第8章 8.3 圆的方程（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §8.3 圆的方程 ★[考试要求] 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想 复盘>必备知识 学生用书P164 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 (3)方程Ax+Bxy十Cy十Dx十Ey十F=0表示圆的充 1.圆的定义和圆的方程 要条件是A=C≠0，B=0,D+E2-4AF>0.(√) (4)若点M(xo,%)在圆x2+y2+D.x十Ey十F=0 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫 定义 外，则x十y十Dxo十Eyo十F>0. (/) 做圆 2.圆x2+y2一4x十6y=0的圆心坐标和半径分别是 (.x-a)2+(y 圆心C(a,b) 标准 b)2=r2(r>0) 半径为r A.(2,3),3 B.(-2,3),√3 方 程 x2+y2+Dx+ 圆心C( C.(-2,-3),13 D.(2,-3)W13 一般 Ey+F=0(D2 解析：D[圆的方程可化为(x-2)2十(y十3)2= +E2-4F>0) 半径r= /DF+E-IF 13,所以圆心坐标是(2，-3)，半径r=√13.] 3.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2 2.点与圆的位置关系 =0上的圆的方程是 平面上的一点M(xo,yo)与圆C:(x-a)+（y A.(x-3)2+(y+1)2=4 b)2=r2之间存在着下列关系： B.(x+3)2+(y-1)2=4 (1)MC|>r台M在圆外，即(x。-a)2+(yo-b)2> C.(.x-1)2+(y-1)2=4 x2台M在圆外； D.(.x+1)2+(y+1)2=4 (2)|MC|=r台M在圆上，即(x。-a)2+(y。-b)2= 解析：C[设圆心C的坐标为(a,b),半径为r.因 r2台M在圆上； 为圆心C在直线x十y-2=0上，所以b=2-a,又 (3)MC|<r台M在圆内，即(x。-a)2+(y。-b)< 1CA|2=1CB12,所以(a-1)2+(2-a+1)2=(a+ r2台M在圆内. 1)2+(2-a-1)2,所以a=1,b=1.所以r=2.所以 知识拓展用活 方程为(x-1)2+(y-1)2=4.] 1.圆的三个性质 4.[多选]已知圆M的一般方程为x2+y2-8x十6y=0, (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； 则下列说法正确的有 () (2)圆心在任一弦的中垂线上； A.圆M的圆心坐标为(4，-3) (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线。 B.圆M被x轴截得的弦长为8 2.以A(x1,y1),B(.x2,y2)为直径端点的圆的方程为 C.圆M的半径为25 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. D.圆M被y轴截得的弦长为6 自主诊断查验 解析：ABD[圆M的一般方程为x2十y2-8x+ 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/”或 6y=0,则(x一4)2+(y十3)2=25，圆的圆心坐标为 “X”) (4,-3),半径为5，显然C不正确，令x=0,解得y (1)确定圆的几何要素是圆心与半径. (√) =0或-6，令y=0,解得x=0或x=8,ABD均 (2)圆x2+y2=a2的半径为a. (×) 正确.] 跃升>关健能力 学生用书P164 核心考点分类突破 题型1 圆的方程 [解析]设出圆心坐标，根据对称关系列出方程 组，求出圆心坐标，结合半径为3，即可求解. [例1](1)己知半径为3的圆C的圆心与点P(-2, 设圆心坐标C(a,b),由圆心C与，点P关于直线 1)关于直线x一y十1=0对称，则圆C的标准方 y=x+1对称， 程为 () 得到直线CP与y=x十1垂直， A.(x+1)2+(y-1)2=9B.(x-1)2+(y-1)2=81 结合y=x十1的斜率为1， C.x2+(y+1)2=9 D.x2+y2=9 得直线CP的斜率为一1， ·210· 第八章直线和圆、圆锥曲线 所以 =-1,化简得a十b十1=0① 规律方法 求与圆有关的轨迹问题常采用的方法 再由CP的中点在直线y=x十1上，1b=a,2+1, 2 2 (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本 化简得a-b-1=0② 量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质： 联立①②，可得a=0,b=-1, ①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心 所以圆心C的坐标为(0，一1)， 在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切 所以半径为3的圆C的标准方程为x2十(y十1)2=9. 点与两圆圆心三点共线. [答案]C (2)代数法，设出圆的方程，用待定系数法求解。 (2)过四点(0,0)，(4,0)，(-1,1)，(4,2)中的三点 跟踪训练 的一个圆的方程为 [解析]依题意设圆的方程为x2十y2十Dx十Ey 1.已知圆E经过两点A(0,1),B(2,0),且圆心在x +F=0,(D2+E2-4F≯0)， 轴的正半轴上，则圆E的标准方程为 若过(0,0)，(4,0)，(-1,1)， 解析：因为圆E经过点A(0,1),B(2,0),所以圆E F=0 F=0 的圆心在线筏AB的套直平分线y-号-2(x-1D 则16+4D+F=0 ,解得D=-4, 1+1-D+E+F=0 E=-6 上.又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的 所以圆的方程为x2十y2-4x-6y=0,即(.x-2)2 国心坐标为（小 则圆E的半径为|EB|= +(y-3)2=13; 若过(0,0)，(4,0)，(4,2)， √2-)+0-0)=，所以圆E的标准方程 5 F=0 F=0 则16+4D+F=0 ,解得D=-4, 16+4+4D+2E+F=0 E=-2 所以圆的方程为x2十y2一4x-2y=0,即(x-2)2 答案(-+-得 +(y-1)2=5; 2.已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点，且在x 若过(0,0)，(4,2)，(-1,1)， 轴上截得的弦长等于6，则圆C的一般方程为 〔F=0 F=0 则{1+1-D+E+F=0 ,解得D=一8 1 解析：设圆C的方程为x2十y2+Dx十Ey十F=0. 16+4+4D+2E+F=0 E=- 14 由题意可得 2D-4E-F=20,① 3 3D-E+F=-10.② 所以圆的方程为r+y-号1 8.1 3y=0, 在圆C的方程中，令y=0,得x2十Dx十F=0.③ 即-)+(- 设x1,x2是方程③的两根， 由x1-x2=6,得D2-4F=36,④ 若过(-1,1)，(4,0)，(4,2)， 联立①②④得D=-2,E=-4,F=-8或D= F=、16 -6,E=-8,F=0. 1+1-D+E+F=0 故圆C的一般方程为x2十y2-2.x-4y-8=0或 则16+4D+F=0 ,解得 D--16, x2+y2-6x-8y=0. 16+4+4D+2E+F=0 5 E=-2 答案：x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y 所以圆的方程为x2十y2- 9x-2y 16=0,即 =0 题型2〔 与圆有关的轨迹问题 (e-+-1-8 ●[角度1门直接法 [答案](x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y [例2-1]已知线段AB的长度为4，动点M与点A -1=5或(-)+(-)-或 的距离是它与点B的距离的√2倍，则△MAB面积 的最大值为 ( (-)+o-1=器 A.8√2 B.8 C.42 ·211· 高考总复习数学 [解析]以AB的中点为坐 教考衔接上面2024年新课标Ⅱ卷T源于人教 标原点，AB所在直线为x轴 A版选择性必修一P1s例题2 建立平面直角坐标系， 设M(x,y),且A(-2, 如图，在圆x2十y2=4上任取 一点P,过点P作x轴的垂线 0),B(2,0) 段PD,D为垂足.当点P在 由|MA|=√2|MB|,得(x+2)2+y2=2(x-2)2 圆上运动时，线段PD的中点 +2y2, M的轨迹是什么？为什么？ 化简得M的轨迹方程为圆(x一6)2十y2=32,半径 (当点P经过圆与x轴的交 r=42, 点时，规定点M与点P重合.) 如图，有Se<号·ABl·r=8E 解：点P在圆x2十y=4上运动，点P的运动引起 点M运动.我们可以由M为线段PD的中，点得到 [答案]A 点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标 [角度2]定义法 [例2-2]已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=1,点M 满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程 4 是圆上的动点，AM与圆相切，且AM=2,则点A y2=1. 的轨迹方程是 规律方法 A.y=Ax 求与圆有关的轨迹问题常采用的方法 B.x2+y2-2x-2y-3=0 根据题设条件的不同常采用以下方法： C.x2+y2-2y-3=0 (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； D.y2=-4x (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； [解析]因为圆C:(x-1)2+(y-1)2=1, (3)几何法，利用圆的几何性质列方程； 所以圆心C(1,1),半径r=1, (4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知 因为点M是圆上的动点，所以MC=1, 点满足的关系式等， 又AM与圆相切，且AM=2, 则|AC=√TMC+AMz=√5， 跟踪训练 设A(x,y),则(x-1)2+(y-1)2=5, 已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3, 即x2+y2-2x-2y-3=0, 0).求： 所以点A的轨迹方程为x2十y2-2x-2y一3=0. (1)直角顶点C的轨迹方程； [答案]B (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. ♪[角度3]相关点法数 解：(1)解法一：设C(x,y),因为A,B,C三点不共 [例2一3](2024·新课标全国Ⅱ卷，T,)已知曲线 线，所以y≠0. C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴 因为AC⊥BC,且BC,AC的斜率均存在， 作垂线段PP',P为垂足，则线段PP的中点M的 所以kAC·kC=一1， 轨迹方程为 又e=产所以中之1， A6+-1g>0 +黄=1y20 化简得x2+y2-2.x-3=0. 因此直角顶，点C的轨迹方程为x2十y2一2.x一3=0 c6+->o D活+营-1>0) (y≠0). [解析]设点M(x,y),则P(x,yo),P'(x,0), 解法二：设AB的中点为D,由中点坐标公式得 因为M为PP'的中点，所以yo=2y,即P(x,2y), D1,0),由直角三角形的性质知CD=号|AB=2 又P在圆x2+y2=16(y>0)上， 由圆的定义知，动，点C的轨迹是以D(1,0)为圆心， 所以x2+4y2=16(>0),即6+￥=1y>0). 2为半径的圆（由于A,B,C三，点不共线，所以应除 即点M的锐链方轻为后+号-1(>0》。 去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(.x一1)2十y2 [答案]A =4(y≠0). ·212· 第八章直线和圆、圆锥曲线 (2)设M(x,y),C(xoyo), 规律方法 因为B(3,0),且M是线段BC的中点， 与圆有关的最值问题的求解方法 2y=十0 所以由中点坐标公式得工=十3y 2 1)借助几何性质求最值：形如4=)二b, i-a'l=ar+ 所以x。=2.x-3,yo=2y. by,(x一a)2+(y-b)2形式的最值问题. 由(1)知，点C(xoyo)满足(x。-1)2十y=4(y≠0)， (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式 将x。=2x-3,y=2y代入得(2.x-4)2+(2y)2=4, 子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用 即(x-2)2+y2=1(y≠0). 因此直角边BC的中，点M的轨迹方程为(x一2)2十 配方法、判别式法、基本不等式法等求最值， y2=1(y≠0). (3)求解形如PM十|PN|(其中M,N均为动点) 且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思 题型3 与圆有关的最值问题 路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与 [例3]已知实数x,y满足x2+y2-4y十3=0，则 圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化 为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称 A.当x≠0时，义的最小值是-√3 性解决 B.x2十y2的最小值是1 跟踪训练 C.y-x的最小值是2-√2 1.已知A(-2,0),B(2,0),点P是圆C:(x-3)2+ D.|x十y+3|的最小值为2 [解析][由x2+y2-4y十3=0，得x2+(y-2) (y-√7)2=1上的动点，则|AP|2+|BP2的最小 =1.该方程表示圆心为C(0,2),半径r=1的圆. 值为 ( ) A.9 设义=k(x≠0)，则k表示圆上的点（除去点(0,1） B.14C.16 D.26 解析：D[设O为坐标原点，P(x,y), 和(0,3)与原点O(0,0)连线的斜率， 则|AP|2+|BP|2=(x+2)2+y2+(x-2)2+y 由y=k.x(x≠0)，则 1-21 ≤1，解得k≥√3 =2(x2+y2)+8=2P0|2+8. k2+(-1) 圆C的圆心为C(3,√7)，半径为r=1,OC=4, 或k≤-√5， 所以|PO12的最小值为(OC-r)2=(4-1)2=9, 所以AP|2+BP|2的最小值为26.] 即当x≠0时，义无最小值，故A 2.已知x,y满足x2十y2-4x-2y-4=0,则 2x十3y+3的最大值为 ( 错误； x十3 因为x2十y2表示圆上的点到原点 A.2 名 c胃 D.133 的距离的平方，又圆心在y轴上， 4 所以当x=0,y=1时，x2十y2取得最小值，且最小 解析：B[由x2十y2-4x-2y-4=0 值为1，故B正确. 得(x-2)2+(y-1)2=9. 设y-x=b,则y=x十b,b表示当直线y=x十b与 圆有公共点时直线在y轴上的截距， x+3 X号-2+3张m, 2x+3y+3=2+3×y= 则一16-2引一≤1，解得2-2≤b≤2十2，即y-x 其中A(-3,1)为定点，点P(x,y)为圆上一点. 1+(-1) 设过定点A的直线L:y-1=k(x十3)与圆相切， 的最小值是2一√2，故C正确； 则I5L =3, |x十y十3|表示为圆上，点到直线x十y十3=0距离 √1+k 的E待，园心(0,2)到直线距离为d一 5 解得k=土3 4 则13的小位为可-5,故D 所以一是< 错误 [答案]BC 所以2的最大值为2叶3×-是] x+3 ·213·