专题19 圆周角专项训练（12大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册
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内容正文：
专题19 圆周角
题型01 圆周角概念的辨析
题型02 利用圆周角定理求角度
题型03 利用圆周角定理求长度
题型04 利用圆周角定理求面积
题型05 同弧或等弧所对的圆周角相等
题型06 直径所对的圆周角为直角
题型07 90°圆周角所对的弦为直径（最值问题）
题型08 圆的内接四边形
题型09 四边形外接圆的直径
题型10 尺规作图
题型11 新定义问题
题型12 折叠问题
▌题型01 圆周角概念的辨析
【典例1】下列圆中既有圆心角，又有圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可．
【解答】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角；
B．图中既有圆心角，也有圆周角；
C．图中图中只有圆周角，没有圆心角；
D．图中只有圆心角，没有圆周角；
故选：B．
【变式1-1】下列各图中的为圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据圆周角的定义，选项C中的为圆周角．
【变式1-2】如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（ ）
A． B．和 C．和 D．和
【答案】C
【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键．
【详解】解：是所对的圆周角，
是所对的圆周角，
是所对的圆周角，
是所对的圆周角，
不是圆周角，
故选：C．
【变式1-3】判断下列各图中的是不是圆周角，并说明理由．
(1)
【答案】(1)角的边与圆没有两个交点，不是圆周角，不符合圆周角定义．
(2)角的顶点不在圆上，不是圆周角，不符合圆周角定义．
(3)角的顶点在圆上，角的两边与圆相交，是圆周角，符合圆周角定义．
(4)角的顶点不在圆上，不是圆周角，不符合圆周角定义．
【分析】根据圆周角的定义作答即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
（4）略
▌题型02 利用圆周角定理求角度
【典例1】如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．21° B．25° C．26° D．27°
【分析】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，再利用圆周角定理结合垂直的定义可求解∠BOC的度数即可．
【解答】解：在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．连接OC，
∵∠ABC＝19°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，
∵半径OA，OB互相垂直，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，
∴．
故选：C．
【变式1-1】如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠BOC＝90°，则∠BAC的度数为（ ）
A．60° B．30° C．75° D．45°
【分析】根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得到，即可求解．
【解答】解：由题意得，
∵∠BOC＝90°，
∴∠BAC，
故选：D．
【变式1-2】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝BC，连结OA、OB．若∠D＝100°，则∠AOB的大小是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【分析】连接BD，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠ADB＝∠CDB＝50°，再根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：如图，连接BD，
∵AB＝BC，
∴，
∴∠ADB＝∠CDB∠ADC＝50°，
由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ADB＝100°，
故选：C．
【变式1-3】如图，点，，在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
▌题型03 利用圆周角定理求长度
【典例1】如图，等腰三角形内接于，，连接、，与相交于点D，已知，，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】由等边对等角和圆周角定理得出，，则为等边三角形，从而得到，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．
【详解】解：，，
，．
，
为等边三角形．
，．
．
∴．
【变式1-1】如图，在中，弦所对的圆周角，，则的直径为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】连接，根据圆周角定理可得，可得到是等腰直角三角形，即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的半径为1，
∴的直径为2．
【变式1-2】如图，小温将三角板角的顶点落在圆上，量出另两个交点的距离，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键．
连接，，由圆周角定理得，结合推出是等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的半径为．
故选：B．
【变式1-3】如图，内接于，为的直径，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆周角的定理，可知定点是的中点，，由此可求出的半径，根据弧长的计算方法即可求解．
【详解】解：根据题意，，，
∴，
∴，即点是的中点，且为的直径，
∴，，
在中，，
∴的半径，
∴，则，
故选：A．
▌题型04 利用圆周角定理求面积
【典例1】如图，四边形内接于，为直径，平分，要想求出四边形的面积，只要知道（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的值
【答案】C
【分析】先结合为直径，得出，根据平分，得，，，然后证明，故，再证明四边形是矩形，又因为，则四边形是正方形，得出四边形的面积，即可作答．
【详解】解：∵为直径，
∴，
过点分别作的延长线，，连接，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴ ，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵的延长线，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴四边形的面积，
即，
故选：C．
【变式1-1】如图，四边形中，，，若，，则四边形面积的最大值为（ ）
A． B．36 C． D．25
【答案】A
【分析】过作交直线于，过作于，以为斜边作等腰直角三角形，过作于，则四边形为平行四边形，得到，根据平行线得到，，即可得到，根据对角对等边得到点、、在以为圆心，为半径的圆上，得到，据此求四边形面积的最大值即可．
【详解】解：如图，过作交直线于，过作于，
∵，，
∴四边形为平行四边形，，，
∴，
∴，
∴，
以为斜边作等腰直角三角形，过作于，
∵，
∴，，
∵，
∴点、、在以为圆心，为半径的圆上，
∴，
∴，
∴最大值为，
∴四边形面积的最大值为．
【变式1-2】如图，在等腰直角三角形中，，．射线从出发绕点逆时针旋转，旋转角为（，且），作点关于的对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，交于，根据轴对称的性质得出点、、在以点为圆心，为半径的上，延长，交于，连接，根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质得出，进而得出是等腰直角三角形，，可得当点与重合时，取最大值，为的直径，此时的面积最大，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，交于，
∵点关于的对称点为，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴点、、在以点为圆心，为半径的上，
延长，交于，连接，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴当点与重合时，取最大值，为的直径，此时的面积最大，
当点与重合时，点与点重合，
∴．
【变式1-3】如图，四边形内接于，为直径，，，E为对角线上一动点，连结并延长交于点F．
(1)若，求证：；
(2)求四边形的面积；
【答案】(1)证明：为直径，，
，
；
(2)40
【分析】本题主要考查了圆的基本知识，等腰三角形的性质和判定，全等三角形，解直角三角形等知识；
（1）先根据垂径定理可得：，再由圆周角定理可得结论；
（2）如图1，过点分别作和的垂线，垂足分别为，，证明，则四边形的面积四边形的面积，可以解答．
【详解】（1）略
（2）解：如图1，过点分别作和的垂线，垂足分别为，，
，
，
，
，
，
四边形的面积四边形的面积，
，，
，
，
是直径，
，
，，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
四边形的面积四边形的面积．
▌题型05 同弧或等弧所对的圆周角相等
【典例1】如图，AB是⊙O的弦，点C，D都在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠ADB＝（ ）
A．20° B．40° C．50° D．70°
【分析】由圆周角定理，即可得到答案．
【解答】解由圆周角定理得到：∠ADB＝∠ACB＝40°．
故选：B．
【变式1-1】如图，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上三点，连接AD，CD，CE，EB，若∠CEB＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
【分析】连接AC，BC，由圆周角定理得到∠ACB＝90°，再由圆周角定理得到∠CEB＝∠CAB＝25°，以及∠D＝∠CBA，然后直角三角形锐角互余求解即可．
【解答】解：连接AC，BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵，
∴∠CEB＝∠CAB＝25°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣25°＝65°，
∵，
∴∠D＝∠CBA＝65°，则∠D的度数是65°，
故选：C．
【变式1-2】如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，若∠ABC＝20°，则∠BDC的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．70°
【分析】连接AC，根据直径所对的圆周角为直角，得出∠ACB＝90°，根据直角三角形两锐角互余，得出∠CAB＝90°﹣20°＝70°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出∠BDC＝∠CAB＝70°．
【解答】解：如图所示，连接AC，
∵AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝20°，
∴∠CAB＝90°﹣20°＝70°，
∴∠BDC＝∠CAB＝70°，
故选：D．
【变式1-3】如图，是等腰直角三角形，，是的外接圆，点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆中求角度，涉及等腰直角三角形性质、同弧所对的圆周角相等等知识，熟记等腰直角三角形性质及同弧所对的圆周角相等是解决问题的关键．
先由等腰直角三角形性质得到，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案．
【详解】解： 是等腰直角三角形，，
，
，
，
故选：C．
▌题型06 直径所对的圆周角为直角
【典例1】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，若∠ABC＝40°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据直径所对的圆周角等于90度，直角三角形两锐角互余，由直径所对的圆周角等于90度可得出∠ACB＝90°，再由直角三角形两锐角互余可得出∠BAC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣40°＝50°，
则∠BAC的度数为50°，
故选：B．
【变式1-1】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CD与AB交于点E，连接OD，BC，AC，OD∥BC，∠A＝24°，则∠D的度数为（ ）
A．66° B．38° C．33° D．24°
