8.3 圆的方程讲义-2027届高三数学一轮复习

8.3 圆的方程 知识点一、圆的定义和圆的方程 1.圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. 2.圆的标准方程和一般方程 方程 标准 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心C(a,b) 半径为r 一般 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 充要条件:D2+E2-4F>0 圆心坐标: 半径r= 3.圆的参数方程 圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的参数方程为，其中为参数. 知识点二、点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|=r⇔M在圆上，即(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔M在圆内. 知识点三、求轨迹方程 1.轨迹：指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常把图形看作点的轨迹，比如直线、圆等. 2.轨迹方程：点M的轨迹方程是指点M的坐标（x，y）满足的关系式. 3.坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系. （2）设点：用（x，y）表示轨迹（曲线）上任意一点M的坐标. （3）列式：列出关于x，y的方程. （4）化简：把方程化为最简形式. （5）证明：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 4.相关点法求轨迹方程的步骤 （1）设C上的动点P坐标为（x，y），已知曲线C1上的动点P0坐标为（x0，y0）. （2）根据P（x，y）和P0（x0，y0）两者间的关系求出对应的坐标关系式. （3）把P0（x0，y0）的坐标按对应关系式代入C1的方程. （4）化简整理得曲线C的方程. 题型一：圆的方程 例1.下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是（    ） A． B． C． D． 例2.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　 　.  跟踪训练： 1.已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 2.圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为(　　) A. B.2 C.3 D.3 3.经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4.已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（   ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 6.若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=-2x+3上运动,当半径最小时,圆的方程为　　　　　　　　.  7.设☉M的圆心M在直线2x+y-1=0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为　　　　　　　　. 题型二：判断点与圆的位置关系 例1.若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2.已知点，圆，若点在圆上，则实数 .若点在圆外，则实数的取值范围为 . 跟踪训练： 1.点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不确定 2.已知是方程的两个不相等的实数根，则点与圆的位置关系是( ) A.点在圆内 B.点在圆外 C.点在圆上 D.无法确定 3.已知点关于直线对称的点在圆上，则（    ） A．4 B．5 C．-4 D．-5 4.“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.已知点M(，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为 ． 6.已知点A(1,2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围： （1）点A在圆的内部； （2）点A在圆上； （3）点A在圆的外部． 题型三：与圆有关的轨迹问题 例1.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例2.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，点B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． （1）求线段AP中点的轨迹方程； （2）若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 跟踪训练： 1.在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 2.已知圆C：(x-1)2+(y-1)2=1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|=2，则点A的轨迹方程是(　　 ) A.y2=4x B.x2+y2-2x-2y-3=0 C.x2+y2-2y-3=0 D.y2=-4x 3.若点P(x，y)到两定点A(-3，0)和B(3，0)的距离的比等于2，则动点P的轨迹方程是　　　　　　　　　. 4.已知圆C：(x-3)2+y2=9，D是圆C上的动点，点E(2，4)，若动点M满足=2，则点M的轨迹方程为(　　) A.+(y-2)2= B.(x-1)2+(y-8)2=9 C.(x-5)2+(y-8)2=9 D.(x-8)2+(y-1)2=9 5.已知A,B是☉C:(x-2)2+(y-4)2=25上的两个动点,P是线段AB的中点,若|AB|=6,则点P的轨迹方程为(　　) A.(x-4)2+(y-2)2=16 B.(x-2)2+(y-4)2=11 C.(x-2)2+(y-4)2=16 D.(x-4)2+(y-2)2=11 6.若长为10的线段的两个端点A,B分别在x轴和y轴上滑动,则线段AB的中点M的轨迹方程为　　　　.  7.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程． 8.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(-1，0)，B(3，0).求： （1）直角顶点C的轨迹方程； （2）直角边BC的中点M的轨迹方程. 题型四：与圆有关的最值问题 例1.(多选)已知圆C：x2+y2-6x-4y+5=0，则下列说法正确的是(　　) A.y-x的最大值为3 B.x+y的最大值为7 C.的最大值为6+2 D.x2+y2的最大值为21+4 例2.已知x，y∈R，且圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求(x＋2)2＋(y－2)2的最大值与最小值． 跟踪训练： 1.已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2.已知点，，过点作直线交圆：于，两点，的中点为，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 3.已知A(0，2)，点P在直线x+y+2=0上，点Q在圆C：x2+y2-4x-2y=0上，则|PA|+|PQ|的最小值是　　　　　　. 4.已知实数x,y满足 x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(　　) A.1+ B.4 C.1+3 D.72 5.设点P(x,y)是圆:x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则·的最大值为　　　　.  6.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值． 7.已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点． （1）求的最大值与最小值； （2）求x－2y的最大值与最小值． 8.已知点(x,y)在圆(x-2)2+(y+3)2=1上, 求:（1）的最大值和最小值; （2）x+y的最大值和最小值; （3）的最大值和最小值. （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.圆心为且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2.“关于x，y的方程x2+y2+mx+4y+8=0表示圆”是“m>4”的(　　) A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列各点中,在圆(x-1)2+(y+2)2=25的内部的是(　　) A.(0,2) B.(3,3) C.(-2,2) D.(4,2) 4.若方程x2+y2+2ax-4ay-10a=0表示圆,则实数a的取值范围为(　　) A.(-2,0) B.(-∞,-2)∪(0,+∞) C.[-2,0] D.(-∞,-2]∪[0,+∞) 5.在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数（   ） A． B． C． D． 6.点P在圆x2+y2=36上运动，它与点Q(4，0)所连线段的中点为M，则点M的轨迹方程为(　　) A.(x-2)2+y2=9 B.(x+2)2+y2=9 C.x2+(y-2)2=9 D.x2+(y+2)2=9 7.已知点P(x,y)为圆C:x2+y2-4x+3=0上一点,C为圆心,则·(O为坐标原点)的取值范围是(　　) A.[-3,1] B.[-1,1] C.[-1,3] D.[1,3] 8.已知点A(1,0),B(-2,0),动点P满足=2,则下面结论错误的为(　 　) A.点P的轨迹方程为(x+3)2+y2=4 B.点P到原点O的距离的最大值为5 C.△PAB面积的最大值为4 D.·的最大值为18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（多选）已知圆的圆心到直线与距离为，则实数的值为（   ） A． B． C．14 D． 10.（多选）若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则下列结论正确的是(　　) A.F=4 B.圆关于直线y=-2x对称 C.圆与y轴相切 D.的最大值为9 11.(多选)已知圆C：(x-2)2+y2=1，点P(x0，y0)是圆C上的任意一点，则以下说法正确的是(　　) A.的取值范围是 B.x0+2y0的最大值为3 C.的最小值为+1 D.|x0+y0+2|的最小值为4- 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 13.若P是圆C：(x-1)2+(y-)2=1上的一个动点，O是坐标原点，A(，1)，则·的最小值为　　　　　　. 14.已知直线l:3x+4y+m=0,圆C:x2+y2-4x+2=0,则圆C的半径r=　　 　　;若在圆C上存在两点A,B,在直线l上存在一点P,使得∠APB=90°,则实数m的取值范围是　 　　　.  四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1，3)，B(3，3)两点. （1）求圆C的方程； （2）若P为圆C上任意一点，定点M(8，0)，点Q满足=3，求点Q的轨迹方程. 16.（15分）已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. （1）求直线的方程； （2）求外接圆的标准方程. 17.（15分）已知曲线. （1）当取何值时，方程表示圆？ （2）求证：不论为何值，曲线必过两定点. （3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值. 18.（17分）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． （1）求圆心为C的圆的一般方程； （2）已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 19.（17分）已知圆C1经过点A(1，3)和B(2，4)，圆心在直线2x-y-1=0上. （1）求圆C1的方程； （2）若M，N分别是圆C1和圆C2：(x+3)2+(y+4)2=9上的点，点P是直线x+y=0上的点，求|PM|+|PN|的最小值，以及此时点P的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3 圆的方程 知识点一、圆的定义和圆的方程 1.圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. 2.圆的标准方程和一般方程 方程 标准 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心C(a,b) 半径为r 一般 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 充要条件:D2+E2-4F>0 圆心坐标: 半径r= 3.圆的参数方程 圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的参数方程为，其中为参数. 知识点二、点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|=r⇔M在圆上，即(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔M在圆内. 知识点三、求轨迹方程 1.轨迹：指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常把图形看作点的轨迹，比如直线、圆等. 2.轨迹方程：点M的轨迹方程是指点M的坐标（x，y）满足的关系式. 3.坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系. （2）设点：用（x，y）表示轨迹（曲线）上任意一点M的坐标. （3）列式：列出关于x，y的方程. （4）化简：把方程化为最简形式. （5）证明：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 4.相关点法求轨迹方程的步骤 （1）设C上的动点P坐标为（x，y），已知曲线C1上的动点P0坐标为（x0，y0）. （2）根据P（x，y）和P0（x0，y0）两者间的关系求出对应的坐标关系式. （3）把P0（x0，y0）的坐标按对应关系式代入C1的方程. （4）化简整理得曲线C的方程. 题型一：圆的方程 例1.下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是（    ） A． B． C． D． 解：因为圆心在上，所以设圆心为, 因为圆的半径为，所以设圆的标准方程为, 因为该圆过原点，所以，解得,所以圆心为或, 当圆心为时，圆的标准方程为，D对; 当圆心为时，圆的标准方程为.故选：D. 例2.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　 　.  解：依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0. ①若圆过(0,0),(4,0),(-1,1)三点,则解得 所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13; ②若圆过(0,0),(4,0),(4,2)三点,则解得 所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5; ③若圆过(0,0),(4,2),(-1,1)三点,则解得 所以圆的方程为x2+y2-x-y=0,即+=; ④若圆过(-1,1),(4,0),(4,2)三点, 则解得 所以圆的方程为x2+y2-x-2y-=0,即+(y-1)2=. 跟踪训练： 1.已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 解：设的外接圆方程为，因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为.故选：D. 2.圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为(　　) A. B.2 C.3 D.3 解：化圆的一般方程为标准方程,得(x-1)2+(y+3)2=10,所以该圆的圆心(1,-3)到直线x-y+2=0的距离为==3.故选：D. 3.经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 解：设经过，，三个点的圆的方程为， 由题意可得，解得，且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为，即为. 故选：C. 4.已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解：圆的标准方程为：，故即或， 故选：D. 5.已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（   ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 解：圆的圆心坐标为，半径为.故选：D. 6.若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=-2x+3上运动,当半径最小时,圆的方程为　　　　　　　　.  解：设圆心坐标为(a,-2a+3), 则圆的半径r===. 当a=时,rmin=.故所求圆的方程为+=. 故答案为：+=. 7.设☉M的圆心M在直线2x+y-1=0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为　　　　　　　　. 解：方法一：设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，则解得 ∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 方法二：设☉M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，则M， ∴解得∴☉M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0， 即(x-1)2+(y+1)2=5. 方法三：设A(3，0)，B(0，1)，☉M的半径为r，则kAB==-，线段AB的中点坐标为， ∴线段AB的垂直平分线方程为y-=3，即3x-y-4=0. 联立解得∴M(1，-1)， ∴r2=|MA|2=(3-1)2+[0-(-1)]2=5，∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 故答案为：(x-1)2+(y+1)2=5. 题型二：判断点与圆的位置关系 例1.若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：由于点在圆的外部， 故，解得，故选：C. 例2.已知点，圆，若点在圆上，则实数 .若点在圆外，则实数的取值范围为 . 解：由题意得，当点在圆上时，有，解得或. 当点在圆外时，，解得或， 即实数的取值范围为.故答案为或；. 跟踪训练： 1.点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不确定 解：由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得点P在圆外．故选：B. 2.已知是方程的两个不相等的实数根，则点与圆的位置关系是( ) A.点在圆内 B.点在圆外 C.点在圆上 D.无法确定 解：由题意，得，所以，所以点在圆内.故选：A. 3.已知点关于直线对称的点在圆上，则（    ） A．4 B．5 C．-4 D．-5 解：设，则，所以. 由题可知，.故选：B. 4.“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解：定点在圆的外部， ，化简得， k的取值范围：或， 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件.故选：B. 5.已知点M(，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为 ． 解：由题意知,即，解得0≤a<1.故答案为：[0,1). 6.已知点A(1,2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围： （1）点A在圆的内部； （2）点A在圆上； （3）点A在圆的外部． 解：(1)因为点A在圆的内部，所以(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，且a不为0，解得a<－2.5. (2)因为点A在圆上，所以(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2，解得a＝－2.5. (3)因为点A在圆的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2>2a2，且a不为0，解得a>－2.5且a≠0. 题型三：与圆有关的轨迹问题 例1.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 解：设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得.故选：D. 例2.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，点B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． （1）求线段AP中点的轨迹方程； （2）若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 解：(1)设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)， ∵，∴.又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|， 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 跟踪训练： 1.在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 解：以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则点、，设点，由可得， 整理可得，化为标准方程得，如下图所示： 所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，因此，点轨迹的长度为. 故选：A. 2.已知圆C：(x-1)2+(y-1)2=1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|=2，则点A的轨迹方程是(　　 ) A.y2=4x B.x2+y2-2x-2y-3=0 C.x2+y2-2y-3=0 D.y2=-4x 解：因为圆C：(x-1)2+(y-1)2=1，所以圆心C(1，1)，半径r=1， 因为点M是圆上的动点，所以|MC|=1，又AM与圆相切，且|AM|=2， 则|AC|==，设A(x，y)，则(x-1)2+(y-1)2=5， 即x2+y2-2x-2y-3=0，所以点A的轨迹方程为x2+y2-2x-2y-3=0.故选：B. 3.若点P(x，y)到两定点A(-3，0)和B(3，0)的距离的比等于2，则动点P的轨迹方程是　　　　　　　　　. 解：|PA|=，|PB|=， 由题意得=2，则=2，整理可得(x+3)2+y2=4(x-3)2+4y2，化简得(x-5)2+y2=16， 则动点P的轨迹方程为(x-5)2+y2=16.故答案为：(x-5)2+y2=16. 4.已知圆C：(x-3)2+y2=9，D是圆C上的动点，点E(2，4)，若动点M满足=2，则点M的轨迹方程为(　　) A.+(y-2)2= B.(x-1)2+(y-8)2=9 C.(x-5)2+(y-8)2=9 D.(x-8)2+(y-1)2=9 解：设M(x，y)，D(a，b)，由=2，得 所以 又因为点D在圆C：(x-3)2+y2=9上，即(a-3)2+b2=9，所以(4-x-3)2+(8-y)2=9， 即(x-1)2+(y-8)2=9，故点M的轨迹方程为(x-1)2+(y-8)2=9.故选：B. 5.已知A,B是☉C:(x-2)2+(y-4)2=25上的两个动点,P是线段AB的中点,若|AB|=6,则点P的轨迹方程为(　　) A.(x-4)2+(y-2)2=16 B.(x-2)2+(y-4)2=11 C.(x-2)2+(y-4)2=16 D.(x-4)2+(y-2)2=11 解：A,B是☉C:(x-2)2+(y-4)2=25上的两个动点,P是线段AB的中点, |AB|=6,圆的半径为5,可得|PC|==4,所以点P的轨迹方程为 (x-2)2+(y-4)2=16.故选：C. 6.若长为10的线段的两个端点A,B分别在x轴和y轴上滑动,则线段AB的中点M的轨迹方程为　　　　.  解：设M(x,y),A(a,0),B(0,b),则=10,a2+b2=100,且∴ 代入a2+b2=100,得4x2+4y2=100,即点M的轨迹方程为x2+y2=25. 故答案为：x2+y2=25. 7.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程． 解：设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，所以4＝，3＝， 于是有x0＝8－x ，y0＝6－y.① 因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动， 所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4， 即(x0＋1)2＋y02＝4，② 把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4， 整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4. 所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4. 8.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(-1，0)，B(3，0).求： （1）直角顶点C的轨迹方程； （2）直角边BC的中点M的轨迹方程. 解：（1）方法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且AC，BC斜率均存在，所以kAC·kBC=-1，又kAC=，kBC=， 所以·=-1，化简得x2+y2-2x-3=0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0)，即(x-1)2+y2=4(y≠0). 方法二：设线段AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0). (2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，且M是线段BC的中点， 所以由中点坐标公式得x=，y=，所以x0=2x-3，y0=2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0)， 将x0=2x-3，y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4(y≠0)，即(x-2)2+y2=1(y≠0). 因此直角边BC的中点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0). 题型四：与圆有关的最值问题 例1.(多选)已知圆C：x2+y2-6x-4y+5=0，则下列说法正确的是(　　) A.y-x的最大值为3 B.x+y的最大值为7 C.的最大值为6+2 D.x2+y2的最大值为21+4 解：因为圆C：x2+y2-6x-4y+5=0，则(x-3)2+(y-2)2=8， 设x=2cos θ+3，y=2sin θ+2，θ∈[0，2π). 对于A，y-x=2sin θ-2cos θ-1=4sin-1，所以当θ=时，y-x取得最大值为3，故A正确；对于B，x+y=2cos θ+2sin θ+5=4sin+5，所以当θ=时，x+y取得最大值为9，故B错误；对于C，设=k，则y=kx，圆C：(x-3)2+(y-2)2=8，圆心C(3，2)，半径r=2，则圆心到直线y=kx的距离小于等于半径，即≤2，所以k2-12k-4≤0，解得6-2≤k≤6+2，所以的最大值为6+2，故C正确；对于D，x2+y2可以看作是圆上某点P到原点O的距离的平方，|OP|2≤(|OC|+r)2=(+2)2=21+4，所以x2+y2的最大值为21+4，故D正确.故选：ACD. 例2.已知x，y∈R，且圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求(x＋2)2＋(y－2)2的最大值与最小值． 解：因为(x－1)2＋(y＋2)2＝4表示以C(1，－2)为圆心，半径r＝2的圆， 所以表示圆上的动点M(x，y)与定点A(－2,2)的距离，如图． 连接AC，直线AC与圆C交于A1，A2. 则当M位于A2位置时，取得最大值， 为|AC|＋r＝＋2＝7. 当M位于A1位置时，取得最小值， 为|AC|－r＝－2＝3. 跟踪训练： 1.已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 解：由圆经过点，可得， 即，故圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，所以圆心到原点的距离的最大值为. 故选：C. 2.已知点，，过点作直线交圆：于，两点，的中点为，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 解：因为为的中点，所以，设，因为， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故的最小值为. 故选：B. 3.已知A(0，2)，点P在直线x+y+2=0上，点Q在圆C：x2+y2-4x-2y=0上，则|PA|+|PQ|的最小值是　　　　　　. 解：因为圆C：x2+y2-4x-2y=0，即(x-2)2+(y-1)2=5， 所以圆C是圆心为C(2，1)，半径r=的圆. 设点A(0，2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m，n)，所以 解得故A'(-4，-2).连接A'C交圆C于Q(图略)，交直线x+y+2=0于P，此时，|PA'|+|PQ|取得最小值，由对称性可知|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|-r=2.故答案为：2. 4.已知实数x,y满足 x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(　　) A.1+ B.4 C.1+3 D.72 解：将方程x2+y2-4x-2y-4=0化为(x-2)2+(y-1)2=9,其表示圆心为(2,1),半径为3的圆. 法一(几何意义法)　设z=x-y,数形结合知,只有当直线x-y-z=0与圆相切时,z才能取到最大值,此时=3,解得z=1±3,故z=x-y的最大值为1+3. 法二(参数方程法)　设圆的参数方程为 则x-y=2+3cos θ-1-3sin θ=1+3cos,故x-y的最大值为1+3. 故选：A. 5.设点P(x,y)是圆:x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则·的最大值为　　　　.  解：由题意,知=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以·=x2+y2-4,由于点P(x,y)是圆上的点, 故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12. 由圆的方程x2+(y-3)2=1,易知2≤y≤4,当y=4时,·的值最大,最大值为6×4-12=12. 故答案为：12. 6.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值． 解：设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2. ∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36. ∴d的最小值为2×16＋2＝34.最大值为2×36＋2＝74. 7.已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点． （1）求的最大值与最小值； （2）求x－2y的最大值与最小值． 解：（1）显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，令＝k，如图所示， 则其最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率． 对上式整理得kx－y－k＋2＝0，∴＝1，∴k＝. 故的最大值是，最小值是. （2）令u＝x－2y，则u＝x－2y可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．依题意，得，解得u＝－2±， 故x－2y的最大值是－2＋，最小值是－2－. 8.已知点(x,y)在圆(x-2)2+(y+3)2=1上, 求:（1）的最大值和最小值; （2）x+y的最大值和最小值; （3）的最大值和最小值. 解：方法一(几何意义法)（1）可视为点(x,y)与原点连线的斜率,的最大值和最小值就是与该圆有公共点且过原点的直线斜率的最大值和最小值,即直线与圆相切时的斜率. 设过原点的直线的方程为y=kx,由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,即=1, 解得k=-2+或k=-2-,∴的最大值为-2+,最小值为-2-. （2）设t=x+y,则y=-x+t,t可视为直线y=-x+t在y轴上的截距, ∴x+y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值,即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,即=1, 解得t=-1或t=--1.∴x+y的最大值为-1,最小值为--1. （3）=, 求它的最值可视为求点(x,y)到定点(-1,2)的距离的最值,可转化为求圆心(2,-3)到定点(-1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(-1,2)的距离为, ∴的最大值为+1,最小值为-1. 方法二(参数方程法)(x-2)2+(y+3)2=1的参数方程为 （1）设==t,即sin θ-tcos θ=2t+3≤,平方有3t2+12t+8≤0,即-2-≤t≤-2+, 即的最大值为-2+,最小值为-2-. （2）x+y=2+cos θ-3+sin θ=sin-1∈[--1,-+1], 即x+y的最大值为-1,最小值为--1. （3）= =∈[,], 即[-1,+1], ∴的最大值为+1,最小值为-1. （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.圆心为且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 解：因为圆心为且与轴相切，所以半径， 则圆的方程为.故选：D. 2.“关于x，y的方程x2+y2+mx+4y+8=0表示圆”是“m>4”的(　　) A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解：若x2+y2+mx+4y+8=0表示圆，则m2+42-4×8>0，解得m<-4或m>4， 故“关于x，y的方程x2+y2+mx+4y+8=0表示圆”是“m>4”的必要不充分条件.故选：A. 3.下列各点中,在圆(x-1)2+(y+2)2=25的内部的是(　　) A.(0,2) B.(3,3) C.(-2,2) D.(4,2) 解：由(0-1)2+(2+2)2<25知(0,2)在圆内; 由(3-1)2+(3+2)2>25知(3,3)在圆外; 由(-2-1)2+(2+2)2=25知(-2,2)在圆上; 由(4-1)2+(2+2)2=25知(4,2)在圆上.故选：A. 4.若方程x2+y2+2ax-4ay-10a=0表示圆,则实数a的取值范围为(　　) A.(-2,0) B.(-∞,-2)∪(0,+∞) C.[-2,0] D.(-∞,-2]∪[0,+∞) 解：由x2+y2+2ax-4ay-10a=0,得(x+a)2+(y-2a)2=5a2+10a, 由该曲线表示圆,可知5a2+10a>0,解得a>0或a<-2.故选：B. 5.在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数（   ） A． B． C． D． 解：如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由对称性可知，点、、圆心三点共线，则，即，解得. 故选：A. 6.点P在圆x2+y2=36上运动，它与点Q(4，0)所连线段的中点为M，则点M的轨迹方程为(　　) A.(x-2)2+y2=9 B.(x+2)2+y2=9 C.x2+(y-2)2=9 D.x2+(y+2)2=9 解：设点M(x，y)，P(x0，y0)，因为M为PQ的中点， 所以则即P(2x-4，2y)， 又因为动点P在圆x2+y2=36上，所以(2x-4)2+(2y)2=36，即(x-2)2+y2=9， 则点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=9.故选：A. 7.已知点P(x,y)为圆C:x2+y2-4x+3=0上一点,C为圆心,则·(O为坐标原点)的取值范围是(　　) A.[-3,1] B.[-1,1] C.[-1,3] D.[1,3] 解：将圆C的方程x2+y2-4x+3=0化为(x-2)2+y2=1,所以圆心C的坐标为(2,0). 所以=(2-x,-y),则=(-x,-y),所以·=x2+y2-2x. 因为x2+y2-4x+3=0,所以x2+y2=4x-3,所以·=4x-3-2x=2x-3. 因为(x-2)2+y2=1,所以1≤x≤3.因为-1≤2x-3≤3,从而·(O为坐标原点)的取值范围为[-1,3]. 故选：C. 8.已知点A(1,0),B(-2,0),动点P满足=2,则下面结论错误的为(　 　) A.点P的轨迹方程为(x+3)2+y2=4 B.点P到原点O的距离的最大值为5 C.△PAB面积的最大值为4 D.·的最大值为18 解：设动点P(x,y),则由=2,得=2,即(x-1)2+y2=4[(x+2)2+y2],化简得x2+y2+6x+5=0, 即(x+3)2+y2=4,所以A正确; 因为点P轨迹是圆心为(-3,0),半径为2的圆,则点P到原点O的距离最大值为 +2=5,所以B正确; 又A,B和点P轨迹的圆心都在x轴上,且|AB|=3,所以当圆的半径垂直于x轴时,△PAB面积取得最大值×3×2=3,所以C错误; 又·=(1-x,-y)·(-2-x,-y)=(1-x)(-2-x)+y2=x2+y2+x-2,因为y2=-x2-6x-5(-5≤x≤-1), 所以·=-5x-7(-5≤x≤-1),则·≤-5×(-5)-7=18, 所以D正确.故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（多选）已知圆的圆心到直线与距离为，则实数的值为（   ） A． B． C．14 D． 解：因为圆的方程为，所以圆心为， 又因为点到直线的距离为， 所以，解得或.故选：. 10.（多选）若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则下列结论正确的是(　　) A.F=4 B.圆关于直线y=-2x对称 C.圆与y轴相切 D.的最大值为9 解：由题意,以(2,-4)为圆心,4为半径的圆的标准方程为(x-2)2+(y+4)2=16,化成圆的一般式为x2+y2-4x+8y+4=0,故A正确; 对于B,因为圆心(2,-4)在直线y=-2x上,所以圆关于直线y=-2x对称,故B正确; 对于C,圆心到y轴的距离d=2<4,则圆与y轴相交,故C错误; 对于D,的几何意义为圆上任意一点(x,y)到点(2,1)的距离,从而的最大值为圆心(2,-4)到点(2,1)距离与半径之和,故的最大值为+4=9,故D正确. 故选：ABD. 11.(多选)已知圆C：(x-2)2+y2=1，点P(x0，y0)是圆C上的任意一点，则以下说法正确的是(　　) A.的取值范围是 B.x0+2y0的最大值为3 C.的最小值为+1 D.|x0+y0+2|的最小值为4- 解：由题可知圆C：(x-2)2+y2=1的圆心为(2，0)，半径为1.设=k，则y0=kx0，又点P(x0，y0)是圆C上的任意一点，则圆心(2，0)到直线y=kx的距离小于等于半径，所以≤1，解得-≤k≤，所以的取值范围是，故A正确； 设x0=2+cos θ，y0=sin θ(0≤θ<2π)，则x0+2y0=2+2sin θ+cos θ=2+sin(θ+φ)，tan φ=， 当sin(θ+φ)=1时，x0+2y0取得最大值2+，故B错误； 表示点P(x0，y0)到点(0，-1)的距离，因为圆心(2，0)到点(0，-1)的距离为，故的最小值为-1，故C错误； |x0+y0+2|=×，表示点P(x0，y0)到直线x+y+2=0距离的倍.因为圆心(2，0)到直线x+y+2=0的距离为=2，故点P到直线x+y+2=0距离的最小值为2-1，故|x0+y0+2|的最小值为×(2-1)=4-，故D正确.故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 解：因为，变形得， 所以，解得.故答案为：. 13.若P是圆C：(x-1)2+(y-)2=1上的一个动点，O是坐标原点，A(，1)，则·的最小值为　　　　　　. 解：方法一：设P(1+cos θ，+sin θ)，0≤θ<2π，则·=cos θ+sin θ+2=2sin+2， 所以当θ+=，即θ=时，·取得最小值，为2-2. 方法二：由点P(x，y)是圆C上的动点，O(0，0)，A(，1)，则·=(x，y)·(，1)=x+y， 令z=x+y，则x+y-z=0，故圆心C(1，)到直线x+y-z=0的距离小于等于半径1， 即≤1，解得2-2≤z≤2+2，故·的最小值为2-2. 故答案为：2-2. 14.已知直线l:3x+4y+m=0,圆C:x2+y2-4x+2=0,则圆C的半径r=　　 　　;若在圆C上存在两点A,B,在直线l上存在一点P,使得∠APB=90°,则实数m的取值范围是　 　　　.  解：圆的标准方程为(x-2)2+y2=2,圆心为C(2,0),半径为r=. 若在圆C上存在两点A,B,在直线l上存在一点P,使得∠APB=90°,过P作圆的两条切线PM,PN(M,N为切点),则由题意得∠MPN≥90°, 而当CP⊥l时,∠MPN最大,只要此最大角≥90°即可, 此时圆心C到直线l的距离为d=|CP|=.所以=≥,解得-16≤m≤4. 故答案为：，[-16,4]. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1，3)，B(3，3)两点. （1）求圆C的方程； （2）若P为圆C上任意一点，定点M(8，0)，点Q满足=3，求点Q的轨迹方程. 解：(1)由题意可知，线段AB的中点为(2，3)，kAB=0，所以线段AB的垂直平分线方程为x=2， 它与x轴的交点为圆心C(2，0)，又半径r=|AC|=， 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10. (2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，由=3，得(8-x0，-y0)=3(8-x，-y)， 所以 又点P在圆C上，故(x0-2)2+=10， 所以(3x-18)2+(3y)2=10， 化简得点Q的轨迹方程为(x-6)2+y2=. 16.（15分）已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. （1）求直线的方程； （2）求外接圆的标准方程. 解：（1）∵线段的垂直平分线为， ∴可知点关于直线对称. ∵，∴，轴，直线. （2）由（1），，，. 设外接圆方程一般式为：， 则，则. 即圆的标准方程为：. 17.（15分）已知曲线. （1）当取何值时，方程表示圆？ （2）求证：不论为何值，曲线必过两定点. （3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值. 解：（1）当时，方程为，表示一条直线； 当时，，表示圆. （2）证明：方程可变形为.由取任何值上式都成立， 则有，解得或，所以曲线过定点，. （3）由（2）知曲线过定点，在这些圆中，以为直径的圆的面积最小，从而以为直径的圆的方程为，圆心，半径. 所以，解得. 18.（17分）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． （1）求圆心为C的圆的一般方程； （2）已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 解：（1）∵圆心C在直线上，不妨设，半径， 则， ∴圆心C坐标为，则圆C的方程为； 其一般方程为. （2）由（1）知圆C的方程为， ∴，∴P在圆C外， ∴的最大值为，最小值为． 19.（17分）已知圆C1经过点A(1，3)和B(2，4)，圆心在直线2x-y-1=0上. （1）求圆C1的方程； （2）若M，N分别是圆C1和圆C2：(x+3)2+(y+4)2=9上的点，点P是直线x+y=0上的点，求|PM|+|PN|的最小值，以及此时点P的坐标. 解：（1）由题意知线段AB的中点坐标为，kAB==1， ∴线段AB的垂直平分线方程为y-=-，即y=5-x， 联立解得 即圆C1的圆心为C1(2，3)，半径r=|AC1|=1， 其方程为(x-2)2+(y-3)2=1. （2）注意到点C1(2，3)和点C2(-3，-4)在直线x+y=0的两侧， 直线x+y=0与两圆分别相离，如图所示. ∴|PM|+|PN|≥|PC1|-1+|PC2|-3≥|C1C2|-4=-4， 当且仅当M，N，P，C1，C2五点共线且M，N在C1，C2之间时等号成立， 则|PM|+|PN|的最小值为-4， 此时点P为直线C1C2与x+y=0的交点， 过C1，C2的直线方程为7x-5y+1=0， 联立解得 ∴点P的坐标为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $