第8章 8.1 直线的方程（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦直线方程核心考点，涵盖倾斜角、斜率概念及五种方程形式，按“概念本质-公式应用-问题解决”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建直线方程的解题框架。 讲义突出数学思维与数学语言应用，如通过斜率范围例题培养数形结合能力，设置判断、选择、解答分层练习，配合错因分析与方法总结，高效突破倾斜角与斜率关系等难点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供系统指导。

第八章 直线和圆、圆锥曲线 1．全面系统复习，深刻理解知识本质 概念：直线的倾斜角、斜率、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，直线与圆锥曲线的位置关系，圆与圆的位置关系等． 方程与公式：直线方程的五种形式，两直线平行、垂直满足的条件，点到直线的距离公式，圆的一般方程、标准方程，椭圆的标准方程、离心率公式，双曲线的标准方程、离心率公式、渐近线方程，抛物线的标准方程、准线方程，直线与圆锥曲线相交的弦长公式． 2．熟练掌握解决以下问题的方法和规律 (1)由两个独立的条件确定一条直线方程． (2)由三个独立的条件确定圆的方程． (3)直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系及判断方法． (4)求动点的轨迹方程． (5)求圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的标准方程，利用圆锥曲线的定义、几何性质求解未知量及未知量的范围． (6)直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系． (7)利用直线与圆锥曲线的知识探究定值、定点、最值问题． 3．重视数学思想方法的应用 平面解析几何的基本思想方法是“坐标法”、利用平面直角坐标系，把点用坐标表示，直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等用方程表示，并用代数方法研究几何问题，所以解析几何有两个基本问题：(1)根据已知的几何条件，求出曲线(点的轨迹)的方程．(2)由曲线的方程，通过代数运算研究曲线的几何性质． 平面解析几何问题中蕴含着十分丰富的数学思想方法、数形结合思想、用代数的方法解决几何问题是解析几何的灵魂，要善于用代数的方法解决几何问题，善于利用方程思想、数形结合思想解决几何问题． (1)数形结合思想：在解决与直线的倾斜角、斜率有关的最值问题、有关对称问题、与参数有关的问题、有关弦的中点问题时，往往用到数形结合思想． (2)函数与方程思想：在求解直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等的方程，解决参数问题、最值问题时，经常利用函数与方程思想． (3)分类与整合思想：在解决与参数有关的问题时，往往依据解析式特点、函数取最值的条件，或题设条件对参数进行分类讨论． (4)转化与化归思想：通过构造函数，将直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离问题或方程(组)解的问题，将直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程(组)解的问题，定点、定值问题转化为方程问题，最值(范围)问题转化为不等式问题或函数的值域问题． §8.1　直线的方程 ★[考试要求] 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)． 1．直线的方向向量 设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量． 2．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，　x轴正向　与直线l　向上　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°. 3．直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的　正切值　叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝　tan_α　(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝. 4．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 　y－y0＝k(x－x0)　 不含垂直于x轴的直线 斜截式 　y＝kx＋b　 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝　(x1≠x2，y1≠y2)　 不含垂直于x轴和y轴的直线 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 　Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)　 平面直角坐标系内的直线都适用 1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系 α 0 0＜α＜ ＜α＜π k 0 k＞0 不存在 k＜0 2.截距和距离的不同之处 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(×) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(×) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×) (4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(×) 2．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．x－y＋1＝0　　　　　 B．x－y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 解析：D　[直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.] 3．[多选]在下列四个命题中，错误的有(　　) A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线倾斜角的取值范围是[0，π) C．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α 解析：ACD　[对于A，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，∴A错误；对于B，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，∴B正确；对于C，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，∴C错误；对于D，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在，∴D错误．] 4．经过点(4,1)，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为________________________． 解析：当直线过原点时，直线方程为y＝x， 即x－4y＝0. 当直线不过原点时， 设直线方程为＋＝1(a≠0)， 代入(4,1)，＋＝1，∴a＝5， 故直线方程是x＋y－5＝0. 答案：x－4y＝0或x＋y－5＝0 　　　直线的倾斜角与斜率 [例1]　(1)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________． [解析]　设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)． 当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－]． 故斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)． [答案]　(－∞，－]∪[1，＋∞) (2)若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 [解析]　因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2. [答案]　D 求直线倾斜角范围的注意事项 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)． 1．设直线l的斜率为k，且－＜k≤1，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A.∪　　 B.∪ C. D. 解析：A　[因为直线l的斜率为k，且－＜k≤1，∴－＜tan α≤1，因为α∈[0，π), ∴α∈∪.] 2．函数f(x)＝x3－x2的图象上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为(　　) A. B.∪ C. D. 解析：B　[设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)， ∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴切线的斜率k＝tan α≥－1，则α∈∪.] 　　　求直线的方程 [例2]　求适合下列条件的直线的方程： (1)在y轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是； (2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍． [解]　(1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝.则cos α＝±，直线的斜率k＝tan α＝±.又直线在y轴上的截距是－5，由斜截式得直线方程为y＝±x－5，即3x－4y－20或3x＋4y＋20＝0. (2)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)． 则l的方程为y＝x，即2x－3y＝0. 若a≠0，设l的方程为＋＝1. ∵l过点P(3,2)，∴＋＝1. ∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0. 综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0. (3)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－. 又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0. (1)求直线方程一般有以下两种方法： ①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程． ②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程． (2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用． [多选]下列说法正确的有(　　) A．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2) B．过点(2，－1)且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2) C．斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3 D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x＋y－2＝0 解析：AB　[求出直线所过的定点判断A；写出直线的点斜式方程判断B；求出直线斜截式方程判断C；求出直线方程判断D作答． 对于A，直线方程可化为y＝a(x－3)＋2，显然恒过定点(3,2)，A正确；对于B，过点(2，－1)且斜率为－的直线的点斜式方程为y－(－1)＝－(x－2)，B正确；对于C，斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，C错误；对于D，经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距相等的直线过原点时，方程为y＝x，当该直线不过原点时，方程为x＋y－2＝0，D错误．] 　　　直线方程的综合应用 [例3]　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程． [解]　(1)证明　直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令解得 ∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1)． (2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0； 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)． (3)由题意可知k≠0，再由l的方程， 得A，B(0,1＋2k)． 依题意得解得k>0. ∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k| ＝·＝ ≥×(2×2＋4)＝4， 当且仅当4k＝，即k＝，等号成立， ∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”．若直线的方程为y＝k(x－1)＋2，则直线过定点(1,2)． 2．求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积． 3．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． 过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点． (1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程． 解：设直线l：＋＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1. (1)因为＋＝1≥2＝， 所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立， 所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小， 此时直线l的方程为＋＝1， 即x＋4y－8＝0. (2)因为＋＝1，a>0，b>0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥9， 当且仅当a＝6，b＝3时等号成立， 所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－6＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $