第8章 8.1 直线的方程（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第八章 直线和圆、圆锥曲线 [复习策略一教师专享] 1.全面系统复习，深刻理解知识本质 曲线、抛物线等用方程表示，并用代数方法研究几 概念：直线的倾斜角、斜率、圆、椭圆、双曲线、抛物 何问题，所以解析几何有两个基本问题：(1)根据已 线的定义，直线与圆锥曲线的位置关系，圆与圆的 知的几何条件，求出曲线（点的轨迹）的方程.(2)由 位置关系等. 曲线的方程，通过代数运算研究曲线的几何性质. 方程与公式：直线方程的五种形式，两直线平行、垂 平面解析几何问题中蕴含着十分丰富的数学思想 直满足的条件，点到直线的距离公式，圆的一般方程、 方法、数形结合思想、用代数的方法解决几何问题 标准方程，椭圆的标准方程、离心率公式，双曲线的标 是解析几何的灵魂，要善于用代数的方法解决几何 准方程、离心率公式、渐近线方程，抛物线的标准方程、 问题，善于利用方程思想、数形结合思想解决几何 准线方程，直线与圆锥曲线相交的弦长公式. 问题！ 2.熟练掌握解决以下问题的方法和规律 (1)数形结合思想：在解决与直线的倾斜角、斜率有关 (1)由两个独立的条件确定一条直线方程， 的最值问题、有关对称问题、与参数有关的问题、 (2)由三个独立的条件确定圆的方程. 有关弦的中点问题时，往往用到数形结合思想. (3)直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系及判断 (2)函数与方程思想：在求解直线、圆、椭圆、双曲线、 方法。 抛物线等的方程，解决参数问题、最值问题时，经 (4)求动点的轨迹方程， 常利用函数与方程思想， (5)求圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的标准方程， (3)分类与整合思想：在解决与参数有关的问题时，往 利用圆锥曲线的定义、几何性质求解未知量及未 往依据解析式特点、函数取最值的条件，或题设条 知量的范围. 件对参数进行分类讨论. (6)直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系。 (4)转化与化归思想：通过构造函数，将直线与圆的位 (7)利用直线与圆锥曲线的知识探究定值、定点、最值 置关系转化为圆心到直线的距离问题或方程（组） 问题. 解的问题，将直线与圆锥曲线的位置关系转化为 3.重视数学思想方法的应用 方程（组）解的问题，定点、定值问题转化为方程问 平面解析几何的基本思想方法是“坐标法”、利用平 题，最值（范围）问题转化为不等式问题或函数的 面直角坐标系，把点用坐标表示，直线、圆、椭圆、双 值域问题， §8.1直线的方程 ★[考试要求] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌 握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）. 复盘>必备知识 学生用书P158 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤a<180°. 1.直线的方向向量 3.直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直 设A,B是直线上的两点，则AB就是这条直线的方向 线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k=tana 向量. (a≠90°). 2.直线的倾斜角 (2)过两点的直线的斜率公式 (1)定义：当直线1与x轴相交时，我们以x轴为基 准，x轴正向与直线！向上的方向之间所成的角a 如果直线经过两点P(x1y),P2（x2)(x1≠x2), 叫做直线！的倾斜角. 其斜率k=一业 x2一x1 ·202· 第八章直线和圆、圆锥曲线 4,直线方程的五种形式 2.倾斜角为135°，在y轴上的截距为一1的直线方 名称 方程 适用范围 程是 A.x-y+1=0 B.x-y-1=0 点斜式 y-yo=k(x-x0) 不含垂直于x轴的直线 C.x+y-1=0 D.x+y+1=0 斜截式 y=kz+b 不含垂直于x轴的直线 解析：D[直线的斜率为k=tan135°=一1，所以 直线方程为y=-x-1,即x+y十1=0.] y一yM x-x 不含垂直于x轴和y 3.[多选]在下列四个命题中，错误的有 两点式 y2-y1 x2-x1 轴的直线 A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 (x1≠x2,y1≠y2) B.直线倾斜角的取值范围是[0，π) +义=1 不含垂直于坐标轴和 截距式 C.若一条直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角 a b 过原点的直线 为a Ax+By+C=0 平面直角坐标系内的 D.若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为 般式 (A2+B2≠0) 直线都适用 tan a 解析：ACD[对于A,当直线与x轴垂直时，直线 知识拓展用活 的倾斜角为90°，斜率不存在，A错误；对于B,直 1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系 线倾斜角的取值范围是[0，π)，.B正确；对于C, 一条直线的斜率为tana,此直线的倾斜角不一定 0 0<a<π 2 2 含 为a,C错误；对于D,一条直线的倾斜角为a时， k 0 k>0 不存在 k<0 它的斜率为tana或不存在，.D错误.] 4.经过点(4,1)，且在两坐标轴上截距相等的直线( 2.截距和距离的不同之处 的方程为 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可 负，也可以是零，而“距离”是一个非负数 解析：当直线过原点时，直线方程为y= 4x, 自主诊断查验 即x-4y=0. 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/”或“×”） 当直线不过原点时， (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大， (X) 设直线方程为工十义=1(a≠0)， (2)直线的斜率为tana,则其倾斜角为a. (×) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等. (×) 代入(4,1)，4+1=1a=5, a a (4)经过点P(xo,yo)的直线都可以用方程y一y=k 故直线方程是x十y一5=0. (x一xo)表示. (×) 答案：x一4y=0或x十y-5=0 跃升>关键能力 学生用书 P159 核心考点分类突破 题型1 直线的倾斜角与斜率 当直线L由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角 [例1门 (1)直线1过点P(1,0),且与以A(2,1), 由90°增至B,斜率的变化范围是（一∞，一√3]. B(0,√3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的 故斜率的取值范围是（一∞，一√3]U[1,十∞）. 取值范围为 [答案](-∞，-√3]U[1,十∞) [解析]设PA与PB的倾斜角分 （2)若图中直线L1,L2,l3的斜率分 别为a,B,直线PA的斜率是k加 别为k1,k2,k3,则 1,直线PB的斜率是k即=一3， A.k<k2<ks 当直线l由PA变化到与y轴平行 B.k3<k1<k2 的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取 C.k3<k2<k 值范围为[1，十∞) D.k1<k3<k2 ·203· 高考总复习数学 [解析]因为直线2,3的倾斜角为锐角，且直线 [解](1)设直线的领针角为，则sma=是别 2的倾斜角大于直线L3的倾斜角，所以0<k3< k2:直线1的倾斜角为钝角，斜率k1<0,所以，< Cosa=士 ，直线的斜率6=amg=士子又直线 4 k3<k2· 在y轴上的截距是一5，由斜截式得直线方程为 [答案]D …规律方法 y3 x-5,即3.x-4y-20或3x+4+20=0. 求直线倾斜角范围的注意事项 (2)设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0,即 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切 L过点(0,0)和(3,2) 函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围 则1的方程为y=号，即2z一8y=0. 时，要分[0，受)与（受两特情况计论.由正切西数 若a≠0，设1的方程为二十义=1. aa 图象可以看出，当a∈[0，受)时，斜率k∈[0，十o∞)： 1过点P(3,2)3+2=1 aa 当a= 时，斜率不存在当Q∈ 2,时，斜率 .a=5,.l的方程为x十y-5=0. k∈(-∞，0) 综上可知，直线l的方程为2x一3y=0或x十y一5 !跟踪训练 =0 (3)由已知：设直线y=3.x的倾斜角为a,则所求直 1.设直线l的斜率为k,且一√3<k≤1，则直线1的倾 线的倾斜角为2a..'tana=3,.tan2a= 2tan a 斜角α的取值范围是 ( 1-tan a A.o. B.,若u[x =-3 4 c劉 (】 又直线经过点A(一1，一3)，因此所求直线方程为 y十3=- (x+1),即3x+4y+15=0, 解析：A[因为直线l的斜率为k,且一√3<k≤1， -√5<tana≤1，因为a∈[0，π)，.a∈ 规律方法 (x[引 (1)求直线方程一般有以下两种方法： ①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式， 2.函数f(x)= x3-x2 1 的图象上有一动点，则在此 然后直接写出其方程， ②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线 动点处切线的倾斜角的取值范围为 ( 方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求 A,] 受 出待定系数，即得所求直线方程. c n[别 (2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各 种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式 解析：B[设切线的倾斜角为a,则α∈[0，π)， 方程，使用时要注意分类讨论思想的运用， f(x)=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，.切线的斜 !跟踪训练 率k=tana≥-1，则a∈[ ,x] [多选]下列说法正确的有 题型2 求直线的方程 A.直线y=a.x-3a十2过定点(3,2) [例2]求适合下列条件的直线的方程： B.过点(2，一1)且斜率为一√3的直线的点斜式方程 为y十1=-√3(.x-2) （1)在y轴上的裁距为-5，倾斜角的正弦值是号， C.斜率为一2，在y轴上的截距为3的直线方程为 (2)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等： y=-2x±3 (3)经过点A(-1,一3)，倾斜角等于直线y=3.x的 D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距相等的直 倾斜角的2倍. 线方程为x十y-2=0 ·204· 第八章直线和圆、圆锥曲线 解析：AB[求出直线所过的定，点判断A;写出直 ≥号×(2×2+4)=4， 线的点斜式方程判断B;求出直线斜截式方程判断 2N C;求出直线方程判断D作答. 当且仅当级=名即及= 等号成立， 1 对于A,直线方程可化为y=a(x一3)十2，显然恒 ∴.Smin=4,此时直线l的方程为x-2y十4=0. 过定点(3,2)，A正确；对于B,过点(2，一1)且斜率 规律方法 为一√3的直线的点斜式方程为y一（一1）=一√3(x 1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要 一2)，B正确；对于C,斜率为一2，在y轴上的截距 能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有 为3的直线方程为y=一2x+3,C错误；对于D,经 定”.若直线的方程为y=k(x一1)十2，则直线过 过，点(1,1)且在x轴和y轴上截距相等的直线过原 定点(1,2) 点时，方程为y=x,当该直线不过原点时，方程为 2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方 x十y-2=0,D错误.] 程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形 题型3〔 直线方程的综合应用 面积. [例3]已知直线：kx-y十1十2k=0(k∈R). 3.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标 (1)证明：直线1过定点； 适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不 (2)若直线！不经过第四象限，求k的取值范围： 等式求解， (3)若直线L交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴 跟踪训练 于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S 过点P(4,1)作直线1分别交x轴，y轴正半轴于 的最小值并求此时直线！的方程. [解](1)证明直线L的方程可化为k(x十2)十 A,B两点 (1)当△AOB的面积最小时，求直线（的方程； (1-y)=0, 令/+2=0， 1x=-2, (2)当OA|+OB取最小值时，求直线1的方程. 解得 1-y=0, (y=1, 解：设直线l:工十义=1(a>0,b>0),因为直线1 a .无论取何值，直线1总经过定点（一2,1）」 (2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为 经过点P(4,1),所以4+=1 a -1+2,在y轴上的藏距为1十2k,要使直线不经 过第四象限，则必须有 1十2k∠一2 6 所以ab≥16，当且仅当a=8,b=2时等号成立， 解得k>0; 1+2k≥1， 所以当a=8,b=2时，△AOB的面积最小， 当k=0时，直线为y=1,符合题意，故k的取值范 此时直线1的方程为写十立=1 围是[0，十o∞). 即x+4y-8=0. (3)由题意可知k≠0，再由l的方程， 得Af-1去o0小B01+2. （2)因为4+片-10>0b>0. 1+2k∠0， 所以0A+0B=a+6=a+(+)=5+ 依题意得 解得>0. 1+2k>0, +”9 :s=011oB=·121+2 当且仅当a=6,b=3时等号成立， 所以当OA|十|OB|取最小值时，直线1的方程为 =1=楼++ x+2y-6=0. ·205·