2026—2027学年人教版九年级数学上册10月份学情自测重难点常考题型强化训练提分卷

人教版2026—2027学年九年级数学上册10月份学情自测重难点常考题型强化训练提分卷 （测试范围：第25、26章，考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是(   ) A． B． C． D． 2．将一元一次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A．3，-6 B．3，6 C．3，-1 D．3x2，-6x 3．抛物线的顶点在（   ） A．y轴上 B．x轴上 C．原点 D．第二象限 4．已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A． B． C．D． 6．某经济技术开发区今年一月份工业产值达30亿元，且第一季度的总产值为99.3亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 7．已知关于的一元二次方程，以下不正确的是（　　） A．此方程必有实数根 B．若方程有一个根为，则另一个根为 C．两根之积为 D．两根之和为 8．已知，是关于的一元二次方程的两个实数解，若，则的值为（   ） A． B．7 C．或7 D．或7 9．已知二次函数的图象如图所示，有下列四个结论：①b＜0；②c＞0；③b2－4ac＞0；④a－b+c＜0，其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 12．徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有___________名学生． 13．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为__________． 14．已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是_________． 15．二次函数经过点，两点，则关于的一元二次方程的解是______． 16．二次函数的图象如图所示，若线段在x轴上，且为个单位长度，以为边作等边，使点C落在该函数的图象上，则点C的坐标为_________． 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解下列方程： (1)（须用公式法）； (2)（方法不限）． 18．抛物线的顶点坐标为，且图像经过点． (1)求函数解析式． (2)求抛物线与坐标轴交点坐标． 19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)设，是方程的两个根且，求的值 20．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 21．已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线图象经过点是抛物线与轴交点的横坐标，记，比较与的大小． 22．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 23．平面直角坐标系中，我们称横坐标，纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若．求抛物线的顶点坐标； (2)若时，线段（含端点）上有多少个的“完美点”？请你写出这些“完美点”的坐标； (3)若抛物线与直线交于M，N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 24．小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答： (1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，求抛物线的解析式； (2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值； (3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝在x轴上方上下滑动，点构成△，是否存在某一时刻，使△为等腰三角形．若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A C B D D A C C 11． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【详解】解：设班级有名学生， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， ∴班级共有41名学生． 故答案为：． 13．1 【详解】解：设所修道路的宽为，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：所修道路的宽为． 故答案为：1 14．或 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 15．， 【详解】解：∵， ∴， ∵二次函数经过点，两点， ∴或， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 16．或或． 【详解】解：设边上的高为h， ∵等边的边长为， 边上的高， 当落在x轴下方， ∴点C的纵坐标为， 把代入， ∴ 解得：， ∴的坐标为． 当落在x轴上方， 点C的纵坐标为， 把代入， ∴ 解得：或， ∴的坐标为或． 故答案为：或或． 17．【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 18．【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为； （2）解：当时，， 整理：，无实数解， 故抛物线与轴无交点， 当时，，则抛物线与轴的交点坐标为． 19．【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， ∴的取值范围为且； （2）∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴①， 整理，得：， 解得：，， 经检验，，都是方程①的解， 由（1）知：且， 则不符合题意，舍去， ∴， 即的值为． 20．【详解】（1）解：设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则， ， 则或， 解得（负值不符合题意，舍去）， 答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%； （2）解：设下调后每辆汽车降低万元， 则， 整理得， ， 则或， 解得， 此次销售尽量让利于顾客， 应取， （万元）， 答：下调后每辆汽车的售价为20万元． 21．【详解】（1）解：抛物线为， 对称轴为直线． 即抛物线的对称轴为直线． （2）解：图象经过点，把代入，则 解得：， 故抛物线解析式， 是抛物线与轴交点的横坐标， ， 解得：， ， ， ，故． 当时，，此时； 当时，，此时． 22．【详解】（1）解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形； (2) 不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分； （3），， ， ， 化简得：， 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故时，、间的距离等于． 23．【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为， 配方可得， 故抛物线的顶点坐标为； （2）解：由解析式可得，当时，即， 故，根据“完美点”的定义可知线段上有4个“完美点”坐标，分别是： 、、、． （3）解：抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，， ，故抛物线与轴无交点， 画出大致图象，如图1所示， 线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”， 这4个完美点必须且只包含、、、个“完美点”， 因此，必须同时满足以下条件： 当，；当时，；当时，， 即， 解得， 故解集为：． 即的取值范围为． 24．【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， 设抛物线解析式为，将代入得： 解得 抛物线解析式为 即； （2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点， ， 则直线的解析式为 设，则 当时，最大，最大值为； （3）解：存在，理由如下： ，， ， ， ， 抛物线的对称轴为， 设， 则，， ①当时，，解得：或（不合题意，舍去）； ∴； ②时，，解得：或（不合题意，舍去）； ∴ ③当时，，解得：； ∴； 综上：或或． 学科网（北京）股份有限公司 $