精品解析：河南省商丘市睢阳区2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

2025-2026学年度第一次阶段性检测卷 九年级数学（RJ） 测试范围：21.1-22.1 考试时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 3. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 关于y轴对称 C. 有最高点 D. 顶点坐标为 4. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 不能确定 5. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 无实数根 6. 电影《南京照相馆》取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，自上映以来，全国票房连创佳绩.据不完全统计，某市一天的票房收入约为200万元，第三天的票房收入约为600万元，设票房收入每天平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 对于二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 14或10 D. 10或12 9. 抛物线开口向上，顶点为，，抛物线与x轴交于点，，，，则下列结论中，正确的结论有（ ） ①；②；③. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10. 对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 一元二次方程化成的形式，则的值为__________． 12. 若点，在抛物线上，且，则a的取值范围为__________. 13. 若实数，则的值为__________． 14. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 15. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，则的最小值是________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）． 17. 已知抛物线． （1）列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象． （2）若抛物线的顶点为M，抛物线与x轴的交点为A，B（A在B的右侧），求的面积． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 19. 如图，公园原有一块长16m、宽12m的矩形空地．后来在这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．已知各区域鲜花面积的和为，求所铺设的石子路的宽度． 20. 如图，点是抛物线上的一点． （1）求的值； （2）若将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度恰好经过点，求的值． 21. 已知函数（b为常数）， （1）若图象经过点，判断图象是否经过点，并请说明理由； （2）设该函数图象的顶点坐标为，当b的值变化时，求m与n的关系式； （3）若该函数图象不经过第三象限，求b的取值范围． 22. 如图，在矩形中，，．动点从点A出发，以的速度沿着折线向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿着向终点运动，连接，，设运动时间为，的面积为． （1）当点在边上时， ， （用含的式子表示）． （2）当时，求的值． （3）连接，当时，求的值． （4）当点在边上，且时，直接写出的值． 23. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； （3）提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； （4）拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一次阶段性检测卷 九年级数学（RJ） 测试范围：21.1-22.1 考试时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式是解题的关键．根据二次函数的一般形式：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是二次函数，符合题意； B、，是一次函数，不符合题意； C、是一次函数，不符合题意； D、不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 2. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握开平方法是解本题的关键．两边直接开平方即可得解． 【详解】解：， 两边直接开平方得：，， 故选：C． 3. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 关于y轴对称 C. 有最高点 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质．先把解析式化为顶点式，进而得到顶点坐标和对称轴，再由函数开口向上，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，有最低点，顶点坐标为， ∴四个选项中只有D选项说法正确，符合题意， 故选：D． 4. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，其一般形式是（））是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列方程和不等式求解的值． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且． 由，得． 由，得． ∴． 故选：． 5. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 无实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，根据定义运算将方程转化为标准一元二次方程，计算判别式判断根的情况． 【详解】由题意得方程，即 ． 整理得： 计算判别式： 由于，方程有两个不相等的实数根． 故选A． 6. 电影《南京照相馆》取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，自上映以来，全国票房连创佳绩.据不完全统计，某市一天的票房收入约为200万元，第三天的票房收入约为600万元，设票房收入每天平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．设票房的收入每天平均增长率为x，根据“某市一天的票房收入约为200万元，第三天的票房收入约为600万元”列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 故选：A． 7. 对于二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键． 先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，对称轴，再由当时，y随x的增大而减小，得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵，且， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴m的取值范围为． 故选：B 8. 关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 14或10 D. 10或12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义；由方程的解求出，解方程求出另一个根，由等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 设另一根为， ， 解得：， 当为腰时， 此种情况不符合； 当为腰时， ， 符合题意， 的周长为：， 故选：A． 9. 抛物线开口向上，顶点为，，抛物线与x轴交于点，，，，则下列结论中，正确的结论有（ ） ①；②；③. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的系数与图像的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向、顶点坐标、与轴交点等性质，结合二次函数的系数关系，对三个结论逐一分析判断． 【详解】解：∵ 抛物线开口向上， ∴ ， ∵ 顶点横坐标为，即， ∴ ， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ，故①正确， ∵ ， ∴ ，故②正确， ∵ 抛物线与轴交于，， ∴ 当时，；当时，， ∴ ，即，，故③正确， 故选：． 10. 对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值． 【详解】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵，小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为，即， ∵， 即， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 一元二次方程化成的形式，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法，先把原方程中的常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，则可求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 若点，在抛物线上，且，则a的取值范围为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握对称轴的特点，二次函数图象的性质等知识是解题的关键．由抛物线解析式得其对称轴为直线，再根据得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，进而可得关于a的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵点，在抛物线上，且， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，即， ∴， 解得， 故答案为：. 13. 若实数，则的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，用换元法解一些复杂的方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．设，原式化为：，解一元二次方程求得的值，从而求得． 【详解】解：设，原式化为：， 整理得，， 解得，， ， ， 故答案为：6． 14. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根， ∴m2+3m-1=0， ∴3m-1=-m2， ∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根， ∴m+n=-3， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程()的两根时，，．也考查了一元二次方程的解． 15. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．作点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点，此时的值最小，利用解析式求得、点的坐标，根据抛物线的对称性求得的坐标，进一步求得的坐标，再求解即可． 【详解】解：作点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点，此时的值最小， 可得 四边形是平行四边形， ， ， 在中，令，则， 点， 令，则， 解得或， 点， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （3）先计算，再利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，； 【小问3详解】 解：， ∴a＝1，，c＝2， ∴， ∴， ∴，． 17. 已知抛物线． （1）列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象． （2）若抛物线的顶点为M，抛物线与x轴的交点为A，B（A在B的右侧），求的面积． 【答案】（1） 解：列表如下： x 0 1 2 y 5 0 图象如图所示： （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象，二次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，求解A，B两点坐标是解题的关键． （1）先根据y与x的关系式列表，再在坐标系中标点后连线即可画出图象； （2）由列表可知A，B两点坐标，即可求解的长，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由抛物线的图象可知，顶点坐标为， 在中， 当时，， 解得，， ∵A在B的右侧， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为8． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2），方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）． （1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 19. 如图，公园原有一块长16m、宽12m的矩形空地．后来在这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．已知各区域鲜花面积的和为，求所铺设的石子路的宽度． 【答案】所铺设的石子路的宽度为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设铺设的石子路的宽度为，根据鲜花的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合实际的值即可得出结论． 【详解】解：设所铺设的石子路的宽度为． 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：所铺设的石子路的宽度为． 20. 如图，点是抛物线上的一点． （1）求的值； （2）若将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度恰好经过点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移问题，待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）先表示平移后的函数解析式，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得二次函数的解析式为， ∴经过平移后的解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴， 解得． 21. 已知函数（b为常数）， （1）若图象经过点，判断图象是否经过点，并请说明理由； （2）设该函数图象的顶点坐标为，当b的值变化时，求m与n的关系式； （3）若该函数图象不经过第三象限，求b的取值范围． 【答案】（1） 解：图象经过点，理由如下： 把点代入得：， 解得， ∴此函数表达式为， ∴当时，， ∴图象经过点． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，求二次函数的函数值，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式，再求出自变量的值为3的函数值即可得到结论； （2）根据顶点坐标公式可得，，据此可求出m、n之间的关系式； （3）函数开口向上，且函数图象不经过第三象限，那么与y轴的交点坐标不能在y轴负半轴，据此可求出b的取值范围，进而可确定对称轴在y轴右侧，那么顶点一定不能在x轴下方，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵函数（b为常数）的顶点坐标是， ∴，， ∴， 把代入得，， ∴m与n的关系式为； 【小问3详解】 解：把代入得， ∵图象不经过第三象限， ∴，即， ∵， ∴顶点坐标为， ∵， ∴当时，抛物线不经过第三象限， 解得． 22. 如图，在矩形中，，．动点从点A出发，以的速度沿着折线向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿着向终点运动，连接，，设运动时间为，的面积为． （1）当点在边上时， ， （用含的式子表示）． （2）当时，求的值． （3）连接，当时，求的值． （4）当点在边上，且时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）7 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题、列代数式、勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，根据题意正确画出图形是解题的关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）先画出图形，再求出，然后根据图形以及三角形面积公式求解即可； （3）先题意画出图形可得：， ，再根据勾股定理列方程求得，再，然后根据图形以及三角形面积公式求解即可； （4）由点在边上可得，据此画出图形，再用x表示出，，然后根据列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，． ∴ 由题意可得：，则． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：如图：当时，点P在上，点Q在上，， 所以的面积为． 【小问3详解】 解：由题意可得：， ， ∵， ∴，解得：， 如图：当时，点P在上，点Q在上，， 所以的面积为． 【小问4详解】 解：如图：∵点在边上，， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理得：，解得：或9（不合题意、舍去）， ∴的值为7． 23. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； （3）提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； （4）拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】（1）， （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可； （4）根据方程有两个不相等的实数根得到，求出，然后利用根与系数的关系得到，，然后代入求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【小问4详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得 ∵关于的一元二次方程 ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 综上所述，． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形计算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $