精品解析：云南省昭通市镇雄县三校联考2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

三校联考2025年秋季学期高二年级第一次月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合集合的条件计算可得，，进而根据交集的定义求解即可. 【详解】由，，，， 则，，所以. 故选：C. 2. 已知复数z满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合复数的除法运算求得，即可得共轭复数以及其虚部. 【详解】因为，则， 所以，故其虚部为. 故选：D. 3. 已知向量，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，，结合模长关系运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，即， 所以，即. 故选：C. 4. 在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可得解. 【详解】 如图所示， 在三棱柱中，，， 依题意， 故选：A. 5. 如图是某高中学校2000名男生的身高样本的频率分布直方图，估计该样本数据的53%分位数为（ ） A. 177 B. 178 C. 179 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率直方图及百分位数的定义求53%分位数. 【详解】由题设， 所以53%分位数在区间内，设为，则， 所以. 故选：C 6. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意； 当，由不等式的解集为， 则，，解得， 即的取值范围为． 故选：A． 7. 关于空间向量，以下说法正确的是（     ） A. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 B. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D. 若空间向量，则在方向上的投影向量为 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理判断A，利用向量共线同向时满足排除B，由即可得到判断C，利用投影向量的定义计算即可判断D项. 【详解】对于A，因为在中，， 由空间向量共面定理，可知P，A，B，C四点不共面，故A错误； 对于B，当共线同向时，，但与夹角不是锐角，故B错误； 对于C，因，即，故，即C正确； 对于D，在方向上的投影向量为，故D错误. 故选：C. 8. 已知，，，是同一个球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出几何体的图形，把三棱锥扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积． 【详解】由题意画出几何体的图形，把三棱锥扩展为三棱柱，如图所示， 上下底面中心连线的中点O为外接球球心，O与A的距离是为球的半径， ，， 是正三角形，由正弦定理，， ，即球的半径为， 则所求球的表面积为. 故选：A． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 图象的对称中心为 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接代入计算可判断A；根据正切函数周期性可判断B；根据正切函数的对称性，整体代入求解可判断C；利用正切函数单调性解表示可判断D. 【详解】对A，，A正确； 对B，的最小正周期，B错误； 对C，由得， 所以图象的对称中心为，C正确； 对D，由得， 所以，解得，D正确. 故选：ACD 10. 已知四棱台的上、下底面均为正方形，底面，，，是底面的中心，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 平面的一个法向量为 D. 点到平面的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】写出点的坐标可判断A选项，利用空间向量的坐标运算可判断B选项，利用求平面法向量的方法求解可判断C，利用空间点到平面的距离的向量解法可求D. 【详解】由题意得，，故A正确； ，所以，，故B不正确； 由题意得，，，， 所以，， 设是平面的法向量，则, 令，则，，则，故C正确 ，则点到平面的距离为，故D不正确. 故选：AC 11. 对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （ ） A. 有最大值，无最小值 B. 当的最大值为 C. 不等式的解集为 D. 的单调递增区间为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意作出的函数图像，利用图像即可判断ABD，先求，再利用图像即可解，进而判断C. 【详解】作出函数的图象， 如图： 对于A：由图象可得无最大值，无最小值，故A错误； 对于B：由图象可得，当时，的最大值为，故B正确; 对于C：由， 解得， 由图象可得，不等式的解集为， 故C正确; 对于D： 由图象可得，的单调递增区间为， 故D错误. 故选：BC. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间向量，，若，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量共线定理求解. 【详解】根据题意，因为，设，则有， 可得，所以. 故答案为：. 13. 已知点，，，则到的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件求得，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为，， 所以 所以, 所以点到的距离 . 故答案为:. 14. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】分析该分段函数在各段上的零点情况，将问题转化为直线与在上有一个交点的问题，结合函数的图象即得参数的范围. 【详解】当时，由可得， 依题意， 时， 有1个零点， 即方程在上有一个实根， 也即直线与在上有一个交点. 如图作出函数的图象. 因在上单调递增，由图可知，此时. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的值域. 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递减区间； （2）由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求出函数在区间上的值域. 【小问1详解】 解：因为 ， 所以，函数的最小正周期为， 由可得， 所以，函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 解：当时，，则， 因此，函数在区间上的值域为. 16. 某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛. 决赛阶段进行线上答题. 题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立. 