8.1 直线的方程讲义-2027届高三数学一轮复习

8.1 直线的方程 知识点一、直线倾斜角 1.直线倾斜角的定义 （1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． （2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2.倾斜角的取值范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 知识点二、直线的斜率 1.直线的方向向量 在平面直角坐标系中，直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，设直线l的倾斜角为α，则： （1）定义：向量，与它平行的非零向量都是直线l的方向向量. （2）直线倾斜角与方向向量的坐标的关系：(x1≠x2). 2.直线的斜率 （1）定义：一般地，设直线l的倾斜角为α，直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的坐标有如下的关系. 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. （2）过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 知识点三、直线方程的五种形式 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 x1≠x2，y1≠y2 截距式 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 可以表示所有的直线 题型一：直线的倾斜角与斜率 例1.直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 例2.如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 例3.已知两点A(2,-3),B(-3,2),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A.-4≤k≤- B.k≤-4或k≥- C.-4≤k≤ D.-≤k≤4 跟踪训练： 1.下列叙述正确的是(　　) A.若一条直线的斜率为k=tan α，则此直线的倾斜角为α B.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90° C.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 D.若直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为α 2.已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 3.已知直线l的方程为xsin α+y-1=0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 4.(多选)已知直线l：x+y-2=0，则下列选项中正确的有(　　) A.直线l的斜率为- B.直线l的倾斜角为 C.直线l不经过第四象限 D.直线l的一个方向向量为v=(-，3) 5.已知点A(3，4)，B(-2，-1)，若直线l：y=k(x-2)+1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　) A. B.∪[3，+∞) C.(-∞，0]∪ D. 6.直线l1,l2的倾斜角分别为α,β,则“α=β”是“tan α=tan β”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知直线的斜率为，则的最大值为 . 8.直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为　　　　　　　　；倾斜角的取值范围为　　　　　　 　　　.  题型二：直线方程 例1.求符合下列条件的直线方程: (1)直线过点A(-1,-3),且斜率为-; (2)直线过点A(0,-1)和B(-1,5); (3)直线过点A(2,1),且横截距为纵截距的两倍. 例2.下列说法一定正确的是(　　) A.过点(0，1)的直线方程为y=kx+1 B.斜率是-4，在y轴上的截距是7的直线方程是y=-4x-7 C.在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为+=1 D.过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1) 跟踪训练： 1.若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2.已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3.已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为 . 4.已知直线在轴上的截距是，其倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（   ） A． B． C． D． 5.下列说法正确的是(　　) A.截距相等的直线都可以用方程+=1表示 B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行y轴的直线 C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1) D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0 6.(多选)下列说法正确的有(　　) A.点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线 B.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第二象限 C.过点(2，-1)，且倾斜角为120°的直线的点斜式方程为y+1=-(x-2) D.直线y=5x-3在y轴上的截距为3 7.已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为　　　 　.  8.过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 题型三：直线过定点问题 例1.不论为何实数，直线过定点（     ） A． B． C． D． 跟踪训练： 1.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线都恒过点(　　) A．(2,1) B．(3,1) C．(0,1) D．(0,0) 2.直线必过定点（    ） A． B． C． D． 3.若直线恒过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 4.直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点 . 5.已知直线，则直线恒过定点（     ） A． B． C． D． 6.对任意的实数λ，直线（2+λ）x﹣（1+λ）y﹣2（3+2λ）＝0所过的定点为　　 ． 题型四：直线方程的综合应用 例1.已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 跟踪训练： 1.“直线y=(k-1)x+2k+1经过第一、二、四象限”是“-<k<1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若直线l:+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时,=(　　) A.2 B. C. D. 3.已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4.当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,则实数a=　　　　 .  4.已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 5.直线方程为． （1）证明：无论为何值，直线过定点； （2）已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 6.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R). （1）证明:直线l过定点; （2）若直线不经过第四象限,求k的取值范围; （3）若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程. （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.若向量a=(，1)是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 2.已知直线l经过(-2,-2),(2,4)两点,且该直线过(m,3 040),则m=(　　) A.2 024 B.2 025 C.2 026 D.2 028 3.已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4.已知直线l过点(1，-2)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为(　　) A.x+y+1=0 B.x+y+1=0或2x+y=0 C.x-y-3=0 D.x-y-3=0或2x+y=0 5.已知直线l1：y=x-1绕点(0，-1)逆时针旋转得到直线l2，则l2的斜截式方程为(　　) A.y=x-1 B.y=-x-1 C.y=x-1 D.y=-x-1 6.已知直线l:2x+3y-1=0的倾斜角为θ,则cos(θ+π)·sin=(　　) A. B.- C. D.- 7.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.已知直线l的斜率小于0，且l经过点P(6，8)，并与坐标轴交于A，B两点，C(4，0)，当△ABC的面积取得最小值时，直线l的斜率为(　　) A.- B.- C.- D.- 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 10.下列说法中，正确的有(　　) A.直线y=kx-2在y轴上的截距是2 B.直线x-y-3=0的倾斜角为30° C.若直线l的方向向量是(2，3)，则直线l的斜率是 D.若点P(x0，y0)在直线l：Ax+By+C=0上，则直线l的方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0 11.已知直线xsin α+ycos α+1=0(α∈R),则下列命题正确的是(　　) A.直线的倾斜角是π-α B.无论α如何变化,直线不过原点 C.直线的斜率一定存在 D.当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若直线过点，且其一个方向向量为，则直线的方程为 . 13.已知直线x+ky-2-k=0恒过定点A,则A点的坐标为　　　　　　;若点A在直线mx-y+n=0(m,n>0)上,则+的最小值为　　　 　　　.  14.设直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R). （1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为　　　　　　　　　　　　　； （2）若a>-1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，则当△OMN的面积取最小值时，直线l的方程为　　　　　　　　. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率． 16.（15分）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. （1）求直线l的斜率k的取值范围. （2）求直线l的倾斜角的取值范围. 17.（15分）已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0. （1）若这两条直线垂直，求k的值； （2）若这两条直线平行，求k的值． 18.（17分）已知直线. （1）求证：不论实数为何值，直线总经过第一象限； （2）求使直线不经过第二象限的的取值范围. 19.（17分）已知直线过点，且的一个法向量是. （1）求直线的方程； （2）若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程； （3）在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1 直线的方程 知识点一、直线倾斜角 1.直线倾斜角的定义 （1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． （2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2.倾斜角的取值范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 知识点二、直线的斜率 1.直线的方向向量 在平面直角坐标系中，直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，设直线l的倾斜角为α，则： （1）定义：向量，与它平行的非零向量都是直线l的方向向量. （2）直线倾斜角与方向向量的坐标的关系：(x1≠x2). 2.直线的斜率 （1）定义：一般地，设直线l的倾斜角为α，直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的坐标有如下的关系. 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. （2）过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 知识点三、直线方程的五种形式 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 x1≠x2，y1≠y2 截距式 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 可以表示所有的直线 题型一：直线的倾斜角与斜率 例1.