精品解析：北京市育才学校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期北京育才学校高三数学 十二月月考试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求出集合，再求两集合的交集即可. 【详解】解不等式可得，即； 又，因此． 故选：D 2. 已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法运算化简复数，即可由虚部定义求解. 【详解】由可得， 故虚部为， 故选：D 3. 已知抛物线的焦点为，点在上，，为坐标原点，则（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由抛物线的焦半径公式求出点的坐标，再利用两点间的距离公式求出. 【详解】设，， 又因为，所以， 故. 故选：D. 4. 已知角的终边经过点，把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，再根据诱导公式及三角函数的定义即可得解. 【详解】因为角的终边经过点， 所以， 因为把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边， 所以， 所以. 故选：D. 5. 设，，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由，可推出，可以判断出中至少有一个大于1.由可以推出，与1的关系不确定，这样就可以选出正确答案. 【详解】因为，所以，，，显然中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符. 由，可得，与1的关系不确定，显然由“”可以推出，但是由推不出，当然可以举特例：如，符合，但是不符合，因此“”是“”的充分不必要条件，故本题选A. 【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，由，，，判断出中至少有一个大于1，是解题的关键. 6. 设函数，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数的图象，方程有三个不同的实数根，等价于函数的图象与直线有3个交点，结合图象，即可得出结果. 【详解】函数在上单调递增，函数值集合为； 函数在上单调递减，函数值集合为[0,+∞)； 函数在上单调递增，函数值集合为[0,+∞)； 作出函数的图象与直线，如图， 观察图象知，只有当时，函数的图象与直线有3个交点， 所以有三个不同的实数根，实数的取值范围为； 故选：C 7. 设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得，结合函数在区间恰有三个极值点、两个零点，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，其中，可得， 因为函数在区间恰有三个极值点、两个零点， 由图象如图， 由图可知，，解得，所以的取值范围为. 故选：B. 8. 已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线与圆相交的弦长公式进行求解即可. 【详解】因为圆，圆心为，半径为，即 因为为直角三角形，所以, 设圆心到直线的距离为， 由弦长公式得，所以，化简得. 故选：A. 9. 在平面直角坐标系中，已知两点．若曲线C上存在一点P，使，则称曲线C为“合作曲线”，给出下列曲线：①；②；③．其中“合作曲线”是（ ） A. ①② B. ②③ C. ① D. ② 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设点，由“合作曲线”的定义可知，曲线上存在点，使得，然后逐一判断，即可得到结果. 【详解】设点，则， 由可得，即， 即曲线上存在点，使得，即为“合作曲线”， 对于①，由双曲线可得， 则双曲线上存在点满足，故①为“合作曲线”； 对于②，由椭圆可得， 则椭圆上存在点满足，故②为“合作曲线”； 对于③，因为圆心到直线的结论， 故直线上不存在一点满足，故③不为“合作曲线”； 故选：A 10. 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则的值约为（ ） A. 10 B. 13 C. 63 D. 66 【答案】B 【解析】 【分析】 将代入函数，结合求得，即可得解. 【详解】，所以，则， 所以，，解得， 所以 故选：B. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 的展开式中含项的系数为________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式的通项公式计算即可. 【详解】的通项为. 令，解得. 此时. 所以含项的系数为. 故答案为：. 12. 在梯形中，，，，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】方法一：根据向量的数量积公式计算即可. 方法二：建立直角坐标系，根据向量数量积的坐标运算计算即可 【详解】方法一：过点作. 因为，所以梯形为等腰梯形，所以，. 在中，. 在中，, . 所以. 方法二：过点作. 以点为原点，，所在直线为轴、轴建立直角坐标系， 因为，所以梯形为等腰梯形，所以，. 在中，. 所以，，， ，， 所以. 故答案为：12. 13. 设双曲线的左右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为________；C的渐近线方程为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率及渐近线方程. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以，渐近线方程为. 故答案为：；. 14. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列，则______；______.（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”） 【答案】 ①. 8 ②. . 【解析】 【分析】先根据题意分别把三三数之余二的正整数和五五数之余三的正整数，从小到大排列，构成二个数列，再求出三三数之余二，五五数之余三的正整数从小到大排列，所构成的数列，这样利用等差数列的通项公式进行求解即可； 【详解】三三数之余二的正整数从小到大排列得到数列为： ； 五五数之余三的正整数，从小到大排列，构成数列为： . 所以三三数之余二，五五数之余三的正整数，从小到大排列得到数列为： ，数列是以首项为8，公差为15的等差数列. 空1：； 空2：. 故答案为：8； 【点睛】本题考查了等差数列的判定和通项公式的求法，考查了数学阅读能力和数学运算能力. 15. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上． 给出下列四个结论： ①的最小值为； ②四面体的体积为； ③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，利用直线之间的距离即可求解；对于②，以为顶点，为底面即可求解；对于③，利用直线的垂直关系即可判断；对于④，利用空间坐标即可求解. 【详解】对于①，由于在上运动，在上运动，所以的最小值就是两条直线之间距离，而，所以的最小值为； 对于②，，而，所以四面体的体积为； 对于③，由题意可知，当与重合，与重合时， ，又根据正方体性质可知，，所以当为中点，与重合时，此时，故与垂直的不唯一，③错误； 对于④，当为等边三角形时，，则此时.所以只需要与的夹角能等于即可. 以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图， 设，则由题意可得，，，则可得，，则，整理可得，该方程看成关于的二次函数，，所以存在使得为等边三角形. 故答案为：①②④ 三、解答题：本大题共6小题，共85分． 16. 在中，. （1）求； （2）若为边的中点，且，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，结合三角和为及诱导公式可得，即可得答案； （2）在中，由正弦定理可求得，从而可得，在中，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理可得， 即，， 又因为， 所以， 解得，又因为， 所以； 【小问2详解】 解：因为为边的中点，， 所以, 设, 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 又因为，所以， 在中，， 在中，， 由余弦定理可得：， 所以， 即. 17. 如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明过程详见解析. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得到线面平行，再根据线面平行的性质即可得到. （2）根据面面垂直的性质得到线面垂直，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标和向量，进而求出平面法向量，最后根据向量夹角公式求出二面角的余弦值. （3）根据点到平面的距离公式，利用（2）中求出的平面法向量和相关向量计算即可. 【小问1详解】 四边形是矩形，. 又平面，平面，平面. 又平面，平面平面，. 【小问2详解】 取、中点、，连接、. 四边形是矩形，、为、中点，. 是正三角形，. 又平面平面，平面平面，平面， 平面. 以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 已知，，，则，，. 各点坐标为、、、、 ，. 设平面的法向量为，则，即， 所以，令，则，所以. 平面， 即为平面的一个法向量，. 设平面与平面的夹角为， 则. 平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 ，平面的法向量为. 又，， 点到平面的距离为. 18. 《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m）（部分摘抄）： 项目 国际级运动健将 运动健将 一级运动员 二级运动员 三级运动员 男子跳远 8.00 7.80 7.30 6.50 5.60 女子跳远 6.65 6.35 5.85 5.20 4.50 在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25； 乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38； 丙：5.16，5.65，5.18，5.86． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立， （1）估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率； （2）设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X的数学期望； （3）在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m）如下表： 第1跳 第2跳 第3跳 第4跳 第5跳 第6跳 甲 6.50 6.48 6.47 6.51 6.46 6.49 丙 5.84 5.82 5.85 5.83 5.86 a 若丙第6次试跳的成绩为a，用分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当时，写出a的值．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）由已知数据计算频率，用频率估计概率； （2）由X的取值，计算相应的概率，由公式计算数学期望； （3）当两人成绩满足的模型，方差相等. 【小问1详解】 甲以往的10次比赛成绩中，有4次达到国家二级及二级以上运动员标准， 用频率估计概率，估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率为； 【小问2详解】 设甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员分别为事件， 以往的比赛成绩中，用频率估计概率，有，，， X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数， 则X可能的取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 估计X的数学期望； 【小问3详解】 甲的6次试跳成绩从小到大排列为：， 设这6次试跳成绩依次从小到大为， 丙的5次试跳成绩从小到大排列为：， 设丙的6次试跳成绩从小到大排列依次为， 当时，满足，成立； 当时，满足，成立. 所以或. 19. 已知椭圆的长轴长为4，一个焦点为. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1），离心率； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）由题意确定椭圆参数值，即可得椭圆方程，进而得到离心率； （2）设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理得，法一：根据面积比得到，即直线的斜率与直线的斜率互为相反数，列方程求得；法二：根据面积比得，结合两点距离公式并整理求得，即得结论. 【小问1详解】 由题意，得，所以. 所以椭圆的方程为，离心率. 【小问2详解】 设直线的方程为（显然），点， 设，联立方程， 整理得. 所以. 法一：因为. 又，所以. 所以，直线的斜率与直线的斜率互为相反数. 设直线的斜率为，直线的斜率为， ，整理可得， ，因为， 所以，， 即，解得. 所以点的坐标. 法二：因为，又， 所以，即，， 所以，且， 整理得， 则， 而，显然， 所以， 故， 所以，解得. 所以点的坐标. 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设，求函数的极大值； （3）若，求函数的零点个数． 【答案】（1） （2）当时，函数无极大值；当时，的极大值为； （3） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）求导，分，和三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解； （3）令，则，再分的正负讨论，当时，分离参数可得，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【小问1详解】 当时，，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ，则， 则， 当时，，此时函数无极值； 当时，令，则或，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为； 当时，令，则或，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数的定义域为， 所以此时函数无极值. 综上所述，当时，函数无极大值； 当时，的极大值为； 【小问3详解】 令，则， 当时，， 所以时，函数无零点； 当时，由，得，所以， 则时，函数零点的个数即为函数图象交点的个数， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，且，当时，， 如图，作出函数的大致图象， 又，由图可知，所以函数的图象只有个交点， 即当时，函数只有个零点； 综上所述，若，函数有个零点． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 21. 设为给定的不小于的正整数，考查个不同的正整数，， ，构成的集合，若集合 的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合为“差异集合”． （1）分别判断集合，集合是否是“差异集合”；（只需写出结论） （2）设集合是“差异集合”，记 ，求证：数列的前项和； （3）设集合是“差异集合”，求 的最大值． 【答案】（1）集合不是，集合是；（2）见解析；（3）最大值为 【解析】 【分析】 （1）利用定义直接判断 （2）利用定义得，则 即可证明 （3）不妨设，变形 结合， 即可证明 【详解】（1）集合不是，因为，即子集与子集元素之和相等； 集合是，因为集合的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等. （2）由集合是“差异集合”知：的个非空子集元素和为互不相等的个正整数， 于是，所以 （3）不妨设，考虑 而，所以 当时，； 综上，的最大值为. 【点睛】本题考查集合新定义问题，考查变形推理能力，准确理解题意进行转化是关键，是难题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期北京育才学校高三数学 十二月月考试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知抛物线的焦点为，点在上，，为坐标原点，则（ ） A. B. 4 C. 5 D. 4. 已知角的终边经过点，把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设函数，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，已知两点．若曲线C上存在一点P，使，则称曲线C为“合作曲线”，给出下列曲线：①；②；③．其中“合作曲线”是（ ） A. ①② B. ②③ C. ① D. ② 10. 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则的值约为（ ） A. 10 B. 13 C. 63 D. 66 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 的展开式中含项的系数为________．（用数字作答） 12. 在梯形中，，，，则________． 13. 设双曲线的左右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为________；C的渐近线方程为________． 14. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列，则______；______.（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”） 15. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上． 给出下列四个结论： ①的最小值为； ②四面体的体积为； ③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是____． 三、解答题：本大题共6小题，共85分． 16. 在中，. （1）求； （2）若为边的中点，且，求的值. 17. 如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m）（部分摘抄）： 项目 国际级运动健将 运动健将 一级运动员 二级运动员 三级运动员 男子跳远 8.00 7.80 7.30 6.50 5.60 女子跳远 6.65 6.35 5.85 5.20 4.50 在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25； 乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38； 丙：5.16，5.65，5.18，5.86． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立， （1）估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率； （2）设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X的数学期望； （3）在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m）如下表： 第1跳 第2跳 第3跳 第4跳 第5跳 第6跳 甲 6.50 6.48 6.47 6.51 6.46 6.49 丙 5.84 5.82 5.85 5.83 5.86 a 若丙第6次试跳的成绩为a，用分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当时，写出a的值．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的长轴长为4，一个焦点为. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设，求函数的极大值； （3）若，求函数的零点个数． 21. 设为给定的不小于的正整数，考查个不同的正整数，， ，构成的集合，若集合 的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合为“差异集合”． （1）分别判断集合，集合是否是“差异集合”；（只需写出结论） （2）设集合是“差异集合”，记 ，求证：数列的前项和； （3）设集合是“差异集合”，求 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $