云南昭通市镇雄县五德中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷

高二数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B C C D B C 【解析】 1．，全集，所以，故选D． 2．，所以“”是的充分不必要条件，故选A． 3．，所以，故选B． 4．，故选C． 5．，所以的实部为1，故选C． 6．，所以这组数据的第70百分位数为，故选D． 7．，又不共线，当共线时， ，所以的取值范围是，故选B． 8．如图1，由题意，平面，，因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，直线​的方向向量，，点到直线的距离，故选C．图1 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 ACD BD ABD 【解析】 9．，所以选项A正确；时，，在上单调递增，在上单调递减，所以选项B错误；时，，所以选项C正确；令，的最大值为1，所以选项D正确，故选ACD． 10．对于选项A，有可能，所以选项A错误；对于选项C，有可能直线异面，所以选项C错误，故选BD． 11．对于选项A和B，由平面向量基本定理得：点在平面内，所以点到平面的距离始终等于1，三棱锥的体积，所以选项A和B正确；对于选项C，当时，点的轨迹为线段，，所以选项C错误；对于选项D，当时，点的轨迹为线段，平面，所以四棱锥的体积为定值，所以选项D正确，故选ABD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 【解析】 12．抽取的情况包含共10种情况，这两个数字互质的情况有9种，则这两个数字互质的概率为． 13．， （当且仅当时取等号），所以的最小值为 14．由题可建立如图2所示空间直角坐标系，则 设则 所以，即，所以；图2 ，令，则，因为，所以，所以，所以，所以的取值范围是． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）由正弦定理得：， 又， 所以  …………………………………………………………………………（6分） （2）， 所以 ………………………………………………（10分） 的面积 ………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分） 解：（1） …………………………………………………………………………………（2分） （2） …………………………………………………………………………………（7分） 设中位数为，则…………………………………（10分） （3）合格区间为，所以合格率 ………………………………………………………………………………（15分） 17．（本小题满分15分） 解：（1）由于几何体是平行六面体，则， ， 所以 …………………………………………………………………（7分） （2）设直线与直线所成角为，则， ． 又因为， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为． …………………………（15分） 18．（本小题满分17分） 解：（1）对称轴为 时，函数在区间上单调递增，此时； 时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时； 时，函数在区间上单调递减，此时 综上， ……………………………………………………（7分） （2）时，函数在区间上单调递增， 此时； 时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. （i）时，； （ii）时，； 时，函数在区间上单调递减， 此时 综上，．………………………………………………………………………（17分） 19．（本小题满分17分） （1）证明：在直三棱柱中，①， 在中，点是线段的中点②， ……………………………………（5分） （2）解：以点B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则 设平面的一个法向量为则 可得平面的一个法向量为； 同理，平面的一个法向量为 设二面角的平面角为， 则 …………………………………………………………（11分） （3）解：由（1）得：平面的法向量为 ， 设直线与平面所成角为， 则 ……………………………………………………（17分） 高二数学参考答案·第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■▣■口■■■■ 高二数学参芳答案 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的) 题号 1 2 5 6 7 8 答案 D A B c C D B c 【解析】 1.A∩B={2,3},全集U={1,2,3,4,5,6,7},所以C,(A∩B)={L,4,5,6,7},故选D. 2.x2-2x+1>0一x≠1，所以“x>3”是“x-2x+1>0的充分不必要条件，故选A. 3.ab=-2+2=0,所以a⊥b,故选B. 4.(a+b).(a-b)=a2-b2=5-5=0,故选C. 5.12》于i0-)=1+i,所以2的实部为1，故选C 6.10×0.7=7,所以这组数据的第70百分位数为88+90=89，故选D. 2 2x-1x 7.a·b-9(2x-1D+2x-12<0→x<62,又a,b不共线，当a,b共线时，9=2 46 一x所以的取值范是》8 4 故选B. &.如图1，由题意，BR上平面ABC,ABC=分因此 以B为原点，分别以BA、BC、BB,方向为x,”z轴 建立空间直角坐标系，则B(0,00),A(2,0,0), y C(0,2,0),B,(0,0,1),C(0,1,1),直线AC的方向 图1 高二数学参考答案·第1页（共6页） ■■口■口口■■■■▣ 向量AC=(-2,1,1)，AB=(-2,0,0)，点B到直线AC的距离 d ABP IAB.AC 4-8_23 4 故选C ACI 33 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ACD BD ABD 【解析】 9.T=2=， 所以选项A正确； 副时，2x+y=nu在到 单调递增 在[ 2π 上单调递减， 所以选项B错误：=时，2x+亚=不，所以选项 3 C正确：令2x+骨，y=mm的最大值为1，所以选项D正确，故选ACD。 l0.对于选项A,有可能nc,所以选项A错误；对于选项C,有可能直线m,n异面，所 以选项C错误，故选BD 11.对于选项A和B,由平面向量基本定理得：点P在平面BCCB,内，所以点P到平面 ADA的距离始终等于1，三棱锥P-ADA的体积V=xx2xIx1=,所以选项A和 32 B正确；对于选项C,当1=M时，点P的轨迹为线段BC,BC=√5，所以选项C错 误；对于选项D,当L=1时，点P的轨迹为线段BC,B,C∥平面ABCD,所以四棱 锥P-ABCD,的体积为定值，所以选项D正确，故选ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 品 8-3 √5,3) 高二数学参考答案·第2页（共6页） ■■口■▣口■■■■口 【解析】 12.抽取的情祝包含(1,2)，1,3)，14)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(35)，(4,5)， 共10种情况，这两个数字互质的情况有9种，则这两个数字互质的概率为P=9 10 18.s2-64→2--23+6，-月 0 (当且仅当x=y=3时取等号)，所以+3y xy 的最小值为号 14.由题可建立如图2所示空间直角坐标系D-z,则D(0,0,0), D B1,1,1),B1,1,0),C(0,1,1),A1,0,0),D,(0,0), 设P(x,y,0)0≤x≤1,0≤y≤1，则DB=I,1,1),BC=(-1,0,1), AB=(0,1,0,DP=(xy-1),所以1D,PL√R+y2+1=√2，即 图2 x2+y2=1,所以dDB,BC)=V-←1+1-0)2+1-1P=5:D(AB,DP)H0-x l-川+0-(D啡x1-y+1=-y+2，令=caay=im0e[0引，则 a服nr=x+2-as0-m0+2-5am(0:哥引2，因为0[引所以 东以o)号以o引e,所以 D(AB,DP)的取值范围是[1,3]· 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)由正弦定理得： a b →sinB=bsinA1 sinA sinB a 2 又b=√5<a=3→B<A= 3 所以B=E …(6分) 6 高二数学参考答案·第3页（共6页） ■■口■▣口■■■■口 (2)C=π-A-B=2 所以c2=a2+b2=12→c=23. …(10分) △MBC的面积Sac=ab=3 1 (13分) 2 16.(本小题满分15分) 解：(1)10×0.01+0.015+0.015+a+a+0.01)=1→a=0.025. ……(2分) (2)x=15×0.1+25×0.15+35×0.15+45×0.25+55×0.25+65×0.1=42. …（7分) 设中位数为b,则(b-40)×0.025=0.1三b=44.…(10分) (3)合格区间为(30,54)，所以合格率P=0.15+0.25+4×0.025=0.5. (15分) 17.(本小题满分15分) 解：(1)由于几何体是平行六面体，则AC=AB+B,C=AA+AB+AD, |ACP=AC=(AA+AB+AD)2=AA+AB+AD+2AA·AB+2AA·AD+2AB·AD =AA+AB'+AD+2AA-ABI-COSZBAA +21AA I-1ADI-CosDAA+ 2|AB|·|ADI·cOS∠BAD =4+1+1+2×2×1×-×2+0=10, 2 所以AC上V而. … …(7分) (2)设直线AC与直线AB所成角为0，则cos0cos(4C,ABAC,AS |ACI‖AB AC.AB=(AA+AB+AD).(AB+AA)=AA+AB+2AA.AB+AB.AD+AA.AD =AA+AB+2|AA|AB1cos∠AAB+|AB||AD|.cos∠BAD+|AAI·|AD I.cos.∠AAD 高二数学参考答案·第4页（共6页） ■■口■▣口■■■■口 1 1 =4+1+2×2×1×三+0+2×1×。=8 又因为1ABHA4+ABEAA+AB+2A4·AB=4+1+2=√万，|AC上1而， 所以cos0= 8 470 10x万35 所以直线AC,与直线AB,所成角的余弦值为4W而 …（15分) 35 18.(本小题满分17分) 解：(1)对称轴为x=a, 1°a≤1时，函数f(x)在区间(L,3)上单调递增，此时f(x)m=f①)=3-2a: 21<a<3时，函数f(x)在区间(1，a)上单调递减，在区间(a,3)上单调递增， 此时f(x)mm=f(a)=2-a2; 3a≥3时，函数f(x)在区间(，3)上单调递减，此时f(x)m=f(3)=11-6a. [11-6a,a≥3， 综上，g(a)={2-a,1<a<3, …(7分) 3-2a,a≤1. (2)1°a时，函数f(x)在区间1,3)上单调递增， 1 此时f(x)m=f(3)=11-6a=10→a=2∈（←0,1： 6 21<a<3时，函数f(x)在区间(L,a)上单调递减，在区间(a,3)上单调递增. 1 (i)1<a≤2时，f(x)mx=f(3)=11-6a=10→a=2(1,2](舍)： 6 02<a<3时，fw=f⑩=3-2a=10→a=g(2,3(舍月 3a≥3时，函数f(x)在区间（①，3）上单调递减， 此时f=f0=3-2a=103a=34B+wx合 1 综上，a= …（17分) 6 高二数学参考答案·第5页（共6页） ■■口■▣口■■■■口 19.(本小题满分17分) AA⊥平面ABC (1)证明：在直三棱柱ABC-ABC中， BDC平面ABC →BD⊥AA①， 在△ABC中，点D是线段AC的中点→BD⊥AC②， BD⊥AC BD⊥AA AC∩AA=A →BDL平面ACCA.…(5分) AC,AAC平面ACC,A (2)解：以点B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB所在直线 为z轴，建立空间直角坐标系， 则B(0,0,0),B(0,0,2√2)，A(2,0,0),C(0,2,0),A(2,0,2W2),C(0,2,2W2), 「BA=(2,0,2W2). BA·n=0, 设平面BAD的一个法向量为n=(x,,x),则{ BD=L,1,0 BD·n=O, 可得平面BAD的一个法向量为n=(√2，-√2，-1)： 同理，平面BAD的一个法向量为m=(0,2√2,1). 设二面角B-AD-B的平面角为6， 则cos8=m·L-V5 (11分) m x n 3 (3)解：由(1)得：平面ACCA的法向量为BD=(L,1,0), aF-ac=a30→r032F=（22月 设直线DF与平面DC,A所成角为B, 则sinB= |DF·BDL-V74 …(17分) |DFI×|BD174 高二数学参考答案·第6页（共6页）★ 秘密 ★ 因涉及考试内容，请老师妥善保管，避免泄漏 高二数学·双向细目表 题号 题型 分值 试题内容 难易程度 备注 1 单选 5 集合的交并补基础运算 0.9 2 单选 5 充分必要条件的基础判断 0.85 3 单选 5 空间向量的运算 0.8 4 单选 5 平面向量的运算 0.78 5 单选 5 复数的四则运算 0.75 6 单选 5 统计中的样本数字特征 0.7 7 单选 5 空间向量的坐标运算 0.68 8 单选 5 点到直线的距离 0.65 9 多选 6 三角函数的图像与性质综合 0.62 10 多选 6 直线与平面的位置关系判断 0.6 11 多选 6 空间向量与动态立体几何综合 0.58 12 填空 5 古典概型的概率计算 0.7 13 填空 5 基本不等式求最值 0.65 14 填空 5 新定义与两点间的距离 0.6 15 解答 13 解三角形的实际应用 0.7 16 解答 15 统计与概率的综合应用 0.62 17 解答 15 空间向量的线性表示、线线角 0.6 18 解答 17 函数与不等式的综合探究 0.52 19 解答 17 空间向量与动态立体几何综合 0.6 命题 思想 达成目标 优秀率 及格率 平均分 20% 60% 95 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页， 第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟， 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、 准考证号在答题卡上填写清楚， 2.每小题选出答案后，·用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.·在试题卷上作答无效 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={2,3,5,7},集合B={1,2,3,4}, 则C(AnB)= .A.0 B.{2,3} C.{6} D.{1,4,5,6,7} 2.“x>3”是“x2-2x+1>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知空间向量a=(1,m,2),b=(-2,0,1),则a,b的位置关系是 :A.平行 B.垂直 C.异面 D.与m的取值有关 高二数学·第1页（共6页） 藏®用全王 4.已知平面向量a=(1,2),b=(2,-1),则(a+b)·(a-b)= A.-2 B.-1 C.0 D.1 5.已知复数z满足z(1+i)=2i,则z的实部为 A.-1 B.0 C.1 D.2 6.某班级10名学生的数学单元测试成绩分别为：72,75,78,80,82,85,88,90， 92,95，这组数据的第70百分位数为 A.85 B.86.5 C.88 D89 7已知空间向量a=程，2，-)，b=(2x-1,×,4),且a,b的夹角为钝角，则x的取 值范围是 a,8 B(w,-引(8 c(,-刳 8.如图1，在三棱台ABC-ABC,中，AB=BC=2,BB,=A,B,=l,且∠aBC=7,若B, ⊥平面ABC,则点B到直线AC,的距离为 B.6 3 3 C.2 D.26 图1 3 3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中， 有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分) 9.已知函数)=sin2x+写引》，下列关于该函数的说法正确的是 A.最小正周期为T B.在区间0，)上单调递增 C.图象关于点行，0对称 D.最大值为1 高二数学·第2页（共6页） Ba年 ■■口■口口■■ 10.已知m,n是两条不同的直线，α，B是两个不同的平面，下列命题中正确的是 若mCa,m∥n,则n∥a B若m⊥a,mCB,则a⊥B C.若mCa,nCB,a∥B,则m∥n D.若m⊥a,nl,则m∥n 11.在正四棱柱ABCD-A,B,C,D1中，AM1=2AB=2,点P满足B萨=XB元+μBB,其中 入∈[0,1]，4∈[0,1]，则下列说法正确的有 人当入=0时，.三校锥P-ADA,的体积为定值时 B.无论X,以取何值，三棱锥P-ADA,的体积均为定值号 C.当入=u时，点P的轨迹长为√2 D.当μ=1时，四棱锥P-A1BCD1的体积为定值 第Ⅱ卷（非选择题，共92分) 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效， 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.从1,2,3,4,5这5个数字中随机抽取2个不同的数字，这两个数字互质的概率为 13.已知0,20,8,2=64，则+3y的最小值为 14.对于两个空间向量a=(x1,y1,名)与=(x2,2,2),我们定义 d(d,)=√(x,-x2)2+(yy2)+(a-2)为两点之间的直线距离；又 定义它们之间的曼哈顿距离为D(G,=x1x2|+|y,2|+z2. 如图2，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，d(DB,BC)= 图2 ;若点P在底面ABCD内（含边界）运动，且|D,P|= √2，则D(AB,D,户)的取值范围是 一·（第一空2分，第二空3分) 高二数学·第3页（共6页） ⑧归全王 四、解答题（共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=√3，A=T (1)求角B的大小； (2)求边c的长度和△ABC的面积！ 16.(本小题满分15分) 某工厂为了检验一批新产品的质量，随机抽取了100件产品进行检测，得到产品质量 指标值的频率分布直方图如图3所示： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)估计这批产品质量指标值的平均数和中位数； (3)若质量指标值落在区间(x-5,x+s)内的产品为合格产品，其中为平均数，s为 标准差，已知这批产品的标准差s=12,估计这批产品的合格率 频率 组距 0.015 0.01 1020304006070产品质量指标值 图3 高二数学·第4页（共6页） 藏国aa好 17.(本小题满分15分) 如图4，在平行六面体ABCD-AB,C1D1中，AB=AD=1,AA,=2,∠BAD=90°， ∠BAA,=∠DAA1=60° (1)试用AA,AB,AD表示AC,再求AC,的长度； (2)求直线AC1与直线AB,所成角的余弦值. 图4 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=x2-2ax+2,x∈[1,3] (1)求函数f(x)的最小值g(a)的表达式； (2)若函数f(x)在区间[1,3]上的最大值为10，求实数a的值 高二数学·第5页（共6页） 藏国阳全王 ■■口■口口■■■■口 19.（本小题满分17分)》 如图5，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，∠ABC=90°，AB=BC=2,AA,=2√2，点D是线 段AC的中点，点F是线段B,C,上的点，且B,户=3FC (1)求证：BD⊥平面ACC,A1; (2)求二面角B-A1D-B,的余弦值； (3)求直线DF与平面DC,A1所成角的正弦值， D 图5 高二数学·第6页（共6页） 1r 藏⑧用全王