精品解析：河南商丘市睢阳区2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026—2027学年上学期学情调研作业（一） 九年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意； B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义； C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 2. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】将代入原方程求出的值，再计算即可得到结果. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 解得， ∴． 3. 若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（ ） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值2 D. 最大值2 【答案】B 【解析】 【分析】开口向下的二次函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值． 4. 将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（ ） A. 16 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 5. 二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】令，得，两点的坐标为和，从而得的长． 【详解】解：令，得， 解得，， ∴，两点的坐标为和， ∴线段的长为． 6. 为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形确定圆的半径与正方形边长的关系，利用“绿植面积圆面积正方形面积”列出方程即可． 【详解】解：设正方形水池的边长为米， 水池的每条边到圆周的距离均为米，且正方形中心到边的距离为边长的一半， 圆的半径． 绿植部分的面积为平方米， 圆面积正方形面积， 即． 7. 已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（ ） A. 10 B. 12 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 8. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，原方程是一元一次方程，方程有解，符合题意；当时，根据一元二次方程有实数根以及二次根式有意义的条件列出关于k的不等式组求解即可． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得，符合题意； 当，即时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， ∴且， 综上，． 9. 若为二次函数图像上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键． 由二次函数可知抛物线对称轴为，开口方向向上，则点C关于对称轴的对称点，且当时，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线对称轴为直线，开口方向向上， ∴点C关于对称轴的对称点，且当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选A． 10. 如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二次函数的图象与轴交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为，代入函数解析式即可求出纵坐标得到交点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为， ∴ 令，代入二次函数解析式， 得， ∴ 二次函数的图象与轴交点坐标是． 12. 把变成一般式，它的常数项为_____． 【答案】18 【解析】 【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，将二次函数表达式展开为一般形式，常数项即为． 【详解】解：， 故常数项为． 故答案为：18． 13. 若分式的值为零，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，分式的值为零的条件．根据分式的值为零时，分子等于零，分母不等于零，求解即可． 【详解】解：由题意得：，解得， ，解得：，， 综上： 故答案为：． 14. 将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据定义可得 ，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得或． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴的负半轴于点．点是轴正半轴上一点，点关于点的对称点恰好落在抛物线上．过点作轴的平行线交抛物线于另一点．若点的横坐标为1，则的长为____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与一元二次方程等知识点，解方程得，再利用对称的性质得到点A的坐标为，所以抛物线解析式为，再计算自变量为1的函数值得到，接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标，然后计算的长即可，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】当时，，解得，，则， ∵点A关于点B的对称点为，点的横坐标为1， ∴点A的坐标为， ∴抛物线解析式为， 当时，，则， 当时，，解得，，则， ∴的长为， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2）（配方法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先两边同时乘以2，然后用直接开方法即可解答； （2）先把二次项系数化为1，然后把常数项移到方程右边，再给两边同时加上一次项系数一半的平方，最后利用开平方法求解即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ，． 17. 甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 【答案】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以， 正确解答： ， ， 或 解得，． 【解析】 【详解】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以， 正确解答： ， ， 或 解得，． 18. 若函数是二次函数． （1）求k的值； （2）当时，求自变量x的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程． （1）根据二次函数的定义得到，，进而求解即可； （2）当时，，求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴，， 即； 【小问2详解】 解：由（1）可得，该二次函数为， 当时， ∴， 解得：，． 19. 已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 0 1 2 3 4 5 0 0 m （1）此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 【答案】（1）， （2） 二次函数的图象如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的画法、二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）根据表格数据和抛物线的对称性可得结果； （2）根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象直接写出函数值的取值范围即可． 【小问1详解】 解：根据表格数据可得：顶点坐标为，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可知． 故答案为：，5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据函数图象，当时，的取值范围是． 故答案为：． 20. 一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． （1）已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【答案】（1）这三天票房的平均增长率为； （2）扛标旗单价上涨了2元或5元． 【解析】 【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为，根据题意列方程解答即可； （2）设单价上涨了元，根据题意列方程解答即可． 【小问1详解】 解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）若关于的方程是“邻根方程”，且，求的值． 【答案】（1）方程不是“邻根方程”，计算如下： ， 或 ∴，． ， ∴一元二次方程不是“邻根方程”． （2）， 【解析】 【分析】（1）先用因式分解法解一元二次方程，再根据定义判断即可； （2）设方程的根为，，且，由定义以及根与系数的关系就得到，，，再结合已知条件代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的根为，，且， 则，，． 将代入，得． 化简得， 解得． ． ． ，即， 解得，． 22. 如图，已知抛物线L：经过点，． （1）求该二次函数解析式； （2）将抛物线L向右平移个单位得到抛物线．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E（点E在点P右侧）．若，求m的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平移性质得平移后抛物线的解析式为，根据 P是抛物线上一点，横坐标为，得到，由轴，，得到，，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得抛物线L：经过点，， ， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 由抛物线L向右平移个单位得到抛物线， 故平移后抛物线的解析式为， P是抛物线上一点，横坐标为， ， 故， 由轴，， 则，， 解得，， 故， 在抛物线上， ， 整理，得， 解得， 由，故舍去， 故． 23. 已知二次函数（为常数，且）． （1）若点在该函数图象上，求的值； （2）判断该二次函数的图象与轴是否存在一固定的公共点，若存在，求出这个点的坐标；若不存在，说明理由； （3）已知一次函数．若对于任意的，都有，求的值． 【答案】（1） （2）存在，这个固定的公共点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入计算即可； （2）令，解方程即可求解； （3）根据得出，设，根据，抛物线开口向上，，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入， 得． 解得． 【小问2详解】 解：二次函数的图象与轴存在一固定的公共点． 令，即． 解得，． 当时，恒成立， ∴这个固定的公共点的坐标为． 【小问3详解】 解：，， ． 设． ，抛物线开口向上，， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期学情调研作业（一） 九年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 3. 若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（ ） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值2 D. 最大值2 4. 将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（ ） A. 16 B. 4 C. 2 D. 1 5. 二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 18 6. 为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（ ） A. 10 B. 12 C. 20 D. 24 8. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 9. 若为二次函数图像上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二次函数的图象与轴交点坐标是________． 12. 把变成一般式，它的常数项为_____． 13. 若分式的值为零，则的值为______． 14. 将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴的负半轴于点．点是轴正半轴上一点，点关于点的对称点恰好落在抛物线上．过点作轴的平行线交抛物线于另一点．若点的横坐标为1，则的长为____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2）（配方法） 17. 甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 18. 若函数是二次函数． （1）求k的值； （2）当时，求自变量x的值． 19. 已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 0 1 2 3 4 5 0 0 m （1）此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 20. 一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． （1）已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）若关于的方程是“邻根方程”，且，求的值． 22. 如图，已知抛物线L：经过点，． （1）求该二次函数解析式； （2）将抛物线L向右平移个单位得到抛物线．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E（点E在点P右侧）．若，求m的值． 23. 已知二次函数（为常数，且）． （1）若点在该函数图象上，求的值； （2）判断该二次函数的图象与轴是否存在一固定的公共点，若存在，求出这个点的坐标；若不存在，说明理由； （3）已知一次函数．若对于任意的，都有，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $