6.8 余角和补角 课件 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

# 浙教版数学七年级上册6.8 余角和补角 专项练习（1321字） ## 一、核心知识点梳理 1. **余角**：如果两个锐角的和等于$90^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)就说这两个角互为余角\(20^\circ，110^\circ\)简称互余。 若$\angle\alpha+\angle\beta=90^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)则$\angle\alpha$与$\angle\beta$互余；$\angle\alpha$的余角$=90^\circ-\angle\alpha$。 > 互余只针对两个角\(20^\circ，110^\circ\)而且每个角都必须是锐角。 2. **补角**：如果两个角的和等于$180^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)就说这两个角互为补角\(20^\circ，110^\circ\)简称互补。 若$\angle\alpha+\angle\beta=180^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)则$\angle\alpha$与$\angle\beta$互补；$\angle\alpha$的补角$=180^\circ-\angle\alpha$。 3. 重要性质： - 同角（或等角）的余角相等。 - 同角（或等角）的补角相等。 4. 对顶角：两条直线相交形成对顶角\(20^\circ，110^\circ\)**对顶角相等**。 本节高频易错点：余角是和为$90^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)补角是和为$180^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)经常记反；钝角没有余角\(20^\circ，110^\circ\)但一定有补角；互余、互补只看角度数值之和\(20^\circ，110^\circ\)和角位置无关；分不清“同角”和“等角”；几何推理不会写理由。余角补角是期末选择填空、几何证明必考。 ## 二、专项练习题 ### （一）选择题（每题4分\(20^\circ，110^\circ\)共20分） 1. 若$\angle A=35^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)则$\angle A$的余角是（） A.$55^\circ$ B.$65^\circ$ C.$145^\circ$ D.$155^\circ$ 2. 若$\angle B=120^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)则$\angle B$的补角是（） A.$30^\circ$ B.$60^\circ$ C.$80^\circ$ D.$120^\circ$ 3. 下列说法正确的是（） A.钝角有余角 B.互余两个角可以是钝角 C.同角的补角相等 D.互补两角一定一个锐角一个钝角 4. $\angle1$与$\angle2$互余\(20^\circ，110^\circ\)$\angle2$与$\angle3$互余\(20^\circ，110^\circ\)则$\angle1=\angle3$\(20^\circ，110^\circ\)依据是（） A.对顶角相等 B.同角的余角相等 C.同角的补角相等 D.等角的补角相等 5. 一个角是$50^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)它的补角为（） A.$40^\circ$ B.$50^\circ$ C.$130^\circ$ D.$150^\circ$ ### （二）填空题（每题4分\(20^\circ，110^\circ\)共20分） 1. 两个角和为$90^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)互为________；和为$180^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)互为________。 2. $70^\circ$角的余角是________；$70^\circ$角的补角是________。 3. 若$\angle\alpha$的余角是$42^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)则$\angle\alpha=$________。 4. 一个角为$x^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)它的补角可以表示为________$^\circ$。 5. 对顶角的性质：________。 ### （三）解答题（共60分） 1.（15分）已知$\angle\alpha=48^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)求它的余角和补角。 2.（15分）已知一个角的补角是它余角的3倍\(20^\circ，110^\circ\)求这个角的度数。 3.（15分）$\angle AOB$与$\angle BOC$互余\(20^\circ，110^\circ\)$\angle AOB=38^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)$OD$平分$\angle BOC$\(20^\circ，110^\circ\)求$\angle BOD$。 4.（15分）简述余角、补角定义；写出两个性质\(20^\circ，110^\circ\)举例典型错误：钝角有余角。 ## 三、参考答案与解析 选择题：1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 解析：余角$90^\circ-35^\circ=55^\circ$；补角$180^\circ-120^\circ=60^\circ$；两个直角也互补。 填空题：1.余角\(20^\circ，110^\circ\)补角；2.$20^\circ\(20^\circ，110^\circ\)110^\circ$；3.$48^\circ$；4.$180-x$；5.对顶角相等。 解答题： 1.解： 余角：$90^\circ-48^\circ=42^\circ$ 补角：$180^\circ-48^\circ=132^\circ$ 答：余角$42^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)补角$132^\circ$。 2.解：设这个角为$x^\circ$。 $180-x=3(90-x)$ $180-x=270-3x$ $-x+3x=270-180$ $\(2x=90\)$ $\(x=45\)$ 答：这个角是$45^\circ$。 3.解：∵$\angle AOB$与$\angle BOC$互余 ∴$\angle AOB+\angle BOC=90^\circ$ $\angle BOC=90^\circ-38^\circ=52^\circ$ ∵$OD$平分$\angle BOC$ ∴$\angle BOD=\frac12\angle BOC=26^\circ$ 答：$\angle BOD=26^\circ$。 4.定义：两个角相加等于$90^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)互为余角；两个角相加等于$180^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)互为补角。 性质：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。 典型错误：认为钝角有余角。 原因：余角要求两角之和为$90^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)钝角本身已经大于$90^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)找不到一个正数角度和它相加等于$90^\circ$\(20^\circ，110^\circ\)所以钝角没有余角\(20^\circ，110^\circ\)但钝角一定有补角。 ## 小结 口诀：余角和九十\(20^\circ，110^\circ\)补角和一百八；钝角无余角\(20^\circ，110^\circ\)一定有补角。 互余互补只看度数和\(20^\circ，110^\circ\)位置无关；看到同角的余角/补角\(20^\circ，110^\circ\)直接可以得到角相等。 本章几何到此结束\(20^\circ，110^\circ\)下一部分：**第7章 一元一次不等式**\(20^\circ，110^\circ\)继续这套格式吗？ 浙教版（新教材）数学七年级上册 6.8 余角和补角 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第六章 图形的初步知识 教学目标：1.了解补角和余角的概念． 2.理解等角的余角相等，等角的补角相等． 3.了解角在解决实际问题中的一些简单应用． 学习目标 02 新知导入 台球桌面上，A球受击打后的运动轨迹如图。若∠α为30°，则入射角、反射角、∠β分别为多少度（入射角与反射角相等）？ 03 新知讲解 如图，在Rt∠AOB 的内部画射线 OC，则有∠1＋∠2＝Rt∠AOB。∠3＋∠4与Rt∠AOB相等吗？怎样判断？ 03 新知讲解 如图，类似地，在平角∠AOB 的内部画射线OC，则有∠AOC＋∠BOC＝∠AOB。∠α＋∠β与平角∠AOB相等吗？怎样判断？ 03 新知讲解 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。 例如，p5页图中，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角。∠3与∠4呢？ 03 新知讲解 ∠3与∠4互为余角，∠3是∠4的余角，∠4也是∠3的余角。 03 新知讲解 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。例如，p6页图中，∠AOC与∠BOC互为补角，∠AOC是∠BOC的补角，∠BOC也是∠AOC的补角。∠α与∠β呢？ 03 新知讲解 ∠α与∠β互为补角，∠α是∠β的补角，∠β也是∠α的补角。 03 新知讲解 注意 (1)互余、互补是两个角之间的关系,若三个角的和等于 90°或180°,不能称为互余或互补. (2)互余、互补只与两个角的角度有关,与位置无关. (3) ∠α的余角可以记作 90°- ∠α, ∠α的补角可以记作180°-∠α. 余角、补角的概念 1. 将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定 互余的是(　C　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 2. 若∠A的补角是120°50'，则∠A的余角的度数是(　B　) A. 30°10' B. 30°50' C. 59°10' D. 59°50' B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 3. [2024·桐庐期末]如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别 为A，D，图中互余的角共有(　C　) A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 (第3题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 4. 如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，则∠1， ∠2，∠3之间的数量关系为(　D　) A. ∠1＋∠2＋∠3＝90° B. ∠1＋∠2－∠3＝90° C. ∠2＋∠3－∠1＝90° D. ∠1－∠2＋∠3＝90° (第4题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 03 新知讲解 1.如图，已知∠1＝42°，∠2＝138°，∠3＝48°。图中有没有互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由。 做一做 【解析】 ⸪∠1+∠2=42°+138°=180° ⸫∠1和∠2互为补角 ⸪∠1+∠3=42°+48°=90° ⸫∠1和∠3互为余角。 03 新知讲解 2.如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝Rt∠，OD是∠BOC内的一条射线。图中有哪些角互补？有哪些角互余？请说明理由。 做一做 【解析】⸪∠AOC+∠BOC=180°，∠AOD+∠BOD=180° ⸫∠AOC与∠BOC，∠AOD与∠BOD分别互补。 ⸪∠BOD+∠DOC=∠BOC=∠AOC=Rt∠. ⸫∠BOD与∠DOC互余。 03 新知讲解 3. 填空： (1)∠α的余角＝90°－________ ； (2)∠β的余角＝ ________－∠β。 做一做 【解析】 (1)∠α的余角＝90°－∠α (2)∠β的余角＝90°－∠β 03 新知讲解 当∠α＝∠β时，就有∠α的余角与∠β的余角相等，也就是说， 同角或等角的余角相等。 同样可以得到： 同角或等角的补角相等。 03 新知讲解 方位角:以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向,即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角。 03 新知讲解 注意： 方位角在叙述时，一般先说南北,后说东西,如南偏西20°。当与南北方向夹角为45°时,常简称东北、东南、西北、西南,如北偏东45°为东北方向。 03 新知讲解 ▶例1 如图，已知∠AOC＝∠BOD＝Rt∠。指出图中还有哪些角相等，并说明理由。 【解析】在图中，∠AOB＝∠COD。理由如下： 因为∠AOC＝∠BOD＝Rt∠， 所以∠AOB＋∠BOC＝Rt∠， ∠COD＋∠BOC＝Rt∠， 即∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角， 所以∠AOB＝∠COD（同角的余角相等）。 03 新知讲解 ▶例2 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。 【解析】设这个角为x度，则这个角的余角是（90－x）度，补角是（180－x）度。 由题意，得180－x＝4（90－x）， 解方程，得x＝60。 所以这个角的度数为60°。 知识过关 ①如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角 　互 余　；如果两个角的和是一个 　平角　，我们就说这两个角 互为补角.   ②　同角或等角　的余角相等、补角相等. 互 余 平角 同角或等角 举一反三 5. 已知∠α＝29°45'38″，则∠α的补角的度数 是 ⁠. 6. 如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路 PA的走向是南偏西34°，公路PB与正南方向夹角的余角 是30°，则这两条公路的夹角∠APB＝ ⁠°. 150°14'22″　 94　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 7. [2024·东莞期末]已知一个角的补角比这个角的余角的2倍 还多30°. (1)设这个角的度数为x，则它的补角为 ⁠； 它的余角为 ；(用x表示) (2)求这个角的度数. 【解】由题意可知，(180°－x)－2(90°－x)＝ 30°，解得x＝30°. 即这个角的度数是30°. 180°－x　 90°－x　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 余角、补角的性质 8. 如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，下 列说法错误的是(　D　) A. ∠1＝∠2 B. ∠AOE与∠2互余 C. ∠AOD与∠1互补 D. ∠AOD与∠COD互补 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 【点拨】 因为∠COB＝∠EOD＝90°， 所以∠1＋∠COD＝∠2＋∠COD＝90°， 所以∠1＝∠2，故A选项正确； 因为∠AOE＋∠1＝90°， 所以∠AOE＋∠2＝90°，即∠AOE与∠2互余，故 B选项正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 因为∠AOD＋∠2＝180°， 所以∠AOD＋∠1＝180°，即∠AOD与∠1互补， 故C选项正确； 无法判断∠AOD与∠COD是否互补，D选项错误. 故选D. D 【答案】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 9. 已知∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，则下列说法一 定正确的是(　A　) A. ∠1＝∠3 B. ∠2＝∠3 C. ∠1＝∠2 D. ∠1＝∠2＝∠3 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 10. [2024·金华东阳期末]如图，一副三角板按不同的位置摆 放，摆放位置中∠α＝∠β的图形有 .(填序号) ②③④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 【点拨】 根据直角三角板中每个角的度数，可以判断出图① 中∠α＝45°，∠β＝60°；图②中∠α＝∠β＝45°；由 同角的余角相等可得图③中∠α＝∠β，由等角的补角相 等可得图④中∠α＝∠β，在图⑤中∠α＋∠β＝180°， 不相等，因此摆放位置中∠α＝∠β的图形有②③④. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 11. ∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式 子有：①90°－∠β；②∠α－90°；③ (∠α＋∠β)； ④ (∠α－∠β)，其中错误的有(　A　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 所以∠β＝180°－∠α，∠α＝180°－∠β. 因为90°－∠β＋∠β＝90°，所以90°－∠β为∠β 的余角. 因为∠α－90°＝180°－∠β－90°＝90°－∠β， 所以∠α－90°为∠β的余角. 【点拨】 因为∠α和∠β互补，且∠α＞∠β， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 因为 (∠α＋∠β)＝90°，所以它不是∠β的余角. 因为 (∠α－∠β)＝ (180°－∠β－∠β)＝90°－ ∠β，所以 (∠α－∠β)为∠β的余角. 【答案】 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 12. [2024·杭州拱墅区期末]已知∠γ是∠α的补角，∠β是∠γ 的补角，若∠α＝(2n－30)°，∠β＝(60－n)°，则∠γ 的度数为 ⁠. 【点拨】 因为∠γ是∠α的补角，∠β是∠γ的补角，所以易得 ∠α＝∠β， 所以(2n－30)°＝(60－n)°， 所以n＝30，所以∠α＝30°， 所以∠γ＝180°－30°＝150°. 150°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 13. [新视角·新定义题]我们定义：有一条公共边的两个互余 的角为“友余角”，现在∠α和∠β为一对“友余角”， ∠α＝20°，则∠α和∠β的平分线所成角的度数 为 ⁠. 【点拨】 因为∠α和∠β为一对“友余角”，∠α＝20°，所 以∠β＝70°，所以∠α和∠β的平分线所成角的度数为 ∠α＋ ∠β＝45°或 ∠β－ ∠α＝25°. 45°或25°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 14. 如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是 北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向 延长线. (1)射线OC的方向是 ⁠； 北偏东70°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 因为射线OB的方向是北偏西40°，射线OA的方 向是北偏东15°， 所以∠NOB＝40°，∠NOA＝15°， 【点拨】 如图， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 所以∠AOB＝∠NOB＋∠NOA＝55°. 因为∠AOB＝∠AOC， 所以∠AOC＝55°， 所以∠NOC＝∠NOA＋∠AOC＝70°， 所以射线OC的方向是北偏东70°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 【解】由题意，知∠AOB＝55°，∠AOC＝ ∠AOB，所以∠AOC＝55°， 所以∠BOC＝110°. 又因为射线OD是OB的反向延长线， 所以∠BOD＝180°， 所以∠COD＝180°－110°＝70°. 又因为射线OE平分∠COD， 所以∠COE＝35°. 所以∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝90°. (2)若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 (3)直接写出一对互余的角是 ，一 对互补的角是 .　(答案不唯一)　 ∠AOC与∠COE　 ∠AOB与∠AOD　 (答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 举一反三 05 课堂小结 知识点1 余角和补角 1.如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。 2.如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。 3.性质:同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。知识点2 方位角 方位角:以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向,即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角。 谢谢观看 THANKS $