精品解析：福建省三明市沙县区三明北附高级中学有限公司2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

三明北附 2026—2027学年第一学期第一次月考 高二数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题.（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.） 1. 在长方体中，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用 空间向量的线性运算结合向量相等即可求解. 【详解】. 故选：C. 2. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为计算即可. 【详解】因为，可得， 即，解之可得. 故选：D 3. 直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线的倾斜角为，则其斜率， 且直线过点，所以其点斜式方程为. 4. 已知直线，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 重合 C. 相交但不垂直 D. 垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据判断. 【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D 5. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】点关于平面Oxy对称的点的坐标为. 6. 在平行六面体中，与交于点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义得，即可得. 【详解】由. 故选：A 7. 已知直线与轴，轴分别交于，两点，直线过点的中点，若直线，及轴围成的三角形面积为6，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】求得的中点坐标为，设直线的方程为，且与轴交于点，结合三角形的面积公式，列出方程，求得或，进而求得直线的方程. 【详解】由直线，可得与轴，轴分别交于， 则的中点为，即中点坐标为， 设直线的方程为，即，且与轴交于点， 因为直线，及轴围成的三角形面积为6， 可得，即，解得或， 当时，即点，此时直线的方程为，即； 当时，即点，此时，直线的方程为， 综上可得直线的方程为或. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及三角形面积公式的应用，其中解答中熟练直线的点斜式方程，以及结合三角形的面积公式列出方程求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 8. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是60° D. 与AC所成角的余弦值为 【答案】B 【解析】 【分析】记，，，，间两两夹角都是，即，然后利用空间向量法求模，向量的夹角及向量夹角的定义判断各选项． 【详解】记，，，由已知，间两两夹角都是， 即， ， 则，A错； ， ，，即，B正确； ， 是正三角形，，，所以向量与的夹角是180°－60°＝120°，C错； ，， ， ， 所以与AC所成角的余弦值为，D错． 故选：B． 二、多项选择题.（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.） 9. 已知直线l：，则下列结论正确的是（） A. 点在直线l上 B. 直线l的一个方向向量为 C. 直线l在y轴上的截距为8 D. 直线l的倾斜角为 【答案】BD 【解析】 【分析】由直线解析式，可判断点是否在直线上，直线在y轴上的截距，以及直线的倾斜角，根据直线得方向向量与法向量的概念可以判断B选项. 【详解】对于A选项，把代入到得，所以点不在直线l上，A错误； 对于B选项，因为直线l：，即为：，直线的斜率为1， 所以为直线的一个方向向量，B正确； 对于C选项，当时，，所以直线l在y轴上的截距为，C错误； 对于D选项，因为直线的斜率为1，所以直线l的倾斜角为，D正确. 故选：BD 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. 向量，的夹角为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【详解】 选项A：计算得， 若，则存在实数满足，显然无实解，故A错误； 选项B：由模长公式得，故B正确； 选项C：因，， 则，又因，则，故C错误； 选项D：因，， 则向量在向量上的投影向量为，故D正确. 11. 如图，已知正方体的棱长为1，点M为的中点，点P为该正方体的上底面上的动点，则（ ） A. 满足平面的点P的轨迹长度为 B. 存在唯一的点P满足 C. 满足的点P的轨迹长度为 D. 存在点P满足 【答案】ABC 【解析】 【分析】在正方体中，证得平面平面，得到平面，求得点的轨迹长度，可判定A正确；以为原点，建立空间直角坐标系，结合向量的垂直的坐标表示，列出方程，可判定B、C正确；求得点关于平面的对称点为，结合，可判定D错误. 【详解】对于A，如图（1）所示，在正方体中，可得， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面，因为，且平面 所以平面平面，又因为平面，所以平面， 所以点在线段上运动，所以点的轨迹长度为，所以A正确； 对于B，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示， 可得，设，且， 则， 由， 解得，所以存在唯一的点使得，所以B正确； 对于C，由，可得， 即，因为， 当时，可得；当时，可得； 所以点的轨迹为线段，且， 则，所以C正确； 对于D，如图（2）所示，点关于平面的对称点为， 当点三点共线时，最短， 所以， 所以不存在点使得，所以D不正确. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若直线l经过，两点，则直线l的斜率为______. 【答案】 【解析】 【详解】因为直线l经过，两点，所以直线l的斜率. 13. 已知点，点，则点到直线的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的方向向量和向量，再代入空间点到直线的向量距离公式计算即可. 【详解】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 14. 若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】确定线段端点与直线的位置关系，先代入端点计算，再解不等式即可. 【详解】将 代入直线方程： ， 将 代入直线方程： ， 因为直线 与线段 有公共点， 所以，所以解集为 ， 即实数 的取值范围为 ， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程： （1）直线与直线平行： （2）直线在两个坐标轴上的截距相等. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由平行关系可假设直线，代入点即可； （2）分别讨论直线过坐标原点和不过坐标原点的情况，结合直线截距式和点坐标可求得结果. 【小问1详解】 设直线， 过点， ，解得：， 直线方程为. 【小问2详解】 若直线过坐标原点，则直线方程为：，满足题意； 若直线不过坐标原点，可设直线， ，即直线； 综上所述：直线方程为：或. 16. 已知平行四边形的三个顶点为，，. （1）求点的坐标； （2）判断平行四边形是否为正方形. 【答案】（1） （2）平行四边形是正方形 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形性质，可知，从而求得点坐标； （2）先利用邻边垂直证明平行四边形为矩形，再利用邻边相等证明平行四边形为正方形. 【小问1详解】 设，则，， 因为四边形为平行四边形，所以，，即， 即. 【小问2详解】 平行四边形是正方形. ，， ，， 平行四边形为矩形. 又， ， ，平行四边形为正方形. 17. 如图，在长方体中，是AB的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 建立如下图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，取，则， 所以， 因为， 所以，又因为平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面向量的法向量和直线方向向量之间的关系进行运算证明即可； （2）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面的法向量为，， 所以点到平面的距离为. 18. 如图，四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为，所以为中点， 因为侧面是正三角形，所以， 因为底面是正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面， 所以 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直性质定理证明平面，进而，再根据即可证明平面，最后结合线面垂直证明结论； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，如图建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为，则 ， 因为， 所以， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 故可取， 设直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为 【点睛】 19. 如图，在四棱锥中，，，，. （1）证明：平面平面； （2）已知，，.若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】（1） 如图，取的中点分别为，连接BE，AF，EF，CF， 所以，且， 又，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为，，所以， 因为，，所以， 又，所以， 所以，即. 又，，平面， 所以平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后利用夹角余弦值建立方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面，因为，平面， 所以，，所以. 在Rt中，，， 则，则. 因为，，所以， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，向量，，的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， ，，. 由，， 得. 设平面的法向量为，则，即， 取，则，得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，所以， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得，故的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明北附 2026—2027学年第一学期第一次月考 高二数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题.（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.） 1. 在长方体中，（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 重合 C. 相交但不垂直 D. 垂直 5. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，与交于点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与轴，轴分别交于，两点，直线过点的中点，若直线，及轴围成的三角形面积为6，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是60° D. 与AC所成角的余弦值为 二、多项选择题.（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.） 9. 已知直线l：，则下列结论正确的是（） A. 点在直线l上 B. 直线l的一个方向向量为 C. 直线l在y轴上的截距为8 D. 直线l的倾斜角为 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. 向量，的夹角为 D. 向量在向量上的投影向量为 11. 如图，已知正方体的棱长为1，点M为的中点，点P为该正方体的上底面上的动点，则（ ） A. 满足平面的点P的轨迹长度为 B. 存在唯一的点P满足 C. 满足的点P的轨迹长度为 D. 存在点P满足 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若直线l经过，两点，则直线l的斜率为______. 13. 已知点，点，则点到直线的距离为________. 14. 若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程： （1）直线与直线平行： （2）直线在两个坐标轴上的截距相等. 16. 已知平行四边形的三个顶点为，，. （1）求点的坐标； （2）判断平行四边形是否为正方形. 17. 如图，在长方体中，是AB的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 如图，四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在四棱锥中，，，，. （1）证明：平面平面； （2）已知，，.若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $