第8章 8.3 圆的方程（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦圆的方程高考核心考点，涵盖定义、标准方程、一般方程、点与圆位置关系及轨迹、最值问题，按“定义-方程-应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建解题框架。 讲义突出数学思维与数学眼光培养，如用几何法和代数法求圆方程，结合2024新课标Ⅱ卷真题讲解轨迹问题，通过分层练习提升推理能力，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

§8.3　圆的方程 ★[考试要求] 1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面上到　定点　的距离等于　定长　的点的集合叫做圆 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C　(a，b) 半径为　r　 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心C 半径r＝ 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|＞r⇔M在　圆外　，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在　圆上　，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|＜r⇔M在　圆内　，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内． 1．圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√) (2)圆x2＋y2＝a2的半径为a.(×) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(√) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(√) 2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　) A．(2,3)，3　　　　　 B．(－2,3)， C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)， 解析：D　[圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.] 3．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 解析：C　[设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.] 4．[多选]已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法正确的有(　　) A．圆M的圆心坐标为(4，－3) B．圆M被x轴截得的弦长为8 C．圆M的半径为25 D．圆M被y轴截得的弦长为6 解析：ABD　[圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25，圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，显然C不正确，令x＝0，解得y＝0或－6，令y＝0，解得x＝0或x＝8，ABD均正确．] 　　　圆的方程 [例1]　(1)已知半径为3的圆C的圆心与点P(－2,1)关于直线x－y＋1＝0对称，则圆C的标准方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝9 B．(x－1)2＋(y－1)2＝81 C．x2＋(y＋1)2＝9 D．x2＋y2＝9 [解析]　设出圆心坐标，根据对称关系列出方程组，求出圆心坐标，结合半径为3，即可求解． 设圆心坐标C(a，b)，由圆心C与点P关于直线y＝x＋1对称， 得到直线CP与y＝x＋1垂直， 结合y＝x＋1的斜率为1， 得直线CP的斜率为－1， 所以＝－1，化简得a＋b＋1＝0① 再由CP的中点在直线y＝x＋1上，＝＋1，化简得a－b－1＝0② 联立①②，可得a＝0，b＝－1， 所以圆心C的坐标为(0，－1)， 所以半径为3的圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝9. [答案]　C (2)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为________． [解析]　依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F≯0)， 若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)， 则，解得， 所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13； 若过(0,0)，(4,0)，(4,2)， 则，解得， 所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5； 若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)， 则，解得， 所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0， 即2＋2＝； 若过(－1,1)，(4,0)，(4,2)， 则，解得， 所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，即2＋(y－1)2＝. [答案]　(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或2＋2＝或2＋(y－1)2＝. 求与圆有关的轨迹问题常采用的方法 (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． (2)代数法，设出圆的方程，用待定系数法求解． 1．已知圆E经过两点A(0,1)，B(2,0)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为________． 解析：因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.则圆E的半径为|EB|＝＝，所以圆E的标准方程为2＋y2＝. 答案：2＋y2＝ 2．已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的一般方程为________． 解析：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 由题意可得 在圆C的方程中，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③ 设x1，x2是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④ 联立①②④得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0. 故圆C的一般方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0. 答案：x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0 　　　与圆有关的轨迹问题 ►[角度1]　直接法　 [例2－1]　已知线段AB的长度为4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则△MAB面积的最大值为(　　) A．8　　 B．8 C．4　　 D. [解析]　以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 设M(x，y)，且A(－2,0)，B(2,0) 由|MA|＝|MB|，得(x＋2)2＋y2＝2(x－2)2＋2y2， 化简得M的轨迹方程为圆(x－6)2＋y2＝32，半径r＝4， 如图，有S△MAB≤·|AB|·r＝8. [答案]　A ►[角度2]　定义法　 [例2－2]　已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是(　　) A．y2＝4x B．x2＋y2－2x－2y－3＝0 C．x2＋y2－2y－3＝0 D．y2＝－4x [解析]　因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C(1,1)，半径r＝1， 因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1， 又AM与圆相切，且|AM|＝2， 则|AC|＝＝， 设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5， 即x2＋y2－2x－2y－3＝0， 所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0. [答案]　B ►[角度3]　相关点法数　 [例2－3]　(2024·新课标全国Ⅱ卷，T5)已知曲线C：x2＋y2＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A.＋＝1(y＞0) B.＋＝1(y＞0) C.＋＝1(y＞0) D.＋＝1(y＞0) [解析]　设点M(x，y)，则P(x，y0)，P′(x,0)， 因为M为PP′的中点，所以y0＝2y，即P(x,2y)， 又P在圆x2＋y2＝16(y＞0)上， 所以x2＋4y2＝16(y＞0)，即＋＝1(y＞0)， 即点M的轨迹方程为＋＝1(y＞0)． [答案]　A 　上面2024年新课标Ⅱ卷T5源于人教A版选择性必修一P108例题2 如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合．) 解：点P在圆x2＋y2＝4上运动，点P的运动引起点M运动．我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程＋y2＝1. 求与圆有关的轨迹问题常采用的方法 根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程； (4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 解：(1)解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且BC，AC的斜率均存在， 所以kAC·kBC＝－1， 又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． 解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)． 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)． (2)设M(x，y)，C(x0，y0)， 因为B(3,0)，且M是线段BC的中点， 所以由中点坐标公式得x＝，y＝， 所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C(x0，y0)满足(x0－1)2＋y＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． 因此直角边BC的中点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． 　　　与圆有关的最值问题 [例3]　已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则(　　) A．当x≠0时，的最小值是－ B．x2＋y2的最小值是1 C．y－x的最小值是2－ D．|x＋y＋3|的最小值为2 [解析]　[由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1.该方程表示圆心为C(0,2)，半径r＝1的圆． 设＝k(x≠0)，则k表示圆上的点(除去点(0,1)和(0,3))与原点O(0,0)连线的斜率， 由y＝kx(x≠0)，则≤1，解得k≥或k≤－， 所以－≤＝≤(x可以为0)， 即当x≠0时，无最小值，故A错误； 因为x2＋y2表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在y轴上， 所以当x＝0，y＝1时，x2＋y2取得最小值，且最小值为1，故B正确． 设y－x＝b，则y＝x＋b，b表示当直线y＝x＋b与圆有公共点时直线在y轴上的截距， 则≤1，解得2－≤b≤2＋，即y－x的最小值是2－，故C正确； |x＋y＋3|表示为圆上点到直线x＋y＋3＝0距离的倍，圆心(0,2)到直线距离为d＝， 则|x＋y＋3|的最小值为＝5－，故D错误． [答案]　BC 与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题． (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值． (3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 1．已知A(－2,0)，B(2,0)，点P是圆C：(x－3)2＋(y－)2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最小值为(　　) A．9 B．14 C．16 D．26 解析：D　[设O为坐标原点，P(x，y)， 则|AP|2＋|BP|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2 ＝2(x2＋y2)＋8＝2|PO|2＋8. 圆C的圆心为C(3，)，半径为r＝1，OC＝4， 所以|PO|2的最小值为(OC－r)2＝(4－1)2＝9， 所以|AP|2＋|BP|2的最小值为26.] 2．已知x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则的最大值为(　　) A．2 B. C. D. 解析：B　[由x2＋y2－4x－2y－4＝0 得(x－2)2＋(y－1)2＝9. ＝2＋3×＝2＋3kPA， 其中A(－3,1)为定点，点P(x，y)为圆上一点． 设过定点A的直线l∶y－1＝k(x＋3)与圆相切， 则＝3， 解得k＝±， 所以－≤kPA≤， 所以的最大值为2＋3×＝.] 学科网（北京）股份有限公司 $