2026-2027 学年人教版九年级上学期期中模拟数学试题

2026-2027 学年九年级上学期期中模拟数学试题（人教版）【基础卷】 （满分 120 分　　考试时间 90 分钟　　共 24 小题） 考试范围：第二十一章 一元二次方程　第二十二章 二次函数　第二十三章 旋转 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x²＋3y＝1　　B．x²＋3x＝1　　C．ax²＋bx＋c＝0　　D．x²＋1/x＝2 2．把一元二次方程 (x-2)(2x+1)＝x²-4 化为一般形式后，它的一次项系数是（　　） A．-3　　B．-4　　C．3　　D．1 3．若 x＝1 是关于 x 的一元二次方程 x²-mx＋3＝0 的一个根，则 m 的值是（　　） A．6　　B．5　　C．4　　D．3 4．一元二次方程 x²-5x＋6＝0 的解是（　　） A．x1＝1，x2＝6　　B．x1＝-1，x2＝-6 C．x1＝2，x2＝3　　D．x1＝-2，x2＝-3 5．下列函数中，y 是 x 的二次函数的是（　　） A．y＝2x＋1　　B．y＝2x²　　C．y＝2x　　D．y＝2x²＋1/x 6．把抛物线 y＝x² 向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，所得新抛物线的解析式是（　　） A．y＝(x＋2)²＋3　　B．y＝(x-2)²＋3 C．y＝(x＋2)²-3　　D．y＝(x-2)²-3 7．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形　　B．平行四边形　　C．矩形　　D．正五边形 8．在平面直角坐标系中，点 A(3，-4) 关于原点对称的点 A′ 的坐标是（　　） A．(3，4)　　B．(-3，-4)　　C．(-3，4)　　D．(4，-3) 9．若关于 x 的一元二次方程 x²-4x＋m＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m＜4　　B．m＞4　　C．m≤4　　D．m≥4 10．如图是二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象，根据图象判断，下列结论正确的是（　　） A．a＞0，c＞0　　B．a＜0，c＜0　　C．a＞0，c＜0　　D．a＜0，c＞0 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．某校图书馆第一个月进馆 500 人次，第三个月进馆 720 人次．设第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率为 x，则可列出的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿． 12．已知反比例函数 y＝k/x 的图象经过点 (2，3)，则 k＝＿＿＿＿． 13．把 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 55° 得到 △ADE，点 B 与点 D、点 C 与点 E 是对应点．若 AB＝6，则 AD＝＿＿＿＿，∠BAD＝＿＿＿＿°． 14．已知 ⊙O 的半径为 5，圆心 O 到直线 l 的距离为 3，则直线 l 与 ⊙O 的位置关系是＿＿＿＿． 15．若关于 x 的方程 (m-1)x²＋2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是＿＿＿＿． 16．已知二次函数 y＝x²-2x＋m 的图象与 x 轴有公共点，则 m 的取值范围是＿＿＿＿；若该函数图象与 x 轴的两个交点之间的距离为 4，则 m＝＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（6分）用指定的方法解下列方程： (1)（直接开平方法）(x-1)²＝9； (2)（因式分解法）x²-5x＋6＝0． 18．（6分）用指定的方法解下列方程： (1)（配方法）x²-6x＋5＝0； (2)（公式法）x²＋2x-8＝0． 19．（8分）如图，把 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 60° 得到 △ADE，点 B 与点 D、点 C 与点 E 是对应点． (1) 指出旋转中心和旋转角； (2) 若 AB＝5，AC＝4，BC＝6，求 △ADE 的周长； (3) 连接 BD，判断 △ABD 的形状，并说明理由． 20．（8分）已知二次函数 y＝x²-2x-3． (1) 完成下面的表格，并在给定坐标系中描点、连线，画出这个函数的图象； (2) 根据所画的图象，写出该抛物线的顶点坐标和对称轴； (3) 根据所画的图象，直接写出 y＜0 时 x 的取值范围． x -1 0 1 2 3 y 21．（10分）某县 2024 年投入 100 万元用于“乡村振兴”项目，计划以后每年以相同的增长率投入，2026 年计划投入 144 万元． (1) 求该县投入资金的年平均增长率； (2) 若 2027 年保持这个年平均增长率不变，求 2027 年该县将投入多少万元． 22．（10分）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助一段足够长的直角墙角，用总长为 28 m 的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围与墙不相邻的两条边）． (1) 设垂直于墙的一边长为 x m，花园的面积为 S m²，求 S 与 x 之间的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围； (2) 当 x 为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 23．（12分）如图，抛物线 y＝-x²＋bx＋c 与 x 轴交于 A(-1，0)、B(3，0) 两点，与 y 轴交于点 C，连接 AC、BC． (1) 求 b、c 的值及点 C 的坐标； (2) 求这条抛物线的对称轴和顶点坐标； (3) 求 △ABC 的面积． 24．（12分）已知关于 x 的一元二次方程 x²-14x＋m＝0． (1) 若该方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； (2) 若该方程的一个根是 6，求 m 的值和方程的另一个根； (3) 在 (2) 的条件下，若这两个根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，求这个直角三角形斜边的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年九年级上学期期中模拟数学试题（人教版）【基础卷】 （满分 120 分　　考试时间 90 分钟　　共 24 小题） 考试范围：第二十一章 一元二次方程　第二十二章 二次函数　第二十三章 旋转 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x²＋3y＝1　　B．x²＋3x＝1　　C．ax²＋bx＋c＝0　　D．x²＋1/x＝2 【答案】 B 【解析】 一元二次方程必须同时满足：只含一个未知数、未知数的最高次数是 2、是整式方程． A 中含有两个未知数，是二元二次方程；C 中未说明二次项系数不为 0； D 的分母中含有未知数，是分式方程．只有 B 符合，故选 B． 2．把一元二次方程 (x-2)(2x+1)＝x²-4 化为一般形式后，它的一次项系数是（　　） A．-3　　B．-4　　C．3　　D．1 【答案】 A 【解析】 (x-2)(2x+1)＝2x²-4x＋x-2＝2x²-3x-2． 由 2x²-3x-2＝x²-4，移项整理得 x²-3x＋2＝0， 所以二次项系数为 1，一次项系数为 -3，常数项为 2．故选 A． 3．若 x＝1 是关于 x 的一元二次方程 x²-mx＋3＝0 的一个根，则 m 的值是（　　） A．6　　B．5　　C．4　　D．3 【答案】 C 【解析】 把 x＝1 代入方程，得 1-m＋3＝0，解得 m＝4．故选 C． 4．一元二次方程 x²-5x＋6＝0 的解是（　　） A．x1＝1，x2＝6　　B．x1＝-1，x2＝-6 C．x1＝2，x2＝3　　D．x1＝-2，x2＝-3 【答案】 C 【解析】 左边因式分解得 (x-2)(x-3)＝0， 所以 x-2＝0 或 x-3＝0，解得 x1＝2，x2＝3．故选 C． 5．下列函数中，y 是 x 的二次函数的是（　　） A．y＝2x＋1　　B．y＝2x²　　C．y＝2x　　D．y＝2x²＋1/x 【答案】 B 【解析】 二次函数的解析式形如 y＝ax²＋bx＋c（a、b、c 是常数，a 不为 0）． A 是一次函数；C 不是二次函数；D 中含有分式，不是二次函数．故选 B． 6．把抛物线 y＝x² 向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，所得新抛物线的解析式是（　　） A．y＝(x＋2)²＋3　　B．y＝(x-2)²＋3 C．y＝(x＋2)²-3　　D．y＝(x-2)²-3 【答案】 B 【解析】 根据“左加右减、上加下减”的平移规律： 向右平移 2 个单位，把 x 换成 x-2；向上平移 3 个单位，在末尾加 3． 所以新抛物线的解析式为 y＝(x-2)²＋3．故选 B． 7．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形　　B．平行四边形　　C．矩形　　D．正五边形 【答案】 C 【解析】 A 等边三角形只是轴对称图形；B 平行四边形只是中心对称图形； C 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形；D 正五边形只是轴对称图形．故选 C． 8．在平面直角坐标系中，点 A(3，-4) 关于原点对称的点 A′ 的坐标是（　　） A．(3，4)　　B．(-3，-4)　　C．(-3，4)　　D．(4，-3) 【答案】 C 【解析】 两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数， 即点 (x，y) 关于原点的对称点为 (-x，-y)． 所以点 A(3，-4) 关于原点的对称点为 A′(-3，4)．故选 C． 9．若关于 x 的一元二次方程 x²-4x＋m＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m＜4　　B．m＞4　　C．m≤4　　D．m≥4 【答案】 A 【解析】 因为方程有两个不相等的实数根，所以 Δ＝b²-4ac＝(-4)²-4m＝16-4m＞0， 解得 m＜4．故选 A． 10．如图是二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象，根据图象判断，下列结论正确的是（　　） A．a＞0，c＞0　　B．a＜0，c＜0　　C．a＞0，c＜0　　D．a＜0，c＞0 【答案】 B 【解析】 由图象可知抛物线开口向下，所以二次项系数 a＜0； 抛物线与 y 轴的交点坐标为 (0，c)，该交点位于 x 轴下方，说明 c＜0．故选 B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．某校图书馆第一个月进馆 500 人次，第三个月进馆 720 人次．设第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率为 x，则可列出的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】 500(1+x)²＝720 【解析】 第一个月 500 人次，月平均增长率为 x， 则第二个月为 500(1+x) 人次，第三个月为 500(1+x)² 人次． 由第三个月进馆 720 人次，得 500(1+x)²＝720． 12．已知反比例函数 y＝k/x 的图象经过点 (2，3)，则 k＝＿＿＿＿． 【答案】 6 【解析】 把点 (2，3) 代入 y＝k/x，得 3＝k÷2，解得 k＝6． 13．把 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 55° 得到 △ADE，点 B 与点 D、点 C 与点 E 是对应点．若 AB＝6，则 AD＝＿＿＿＿，∠BAD＝＿＿＿＿°． 【答案】 6；55 【解析】 旋转前后两个图形全等，对应线段相等，所以 AD＝AB＝6； 对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，所以 ∠BAD＝55°． 14．已知 ⊙O 的半径为 5，圆心 O 到直线 l 的距离为 3，则直线 l 与 ⊙O 的位置关系是＿＿＿＿． 【答案】 相交 【解析】 因为圆心到直线的距离 d＝3，半径 r＝5，d＜r， 所以直线 l 与 ⊙O 相交． 15．若关于 x 的方程 (m-1)x²＋2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是＿＿＿＿． 【答案】 m≤2 【解析】 需分两种情况讨论： ① 当 m-1＝0，即 m＝1 时，方程化为 2x＋1＝0，是一次方程， 　有实数根 x＝-0.5，符合题意； ② 当 m-1 不为 0，即 m 不为 1 时，方程是一元二次方程， 　由 Δ＝2²-4(m-1)·1＝8-4m≥0，得 m≤2，且 m 不为 1． 综合 ①②，m 的取值范围是 m≤2． 16．已知二次函数 y＝x²-2x＋m 的图象与 x 轴有公共点，则 m 的取值范围是＿＿＿＿；若该函数图象与 x 轴的两个交点之间的距离为 4，则 m＝＿＿＿＿． 【答案】 m≤1；-3 【解析】 图象与 x 轴有公共点，即方程 x²-2x＋m＝0 有实数根， 所以 Δ＝(-2)²-4m＝4-4m≥0，解得 m≤1． 设两个交点的横坐标为 x1、x2，则 x1＋x2＝2，x1x2＝m． 由两点间距离为 4，得 (x1-x2)²＝16， 即 (x1＋x2)²-4x1x2＝4-4m＝16，解得 m＝-3（满足 m≤1）． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（6分）用指定的方法解下列方程： (1)（直接开平方法）(x-1)²＝9； (2)（因式分解法）x²-5x＋6＝0． 【答案】 (1) x1＝4，x2＝-2；(2) x1＝2，x2＝3 【解析】 (1) 由 (x-1)²＝9，两边开平方得 x-1＝±3， 　　所以 x-1＝3 或 x-1＝-3，解得 x1＝4，x2＝-2． (2) 左边因式分解得 (x-2)(x-3)＝0， 　　所以 x-2＝0 或 x-3＝0，解得 x1＝2，x2＝3． 18．（6分）用指定的方法解下列方程： (1)（配方法）x²-6x＋5＝0； (2)（公式法）x²＋2x-8＝0． 【答案】 (1) x1＝1，x2＝5；(2) x1＝2，x2＝-4 【解析】 (1) 移项得 x²-6x＝-5，两边同加 9，得 x²-6x＋9＝4，即 (x-3)²＝4， 　　两边开平方得 x-3＝±2，解得 x1＝1，x2＝5． (2) 这里 a＝1，b＝2，c＝-8，Δ＝b²-4ac＝4＋32＝36＞0， 　　所以 x＝(-2±6)÷2，解得 x1＝2，x2＝-4． 19．（8分）如图，把 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 60° 得到 △ADE，点 B 与点 D、点 C 与点 E 是对应点． (1) 指出旋转中心和旋转角； (2) 若 AB＝5，AC＝4，BC＝6，求 △ADE 的周长； (3) 连接 BD，判断 △ABD 的形状，并说明理由． 【答案】 (1) 点 A；60°（即 ∠BAD） (2) 15 (3) 等边三角形 【解析】 (1) 旋转中心是点 A，旋转角是 60°（即 ∠BAD 或 ∠CAE）． (2) 由旋转的性质，△ADE≌△ABC，所以 AD＝AB＝5，AE＝AC＝4，DE＝BC＝6， 　　所以 △ADE 的周长＝5＋4＋6＝15． (3) △ABD 是等边三角形．理由如下： 　　由旋转的性质得 AD＝AB，且 ∠BAD 等于旋转角 60°， 　　有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形，所以 △ABD 是等边三角形． 20．（8分）已知二次函数 y＝x²-2x-3． (1) 完成下面的表格，并在给定坐标系中描点、连线，画出这个函数的图象； (2) 根据所画的图象，写出该抛物线的顶点坐标和对称轴； (3) 根据所画的图象，直接写出 y＜0 时 x 的取值范围． x -1 0 1 2 3 y 0 -3 -4 -3 0 【答案】 (1) 见表格与图象；(2) 顶点 (1，-4)，对称轴 x＝1；(3) -1＜x＜3 【解析】 (1) 列表：当 x 依次取 -1、0、1、2、3 时， 　　y 依次取 0、-3、-4、-3、0；描点后用平滑的曲线顺次连接即可． (2) 由图象（或由 y＝x²-2x-3＝(x-1)²-4）得顶点坐标为 (1，-4)，对称轴为直线 x＝1． (3) 抛物线开口向上，与 x 轴交于 (-1，0)、(3，0) 两点， 　　由图象得，当 -1＜x＜3 时，函数图象在 x 轴下方，即 y＜0． 21．（10分）某县 2024 年投入 100 万元用于“乡村振兴”项目，计划以后每年以相同的增长率投入，2026 年计划投入 144 万元． (1) 求该县投入资金的年平均增长率； (2) 若 2027 年保持这个年平均增长率不变，求 2027 年该县将投入多少万元． 【答案】 (1) 20%；(2) 172.8 万元 【解析】 (1) 设该县投入资金的年平均增长率为 x． 　　由题意得 100(1+x)²＝144，解得 x1＝0.2＝20%，x2＝-2.2（不合题意，舍去）． 　　答：该县投入资金的年平均增长率为 20%． (2) 144×(1＋20%)＝144×1.2＝172.8（万元）． 　　答：2027 年该县将投入 172.8 万元． 22．（10分）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助一段足够长的直角墙角，用总长为 28 m 的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围与墙不相邻的两条边）． (1) 设垂直于墙的一边长为 x m，花园的面积为 S m²，求 S 与 x 之间的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围； (2) 当 x 为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】 (1) S＝-x²＋28x（0＜x＜28）；(2) x＝14 时，最大面积 196 m² 【解析】 (1) 篱笆只围两条边，其中垂直于墙的一边长为 x m， 　　则平行于墙的一边长为 (28-x) m， 　　所以 S＝x(28-x)＝-x²＋28x，自变量取值范围为 0＜x＜28． (2) S＝-x²＋28x＝-(x-14)²＋196． 　　因为 -1＜0，抛物线开口向下，所以当 x＝14 时，S 取得最大值 196． 　　答：当垂直于墙的一边长为 14 m 时，花园面积最大，最大面积为 196 m²． 23．（12分）如图，抛物线 y＝-x²＋bx＋c 与 x 轴交于 A(-1，0)、B(3，0) 两点，与 y 轴交于点 C，连接 AC、BC． (1) 求 b、c 的值及点 C 的坐标； (2) 求这条抛物线的对称轴和顶点坐标； (3) 求 △ABC 的面积． 【答案】 (1) b＝2，c＝3，C(0，3)；(2) 对称轴 x＝1，顶点 (1，4)；(3) 6 【解析】 (1) 把 A(-1，0)、B(3，0) 代入 y＝-x²＋bx＋c，得 　　-1-b＋c＝0，-9＋3b＋c＝0，解得 b＝2，c＝3． 　　所以抛物线为 y＝-x²＋2x＋3．令 x＝0，得 y＝3，所以 C(0，3)． (2) y＝-x²＋2x＋3＝-(x-1)²＋4， 　　所以对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为 (1，4)． (3) 由 A(-1，0)、B(3，0) 得 AB＝3-(-1)＝4；由 C(0，3) 且点 C 在 y 轴上， 　　所以点 C 到 AB（x 轴）的距离为 3， 　　所以 △ABC 的面积＝4×3÷2＝6． 24．（12分）已知关于 x 的一元二次方程 x²-14x＋m＝0． (1) 若该方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； (2) 若该方程的一个根是 6，求 m 的值和方程的另一个根； (3) 在 (2) 的条件下，若这两个根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，求这个直角三角形斜边的长． 【答案】 (1) m＜49；(2) m＝48，另一个根为 8；(3) 10 【解析】 (1) 因为方程有两个不相等的实数根，所以 Δ＝(-14)²-4m＝196-4m＞0， 　　解得 m＜49． (2) 把 x＝6 代入方程，得 36-84＋m＝0，解得 m＝48． 　　此时方程为 x²-14x＋48＝0，因式分解得 (x-6)(x-8)＝0， 　　解得 x1＝6，x2＝8，所以方程的另一个根为 8． (3) 直角三角形两条直角边的长分别为 6 和 8，设斜边长为 c， 　　由勾股定理得 c²＝6²＋8²＝36＋64＝100，所以 c＝10（c＞0）． 　　答：这个直角三角形斜边的长为 10． 学科网（北京）股份有限公司 $