直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 解：由题意可将原直线方程变形为，由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为.即A、 B 、C错误.故选：D. 例2.如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 解：设直线，，的倾斜角分别为，，，则由图知， 所以，，即，．故选：A. 例3.已知两点A(2,-3),B(-3,2),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A.-4≤k≤- B.k≤-4或k≥- C.-4≤k≤ D.-≤k≤4 解：结合图形,由题意得,所求直线的斜率k满足k≥kPB或k≤kPA, 即k≥-或k≤-4,即直线的斜率的取值范围是k≤-4或k≥-.故选：B. 跟踪训练： 1.下列叙述正确的是(　　) A.若一条直线的斜率为k=tan α，则此直线的倾斜角为α B.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90° C.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 D.若直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为α 解：当α=240°时，直线斜率k=tan 240°=，但直线倾斜角为60°，故A错误； 与x轴垂直的直线的倾斜角为90°，与y轴垂直的直线的倾斜角为0°，故B正确； 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，而倾斜角为90°的直线的斜率不存在，故C错误；如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为α+90°； 当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°-α，故D错误.故选：B. 2.已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 解：因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以，所以．故答案为：. 3.已知直线l的方程为xsin α+y-1=0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 解：由题意知直线l的方程为xsin α+y-1=0，α∈R，即y=-x+，即直线l的斜率k=.由α∈R，-1≤sin α≤1，得≤k≤.又直线l的倾斜角θ的取值范围为[0，π)， -≤tan θ≤，由正切函数的性质可得，直线l的倾斜角θ的取值范围为∪. 故选：B. 4.(多选)已知直线l：x+y-2=0，则下列选项中正确的有(　　) A.直线l的斜率为- B.直线l的倾斜角为 C.直线l不经过第四象限 D.直线l的一个方向向量为v=(-，3) 解：由l：x+y-2=0，可得y=-x+2，故其斜率为k=-，倾斜角为，故A项正确，B项错误； 由直线y=-x+2知其斜率k<0，纵截距b=2>0，所以直线l不经过第三象限，经过第四象限，故C项错误； 取直线l上两点A(0，2)，B(，-1)，可得=(-，3)，即直线l的一个方向向量为v=(-，3)，故D项正确.故选：AD. 5.已知点A(3，4)，B(-2，-1)，若直线l：y=k(x-2)+1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　) A. B.∪[3，+∞) C.(-∞，0]∪ D. 解：直线l：y=k(x-2)+1过定点P(2，1)，而kPA==3，kPB==， 由图可知，要使直线l：y=k(x-2)+1与线段AB相交， 则k≤或k≥3，即k的取值范围是∪[3，+∞).故选：B. 6.直线l1,l2的倾斜角分别为α,β,则“α=β”是“tan α=tan β”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：由题意知,α,β∈[0,π),所以若tan α=tan β,则α=β; 若α=β=,则不存在tan α,tan β,就不可能得到tan α=tan β. 所以“α=β”是“tan α=tan β”的必要不充分条件.故选：B. 7.已知直线的斜率为，则的最大值为 . 解：，当且仅当时取等号，所以k的最大值为. 故答案为：. 8.直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为　　　　　　　　；倾斜角的取值范围为　　　　　　 　　　.  解：如图,当直线l过点B时,设直线l的斜率为k1, 则k1==-;当直线l过点A时,设直线l的斜率为k2,则k2==1, 所以要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞),倾斜角的取值范围是.故答案为：(-∞,-]∪[1,+∞)，. 题型二：直线方程 例1.求符合下列条件的直线方程: (1)直线过点A(-1,-3),且斜率为-; (2)直线过点A(0,-1)和B(-1,5); (3)直线过点A(2,1),且横截距为纵截距的两倍. 解：(1)∵所求直线过点A(-1,-3),且斜率为-, ∴所求直线方程为y+3=-(x+1),即x+4y+13=0. (2)法一(两点式)　由A(0,-1)和B(-1,5)得两点式方程为=, 整理得6x+y+1=0. 法二(点斜式)　由A(0,-1)和B(-1,5)得kAB==-6, 直线方程为y+1=-6(x-0),整理得6x+y+1=0. (3)当横截距与纵截距都为0时,可设直线方程为y=kx, 又直线过点(2,1),∴1=2k,解得k=, ∴直线方程为y=x,即x-2y=0; 当横截距与纵截距都不为0时,可设直线方程为+=1, 由题意可得解得 ∴直线方程为+=1,即x+2y-4=0;综上,所求直线方程为x-2y=0或x+2y-4=0. 例2.下列说法一定正确的是(　　) A.过点(0，1)的直线方程为y=kx+1 B.斜率是-4，在y轴上的截距是7的直线方程是y=-4x-7 C.在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为+=1 D.过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1) 解：对于A，当直线的斜率不存在时，直线方程为x=0，故A错误； 对于B，斜率是-4，在y轴上的截距是7的直线方程是y=-4x+7，故B错误； 对于C，当截距为0时，直线方程不能表示为+=1，故C错误； 对于D，当过点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率存在且不为零时，该直线的两点式方程为=，可化为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)； 当直线与x轴垂直时，方程为x=x1，满足(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)； 当直线与y轴垂直时，方程为y=y1，满足(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1). 综上所述，过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)，故D正确. 故选：D. 跟踪训练： 1.若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 解：因为直线的方向向量为，所以直线的斜率，所以直线方程为，化简可得.故选：A. 2.已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 解：由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为，将代入可得，此时直线方程为．综上，直线的方程为或． 故选：C. 3.已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为 . 解：直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，所以直线的倾斜角为，所以，直线的方程为：.故答案为：. 4.已知直线在轴上的截距是，其倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（   ） A． B． C． D． 解：由直线在轴上的截距是，则直线过，可得，解得；由直线，设该直线的倾斜角为，则，解得， 设直线的倾斜角为，斜率为，由，则 ，由，则，解得.故选：A. 5.下列说法正确的是(　　) A.截距相等的直线都可以用方程+=1表示 B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行y轴的直线 C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1) D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0 解：若直线过原点,此时横、纵截距都为0,则不能用方程+=1表示,所以A不正确; 当m=0时,直线方程为x=2,所以B正确; 若直线的倾斜角为90°,则该直线的斜率不存在,不能用y-1=tan θ(x-1)表示,所以C不正确; 设点P(x,y)是经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线上的任意一点,根据P1P2∥P1P可得(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0,所以D正确. 故选：BD. 6.(多选)下列说法正确的有(　　) A.点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线 B.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第二象限 C.过点(2，-1)，且倾斜角为120°的直线的点斜式方程为y+1=-(x-2) D.直线y=5x-3在y轴上的截距为3 解：对于选项A，点斜式方程的局限性是不含斜率不存在的直线x=x0，故选项A错误； 对于选项B，由直线y=kx+b经过第一、二、四象限可得k<0，b>0，所以点(k，b)在第二象限，故选项B正确； 对于选项C，直线的倾斜角为120°，则斜率k=tan 120°=-，又过点(2，-1)，则直线的点斜式方程为y+1=-(x-2)，故选项C正确； 对于选项D，直线y=5x-3在y轴上的截距为-3，故选项D错误. 故选：BC. 7.已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为　　　 　.  解：由题意可设直线l0,l的倾斜角分别为α,2α,因为直线l0:x-2y-2=0的斜率为, 则tan α=,所以直线l的斜率k=tan 2α===, 所以由点斜式可得直线l的方程为y-0=(x-1),即4x-3y-4=0.故答案为：4x-3y-4=0. 8.过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 解：当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得， 直线方程为，所以所求直线方程为或. 故答案为：或. 题型三：直线过定点问题 例1.不论为何实数，直线过定点（     ） A． B． C． D． 解：法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为，则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 跟踪训练： 1.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线都恒过点(　　) A．(2,1) B．(3,1) C．(0,1) D．(0,0) 解：kx－y＋1－3k＝0可化为y－1＝k(x－3)，所以直线过定点(3,1)．故选：B. 2.直线必过定点（    ） A． B． C． D． 解：根据题意，直线，即， 令，得，故直线必过定点. 故选：B. 3.若直线恒过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 解： ， 令，解得，则所过定点为.故选：C. 4.直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点 . 解：由y＝mx－3m＋2，得y－2＝m(x－3)，所以直线必过点(3,2)．故答案为：(3,2)． 5.已知直线，则直线恒过定点（     ） A． B． C． D． 解：直线，由，解得， 所以直线恒过定点.故选：C. 6.对任意的实数λ，直线（2+λ）x﹣（1+λ）y﹣2（3+2λ）＝0所过的定点为　　 ． 解：直线（2+λ）x﹣（1+λ）y﹣2（3+2λ）＝0可变形为2x﹣y﹣6+λ（x﹣y﹣4）＝0， 由，解得， 因为对∀λ∈R，点（2，﹣2）都满足方程（2+λ）x+（1+λ）y﹣2（3+2λ）＝0， 所以直线（2+λ）x﹣（1+λ）y﹣2（3+2λ）＝0经过的定点的坐标为（2，﹣2）． 故答案为：（2，﹣2）． 题型四：直线方程的综合应用 例1.已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 解：（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 跟踪训练： 1.“直线y=(k-1)x+2k+1经过第一、二、四象限”是“-<k<1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：要使y=(k-1)x+2k+1经过第一、二、四象限，则解得-<k<1， 因此，“直线y=(k-1)x+2k+1经过第一、二、四象限”是“-<k<1”的充要条件.故选：C. 2.若直线l:+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时,=(　　) A.2 B. C. D. 解：因为直线l:+=1过点(1,2),所以+=1,又a>0,b>0, 所以a+b=(a+b)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即=时取等号.故选：D. 3.已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4.当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,则实数a=　　　　 .  解：由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2), 直线l1在y轴上的截距为2-a,直线l2在x轴上的截距为a2+2, 所以四边形的面积S=×2×(2-a)+×2×(a2+2)=a2-a+4=+. 又0<a<2,所以当a=时,四边形的面积最小.故答案为：. 4.已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 解：（1）由题意知，的斜率存在且不为0，设斜率为，则的点斜式方程为， 则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为，即； （2）由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立， 的点斜式方程为，所以的斜截式方程为. 5.直线方程为． （1）证明：无论为何值，直线过定点； （2）已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 解：（1）因为直线的方程，即， 令，解得， 所以直线恒过定点； （2）因为直线的方程，依题意，即， 令，得到；令，得到； 令，解得， 可得， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立 此时直线的方程为， 且，，，    所以当的面积最小时，的周长为，直线的方程. 6.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R). （1）证明:直线l过定点; （2）若直线不经过第四象限,求k的取值范围; （3）若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程. 解：(1)证明　直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0,令解得 ∴无论k取何值,直线总经过定点(-2,1). (2)解　由方程知,当k≠0时,直线在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k, 要使直线不经过第四象限,则必须有解得k>0; 当k=0时,直线为y=1,符合题意,故k的取值范围是[0,+∞). (3)解　由题意可知k≠0,再由l的方程,得A,B(0,1+2k). 依题意得解得k>0. ∵S=·|OA|·|OB|=··|1+2k|=·=≥×(2×2+4)=4,等号成立的条件是k>0,且4k=,即k=,∴Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0. （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.若向量a=(，1)是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 解：设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)，若向量a=(，1)是直线l的一个方向向量， 则直线l的斜率为k=tan α==，因为0≤α<π，所以α=.故选：A. 2.已知直线l经过(-2,-2),(2,4)两点,且该直线过(m,3 040),则m=(　　) A.2 024 B.2 025 C.2 026 D.2 028 解：利用斜率相等,即=,解得m=2 026.故选：C. 3.已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 解：直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则，又因为，故.故选：D. 4.已知直线l过点(1，-2)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为(　　) A.x+y+1=0 B.x+y+1=0或2x+y=0 C.x-y-3=0 D.x-y-3=0或2x+y=0 解：方法一：当直线过原点时，斜率为k==-2，则直线方程为2x+y=0； 当直线不过原点时，设直线方程为+=1，代入点(1，-2)，得+=1，解得a=3， 故直线方程为x-y-3=0.综上所述，直线方程为x-y-3=0或2x+y=0. 方法二：因为直线在两个坐标轴上的截距互为相反数，所以直线过原点或直线的斜率为1. 当直线过原点时，直线的斜率为k=-2，则直线方程为2x+y=0； 当直线的斜率为1时，因为直线过点(1，-2)，则直线方程为y-(-2)=x-1，即x-y-3=0. 综上所述，直线方程为x-y-3=0或2x+y=0. 故选：D. 5.已知直线l1：y=x-1绕点(0，-1)逆时针旋转得到直线l2，则l2的斜截式方程为(　　) A.y=x-1 B.y=-x-1 C.y=x-1 D.y=-x-1 解：直线l1：y=x-1，其斜率k1=1，设其倾斜角为α1，则tan α1=1，又因为倾斜角α1∈[0，π)，所以α1=.直线l1绕点(0，-1)逆时针旋转，则直线l2的倾斜角α2=+=， 直线l2的斜率k2=tan α2=tan=-，又因为直线l2过点(0，-1)，所以直线l2的斜截式方程为y=-x-1.故选：B. 6.已知直线l:2x+3y-1=0的倾斜角为θ,则cos(θ+π)·sin=(　　) A. B.- C. D.- 解：由题意可知,tan θ=-,θ∈,cos(θ+π)·sin=-cos2θ=-=-=-.故选：B. 7.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解：因为直线恒过定点，如图. 又因为，，所以直线的斜率k的范围为.故选：C. 8.已知直线l的斜率小于0，且l经过点P(6，8)，并与坐标轴交于A，B两点，C(4，0)，当△ABC的面积取得最小值时，直线l的斜率为(　　) A.- B.- C.- D.- 解：由题意可设直线l：y-8=k(x-6)(k<0)，即y=kx+8-6k(k<0). 不妨假设A在x轴上，则A，B(0，8-6k)，易知A在C右侧， 记O为坐标原点，因为线段OA与OB的长度分别为6-，8-6k， 所以△ABC的面积S=(8-6k)=≥(64+2)=32+16， 当且仅当-=-12k(k<0)，即k=-时，等号成立.故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 解：A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l的两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对.故选：BD. 10.下列说法中，正确的有(　　) A.直线y=kx-2在y轴上的截距是2 B.直线x-y-3=0的倾斜角为30° C.若直线l的方向向量是(2，3)，则直线l的斜率是 D.若点P(x0，y0)在直线l：Ax+By+C=0上，则直线l的方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0 解：A选项，取x=0，则y=-2，即直线y=kx-2在y轴上的截距是-2，A选项错误； B选项，直线x-y-3=0可化为y=x-，直线的斜率是， 设其倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α=，α=30°，B选项正确； C选项，根据方向向量的定义可知直线l的斜率是，C选项正确； D选项，若点P(x0，y0)在直线l：Ax+By+C=0上，则Ax0+By0+C=0，即C=-Ax0-By0， 直线Ax+By+C=0可化为Ax+By-Ax0-By0=A(x-x0)+B(y-y0)=0，D选项正确.故选：BCD. 11.已知直线xsin α+ycos α+1=0(α∈R),则下列命题正确的是(　　) A.直线的倾斜角是π-α B.无论α如何变化,直线不过原点 C.直线的斜率一定存在 D.当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 解：根据直线倾斜角的范围为[0,π),而π-α∈R,A不正确; 当x=y=0时,xsin α+ycos α+1=1≠0,所以直线必不过原点,B正确; 当α=时,直线斜率不存在,C不正确; 当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积为S=·=≥1,D正确.故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若直线过点，且其一个方向向量为，则直线的方程为 . 解：由题意可知，直线的斜率为.而直线过点， 所以直线方程为，即：.故答案为：. 13.已知直线x+ky-2-k=0恒过定点A,则A点的坐标为　　　　　　;若点A在直线mx-y+n=0(m,n>0)上,则+的最小值为　　　 　　　.  解：将直线方程变形得x-2+k(y-1)=0,由解得定点A的坐标为(2,1). 由于点A在直线mx-y+n=0上,则有2m-1+n=0,所以2m+n=1. 所以+=(2m+n)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即当n=m时等号成立. 故答案为：(2,1)，3+2. 14.设直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R). （1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为　　　　　　　　　　　　　； （2）若a>-1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，则当△OMN的面积取最小值时，直线l的方程为　　　　　　　　. 解：（1）①当直线l经过坐标原点时，可得a+2=0，解得a=-2. 所以直线l的方程为-x+y=0，即x-y=0； ②当直线l不经过坐标原点，即a≠-2时，由条件得=a+2(a≠-1)，解得a=0， 所以直线l的方程为x+y-2=0.综上可得，直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0. （2）在(a+1)x+y-2-a=0(a>-1)中，令x=0，得y=a+2；令y=0，得x=. 所以M，N(0，a+2).由于a>-1，得a+2>a+1>0. 所以S△OMN=··(a+2)=·=·=≥=2， 当且仅当a+1=且a>-1，即a=0时等号成立，此时直线l的方程为x+y-2=0. 故答案为：（1）x-y=0或x+y-2=0；（2）x+y-2=0. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率． 解：由斜率公式可得kAB＝，kBC＝，kAC＝. 由kBC＝0知直线BC∥x轴，∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在． 设AB，AC边上高线的斜率分别为k1，k2，由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1， 即k1·＝－1，k2·5＝－1，解得k1＝，k2＝. ∴BC边上的高所在直线的斜率不存在； AB边上的高所在直线的斜率为； AC边上的高所在直线的斜率为. 16.（15分）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. （1）求直线l的斜率k的取值范围. （2）求直线l的倾斜角的取值范围. 解：（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是，所以直线l的倾斜角的取值范围是. 17.（15分）已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0. （1）若这两条直线垂直，求k的值； （2）若这两条直线平行，求k的值． 解：(1)根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0， 解得k＝.∴若这两条直线垂直，则k＝. (2)根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0， 解得k＝3或k＝5.经检验，均符合题意． ∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5. 18.（17分）已知直线. （1）求证：不论实数为何值，直线总经过第一象限； （2）求使直线不经过第二象限的的取值范围. 解：（1）证明：(方法1利用点斜式方程)直线的方程可化为：. 故直线恒过第一象限定点.故直线总经过第一象限. (方法2赋值法)因为为任意实数， 当时，直线的方程为,① 当时，直线的方程为,② 由①②得定点，故直线总经过第一象限. （方法 3 分离参数法）直线的方程可化为. 因为为任意实数，由解得，所以直线过定点.故直线总经过第一象限. （2）解：直线的方程可化为， 因为直线不经过第二象限，所以解得，即的取值范围为. 19.（17分）已知直线过点，且的一个法向量是. （1）求直线的方程； （2）若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程； （3）在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程. 解：（1）因为直线的一个法向量是， 又过点所以可得直线的方程为， 化简得，所以所求直线的方程为. （2）因为直线与轴交于点，由（1）知的方程为，所以， 因为，所以， 将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为， 则，所以. 由点可知直线方程为，即. （3）设直线的倾斜角为，因为， 所以，，则， 所以，的角平分线所在直线的倾斜角为， 则的角平分线所在直线的斜率为 ， 因此，的角平分线所在直线的方程为，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $