1.3 证明 第2课时 课件同步练习 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦浙教版八年级上册“三角形内角和定理证明、外角及推论”，以泰勒斯探究金字塔几何问题为情境导入，从直观剪拼过渡到严谨逻辑证明，衔接度量验证方法，搭建“操作—观察—推理”的学习支架。 其亮点在于通过多种辅助线添法（过顶点、延长线、任取点作平行线）培养几何直观与创新意识，结合外角推论推导强化推理能力，规范证明格式训练数学语言表达。实例丰富，如五角星角度计算、古籍探秘实践作业，助力学生提升问题解决能力，为教师提供分层教学资源与文化渗透素材。

1.3 证明 第 2 课时 第 1 章 三角形的初步认识 浙教版数学八年级上册　 1.探索并理解三角形内角和定理的几何证明，理解三角形外角及外角的推论； 2.理解添加辅助线在解决几何问题过程中的重要性，能熟练运用定理和推论进行简单的几何证明与角度计算； 3.在探究推论及应用过程中，提升学生分析问题、解决问题的能力，体会从特殊到一般的思维方法； 4.让学生在几何证明的探究中，感受数学的严谨性与逻辑性，激发对数学学科的学习兴趣，培养勇于探索、敢于质疑、严谨求证的学习态度. 难点 重点 学习目标 情境导入 泰勒斯是古希腊著名的哲学家、数学家，在 数学领域有着诸多开创性的贡献.他在游历埃及期 间，被古埃及人精湛的建筑技艺所吸引，在观察 金字塔的过程中，他思考着各种几何问题. 当时，人们对几何图形的认识大多停留在直观的观察层面，并没有形成系统的理论.泰勒斯试图用逻辑推理的方式来揭示几何图形的奥秘.他在研究三角形时，发现可以通过一些简单的几何变换来探究内角和的规律，并对三角形内角和进行了初步的论证. 今天让我们跟随古人的步伐，用学过的几何知识，严谨地证明 “三角形三个内角的和等于180°这个结论吧！ 活动一：探究三角形内角和定理 除了度量以外，你还有什么办法能验证三角形的内角和为180°呢? 01 剪拼 三角形的三个内角拼在一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗? 把三个角凑到一起 探究新知 活动一：探究三角形内角和定理 02 你能用学过的知识证明命题“三角形三个内角的和等于180°是真命题吗？ 已知：如图，∠BAC，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠BAC+∠B+∠C=180° A B C 可以把三个角“凑”到A处，过点A作直线BC的平行线MN. M N 这里的MN称为辅助线，辅助线通常画成虚线. 注意 探究新知 活动一：探究三角形内角和定理 已知：如图，∠BAC，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠BAC+∠B+∠C=180° 证明：如图，过点A作直线MN/BC， 则∠B=∠MAB(两直线平行，内错角相等) 同理，∠C=∠NAC 故∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠MAB+∠NAC=180° 将三角形三个内角转化为一个平角 添辅助线的过程要写入证明中 A B C M N 探究新知 活动一：探究三角形内角和定理 03 你还有其他证明方法吗? A B C 证明2：作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB， D E 2 1 则∠1=∠A(两直线平行，内错角相等) ∠2=∠B(两直线平行，同位角相等) 因为∠1+∠2+∠ACB=180° 所以∠A+∠B+∠ACB=180° 探究新知 活动一：探究三角形内角和定理 04 你还能想到其他证法吗? A B C 证明2：在BC上任取一点D，过D作DE//AB，作DF//AC，分别交AB，AC于点F，E 所以∠1=∠C，∠2=∠B，∠DEC=∠A (两直线平行，同位角相等)， ∠3=∠DEC(两直线平行，内错角相等)， 所以∠3=∠A， 因为∠1+∠2+∠3=180°， 所以∠A+∠B+∠C=180°. 3 2 1 E F D 探究新知 活动一：探究三角形内角和定理 辅助线是为了证明需要在原图上添画的线； 添加辅助线的过程需要写入证明中，通常画成虚线； 它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用； 添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定，平时做题时要注意总结. 关于辅助线： 1 2 3 4 探究新知 ②一个三角形的每个顶点处有两个外角， 这两个外角是对顶角. 如图，△ABC的顶点C处的外角有两个，分别为么∠ACD，∠BCE. 活动二：探究三角形的外角 如图，∠ACD是由△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，这样的角叫做该三角形的外角. A B C D ①三角形的外角与和它相邻的内角互补； 注意 E ③三角形的外角共有6个. 探究新知 活动二：探究三角形的外角 05 三角形的外角与和它不相邻的两个内角有什么关系呢? A B C D 由∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180° 得∠ACD=∠A+∠B. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 这是由三角形的内角和定理直接推理得到的一个推论.推论也可以作为推理的依据. 注意 相邻内角 不相邻的内角 外角 还能得出什么结论？ 探究新知 活动二：探究三角形的外角 05 三角形的外角与和它不相邻的两个内角有什么关系呢? 因为∠ACD=∠A+∠B， 所以∠ACD>∠A ∠ACD>∠B A B C D 相邻内角 不相邻的内角 外角 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 探究新知 活动二：探究三角形的外角 证明几何命题时，表述格式一般是： (1)按题意画出图形.(标上必要的字母) (2)分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论.(用字母、符号表示命题的条件和结论) (3)在“证明”中写出推理过程. 探究新知 要证明AB∥DE，根据平行线的判定方法，需要一条截线，即与AB，DE都相交的直线.如图，延长BC，交DE于点F.只要证明∠B=∠CFD，或∠B+∠BFE=180°，就能证明AB∥DE. B C A D E 已知：如图，∠B+∠D=∠BCD. 求证：AB∥DE. 教材 例题 F 应用新知 B C A D E 教材 例题 F 证明：如图，延长BC，交DE于点F. 因为∠BCD是△DCF的外角， 所以∠BCD=∠D+∠CFD (三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和). 又因为∠B+∠D=∠BCD(已知)， 所以∠B+∠D=∠D+∠CFD， 即∠B=∠CFD. 所以AB//DE(内错角相等，两直线平行). 还有其他证明方法吗？ 已知：如图，∠B+∠D=∠BCD. 求证：AB∥DE. 应用新知 已知：如图，∠B+∠D=∠BCD. 求证：AB∥DE. 教材 例题 F 证明：过点C做直线CF，使得CF//AB. 所以∠B=∠BCF (两直线平行，内错角相等) 因为∠BCD=∠B+∠D(已知) 且∠BCD=∠BCF+∠DCF. 所以∠B+∠D=∠BCF+∠DCF=∠B+∠DCF 即∠D=∠DCF. 所以CF//ED(内错角相等,两直线平行) 所以AB//ED(两条直线分别平行于第三条直线，两直线平行) 辅助线把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来. B C A D E 应用新知 如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线. (1)若∠BED=46°，∠BAD=25°，求∠ABC的大小； (2)若△ABC的面积为30，BD=5，求AF的长. 经典例题 B C A D E F 应用新知 如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线. (1)若∠BED=46°，∠BAD=25°，求∠ABC的大小； (2)若△ABC的面积为30，BD=5，求AF的长. 经典例题 B C A D E F 解：(1)因为∠BED=∠ABE+∠BAE，∠BED=46°，∠BAD=25°， 所以∠ABE=∠BED-∠BAD=46°-25°=21°， 因为BE平分∠ABC， 所以∠ABC=2∠ABE=2×21°=42°. 应用新知 如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线. (1)若∠BED=46°，∠BAD=25°，求∠ABC的大小； (2)若△ABC的面积为30，BD=5，求AF的长. 经典例题 B C A D E F 应用新知 已知直线，AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点. (1)如图1，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并证明； (2)如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并证明. 经典例题 B C A P D 图1 图2 (1)过点P作PE//AB， 根据AB//CD，得出CD//PE//AB， 根据平行线的性质得出 ∠A+∠APE=180°，∠CPE+∠C=180°，即可得出答案; E B C A P D 应用新知 已知直线，AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点. (1)如图1，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并证明； 经典例题 B C A P D 图1 E 解：(1)∠A+∠APC+∠C=360°， 证明如下：过点P作PE//AB，如图所示： 因为AB∥CD，所以CD∥PE∥AB. 所以∠A+∠APE=180°，∠CPE+∠C=180° 所以∠A+∠APE+∠CPE+∠C=360°， 所以∠A+∠APC+∠C=360°. 应用新知 已知直线，AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点. (2)如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并证明. 经典例题 图2 (2)延长PA交CD于点E，根据平行线的性质得出∠PAB=∠PED，根据三角形外角的性质得出∠PED=∠P+∠C，即可得出答案. E B C A P D 应用新知 已知直线，AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点. (2)如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并证明. 经典例题 B C A P D 图2 E 解：(2)∠PAB=∠P+∠C，证明如下： 延长PA交CD于点E，如图所示: 因为AB∥CD， 所以∠PAB=∠PED 因为∠PED为△PCE的外角， 所以∠PED=∠P+∠C，所以∠PAB=∠P+∠C. 应用新知 1.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，∠ADC=72°， 求证：AD平分∠BAC. 教材 练习 B C A D 1 2 先根据三角形内角和与外角的性质求出∠BAC与∠1，∠2的度数，再通过角的度数关系证明AD平分∠BAC. 证明：在△ABC中，∠C=90°，∠B=54° 所以∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-54°-90°=36° 在△ADC中，∠C=90°，∠ADC=72° 所以∠1=180°-72°-90°=18° 因为∠ADC是△ABD的外角， 即∠ADC=∠B+∠2， 所以∠2=∠ADC-∠B =72°-54°=18° 所以∠1=∠2， 即AD平分∠BAC. 课堂练习 2.已知：如图，O为△ABC内任意一点. 求证：∠BOC=∠1+∠2+∠A 证明：延长BO交AC于点D， 在△ABD中，∠BDC是外角， 所以∠BDC=∠A+∠1. 在△DOC中，∠BOC是外角， 教材 练习 B C A O 1 2 D 通过延长BO交AC于点D，利用三角形外角的性质进行证明. 同理可得∠BOC=∠BDC+∠2 所以∠BOC=∠A+∠1+∠2 即∠BOC=∠1+∠2+∠A. 课堂练习 3.如图，在△ABC中，∠BAC=70°，∠ACB=80°，AD平分∠BAC，点P为线段AD上一点，过点P作PE⟂ AD交BC的延长线于点E，则∠E的度数为 . 25° B D A C E P 课堂练习 4．如图，AE//DB，∠1=80°，∠2=32°，则∠C的度数为( ) A.58° B.80° C.52° D.48° D B D A C E 1 2 因为AE//DB，∠1=80° 所以∠ADB=∠1=80°. 因为∠ADB是△BDC的外角， 所以∠C=∠ADB-∠2=80°-32°=48°. 故选：D. 课堂练习 5．已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数. B D A C 解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A 设∠A=x，则∠C=∠ABC=2x 所以x+2x+2x=180° 解得：x=36° 所以∠C=2x=72° 在△BDC中，BD是AC边上的高， 所以∠BDC=90°，所以∠DBC=180°-90°-72°=18°. 课堂练习 6.如图，在五角星图形中，求：∠A+∠B+∠C+ ∠D+∠E的度数. B D A C E 1 2 解：如右图所示， 因为∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D， 所以∠1=∠C+∠A+∠D， 又因为∠1+∠B+∠E=180°， 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 课堂练习 7.如图，AB//CD，CF平分DCG，GE平分CGB交FC的延长线于点E，若E=34°，求B的度数. B D A C E G F M 课堂练习 7.如图，AB//CD，CF平分DCG，GE平分CGB交FC的延长线于点E，若E=34°，求B的度数. M B D A C E G F 课堂练习 外角 外角 推论 知识点1相交线 ∠ACD是由△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，这样的角叫做该三角形的外角. 证 明 ①辅助线是为了证明需要在原图上添画的线； ②添加辅助线的过程需要写入证明中，通常画成虚线. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 辅助线 总结归纳 实践作业：数学文化“外角智慧溯源” 目标：古籍探秘：查《九章算术》等典籍，找涉及三角形外角的内容(如建筑/工具角度设计)，梳理片段、翻译解读(可借助工具). 要求：古今解题：选1个古代三角形角度问题(自拟/古籍摘录)，用“古代思路(推测)+ 现代性质” 分别解答对比“方法异同”. 成果：整理成文化笔记(古籍+解题对比). $