2)的 于x-y十2=0的对称点为P'(x0yo), 对称点P',Q均在直线'上， e十x0_y+0+2=0, 易得P(-3,-5),Q'(-6,-7), 由 2 2 得 x0=y-2, 再由两，点式可得直线的方程为2x一3y一9=0. x-x=-（y-yo), (yo=x+2, 解法二：l∥1， .设的方程为2x-3y十C=0(C≠1). 由点P(xo,y)在直线2x-y十3=0上， 点A(-1,一2)到两直线1,1'的距离相等， 则2(y-2)-(x+2)十3=0，即x-2y十3=0. [答案]A ·由点到直线的距离公式，得一2+6十C √22+3 规律方法 -2+6+1山，解得C=-9,C=1(含） 对称问题的解题策略 √2+3 解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式， .直线1的方程为2x-3y-9=0. 而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问 解法三：设P(x,y)为'上任意一点， 题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点 则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P'(一2 -x,-4-y). 的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称 点P在直线L上， 轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程， .2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 由“平分”列出一个方程，联立求解， 即2x-3y-9=0. ·209·