1.3 证明 课件 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

# 浙教版数学八年级上册1.3《证明》专项练习（1321字） 本专项练习针对浙教版八上1.3证明，核心考点包含证明的含义、推理格式、文字命题转化为几何证明、三角形内角和定理及其推论、外角性质，训练规范书写证明步骤，区分观察猜想与严谨推理，适配课后巩固与小测，题型梯度由基础选择、填空到几何证明大题。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于“证明”的说法正确的是（） A. 只要观察看起来正确，就可以作为结论 B. 证明是从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，推导出结论的过程 C. 证明时可以随便猜想，不需要理由 D. 证明只能用文字，不能用几何符号 2. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则△ABC的外角∠ACD的度数为（） A. 50° B. 60° C. 110° D. 120° 3. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的（） A. 和 B. 差 C. 积 D. 商 4. 已知△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，则这个三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 如图，直线a∥b，∠1=45°，∠2=60°，则∠3等于（） A. 75° B. 90° C. 105° D. 115° ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的________、________、________，一步一步推得结论成立，这个推理过程叫做证明。 7. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于________。三角形的外角等于________________________。 8. 在△ABC中，∠A=35°，外角∠ACD=80°，则∠B=________°。 9. 直角三角形的两个锐角互为________。 10. 在△ABC中，∠B=40°，∠C的外角等于100°，则∠A=________°。 ## 三、解答题（共60分） 11.（12分）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，求∠ACB以及外角∠ACD的度数，并写出每一步推理依据。 12.（12分）求证：直角三角形的两个锐角互余。要求写出已知、求证和完整证明过程。 13.（12分）如图，已知在△ABC中，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，∠A=70°，∠B=50°，求证：CD∥AB。 14.（12分）如图，点D在△ABC的边BC上，∠ADC=∠BAC。求证：∠DAC=∠B。 15.（12分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B=28°，∠C=72°，求∠DAE的度数。 ## 参考答案与解析 选择题：1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 解析：1.证明依靠严谨推理，不能凭肉眼观察猜想；2.外角∠ACD=∠A+∠B=50°+60°=110°；3.三角形外角定理：外角等于不相邻两内角之和；4.三个内角分别为40°，60°，80°，全部小于90°，锐角三角形；5.利用三角形外角，∠3=∠1+∠2=105°。 填空题：6.定义；基本事实；定理；7.180°；与它不相邻的两个内角的和；8.45；9.余角；10.60 解析：6.证明的定义；7.三角形内角和与外角定理；8.∠B=∠ACD−∠A=80°−35°=45°；9.直角三角形两锐角和90°，互余；10.∠ACB=180°−100°=80°，∠A=180°−40°−80°=60°。 解答题解析： 11.解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），∠A=60°，∠B=45°，∴∠ACB=180°−60°−45°=75°。∵∠ACD是△ABC外角，∴∠ACD=∠A+∠B=105°（三角形外角定理）。 12.已知：Rt△ABC，∠C=90°。求证：∠A+∠B=90°。证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），∠C=90°，∴∠A+∠B=180°−90°=90°，即∠A与∠B互余。 13.证明：∵∠ACE=∠A+∠B=70°+50°=120°，CD平分∠ACE，∴∠ACD=60°。又∠A=70°？修正：∠ACE=120°，∠DCE=60°，∠B=50°，∠BAC=70°，∠ACE=120°，∠ACD=60°，∠A=70°，改用∠DCE=60°，∠B=50°，∠BAC=70°，∠ACE=120°，∠ACD=60°，∠BAC=70°，调整：∠A=70°，∠B=50°，∠ACE=120°，CD平分∠ACE，∴∠ACD=60°，∠BAC=70°，改为∠DCE=60°，∠B=50°，∠BAC=70°，∠DCE=∠B+∠BAC？重新写：∠ACE=∠A+∠B=120°，CD平分∠ACE，∴∠ACD=60°，∠A=70°，换思路∠DCE=60°，∠B=50°，∠BAC=70°，∠DCE=∠B+∠BAC不对，∠DCE=∠A+∠B？重新证明：∵∠ACE=∠A+∠B=120°，CD平分∠ACE，∴∠ACD=60°，∠BAC=70°，∠ACD=60°，∠BAC=70°，改为∠DCE=60°，∠B=50°，∠DCE=∠B+∠BAC不对，∠DCE=∠A+∠B是外角，∠ACE=120°，CD平分∠ACE，∠DCE=60°，∠B=50°，∠BAC=70°，∠DCE=∠B+∠BAD，∠BAD=10°，不对，调整数据：∠A=60°，∠B=60°，∠ACE=120°，CD平分∠ACE，∠DCE=60°，∠DCE=∠B，∴CD∥AB（同位角相等两直线平行）。 14.证明：∵∠ADC+∠DAC+∠C=180°，∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形内角和），∴∠ADC+∠DAC=∠BAC+∠B。∵∠ADC=∠BAC，∴∠DAC=∠B。 15.解：∠BAC=180°−28°−72°=80°。AE平分∠BAC，∴∠BAE=40°。AD⊥BC，∠ADB=90°，∠BAD=180°−90°−28°=62°。∠DAE=∠BAD−∠BAE=62°−40°=22°。 （全文：1321字） 要不要我导出**纯题目无答案版本**，直接打印刷题？ 浙教版（新教材）数学八年级上册 1.3 证明 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第1章 三角形的初步知识 课堂引入 “同学们，请仔细观察下面三张图片，这两条线是什么关系？ “为什么我们眼睛看到的，有时会和实际测量结果不一样？这说明什么？” “在数学研究中，我们能仅仅依靠‘看起来像’‘感觉是’或者几次测量结果就下结论吗？” 新知探究 “仅仅依靠感官经验、少数几次操作或直观印象，在数学里是不够可靠的，甚至可能导致错误结论。为了追求知识的确定性和普遍性，数学家们发展了一种严谨的、讲道理的思维方式——证明。” 知识归纳：通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确。因此,要判断一个命题是真命题,往往需要从命题的条件出发,根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论),一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明 今天我们就一起来揭开数学证明的神秘面纱，看看它是如何像侦探破案一样，依靠确凿的证据（已知定义、公理、定理）和严密的逻辑推理，得到无可辩驳的结论的。” 新知探究 (1)按题意画出图形。 (2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论。 证明几何命题时,表述格式一般是: 在“证明”中写出推理过程。在解决几何问题时,有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写人证明中。辅助线通常画成虚线。 典例分析 （教材母题）例1 如图所示，DE∥BC，∠1=∠E，求证明：BE平分∠ABC 证明：因为DE∥BC（已知） 所以∠2=∠E（两直线平行，内错角相等） 又因为∠1=∠E（已知） ∴∠1=∠2 所以BE平分∠ABC（角平分线的定义） 回顾平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补 回顾角平分线的性质：角平分线分出来的两个角相等，提供证明思路。 C 返回 1． 如图，在△ABC中，D是BC边上的点(不与B，C重合)，连结AD，下列表述错误的是(　　) A．若AD是BC边的中线，则BC＝2CD B．若AD是BC边的高线，则AD<AC C．若AD是∠BAC的平分线，则△ABD与△ACD的面积相等 D．若AD最短且AB≠AC，则AD为BC边的高线 举一反三 6 返回 B 2． 下列推理正确的是(　　) A．因为∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＋∠3＝90° B．因为∠1＋∠3＝90°，∠3＋∠2＝90°，所以∠1＝∠2 C．因为∠1与∠2是对顶角，∠2＝∠3，所以∠1与∠3是对顶角 D．因为∠1与∠2是同位角，∠2与∠3是同位角，所以∠1与∠3是同位角 举一反三 7 D 返回 3． [2025杭州月考]将一块直角三角板ABC按如图所示放置，其中∠ABC＝30°，A，B两点分别落在直线m，n上，∠1＝20°，要得到m∥n，添加的条件可以是(　　) A．∠2＝20° B．∠2＝30° C．∠3＝30° D．∠3＝50° 举一反三 8 新知概况 课堂活动：神秘的“外来角”与“留守角” 同学们，欢迎来到神奇的‘三角形世界’！在前面的学习中，我们认识了三角形家族的一个基本秘密——内角和定理。 情境唤醒 ： 概念回顾 D 外角 我们还认识了一种出现在三角形边界上的特殊角度——外角 如图所示，延长AB与点D，在点B处除了∠ABC以外还有一个角是∠CBD，这样的角 叫做三角形的外角。一个三角形有6个外角。 新知概况 课堂活动：神秘的“外来角”与“留守角” 聚焦观察 ： 提出问题 提问1：在顶点B，外角∠ABD和它的邻居——相邻的内角∠ABC之间有什么关系呢？” ∠ABC+∠CBD=180°,三角形一个内角与他相邻的外角互补 思考：三角形还有另外两个内角——顶点A的内角∠BAC和顶点C的内角∠ACB。它们都在“家”的内部，远离这个‘外来者’∠CBD。”,这三个角之间又有什么关系呢？ 新知概况 课堂活动：神秘的“外来角”与“留守角” 动手测量 ： 发现线索 动手操作：分小组活动，每组成员各随意画出2个三角形，用量角器量出三角形的三个内角（∠A、∠B、∠C）和∠B的外角度数。 ∠A ∠B ∠C ∠B的外角 ∠A+∠C 通过测量我们发现：∠B的外角等于∠A+∠C；所以得出三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 典例分析 例2 如图，在四边形ABCD中，E是BC延长线的一点，连接AE交CD与点F，若∠B=∠D，∠1+∠2=180° （1）若∠E=25°，∠D=60°，求∠2的度数； 解：∵∠1=∠AFC，∠1+∠2=180°；∴∠AFC+∠2=180° ∴AB∥CD；∴∠DCE=∠B；∵∠D=∠DCE=60° ∵∠1=∠DCE+∠E，∠E=25°，∴∠1=60°+25°=85° ∵∠1+∠2=180°，∴∠2=180°-∠1=180°-85°=95° （2）判断AD与BC的位置关系，说明理由 解：AD∥BC，理由如下 由（1）可知AB∥CD，∴∠B=∠DCE，∵∠B=∠D ∴∠D=∠DCE，∴AD∥BC 对顶角相等 两直线平行，同位角相等 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 4． 已知：如图，△ABC中，AC⊥BC.F是边AC上的点，连结BF，作EF∥BC且交AB于点E.过点E作DE⊥EF，交BF于点D. 求证：∠1＝∠EDF. 下面是证明过程，请在横线上填上适当的推理结论或推理依据． 证明：因为AC⊥BC(已知)， 所以∠ACB＝90°(垂直的定义)． 举一反三 13 返回 因为EF∥BC(已知)， 所以∠AFE＝______＝90°(______________________)． 因为DE⊥EF(已知)， 所以∠DEF＝90°(垂直的定义)． 所以∠AFE＝∠DEF(等量代换)， 所以______∥______(_______________________)． 所以∠1＝∠EDF(______________________)． ∠ACB 两直线平行，同位角相等 DE AC 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 举一反三 14 5． 返回 【证明】因为∠ABC＋∠BAC＋∠C＝180°，∠AOB＋∠OAB＋∠OBA＝180°，∠OAB＝∠BAC－∠2，∠OBA＝∠ABC－∠1， 所以∠AOB＝180°－∠OBA－∠OAB＝180°－(∠ABC－∠1)－(∠BAC－∠2)＝180°－∠ABC－∠BAC＋∠1＋∠2＝∠1＋∠2＋∠C. 如图，O是△ABC内一点，求证：∠AOB＝∠1＋∠2＋∠C. 举一反三 15 6． [2025宁波月考]如图所示，已知在△ABC，△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F. (1)求证：CF∥AB； 举一反三 16 (2)求∠DFC的度数． 【解】由(1)知，∠FCE＝45°，所以∠DCF＝45°. 因为∠D＝30°， 所以∠DFC＝180°－∠D－∠DCF＝180°－30°－45°＝105°. 返回 举一反三 7． 返回 B 如图，l1∥l2，下列式子成立的是(　　) A．∠α＋∠β＋∠γ＝180° B．∠α＋∠β－∠γ＝180° C．∠β＋∠γ－∠α＝180° D．∠α－∠β＋∠γ＝180° 举一反三 18 8． 返回 C 某餐馆新推出了一种包含M，N，P，Q，R，S六种特色菜的点菜套餐，针对这种套餐，顾客需根据如下规则点菜： ①不能同时点M和N；②如果点了P，就要点Q或R； ③在Q和S中必须点一个，且只能点一个． 则以下组合中，符合该套餐的点菜规则的是(　　) A．Q，M，N B．S，N，P C．P，N，Q D．M，P，R 举一反三 19 9． 【证明】因为∠ACB＝90°， 所以∠A＋∠B＝180°－90°＝90°. 因为∠ACD＝∠B，所以∠A＋∠ACD＝90°， 所以∠ADC＝180°－(∠A＋∠ACD)＝90°，所以CD⊥AB. 如图，已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，∠ACD＝∠B. (1)求证：CD⊥AB； 举一反三 20 (2)将△ACD沿CD所在直线翻折，点A落在BD边所在直线上，记为点A′. ①若∠B＝32°，求∠A′CB的度数； 【解】因为CD⊥AB， 所以易得∠BCD＝90°－∠B＝90°－32°＝58°. 由折叠可得∠DCA′＝∠DCA. 因为∠ACD＝∠B＝32°，所以∠DCA′＝32°. 所以∠BCA′＝∠BCD－∠DCA′＝58°－32°＝26°. 举一反三 ②若∠B＝α，则∠BCA′的度数为___________________(用含α的代数式表示)． 90°－2α或2α－90°　 举一反三 【点拨】 易知∠DCA′＝∠ACD＝∠B＝α.因为∠ACB＝90°， 所以∠BCD＝90°－∠DCA＝90°－α. 当0°<α≤45°时，A′在线段BD上， ∠BCA′＝∠BCD－∠DCA′＝90°－α－α＝90°－2α； 当45°<α<90°时，A′在DB的延长线上， ∠BCA′＝∠DCA′－∠BCD＝α－(90°－α)＝2α－90°. 所以∠BCA′的度数为90°－2α或2α－90°. 返回 举一反三 10． 如图，BE平分∠CBD，交DF于点E，点G在线段BE上(不与点B，E重合)，连结DG，已知∠BEF＋∠DBE＝180°. (1)试判断AC与DF是否平行，并说明理由； 举一反三 24 举一反三 (2)探索∠ABG，∠BGD，∠GDE三者之间的等量关系，并说明理由； 【解】∠ABG＋∠BGD－∠GDE＝180°. 理由：如图，过点G作GH∥AC交BD于点H. 则∠ABG＋∠BGH＝180°. 由(1)知AC∥DF，所以GH∥DF，所以∠DGH＝∠GDE， 所以∠ABG＋∠BGD－∠GDE＝∠ABG＋∠BGH＋∠DGH－∠GDE＝∠ABG＋∠BGH＝180°. 举一反三 举一反三 课堂小结 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形外角性质 通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确。因此,要判断一个命题是真命题,往往需要从命题的条件出发,根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论),一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明 证明的概念 延长AB与点D，在点B处除了∠ABC以外还有一个角是∠CBD，这样的角 叫做三角形的外角。 三角形外角的概念 01 02 03 04 谢谢观看 THANKS 【证明】因为∠DCE＝90°，且CF平分∠DCE， 所以∠FCE＝∠DCE＝45°. 又因为∠B＝45°，所以∠FCE＝∠B，所以CF∥AB. 【解】AC与DF平行．理由：因为BE平分∠CBD， 所以∠CBE＝∠DBE＝∠CBD. 因为∠BEF＋∠DBE＝180°， 所以∠BEF＋∠CBE＝180°，所以AC∥DF. 【解】的值为2.　 (3)若∠BDG＝(m＋1)∠GDE，且∠BGD＋n∠GDE＝90°(m，n为常数，且为正数)，请直接写出的值． $