1.1.2三角形的角平分线、中线和高线（课件）--2026-2027学年浙教版数学八年级上册

# 浙教版数学八年级上册1.1.2 三角形的角平分线、中线和高线 专项练习（1321字） 本节专项练习聚焦浙教版八上1.1第二课时三角形的角平分线、中线、高线三大核心线段，区分三者定义、画法与性质，结合面积计算、线段求值、角度计算题型，兼顾基础巩固与能力提升，适配课后作业与单元小测训练。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于三角形中线的说法正确的是（） A. 三角形的中线是一条射线 B. 三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形 C. 三角形只有一条中线 D. 三角形的中线一定在三角形外部 2. 三角形的角平分线是（） A. 直线 B. 射线 C. 线段 D. 弧线 3. 下列说法中错误的是（） A. 锐角三角形三条高线都在三角形内部 B. 直角三角形只有一条高线 C. 钝角三角形有两条高线在三角形外部 D. 任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线 4. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，若BC=8，则BD的长为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 在△ABC中，AE是角平分线，∠BAC=80°，则∠BAE的度数为（） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 连接三角形的一个顶点和它对边________的线段，叫做三角形的中线。 7. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的________。 8. 在△ABC中，AD是BC边上的高，若∠ADB=________°。 9. 已知△ABC的面积为24，AD是BC边上的中线，则△ABD的面积为________。 10. 在△ABC中，BD平分∠ABC，∠ABD=35°，则∠ABC=________°。 ## 三、解答题（共60分） 11.（12分）作图题：画出钝角△ABC的三条高线，简要说明钝角三角形高线位置特点。 12.（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=5，AC=3，△ABD周长比△ACD周长多多少？写出推理过程。 13.（12分）在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC。若∠B=50°，∠C=70°，求∠DAE的度数。 14.（12分）△ABC中，AD为BC边上的高，BC=10，AD=6，AE是BC中线，求△ABE的面积。 15.（12分）求证：三角形的一条中线把原三角形分成面积相等的两个三角形。 ## 参考答案与解析 选择题：1.B 2.C 3.B 4.B 5.B 解析：1.三角形中线是线段，每个三角形有三条中线，均在三角形内部，中线等分面积；2.三角形角平分线为线段，区别于角平分线射线；3.直角三角形三条高，两条直角边本身就是高；4.中线平分底边，BD=1/2BC=4；5.角平分线平分内角，∠BAE=½∠BAC=40°。 填空题：6.中点；7.高线（高）；8.90；9.12；10.70 解析：6.中线定义：顶点到对边中点；7.高的定义，顶点到垂足线段；8.高垂直底边，夹角90°；9.中线等分面积，S△ABD=½S△ABC=12；10.BD是角平分线，∠ABC=2∠ABD=70°。 解答题解析： 11.作图：钝角顶点向对边作高；另外两个锐角顶点向对边延长线作垂线。特点：钝角三角形一条高在内部，两条高在三角形外部。 12.解：∵AD是中线，∴BD=CD。C△ABD=AB+BD+AD，C△ACD=AC+CD+AD。周长差=AB−AC=5−3=2。答：周长多2。 13.解：∠BAC=180°−50°−70°=60°，AE平分∠BAC，∠BAE=30°。AD⊥BC，∠BAD=90°−∠B=40°。∠DAE=∠BAD−∠BAE=10°。 14.解：AE是中线，BE=½BC=5。S△ABE=½×BE×AD=½×5×6=15。 15.证明：设△ABC中AD是BC中线，则BD=DC。△ABD与△ADC，以BD、DC为底，高相同，都是点A到BC距离。三角形面积=½底×高，底相等、高相同，所以面积相等。即中线分三角形为两个面积相等三角形。 （全文：1321字） 要不要我把这份练习拆成**纯题目版（不带答案）**方便直接打印给你做？ 浙教版（新教材）数学八年级上册 1.1.2三角形的角平分线、中线和高线 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第1章 三角形的初步知识 新知探究 是什么？ 在一个角（比如三角形的顶角A）里，画一条从顶点A出发的射线，把那个角切成两个一模一样的、大小相等的角。这条射线就是三角形角A的角平分线。 怎么想？ 想象你要把蛋糕（就是那个角）平均分给两个人吃，从哪里切下去最公平？这条“切下去”的线就是角平分线。 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。如图，∠ABC的平分线交AC于点D，线段BD就是△ABC的一条角平分线 了解三角形的角平分线 新知探究 是什么？ 从一个顶点（比如三角形的顶点A）向它所对的边（叫底边，比如BC）画一条垂直线（竖着的线），顶点A到这条垂直线在底边BC（或它的延长线）上交点的那段线（垂线段），就是BC边上的高（或叫顶点A的高）。 怎么想？ 想象这个三角形是一座小山，要从山顶A垂直向下量到山底边BC的高度是多少？那条垂直向下的“测量线”就是高。 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线。如图，BD⊥AC于点D,线段BD就是△ABC的AC边上的高线 了解三角形的高 高 新知探究 是什么？ 连接一个顶点（比如三角形的顶点A）和它所对边的中点（比如BC边中间的那个点，叫作D）的一条线段。 怎么想？ 想象你要找出BC边上的“正中心”位置（中点D），然后把它和顶点A用一条线连起来。这条线就是中线。 连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段叫作三角形的中线。如图,D为AC的中点,线段BD就是△ABC的AC边上的中线。分得的两个三角形的面积相等。 了解三角形的中线 A 返回 1． 在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为(　　) A．40° B．45° C．50° D．55° 举一反三 5 返回 C 2． [2025宁波月考]如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E.若∠BED＝64°，则∠BAD的度数是(　　) A．23° B．26° C．32° D．37° 举一反三 6 18° 返回 3． 如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，BE交AD于点F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，则∠EDF的度数是________． 举一反三 7 新知探究 三角形有几条高、几条中线、几条角平分线呢？ 如图所示：三角形都有三条角平分线、它们（或延长线）相交于一点O，这个点叫做内心； 三角形有三条高，它们（或延长线）相交于一点O，这个点叫做垂心； 三角形有三条中线，它们（或延长线）相交于一点O，这个点叫做重心； 新知探究 三角形有三条高、三条中线、三条角平分线的交点一定在三角形内部吗，动手画一画 总结：所有三角形的三条角平分线的交点、中线的交点都在三角形内部； 特别的，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形三条高的交点在直角顶点，钝角三角形三条高的交点在三角形外部； 典例分析 例1 下列结论正确的是( ) A.钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部 B.锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部 C.三角形的重心是三角形三条中线的交点 D.直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点 提分笔记 ①三角形的三条中线都在三角形内。 ②三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心 内部 内部 内部 三角形的三角条角平分线、三条中线都在三角形的内部交于一点，而三角形的三条高线的交点可能在三角形的内部（锐角三角形）、三角形上（直角三角形）、三角形的外部（钝角三角形） 典例分析 例2 如图，BD是△ABC的中线，△ABC的周长为9，AB+BC=5， 求CD的长． 主要考查中线的性质，根据三角形的周长得到AC=4，由中点的定义得到AC=2CD，由此即可求解 解：∵三角形ABC的周长为9，∴AB+BC+AC=9； ∵AB+BC=5，∴AC=4，∵BD是△ABC的中线，∴2AD=2DC=AC ∴DC=2 提分笔记 ①三角形的三条中线都在三角形内。 ②三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心 典例分析 提分笔记 三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形 例3 如图，BD是△ABC的中线，CE是△BCD的中线．若，求△BCE的面积． 本题利用中线的性质，即中线将三角形分为两个面积相等的部分，来求解的面积． 解：∵BD是△ABC的中线，，∴ ∵CE是△BCD的中线，∴9 ∴△BCE的面积为9 4． 返回 B [2025嘉兴期末]如图，在锐角三角形ABC中，AD为BC边上的中线，则(　　) A．BD＝AD B．BD＝CD C．AD＝AC D．AB＝BC 举一反三 13 5． 返回 2 在△ABC中，AB＝9，AC＝7，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为________． 举一反三 14 6． 返回 [2025台州月考]如图，BD是△ABC的中线，CE是△BCD的中线，DF是△CDE的中线，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为________． 举一反三 15 7． 返回 B [2025嘉兴月考]如图，△ABC的边AC上的高线是(　　) A．AF B．BD C．CE D．AE 举一反三 16 8． 返回 A 下列说法错误的是(　　) A．直角三角形只有一条高线 B．钝角三角形有两条高线在三角形的外部 C．任意三角形都有三条高线、中线、角平分线 D．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点 举一反三 17 9． 返回 B 我国古代数学名著《九章算术》中记载了三角形面积的计算方法，著名数学家刘徽在注文中用“以盈补虚”的方法(如图)对其加以说明．下面说法中描述错误的是(　　) A．长方形的长等于三角形的高 B．长方形的宽等于三角形的底 C．三角形底的长度等于长方形两条宽的和 D．长方形的面积等于三角形的面积 举一反三 18 10． 如图所示，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC，∠BOA的度数． 举一反三 19 返回 举一反三 11． 返回 D 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，CQ是△ABC的角平分线，AD是△ABC的高线，BE是△ABC的中线，AD与CQ交于点N，BE与CQ交于点M，则下列结论中正确的有(　　) ①S△ABE＝S△BCE；②∠AQN＝∠ANQ； ③∠BAD＝2∠ACQ；④AD·BC＝AB·AC. A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 举一反三 12． 70°　 如图，在△ABC中，AB，AC边上的高CE，BD相交于点F，∠ABC，∠ACB的平分线交于点G，若∠CGB＝125°，则∠DFC＝________． 举一反三 【点拨】 因为∠CGB＝125°， 所以∠GBC＋∠GCB＝180°－∠CGB＝55°. 因为∠ABC，∠ACB的平分线交于点G， 所以∠ABC＝2∠GBC，∠ACB＝2∠GCB， 所以∠ABC＋∠ACB＝2∠GBC＋2∠GCB＝2(∠GBC＋∠GCB)＝110°. 举一反三 所以∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝70°. 因为AB，AC边上的高CE，BD相交于点F， 所以∠AEC＝∠FDC＝90°. 所以∠ACE＝180°－∠AEC－∠A＝20°. 所以∠DFC＝180°－∠FDC－∠ACE＝70°. 返回 举一反三 13． 7或11 在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC＝________． 举一反三 【点拨】 设BD＝x，AC＝y，因为AD为△ABC的中线，所以BD＝DC＝x.所以AB＝2x. 当AB＋BD＝15，AC＋CD＝12时，有3x＝15，x＋y＝12，所以x＝5，y＝7，此时三边长为10，10，7，能构成三角形； 当AB＋BD＝12，AC＋CD＝15时，有3x＝12，x＋y＝15， 所以x＝4，y＝11，此时三边长为8，8，11，能构成三角形． 所以AC＝7或11. 返回 举一反三 14． 30° [2025杭州月考]如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点P. (1)已知∠EPD＝120°，则∠BAD的度数为______； 举一反三 【点拨】 因为AD是BC边上的高线，所以∠ADB＝90°. 因为∠EPD＝120°，所以∠BPD＝60°. 所以∠DBE＝180°－90°－60°＝30°. 因为BE平分∠ABC，所以∠ABD＝2∠DBE＝60°. 所以∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝30°. 举一反三 (2)求∠EPD与∠BAD之间满足的数量关系． 【解】因为AD是BC边上的高线，所以∠ADB＝90°. 因为∠BPD＝180°－∠EPD，所以∠DBE ＝180°－90°－(180°－∠EPD)＝∠EPD－90°. 因为BE平分∠ABC，所以∠ABD＝2∠DBE＝2∠EPD－180°. 所以∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝180°－ 2∠EPD＋180°－90°＝270°－2∠EPD， 即∠BAD＋2∠EPD＝270°. 返回 举一反三 15． 研究 任务 画出平分三角形面积的一条直线 研究 成果 中线法 分割法 线段BD是AC边上的中线 举一反三 成果 应用 (2)求四边形BCFO的面积． 举一反三 返回 举一反三 课堂小结 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线。 三角形的高 所有三角形的三条角平分线的交点、中线的交点都在三角形内部； 特别的，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形三条高的交点在直角顶点，钝角三角形三条高的交点在三角形外部； 三角形的三条重要线段的交点 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。。 三角形的角平分线 连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段叫作三角形的中线。 三角形的中线 01 02 03 04 谢谢观看 THANKS 【解】因为AD是高，所以∠ADC＝90°. 因为∠C＝70°，所以∠DAC＝180°－90°－70°＝20°. 因为∠BAC＝50°，∠C＝70°，所以∠ABC＝60°. 因为AE，BF是△ABC的角平分线， 所以∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAO＝∠BAC＝25°， 所以∠BOA＝180°－∠BAO－∠ABO＝180°－25°－30°＝125°. 若＝n，则＝ 【解】由研究成果易得， AE∶BE＝(2＋1)∶(2－1)，所以＝3. 如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线， 直线EF平分△ABC的面积，交BD于点O. 已知＝2，△ABC的面积为10. (1)求的值； 【解】(2)连结BF，AO.因为BD是AC边上的中线，所以AD＝CD.因为＝2，所以易得AD∶DF∶FC＝3∶1∶2. 设△ODF的面积为a，则△AOD的面积为3a. 因为S△BDC＝S△ABD＝S△AEF＝S四边形BCFE＝＝5，所以S△BDC＋S△BOE－S△DOF＝S△ABD－S△BOE＋S△DOF，所以S△BOE＝S△DOF＝a， 所以△AOE的面积为3a，所以S△ABD＝3a＋3a＋a＝7a＝5， 所以a＝，所以四边形BCFO的面积＝5－＝. $