【分析】根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠B＝66°，再根据平行线的性质及圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝24°，
∴∠B＝66°，
∵OD∥BC，
∴∠B＝∠BOD，∠BCD＝∠D，
∵∠BCD∠BOD，
∴∠D∠B＝33°，
故选：C．
【变式1-2】如图，是的直径，将绕着点O逆时针旋转得到，P是上一点，且与点C在的异侧，连接．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，由是的直径得到，将绕着点O逆时针旋转得到，则，由圆周角定理得到,，则,由得到，即可得到的大小．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵将绕着点O逆时针旋转得到，
∴，
∴,，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【变式1-3】如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵与都是弧所对的圆周角，
∴．
▌题型07 90°圆周角所对的弦为直径（最值问题）
【典例1】如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（ ）．
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】设的中点为，连接，证明，得出，点在点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案．
【详解】解：设的中点为，连接，
∵四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
∴点在点为圆心，4为半径的圆上．
，
，
∵的最小值为2．
故选：A．
【变式1-1】如图，已知正方形的边长为4，动点P从点A出发在边上运动，同时动点Q从点B出发以同样的速度在边上运动．分别连接与相交于点E，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由点P与点Q的速度相同得到AP=BQ，然后结合正方形的性质得证△DAP≌△ABQ，从而得到∠AED=90°，进而得到点E在以AD为直径的圆O上运动，最后连接OB交圆O于点E即为所求．
【详解】∵点P与点Q的速度相同，
∴AP=BQ，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAP=∠ABQ，AB=AD，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠ABP=∠DAQ，
∵∠ADP+∠BAQ=90°，
∵∠DAE+∠BAQ=90°，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴点E在以AD为直径的圆上，圆心为点O，
如图，连接OB，与圆O的交点即为所求，
∵AD=4，
∴AB=4，AO=2，
∴，
∴BE的最小值为OB-2=，
故选：D．
【变式1-2】如图，△ABC看，∠BAC=90°，AC=12，AB=10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】连接AE，可得∠AED=∠BEA=90°，从而知点E在以AB为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、C三点共线时CE最小，根据勾股定理求得QC的长，即可得线段CE的最小值．
【详解】如图，连接AE，则∠AED=∠BEA=90°，
∴点E在以AB为直径的⊙Q上，
∵AB=10，
∴QA=QB=5，
当点Q、E、C三点共线时，QE+CE=CQ（最短），
而QE长度不变，故此时CE最小，
∵AC=12，
∴QC==13，
∴CE=QC-QE=13-5=8.
故选D．
【变式1-3】【阅读理解】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
【类型一】“定点＋定长”：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数．
解：由于，根据圆的定义可知，点、、一定在以点（定点）为圆心，（定长）为半径的上，则是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到的度数．
【类型二】“定角＋定弦”：如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．
解： ，
，
．
（定角）．
点在以（定弦）为直径的上．
又点在内部，
点在弧上（不包括点、点（如图）…．
【问题探究】
（1）①根据类型一的学习，可求得 °；
②请完成类型二后面的过程；
【问题解决】
（2）如图，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之运动，求点的运动路径长．
【答案】（1）①；
② ，
，
．
（定角）．
点在以（定弦）为直径的上．
又点在内部，
点在弧上（不包括点、点）
如图2，连接交于点，此时最小，
，
，
在中，，，
，
，
最小值为；
；
（2）
【分析】（1）①根据圆周角定理即可求解；②先判断出，进而得到，进而判断出点在上，即可求出答案；
（2）由正方形性质可证可得，可得，，由余角的性质可证，由题意可得点的运动路径是以为直径的圆弧，，由弧长公式可求解．
【详解】（1）① 是所对的圆心角，而是所对的圆周角，，
，
故答案为：；
②略
（2）四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
如图4，连接，交于点，
点在运动中保持，
点的运动路径是以为直径的圆弧，
点的运动路径长为 ．
▌题型08 圆的内接四边形
【典例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠D＝60°，则∠B的度数是（ ）
A．115° B．120° C．125° D．130°
【分析】根据圆内接四边形对角互补即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠D＝180°﹣60°＝120°，
故选：B．
【变式1-1】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O外的一点，连接CA，CB分别交⊙O于D，E两点，连接DE，DB．若∠CAB＝50°，∠C＝60°，则∠EDB的度数为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【分析】由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB的度数，由三角形内角和定理可得∠CBA的度数，由圆内接四边形对角互补可得∠ADE的度数，据此可得答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O外的一点，连接CA，CB分别交⊙O于D，E两点，连接DE，DB，
∴∠ADB＝90°，
∵∠CAB＝50°，∠C＝60°，∠CAB+∠CBA+∠C＝180°，
∴∠CBA＝70°，
∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠ADE+∠ABE＝180°，
∴∠ADE＝110°，
∴∠EDB＝∠ADE﹣∠ADB＝20°．
故选：C．
【变式1-2】如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，若∠D＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．100° B．110° C．70° D．109°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠D＝70°，
∴∠B＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
【变式1-3】如图，中，若，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在优弧上取点，连接、，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形对角互补可得的度数．
【详解】解：如图，在优弧上取点，连接、，
，
，
．
▌题型09 四边形外接圆的直径
【典例1】如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，利用方程解决问题，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，设的半径为，根据垂径定理得，列关于半径的方程求解即可．
【详解】解：连接，设的半径为，
则，，
，，
，
是的中点，
，
，
在中，，
解得，
即的半径为，
故选：C．
【变式1-1】如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（ ）
A．2 B．6 C．4 D．8
【答案】C
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题．
【详解】解：四边形内接于，是直径，
，
，且，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
解得，
则的半径长为；
故选：C．
【变式1-2】已知关于x的一元二次方程的两个根分别是矩形的长和宽，则这个矩形的外接圆的直径是______________．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系，矩形外接圆的性质等知识，设矩形的长和宽分别为a、b，根据根与系数的关系得到，利用勾股定理得到矩形的对角线长，再利用完全平方公式和整体代入的方法可计算出矩形的对角线长，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵一个矩形的长和宽分别是一元二次方程的两个实数根，
∴设矩形的长和宽分别为a、b，则，
∴矩形的对角线长，
∴这个矩形的外接圆的直径是，
故答案为：．
【变式1-3】如图，在正方形内有一折线段，其中，，并且，，，求正方形的外接圆半径．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，外接圆的特点，以及勾股定理的应用，通过平移线段构造矩形，将正方形外接圆直径转化为直角三角形的斜边是解题关键．
通过平移线段构造矩形，将分散线段整合为直角三角形的边，用勾股定理求出正方形对角线，再结合正方形外接圆直径与对角线的关系，得到外接圆半径．
【详解】解：如图，平移至，连接，，
、，
，
，且，
四边形是矩形，
，，，，
在中，，即正方形对角线，
正方形的外接圆直径等于其对角线长，
正方形外接圆半径为：．
▌题型10 尺规作图
【典例1】如图①，②，③中每个小正方形的边长均为，的顶点，均落在小正方形的顶点上，点在小正方形的边上，以为直径的半圆的圆心为．请用无刻度的直尺按要求画图．
(1)如图①，在半圆上确定点，使．
(2)如图②，在线段的延长线上确定点，使．
(3)如图③，在线段上确定点，使．
【答案】(1)如图，点即为所求；
(2)如图，点即为所求；
(3)如图，点即为所求
【分析】（1）根据网格的特点，取的中点（与网格的交点），连接，延长交半圆于点，即可；
（2）在（1）的条件，连接并延长交的延长线于点，点即为所求；
（3）连接，与交于点，再连接，并延长与交于点，点即为所求．
【详解】（1）解：取的中点（与网格的交点），连接，延长交半圆于点，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
；
（2）解：连接并延长交的延长线于点，点即为所求，
，
，
，
，
，
；
（3）解：连接，与交于点，再连接，并延长与交于点，点即为所求，
为半圆的直径，
，即，
，
垂直平分，，
，
，
，即，
，，
，
，
，
即．
【变式1-1】如图是由边长为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，格点A、B、C在同一个圆上．只用无刻度的直尺分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画出圆心O；
(2)在图②中，在上画点D，使．
【答案】(1)如图①，点O即为所求
(2)如图②，点D即为所求．
【分析】（1）连接和相交于点，根据两条直径的交点即为圆心，即可得到点就是圆心；
（2）取格点，连接交圆于点，根据全等三角形的判定和性质得到，再根据垂径定理即可得到．
【详解】（1）略
（2）略
【变式1-2】仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）．
(1)如图1，矩形的顶点都在圆O上，请找出圆心O．
(2)如图2，以平行四边形边为直径的与边相交，请找出圆心O．
【答案】(1)如图所示，点O即为所求：
(2)如图所示，点O即为所求：
方法一
方法二
【分析】（1）根据圆周角所对的弦是直径得到矩形的对角线都是直径，连接对角线交点即为圆心；
（2）直线与分别交圆于点、，连接与交点即为圆心；由为直径可得，根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，最后根据圆周角所对的弦是直径得到是直径，直径与交点即为圆心．
【详解】（1）略
（2）略
【变式1-3】如图（1）（2），在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为O，请用无刻度的直尺，在如图（1）图（2）所示的网格中，在半圆O上画出点P，连接，使平分．
【答案】
【分析】对于图（1）：取格点T，连接交于点P，连接，点P即为所求；
对于图（2）：取的中点J，连接，延长交于点P，连接，点P即为所求．
【详解】解：对于图（1）：取格点T，连接交于点P，连接，点P即为所求，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即平分；
对于图（2）：取的中点J，连接，延长交于点P，连接，点P即为所求，延长交于点R，连接交于点K，
∵是的直径，
∴，
∵O，J是，的中点，
∴，
∴，
∵是圆的半径，
∴，
∴，即平分．
▌题型11 新定义问题
【典例1】阅读与思考
在学习了“圆内接四边形的对角互补”后，数学兴趣小组的同学们研究了它的逆命题“如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆”．发现该逆命题是真命题，下面是他们按照“提出问题一分析问题一解决问题”的路径，对该逆命题的探究过程，请你仔细阅读并完成相应的任务．
对“圆内接四边形的对角互补”的逆命题的探究
提出问题：
证明命题“如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆”是真命题，即已知：在四边形中，，求证：四边形内接于圆．
分析问题：
我们知道，不在同一条直线上的三个点，确定一个圆，所以一定内接于圆，若证明点也在该圆上，则可得四边形内接于该圆．但是发现直接证明行不通，于是考虑采取反证法来证明．
解决问题：
证明：在四边形中，过点作．
假设点不在上，则点在外或点在内．分以下两种情况讨论：
①当点在外时，如图1．设交于点；
连接，则四边形是的内接四边形，
∴，
是的外角，
∴，
∴，
这与已知“”相矛盾，即点在外不成立．
②当点在内时，如图2．
．．．．．．
任务：
(1)下列四边形中，一定内接于圆的是__________．（填序号）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
(2)将材料中的证明过程补充完整．
(3)如图3，已知，求作四边形和，使得四边形内接于，且对角线平分．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)B、D
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）一定内接于圆的四边形，对角一定是互补的，矩形和正方形的对角一定是互补的，而平行四边形与菱形的对角不一定互补；
（2）延长交于点，连接，则四边形是的内接四边形，利用是的外角，得出，与已知“”相矛盾，从而证明点在内不成立，从反面证明点在上；
（3）作出、的垂直平分线交于点，以点为圆心，以为半径，作，此时在上，作出的角平分线，与交于点，连接、，四边形与即为所求．
【详解】（1）解：∵矩形和正方形四个内角都是，
∴矩形和正方形的对角是互补的，
∴矩形和正方形一定内接于圆，
而平行四边形与菱形的对角只是相等不一定互补，
∴平行四边形与菱形不一定内接于圆．
（2）解：当点在内时，如图2，延长交于点，连接，则四边形是的内接四边形，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
这与已知“”相矛盾，即点在内不成立．
综上所述，点在上，即四边形内接于．
（3）解：如图所示，分别作出、的垂直平分线，、的垂直平分线交于点；以点为圆心，以为半径，作；作出的角平分线，与交于点；连接、，四边形与即为所求．
∵点是、的垂直平分线的交点，
∴为的外接圆，即在上，
又∵的角平分线，与交于点，
∴平分，点也在上，
∴四边形与即为所求．
【变式1-1】阅读与思考
请认真阅读材料，并完成相应任务．
婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，这类四边形被称为“婆罗摩笈多四边形”．我们一起了解这位数学家的研究成果吧！
如图1，已知⊙O的内接四边形，对角线于点．婆罗摩笈多发现等于⊙O半径平方的4倍．
下面是他的探究思路：
于点，
．
．（依据1）
如图2，连接并延长交⊙O于点，连接，
则．（依据2）
．
又，．
，．
．．
……
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指： ，依据2是指： ；
(2)请完成材料中的剩余证明；
(3)如图3，⊙M的半径为5，四边形内接于⊙M，且于点，则的长为 ．
【答案】(1)勾股定理；直径所对的圆周角是直角
(2)证明：于点，
，
，
如图2，连接并延长交⊙O于点，连接，
则，
，
又，
，
，
．
，
，
，
，
即等于⊙O半径平方的4倍；
(3)
【分析】（1）根据勾股定理和直径所对的圆周角是直角即可解答；
（2）根据圆周角定理进行线段的转换，再利用勾股定理即可解答；
（3）直接利用（2）中原理即可解答．
【详解】（1）解：材料中的依据1是指勾股定理，依据2是指直径所对的圆周角是直角，
故答案为：勾股定理；直径所对的圆周角是直角；
（2）略
（3）解：根据（2）中结论可得，
，
故答案为：．
【变式1-2】小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证．
已知：如图，在四边形中，．
求证：点在同一个圆上．
他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点的，再证明第四个顶点也在上．
具体过程如下：
步骤一 作出过三点的．
如图1，分别作出线段的垂直平分线，
设它们的交点为，以为圆心，的长为半径作．
连接，
（①______）．（填推理依据）
．
点在上．
步骤二 用反证法证明点也在上．
假设点不在上，则点在内或外．
ⅰ．如图2，假设点在内．
延长交于点，连接．
（②______）．（填推理依据）
是的外角，
（③______）．（填推理依据）
．
．
这与已知条件矛盾．
假设不成立．即点不在内．
ⅱ．如图3，假设点在外．
设与交于点，连接．
．
是的外角，
．
．
．
这与已知条件矛盾．
假设不成立．即点不在外．
综上所述，点在上．
点在同一个圆上．
阅读上述材料，并解答问题：
（1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）填推理依据：①______，②______，③______．
【答案】（1）补全图1，如图．
（2）①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．②圆内接四边形的对角互补．③三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【分析】本题考查的是画三角形的外接圆，线段的垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，圆的内接四边形的性质，反证法的运用，熟练的利用反证法证明命题的真假是解本题的关键；
（1）先作线段，的垂直平分线，得到交点O，再以O为圆心，为半径画圆即可；
（2）由线段的垂直平分线的性质可得，再利用圆的内接四边形的性质可得对角互补，结合三角形的外角的性质可得推理的依据．
【详解】略
【变式1-3】【阅读材料】
材料一：定义：对于锐角，始终满足；
材料二：如图1，在中，的对边分别是a，b，c，则有，这是解三角形的重要结论，可解决实际问题．
【结论证明】
（1）学习圆的有关知识，小明同学尝试对材料二中的结论给予证明，过程如下：
证明：如图2，作的外接圆，令的半径为，连接CO并延长交于点，连接
请帮助小明同学写出剩余的证明过程；
【知识应用】
任务一：（2）计算：__________，__________；
任务二：（3）如图3，在中，，请利用上述知识求AC的长（结果保留根号）；
【实际应用】（4）如图4，一艘海轮以50海里／小时的速度沿正西方向航行，上午9时在处测得小岛在其北偏东的方位上，上午11时到达处，并测得小岛在其北偏东的方位上，请采用上述材料得出的结论求点到点之间的距离．（结果保留1海里），（参考数据：）
【答案】（1）证明：如图2，作的外接圆，令的半径为，连接CO并延长交于点，连接，，
∴，
∴，
同理可得：，
∴．
（2），；
（3）；
（4）193海里．
【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的基本性质、三角函数、方位角等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）由圆周角定理、圆的基本性质、三角函数可得，同理可得，进而证明结论；
（2）直接利用材料一的结论求解即可；
（3）直接利用材料二的结论求解即可；
（4）由题意可得： 海里，利用三角形内角和定理可得，再结合材料一、二可得，再结合三角函数值求解即可．
【详解】（1）略
（2）∵，
∴，．
故答案为：，．
（3）∵，
∴，即，
∴，解得：．
（4）由题意可得： 海里，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，解得：海里．
▌题型12 折叠问题
【典例1】如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交于点，则的度数等于( )．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据优弧所对的圆周角为，得到，然后根据，计算求得的度数．
【详解】解：如图，连接，
是直径，
，
，
．
根据翻折的性质，所对的圆周角为，优弧所对的圆周角为，
，
，
，
故选:B．
【变式1-1】如图，在半圆O中，直径，C是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于D，点E是的中点．连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，连接，，设的弧度为，求出的弧度为，求出，由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时最小，则．图形折叠及三角形边关系的性质是解题关键．
【详解】解：连接，，
设的弧度为，
∴的弧度为：，
∵，
∴的弧度为：，
由折叠得，的弧度为，
∴的弧度为：，
点为的中点，
∴的弧度为：，
∴的弧度为：，
即所对圆心角为，是等腰直角三角形的斜边，直角边为半径，
∵，
半径为1，
∴，
由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时最小，
∴．
故选：A．
【变式1-2】如图，是 的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿 翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】连接、、，由翻折可知，、、所在的圆为等圆，且所对的圆周角均为得，进而得，结合等腰三角形性质及三角形外角性质可得，由是 的直径得，可得，代入可得，解方程求得的值即可判断其所在范围．
【详解】解：如图，连接、、，
由翻折可知，、、所在的圆为等圆，且所对的圆周角均为，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是 的直径，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴所在的范围是．
【变式1-3】如图，，是的弦，劣弧沿弦翻折恰好经过点O，交于点D，连接，若，，则的半径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，，，过点B作于点E，过点O作于点F，求出，根据圆周角定理求出，证明为等边三角形，得出，根据，得出，根据勾股定理求出，，根据，求出结果即可．
【详解】解：连接，，，过点B作于点E，过点O作于点F，如图所示：
则，
∵劣弧沿弦翻折恰好经过点O，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且由翻折而成，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，故B正确．
故选：B．
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专题19 圆周角
题型01 圆周角概念的辨析
题型02 利用圆周角定理求角度
题型03 利用圆周角定理求长度
题型04 利用圆周角定理求面积
题型05 同弧或等弧所对的圆周角相等
题型06 直径所对的圆周角为直角
题型07 90°圆周角所对的弦为直径（最值问题）
题型08 圆的内接四边形
题型09 四边形外接圆的直径
题型10 尺规作图
题型11 新定义问题
题型12 折叠问题
▌题型01 圆周角概念的辨析
【典例1】下列圆中既有圆心角，又有圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】下列各图中的为圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（ ）
A． B．和 C．和 D．和
【变式1-3】判断下列各图中的是不是圆周角，并说明理由．
(1)
▌题型02 利用圆周角定理求角度
【典例1】如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．21° B．25° C．26° D．27°
【变式1-1】如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠BOC＝90°，则∠BAC的度数为（ ）
A．60° B．30° C．75° D．45°
【变式1-2】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝BC，连结OA、OB．若∠D＝100°，则∠AOB的大小是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【变式1-3】如图，点，，在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
▌题型03 利用圆周角定理求长度
【典例1】如图，等腰三角形内接于，，连接、，与相交于点D，已知，，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式1-1】如图，在中，弦所对的圆周角，，则的直径为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【变式1-2】如图，小温将三角板角的顶点落在圆上，量出另两个交点的距离，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】如图，内接于，为的直径，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
▌题型04 利用圆周角定理求面积
【典例1】如图，四边形内接于，为直径，平分，要想求出四边形的面积，只要知道（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的值
【变式1-1】如图，四边形中，，，若，，则四边形面积的最大值为（ ）
A． B．36 C． D．25
【变式1-2】如图，在等腰直角三角形中，，．射线从出发绕点逆时针旋转，旋转角为（，且），作点关于的对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】如图，四边形内接于，为直径，，，E为对角线上一动点，连结并延长交于点F．
(1)若，求证：；
(2)求四边形的面积；
▌题型05 同弧或等弧所对的圆周角相等
【典例1】如图，AB是⊙O的弦，点C，D都在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠ADB＝（ ）
A．20° B．40° C．50° D．70°
【变式1-1】如图，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上三点，连接AD，CD，CE，EB，若∠CEB＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
【变式1-2】如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，若∠ABC＝20°，则∠BDC的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．70°
【变式1-3】如图，是等腰直角三角形，，是的外接圆，点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
▌题型06 直径所对的圆周角为直角
【典例1】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，若∠ABC＝40°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【变式1-1】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CD与AB交于点E，连接OD，BC，AC，OD∥BC，∠A＝24°，则∠D的度数为（ ）
A．66° B．38° C．33° D．24°
【变式1-2】如图，是的直径，将绕着点O逆时针旋转得到，P是上一点，且与点C在的异侧，连接．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
▌题型07 90°圆周角所对的弦为直径（最值问题）
【典例1】如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（ ）．
A．2 B． C． D．
【变式1-1】如图，已知正方形的边长为4，动点P从点A出发在边上运动，同时动点Q从点B出发以同样的速度在边上运动．分别连接与相交于点E，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图，△ABC看，∠BAC=90°，AC=12，AB=10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式1-3】【阅读理解】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
【类型一】“定点＋定长”：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数．
解：由于，根据圆的定义可知，点、、一定在以点（定点）为圆心，（定长）为半径的上，则是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到的度数．
【类型二】“定角＋定弦”：如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．
解： ，
，
．
（定角）．
点在以（定弦）为直径的上．
又点在内部，
点在弧上（不包括点、点（如图）…．
【问题探究】
（1）①根据类型一的学习，可求得 °；
②请完成类型二后面的过程；
【问题解决】
（2）如图，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之运动，求点的运动路径长．
▌题型08 圆的内接四边形
【典例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠D＝60°，则∠B的度数是（ ）
A．115° B．120° C．125° D．130°
【变式1-1】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O外的一点，连接CA，CB分别交⊙O于D，E两点，连接DE，DB．若∠CAB＝50°，∠C＝60°，则∠EDB的度数为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【变式1-2】如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，若∠D＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．100° B．110° C．70° D．109°
【变式1-3】如图，中，若，那么（ ）
A． B． C． D．
▌题型09 四边形外接圆的直径
【典例1】如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（ ）
A．2 B．6 C．4 D．8
【变式1-2】已知关于x的一元二次方程的两个根分别是矩形的长和宽，则这个矩形的外接圆的直径是______________．
【变式1-3】如图，在正方形内有一折线段，其中，，并且，，，求正方形的外接圆半径．
▌题型10 尺规作图
【典例1】如图①，②，③中每个小正方形的边长均为，的顶点，均落在小正方形的顶点上，点在小正方形的边上，以为直径的半圆的圆心为．请用无刻度的直尺按要求画图．
(1)如图①，在半圆上确定点，使．
(2)如图②，在线段的延长线上确定点，使．
(3)如图③，在线段上确定点，使．
【变式1-1】如图是由边长为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，格点A、B、C在同一个圆上．只用无刻度的直尺分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画出圆心O；
(2)在图②中，在上画点D，使．
【变式1-2】仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）．
(1)如图1，矩形的顶点都在圆O上，请找出圆心O．
(2)如图2，以平行四边形边为直径的与边相交，请找出圆心O．
【变式1-3】如图（1）（2），在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为O，请用无刻度的直尺，在如图（1）图（2）所示的网格中，在半圆O上画出点P，连接，使平分．
▌题型11 新定义问题
【典例1】阅读与思考
在学习了“圆内接四边形的对角互补”后，数学兴趣小组的同学们研究了它的逆命题“如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆”．发现该逆命题是真命题，下面是他们按照“提出问题一分析问题一解决问题”的路径，对该逆命题的探究过程，请你仔细阅读并完成相应的任务．
对“圆内接四边形的对角互补”的逆命题的探究
提出问题：
证明命题“如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆”是真命题，即已知：在四边形中，，求证：四边形内接于圆．
分析问题：
我们知道，不在同一条直线上的三个点，确定一个圆，所以一定内接于圆，若证明点也在该圆上，则可得四边形内接于该圆．但是发现直接证明行不通，于是考虑采取反证法来证明．
解决问题：
证明：在四边形中，过点作．
假设点不在上，则点在外或点在内．分以下两种情况讨论：
①当点在外时，如图1．设交于点；
连接，则四边形是的内接四边形，
∴，
是的外角，
∴，
∴，
这与已知“”相矛盾，即点在外不成立．
②当点在内时，如图2．
．．．．．．
任务：
(1)下列四边形中，一定内接于圆的是__________．（填序号）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
(2)将材料中的证明过程补充完整．
(3)如图3，已知，求作四边形和，使得四边形内接于，且对角线平分．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【变式1-1】阅读与思考
请认真阅读材料，并完成相应任务．
婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，这类四边形被称为“婆罗摩笈多四边形”．我们一起了解这位数学家的研究成果吧！
如图1，已知⊙O的内接四边形，对角线于点．婆罗摩笈多发现等于⊙O半径平方的4倍．
下面是他的探究思路：
于点，
．
．（依据1）
如图2，连接并延长交⊙O于点，连接，
则．（依据2）
．
又，．
，．
．．
……
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指： ，依据2是指： ；
(2)请完成材料中的剩余证明；
(3)如图3，⊙M的半径为5，四边形内接于⊙M，且于点，则的长为 ．
【变式1-2】小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证．
已知：如图，在四边形中，．
求证：点在同一个圆上．
他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点的，再证明第四个顶点也在上．
具体过程如下：
步骤一 作出过三点的．
如图1，分别作出线段的垂直平分线，
设它们的交点为，以为圆心，的长为半径作．
连接，
（①______）．（填推理依据）
．
点在上．
步骤二 用反证法证明点也在上．
假设点不在上，则点在内或外．
ⅰ．如图2，假设点在内．
延长交于点，连接．
（②______）．（填推理依据）
是的外角，
（③______）．（填推理依据）
．
．
这与已知条件矛盾．
假设不成立．即点不在内．
ⅱ．如图3，假设点在外．
设与交于点，连接．
．
是的外角，
．
．
．
这与已知条件矛盾．
假设不成立．即点不在外．
综上所述，点在上．
点在同一个圆上．
阅读上述材料，并解答问题：
（1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）填推理依据：①______，②______，③______．
【变式1-3】【阅读材料】
材料一：定义：对于锐角，始终满足；
材料二：如图1，在中，的对边分别是a，b，c，则有，这是解三角形的重要结论，可解决实际问题．
【结论证明】
（1）学习圆的有关知识，小明同学尝试对材料二中的结论给予证明，过程如下：
证明：如图2，作的外接圆，令的半径为，连接CO并延长交于点，连接
请帮助小明同学写出剩余的证明过程；
【知识应用】
任务一：（2）计算：__________，__________；
任务二：（3）如图3，在中，，请利用上述知识求AC的长（结果保留根号）；
【实际应用】（4）如图4，一艘海轮以50海里／小时的速度沿正西方向航行，上午9时在处测得小岛在其北偏东的方位上，上午11时到达处，并测得小岛在其北偏东的方位上，请采用上述材料得出的结论求点到点之间的距离．（结果保留1海里），（参考数据：）
▌题型12 折叠问题
【典例1】如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交于点，则的度数等于( )．
A． B． C． D．
【变式1-1】如图，在半圆O中，直径，C是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于D，点E是的中点．连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图，是 的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿 翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】如图，，是的弦，劣弧沿弦翻折恰好经过点O，交于点D，连接，若，，则的半径长是（ ）
A． B． C． D．
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