选择题答对得5分，否则得0分；填空题答对得4分，否则得0分，将得分逐题累加. （1）若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为，，. 求他得分不低于10分的概率； （2）规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止. 已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为. 小红依次做一道选择题两道填空题，求小红通过考试的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】由相互独立事件的概率乘法公式求解即可 【小问1详解】 记“他得分不低于10分”为事件， 则 ， 即得分不低于10分的概率； 【小问2详解】 记“小红通过考试”为事件， 则， 即小红通过考试的概率为. 17. 设的内角所对边的长分别为，且． （1）求的大小； （2）若，，为的中点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解； （2）利用余弦定理求出，即可得到，再由勾股定理计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以， 又，所以， 所以，又，所以，所以． 【小问2详解】 由余弦定理， 所以，所以，所以，即， 在中，． 18. 已知函数是定义域为的奇函数，. （1）求的值； （2）用定义法证明的单调性； （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）， （2） 由已知得，则， 任取，且令，则 ，得到， 故，则是减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质得，进而解得即可. （2）利用定义法得到函数的单调性即可. （3）利用奇函数性质得，再由单调性得，即，最后利用均值不等式求解参数范围即可. 【小问1详解】 因为函数是定义域为的奇函数， 所以，得， 又，即，解得， 则，经检验符合题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得在时恒成立， 因为是单调递减的奇函数， 所以，即在时恒成立， 得到，且令，即恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 得到，得到，即. 19. 如图1五边形中，，将沿折到的位置，得到如图2所示的四棱锥，点为线段的中点，且平面. （1）求证:平面; （2）求证:平面; （3）若直线与所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）取的中点，连接 则， 又， 所以， 则四边形为平行四边形， 所以 因为平面 所以平面 （2）由(1）知，又平面 平面 由即及为的中点， 可得为等边三角形， 又， 即 又 平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接证明再由线面平行的判定定理即可证明. （2）由（1）证出，再由线面垂直的判定定理即可证明. （3）取的中点，连接，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间向量求二面角即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 为直线与所成的角， 由可得， 设则， 取的中点，连接， 易知平面过作的平行线， 可建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以 设为平面的法向量， 则， 即 取，则为平面的一个法向量， 又平面的法向量， 则 由图易知二面角的平面角为钝角， 所以二面角余弦值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三校联考2025年秋季学期高二年级第一次月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（    ） A. B. C. D. 5. 如图是某高中学校2000名男生的身高样本的频率分布直方图，估计该样本数据的53%分位数为（ ） A. 177 B. 178 C. 179 D. 180 6. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 关于空间向量，以下说法正确的是（     ） A. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 B. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D. 若空间向量，则在方向上的投影向量为 8. 已知，，，是同一个球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 图象的对称中心为 D. 不等式的解集为 10. 已知四棱台的上、下底面均为正方形，底面，，，是底面的中心，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 平面的一个法向量为 D. 点到平面的距离为 11. 对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （ ） A. 有最大值，无最小值 B. 当的最大值为 C. 不等式的解集为 D. 的单调递增区间为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间向量，，若，则实数的值为______． 13. 已知点，，，则到的距离为__________. 14. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是_____ 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的值域. 16. 某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛. 决赛阶段进行线上答题. 题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立. 选择题答对得5分，否则得0分；填空题答对得4分，否则得0分，将得分逐题累加. （1）若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为，，. 求他得分不低于10分的概率； （2）规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止. 已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为. 小红依次做一道选择题两道填空题，求小红通过考试的概率. 17. 设的内角所对边的长分别为，且． （1）求的大小； （2）若，，为的中点，求的长． 18. 已知函数是定义域为的奇函数，. （1）求的值； （2）用定义法证明的单调性； （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围. 19. 如图1五边形中，，将沿折到的位置，得到如图2所示的四棱锥，点为线段的中点，且平面. （1）求证:平面; （2）求证:平面; （3）若直线与所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $