专题12 圆锥的侧面积和全面积八大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以八大题型为框架，系统整合圆锥侧面积与全面积计算的方法体系，通过公式变形、立体转平面等策略构建从基础量计算到实际应用的知识逻辑链，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求侧面积/全面积|2题型+6变式|公式直接应用，区分侧面积与全面积|从圆锥基本量（r、l、h）到面积公式的直接应用| |求半径/高/母线|3题型+9变式|弧长等量关系，勾股定理，公式变形|通过展开图弧长=底面周长、直角三角形关系实现量的互求| |圆心角/实际应用/最短距离|3题型+9变式|圆心角公式推导，实际模型抽象，立体转平面|从几何计算到实际问题解决，渗透转化思想与应用意识|

专题12 圆锥的侧面积和全面积八大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 求圆锥的侧面积和全面积 题型02 求圆锥的全面积 题型03 求圆锥底面圆的半径 题型04 求圆锥的高 题型05求圆锥的母线长 题型06 圆锥的侧面展开图的圆心角 题型07 圆锥计算与实际应用问题 题型08 圆锥与最短距离 ▌题型01 求圆锥的侧面积 1. 圆锥基本量： ：底面圆半径；：母线长（侧面扇形的半径）；：圆锥的高。 2. 公式： 圆锥侧面积： 圆锥底面积： 侧面展开图：圆锥侧面展开是扇形，扇形半径 = 圆锥母线，扇形弧长 = 圆锥底面圆周长。 4. 解题思路：找准底面半径和母线，直接代入对应公式计算。 5. 易错区分：侧面积不含底面圆； 【典例1】某圆锥底面直径为，母线长为，则该圆锥侧面积为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，绕直角边旋转一周，它的其他各边所成的面围成了一个圆锥，已知，．则圆锥的侧面积等于（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为, 扇形的圆心角的度数是120°，则圆锥的侧面积为 （结果保留）．    ▌题型02 求圆锥的全面积 1. 圆锥基本量： ：底面圆半径；：母线长（侧面扇形的半径）；：圆锥的高。 2. 公式： 圆锥侧面积： 圆锥底面积： 圆锥全面积： 3. 侧面展开图：圆锥侧面展开是扇形，扇形半径 = 圆锥母线，扇形弧长 = 圆锥底面圆周长。 4. 解题思路：找准底面半径和母线，直接代入对应公式计算。 5. 易错区分：侧面积不含底面圆；全面积要加上底面圆面积。 【典例1】（2026·江苏南通·模拟预测）已知某圆锥的底面直径为6cm，母线长4cm，则它的全面积为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】若圆锥的高为，母线长为，则圆锥的全面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片（接缝忽略不计），则该圆锥的全面积为_______． 【变式1-3】已知圆锥体的母线长，底面圆的直径为．（计算结果保留） (1)求该圆锥的侧面展开图的圆心角度数； (2)求该圆锥的表面积． ▌题型03 求圆锥底面圆的半径 1. 核心等量关系：圆锥底面周长 = 侧面扇形的弧长 底面半径，母线，侧面扇形圆心角。 2. 公式变形求底面半径： 3. 已知侧面积求底面半径：由，得。 4. 思路： ①给侧面扇形条件：利用弧长等于底面周长列方程； ②给侧面积、母线：直接变形公式求解； ③结果必须。 【典例2】（2026·山东东营·中考真题）若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 【变式1-2】如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）．    (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径． 【变式1-3】有一个直径为2m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC．    （1）求图中阴影部分的面积； （2）若将扇形ABC围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径最大是多少？ ▌题型04 求圆锥的高 1. 圆锥的轴截面是等腰三角形，母线、底面半径、圆锥高构成直角三角形。 勾股定理： 母线，底面半径，圆锥的高。 2. 求高变形公式：。 3. 解题思路：题目给出母线、底面半径二者，代入勾股定理求高。 4. 注意：高是垂直高度，不是母线；看清已知条件，不要把母线当成高。 【典例3-1】如图，用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5，弧长是，那么围成的圆锥的高度是（    ）    A． B．5 C．4 D．3 【典例3-2】如图，正六边形的边长为12，连接，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ）    A． B． C． D．2 【变式1-1】已知圆锥的侧面积为，底面半径为，则圆锥的高是_________． 【变式1-2】如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则： (1)求出围成的圆锥的侧面积； (2)求出该圆锥的高． 【变式1-3】如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长； (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． ▌题型05 求圆锥的母线长 1. 勾股关系：，，已知底面半径、高可求母线。 2. 由侧面积公式变形：。 3. 由侧面扇形弧长：。 4. 做题套路： · 已知，用勾股； · 已知侧面积、底面半径，用侧面积公式； · 已知扇形圆心角、底面半径，用弧长相等列方程。 【典例4-1】圆锥的底面半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线长为（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 【典例4-2】如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图所示是一个侧面积为的圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，若其底面圆的半径为，则它的母线长为_____________cm． 【变式1-2】如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且l：l＝1：3（l表示的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为____ 【变式1-3】（2026·四川内江·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． ▌题型06 圆锥的侧面展开图的圆心角 1. 等量关系：底面周长 = 扇形弧长 2. 圆心角推导公式： 为侧面扇形圆心角，底面半径，母线。 3. 思路： ①知道和，直接代入； ②不知道，先通过侧面积、全面积、勾股定理求出，再算圆心角。 4. 取值范围：。 【典例5】如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 ； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ． 【变式1-1】已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 【变式1-2】（2026·新疆·中考真题）已知圆锥的底面半径是，母线长是，则它的侧面展开图的圆心角 为____________． 【变式1-3】圆锥的底面积是侧面积的，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是 °． ▌题型07 圆锥计算与实际应用问题 1. 实际模型：漏斗、烟囱帽、沙堆、灯罩等，大多只算侧面积；有底面的容器才算全面积。 2. 做题步骤： ①把实际物体抽象成圆锥，区分实际物体需要侧面积还是全面积； ②提取实际数据，对应圆锥的； ③利用勾股定理先补齐缺少的量（）； ④代入面积公式计算，注意题目单位是否统一。 3. 常见考法：求用料面积、物体体积（圆锥体积）。 【典例6-1】如图（1）是我国南方部分地区使用的蒸饭工—甑子．甑体可抽象为立体图形中的圆台图（2）．小明研究发现，圆台可看作是由两个圆锥相减得到的，他画出了其展开图如图（3）所示，若下底面半径，上底面半径，，则圆台的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【典例6-2】如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：），电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？ 【变式1-1】如图1，冰激凌的外壳（不计厚度）可近似的看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． （1）这个冰激凌外壳的侧面展开图的形状是 ； （2）当冰激凌被吃掉一部分后，其外壳仍可近似的看作圆锥，如图2，其母线长为，则此时冰激凌外壳的侧面积为 ．（结果保留） 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住 人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【变式1-3】某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合． （1）求这种加工材料的顶角的大小 （2）若圆锥底面圆的直径为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留） ▌题型08 圆锥与最短距离 1. 核心方法：立体转平面，侧面展开成扇形。圆锥表面两点最短路径，把侧面展开为扇形，两点之间线段最短。 2. 步骤： ①把圆锥侧面沿母线剪开，画出展开扇形； ②标出扇形上对应的两个点； ③连接两点，构造三角形，用勾股定理或者余弦定理计算线段长度，即为最短距离。 3. 关键：展开之后要找准扇形的半径（母线）、扇形圆心角，找准两个点在展开图上的位置。 4. 易错：不要直接在圆锥立体图上连线计算，必须展开平面。 【典例8-1】今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长为12cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B．48cm C． D．20cm 【典例8-2】如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，将圆锥沿母线剪开，其侧面展开图如图2所示，若，，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【变式1-1】如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 【变式1-2】如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥侧面从点爬到的中点，最短路径长是______． 【变式1-3】为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 圆锥的侧面积和全面积八大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 求圆锥的侧面积和全面积 题型02 求圆锥的全面积 题型03 求圆锥底面圆的半径 题型04 求圆锥的高 题型05求圆锥的母线长 题型06 圆锥的侧面展开图的圆心角 题型07 圆锥计算与实际应用问题 题型08 圆锥与最短距离 ▌题型01 求圆锥的侧面积 【典例1】【答案】B 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】A 【变式1-3】  【答案】． ▌题型02 求圆锥的全面积 【典例1】【答案】A 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图，扇形的弧长公式、圆锥的侧面积和底面积公式．解决本题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长公式、圆锥底面圆的周长公式、圆锥侧面和底面的面积公式． （1）根据圆锥侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得，解方程求出的值就是圆锥的侧面展开图的圆心角度数； （2）由（1）可知该圆锥的侧面展开图的圆心角为，根据扇形的面积公式可以求出圆锥的侧面积，根据圆锥底面圆的直径是，求出圆锥底面圆的面积，这两个面积之和就是圆锥的表面积． 【详解】（1）解：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径， 设扇形圆心角为，则， 解得， 该圆锥的侧面展开图的圆心角为； （2）解：圆锥的底面积为：， 圆锥的侧面积为：， ． 该圆锥的表面积为． ▌题型03 求圆锥底面圆的半径 【典例2】【答案】D 【变式1-1】 【答案】 【分析】本题考查圆锥的底面圆的半径的求法，熟练掌握圆锥的弧长等于底面周长是解题的关键； 本题考查圆锥的底面圆的半径的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点，圆锥的底面圆的半径扇形的弧长． 【详解】解：连接，依题意，线段是圆的直径． ， ， ∴圆锥的底面圆的半径； 【变式1-2】    【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，扇形的面积公式，圆锥的侧面积，熟练掌握相关公式是解题的关键． （1）设扇形的圆心角的度数为，根据扇形的面积公式列方程求解即可； （2）根据圆锥的侧面积等底面周长的一半乘母线长，列式计算即可． 【详解】（1）解：设扇形的圆心角的度数为， 则， 解得， 答：扇形圆心角的度数为； （2）解：侧面积为，母线长为， ， ， 答：圆锥的底面半径为． 【变式1-3】    【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）BC是圆O的直径，求出AC的值，进而利用扇形的面积公式可得阴影部分的面积； （2）求出弧BC的长度，即圆锥底面圆的周长，继而可得出底面圆的半径． 【详解】解：（1）连接BC，AO， ∵∠BAC=90°，OB=OC， ∴BC是圆O的直径，AO⊥BC， ∵圆的直径为2， ∴AO=OC=1， 则AC=m， 故S扇形==πm2． ∴S阴影=π-π=π（m2）． （2）弧BC的长l==πm， 则2πR=π， 解得：R=， 故该圆锥的底面圆的半径是m.    【点睛】本题考查了扇形的面积计算，属于基础题，熟练掌握扇形的面积计算公式及弧长的计算公式是解答本题的关键． ▌题型04 求圆锥的高 【典例3-1】【答案】C 【典例3-2】【答案】D 【变式1-1】【答案】4 【变式1-2】 【答案】(1) (2)圆锥的高为 【分析】此题考查求圆锥的侧面积、底面半径，勾股定理，熟记扇形的面积计算公式及弧长计算公式是解题的关键： （1）利用扇形面积公式计算即可求出圆锥的侧面积； （2）先求出圆锥的底面半径，然后可得圆锥的高和母线以及底面的半径组成直角三角形，再根据勾股定理求解． 【详解】（1）解：圆锥的侧面积是． （2）解：扇形的弧长是， ∴底面半径为， ∵圆锥的高和母线以及底面的半径组成直角三角形， ∴圆锥的高， ∴该圆锥的高为． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了弧长公式、求圆锥的高、勾股定理等知识， （1）设此弧所在圆的半径长为，根据弧长公式可得，求解即可； （2）结合（1）可知，设这个扇形制作成的圆锥底面半径为，根据圆的周长公式解得的值，进而可得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设此弧所在圆的半径长为， 根据题意，可得， 解得 ； （2）如图，结合（1）可知， 设这个扇形制作成的圆锥底面半径为， 则有，解得，即， ∴． 故答案为：． ▌题型05 求圆锥的母线长 【典例4-1】【答案】B． 【典例4-2】【答案】D 【变式1-1】【答案】12 【变式1-2】【答案】2：9 【变式1-3】【答案】 ▌题型06 圆锥的侧面展开图的圆心角 【典例5】 【答案】 /180度 【分析】（1）勾股定理求出圆锥的高即可； （1）利用圆锥底面周长等于扇形的弧长，列式计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得，圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为； 即：水深cm； 故答案为：； （2）由题意，得：， ∴， ∴展开滤纸的圆心角为； 故答案为：． 【点睛】本题考查求圆锥的高，以及求扇形的圆心角．熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，是解题的关键． 【变式1-1】【答案】120 【变式1-2】【答案】/90度 【变式1-3】【答案】 ▌题型07 圆锥计算与实际应用问题 【典例6-1】【答案】A 【典例6-2】 【答案】11.44πkg 【分析】由图形可知，浮筒的表面积＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.11kg，可求出一个浮筒需用锌量，即可求出100个这样的锚标浮筒需用锌量． 【详解】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为400mm=0.4m， 圆锥的高为300mm=0.3m， 则圆锥的母线长为：＝0.5m． ∴圆锥的侧面积＝π×0.4×0.5＝0.2π（m2）， ∵圆柱的高为800mm=0.8m． 圆柱的侧面积＝2π×0.4×0.8＝0.64π（m2）， ∴浮筒的表面积＝＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，＝1.04π（m2）， ∵每平方米用锌0.11kg， ∴一个浮筒需用锌：1.04π×0.11kg， ∴100个这样的锚标浮筒需用锌：100×1.04π×0.11＝11.44π（kg）． 答：100个这样的锚标浮筒需用锌11.44πkg． 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算和圆柱侧面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几何体的构成，熟记侧面积公式． 【变式1-1】 【答案】 扇形 【分析】（1）由圆锥的性质可知其展开图是扇形； （2）根据圆锥侧面积计算公式求解即可． 【详解】解：（1）有圆锥的性质可知其展开图是扇形； （2）图1圆锥展开图对应扇形所对圆心角与半径的圆的圆心角比为：； 母线长为，则此时冰激凌外壳的侧面积为：； 故答案为：扇形；． 【点睛】本题主要考查扇形的性质及圆锥侧面积的求解，掌握相关计算公式是解题的关键． 【变式1-2】 【答案】(1)9 (2)至少需要平方米的涤纶布 【分析】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，理解题意是解决本题的关键． （1）先算出底面积，再根据每人的活动面积是进行计算即可； （2）根据题意算出底面积和侧面积即可． 【详解】（1）解：∵底面直径为， ∴半径， ∴底面积为 ， （人）， ∴该帐篷估计最多可住9人， 故答案为：9； （2）解：∵圆锥高，半径， 根据勾股定理得，母线长 ， ∴侧面积为 ∴底面积为 ， ， 答：至少需要平方米的涤纶布． 【变式1-3】 【答案】（1）=90°；（2）S阴影=（100-）cm2． 【分析】（1）设ED=x，则AD=2x，根据圆的周长求 弧长，利用弧长公式求即可； （2）由，=90°，可得△ABC为等腰直角三角形，由可求BD=CD=AD=10cm， 利用三角形面积公式求S△BAC=，利用扇形面积公式求，利用面积差求S阴影即可． 【详解】解：（1）设ED=x，则AD=2x， ∴弧长， ∴， ∴=90°； （2）∵ED=5cm， ∴AD=2ED=10cm， ∵，=90°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∵， ∴BD=CD=AD=10cm， ∴BC=BD+CD=20cm， ∴S△BAC=cm2， ∴ ， ∴S阴影= S△BAC-=（100-）cm2． 【点睛】本题考查圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积，掌握圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积是解题关键． ▌题型08 圆锥与最短距离 【典例8-1】  【答案】D 【典例8-2】【答案】6 【变式1-1】【答案】/3厘米 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 圆锥的侧面积和全面积八大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 求圆锥的侧面积和全面积 题型02 求圆锥的全面积 题型03 求圆锥底面圆的半径 题型04 求圆锥的高 题型05求圆锥的母线长 题型06 圆锥的侧面展开图的圆心角 题型07 圆锥计算与实际应用问题 题型08 圆锥与最短距离 ▌题型01 求圆锥的侧面积 1. 圆锥基本量： ：底面圆半径；：母线长（侧面扇形的半径）；：圆锥的高。 2. 公式： 圆锥侧面积： 圆锥底面积： 侧面展开图：圆锥侧面展开是扇形，扇形半径 = 圆锥母线，扇形弧长 = 圆锥底面圆周长。 4. 解题思路：找准底面半径和母线，直接代入对应公式计算。 5. 易错区分：侧面积不含底面圆； 【典例1】某圆锥底面直径为，母线长为，则该圆锥侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据底面直径求出底面半径，再代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：底面半径， 圆锥侧面积． 【变式1-1】如图，绕直角边旋转一周，它的其他各边所成的面围成了一个圆锥，已知，．则圆锥的侧面积等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，圆锥的底面半径，高 在中，由勾股定理得母线长， 圆锥的侧面积． 【变式1-2】“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意由斗笠锅盖的底面直径得圆锥的底面半径；因为圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，求出母线长度；再由圆锥的侧面积求出斗笠锅盖的表面积即可． 【详解】解： ∵斗笠锅盖的底面直径为，高度为， ∴底面半径， ∵圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，设母线为， ∴根据勾股定理有， ∴， ∴圆锥的侧面积为： ∴该斗笠锅盖的表面积大约为． 【变式1-3】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为, 扇形的圆心角的度数是120°，则圆锥的侧面积为 （结果保留）．    【答案】． 【分析】由题意可知圆锥展开后的侧面扇形的弧长为，设扇形的半径为r，根据扇形的弧长公式可得，即圆锥的母线为15；最后根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆周长为， ∴圆锥展开后的侧面扇形的弧长为 设扇形的半径为r， 由题意可得：，解得：； 则扇形的面积为：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． ▌题型02 求圆锥的全面积 1. 圆锥基本量： ：底面圆半径；：母线长（侧面扇形的半径）；：圆锥的高。 2. 公式： 圆锥侧面积： 圆锥底面积： 圆锥全面积： 3. 侧面展开图：圆锥侧面展开是扇形，扇形半径 = 圆锥母线，扇形弧长 = 圆锥底面圆周长。 4. 解题思路：找准底面半径和母线，直接代入对应公式计算。 5. 易错区分：侧面积不含底面圆；全面积要加上底面圆面积。 【典例1】（2026·江苏南通·模拟预测）已知某圆锥的底面直径为6cm，母线长4cm，则它的全面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件得到底面半径，再分别计算底面积和侧面积，求和后即可得到结果． 【详解】解：由圆锥底面直径为可得底面半径，则底面积为， 圆锥侧面积公式为，则， 则圆锥的全面积为， A选项符合题意． 【变式1-1】若圆锥的高为，母线长为，则圆锥的全面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出底面圆的半径，然后根据圆锥的全面积为底面积与侧面积的和列式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的高为，母线长为， ∴底面圆的半径为， ∴底面圆的面积为，圆锥的侧面积为， ∴圆锥的全面积为， 故选：C． 【点睛】此题主要考查圆锥的计算，解题关键在于掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【变式1-2】如图，现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片（接缝忽略不计），则该圆锥的全面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程求出r，再根据全面积等于底面圆面积加侧面积求解． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为 根据题意得 解得 即该圆锥底面圆的半径为， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】已知圆锥体的母线长，底面圆的直径为．（计算结果保留） (1)求该圆锥的侧面展开图的圆心角度数； (2)求该圆锥的表面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图，扇形的弧长公式、圆锥的侧面积和底面积公式．解决本题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长公式、圆锥底面圆的周长公式、圆锥侧面和底面的面积公式． （1）根据圆锥侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得，解方程求出的值就是圆锥的侧面展开图的圆心角度数； （2）由（1）可知该圆锥的侧面展开图的圆心角为，根据扇形的面积公式可以求出圆锥的侧面积，根据圆锥底面圆的直径是，求出圆锥底面圆的面积，这两个面积之和就是圆锥的表面积． 【详解】（1）解：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径， 设扇形圆心角为，则， 解得， 该圆锥的侧面展开图的圆心角为； （2）解：圆锥的底面积为：， 圆锥的侧面积为：， ． 该圆锥的表面积为． ▌题型03 求圆锥底面圆的半径 1. 核心等量关系：圆锥底面周长 = 侧面扇形的弧长 底面半径，母线，侧面扇形圆心角。 2. 公式变形求底面半径： 3. 已知侧面积求底面半径：由，得。 4. 思路： ①给侧面扇形条件：利用弧长等于底面周长列方程； ②给侧面积、母线：直接变形公式求解； ③结果必须。 【典例2】（2026·山东东营·中考真题）若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该圆锥的底面半径为，据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求解． 【详解】解：设该圆锥的底面半径为， ∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴， 解得， 即该圆锥的底面半径为． 【变式1-1】如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的底面圆的半径的求法，熟练掌握圆锥的弧长等于底面周长是解题的关键； 本题考查圆锥的底面圆的半径的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点，圆锥的底面圆的半径扇形的弧长． 【详解】解：连接，依题意，线段是圆的直径． ， ， ∴圆锥的底面圆的半径； 【变式1-2】如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）．    (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，扇形的面积公式，圆锥的侧面积，熟练掌握相关公式是解题的关键． （1）设扇形的圆心角的度数为，根据扇形的面积公式列方程求解即可； （2）根据圆锥的侧面积等底面周长的一半乘母线长，列式计算即可． 【详解】（1）解：设扇形的圆心角的度数为， 则， 解得， 答：扇形圆心角的度数为； （2）解：侧面积为，母线长为， ， ， 答：圆锥的底面半径为． 【变式1-3】有一个直径为2m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC．    （1）求图中阴影部分的面积； （2）若将扇形ABC围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径最大是多少？ 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）BC是圆O的直径，求出AC的值，进而利用扇形的面积公式可得阴影部分的面积； （2）求出弧BC的长度，即圆锥底面圆的周长，继而可得出底面圆的半径． 【详解】解：（1）连接BC，AO， ∵∠BAC=90°，OB=OC， ∴BC是圆O的直径，AO⊥BC， ∵圆的直径为2， ∴AO=OC=1， 则AC=m， 故S扇形==πm2． ∴S阴影=π-π=π（m2）． （2）弧BC的长l==πm， 则2πR=π， 解得：R=， 故该圆锥的底面圆的半径是m.    【点睛】本题考查了扇形的面积计算，属于基础题，熟练掌握扇形的面积计算公式及弧长的计算公式是解答本题的关键． ▌题型04 求圆锥的高 1. 圆锥的轴截面是等腰三角形，母线、底面半径、圆锥高构成直角三角形。 勾股定理： 母线，底面半径，圆锥的高。 2. 求高变形公式：。 3. 解题思路：题目给出母线、底面半径二者，代入勾股定理求高。 4. 注意：高是垂直高度，不是母线；看清已知条件，不要把母线当成高。 【典例3-1】如图，用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5，弧长是，那么围成的圆锥的高度是（    ）    A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】设底面圆的半径为r，根据弧长等于底面圆的周长可求得底面圆的半径，在利用勾股定理即可求解 ． 【详解】解：设底面圆的半径为r，则， 解得：， 圆锥的高为：， 故选C． 【点睛】本题考查了圆锥的高及勾股定理，熟练掌握圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长是解题的关键． 【典例3-2】如图，正六边形的边长为12，连接，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】求得弧的长即为圆锥的底面周长，求得底面半径再由勾股定理解答即可． 【详解】解：过B作于点P，连接，      ∵正六边形的每个内角都是，每条边都相等， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∵的圆心角为， ∴的长为， ∴圆锥底面半径， ∴圆锥高为， 故选：D． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，三角函数，弧长公式，勾股定理，圆锥的侧面展开：如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那么它的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长，圆锥的侧面积等于扇形的面积． 【变式1-1】已知圆锥的侧面积为，底面半径为，则圆锥的高是_________． 【答案】4 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的母线、底面半径、圆锥的高正好构成直角三角形的三边，求圆锥的高就可以转化为求母线长．圆锥的侧面的展开图是扇形，扇形的半径就等于母线长． 【详解】侧面展开图扇形的弧长是，设母线长是， 则， 解得：， 根据勾股定理得到：圆锥的高． 故答案为：． 【变式1-2】如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则： (1)求出围成的圆锥的侧面积； (2)求出该圆锥的高． 【答案】(1) (2)圆锥的高为 【分析】此题考查求圆锥的侧面积、底面半径，勾股定理，熟记扇形的面积计算公式及弧长计算公式是解题的关键： （1）利用扇形面积公式计算即可求出圆锥的侧面积； （2）先求出圆锥的底面半径，然后可得圆锥的高和母线以及底面的半径组成直角三角形，再根据勾股定理求解． 【详解】（1）解：圆锥的侧面积是． （2）解：扇形的弧长是， ∴底面半径为， ∵圆锥的高和母线以及底面的半径组成直角三角形， ∴圆锥的高， ∴该圆锥的高为． 【变式1-3】如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长； (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了弧长公式、求圆锥的高、勾股定理等知识， （1）设此弧所在圆的半径长为，根据弧长公式可得，求解即可； （2）结合（1）可知，设这个扇形制作成的圆锥底面半径为，根据圆的周长公式解得的值，进而可得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设此弧所在圆的半径长为， 根据题意，可得， 解得 ； （2）如图，结合（1）可知， 设这个扇形制作成的圆锥底面半径为， 则有，解得，即， ∴． 故答案为：． ▌题型05 求圆锥的母线长 1. 勾股关系：，，已知底面半径、高可求母线。 2. 由侧面积公式变形：。 3. 由侧面扇形弧长：。 4. 做题套路： · 已知，用勾股； · 已知侧面积、底面半径，用侧面积公式； · 已知扇形圆心角、底面半径，用弧长相等列方程。 【典例4-1】圆锥的底面半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线长为（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B． 【分析】根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设圆锥的母线长为l， ∵圆锥的底面半径为4， ∴圆锥的底面周长为8π， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为8π， 则8π， 解得：l＝12， ∴圆锥的母线长为12， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，熟记弧长公式是解题的关键． 【典例4-2】如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长和勾股定理．根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长为， ∴它的侧面展开图的弧长为， 设母线的长为， ∴， 解得， ∴母线长是． 故选：D． 【变式1-1】如图所示是一个侧面积为的圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，若其底面圆的半径为，则它的母线长为_____________cm． 【答案】12 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算，得到答案．本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 【详解】解：底面圆的半径为， 底面圆的周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为， 设母线长为 ∵侧面积为的圆锥形冰淇淋外壳 ∴ 故答案为：12 【变式1-2】如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且l：l＝1：3（l表示的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为____ 【答案】2：9 【分析】连接OD，能得∠AOB的度数，再利用弧长公式和圆的周长公式可求解． 【详解】解：连接OD交OC于M． 由折叠的知识可得：OM＝OA，∠OMA＝90°， ∴∠OAM＝30°， ∴∠AOM＝60°， ∵且l：l＝1：3， ∴∠AOB＝80° 设圆锥的底面半径为r，母线长为l， ＝2πr， ∴r：i＝2：9． 故答案是2：9． 【点睛】本题运用了弧长公式和轴对称的性质，关键是运用了转化的数学思想． 【变式1-3】（2026·四川内江·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：设， ∵圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴该圆锥的底面圆的周长为， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． ▌题型06 圆锥的侧面展开图的圆心角 1. 等量关系：底面周长 = 扇形弧长 2. 圆心角推导公式： 为侧面扇形圆心角，底面半径，母线。 3. 思路： ①知道和，直接代入； ②不知道，先通过侧面积、全面积、勾股定理求出，再算圆心角。 4. 取值范围：。 【典例5】如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 ； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ． 【答案】 /180度 【分析】（1）勾股定理求出圆锥的高即可； （1）利用圆锥底面周长等于扇形的弧长，列式计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得，圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为； 即：水深cm； 故答案为：； （2）由题意，得：， ∴， ∴展开滤纸的圆心角为； 故答案为：． 【点睛】本题考查求圆锥的高，以及求扇形的圆心角．熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，是解题的关键． 【变式1-1】已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 【答案】120 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n度， ∵圆锥的底面半径为， ∴圆锥的底面周长为，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 则， 解得：． 【变式1-2】（2026·新疆·中考真题）已知圆锥的底面半径是，母线长是，则它的侧面展开图的圆心角 为____________． 【答案】 /90度 【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用该关系列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥的底面周长为： 根据弧长公式，结合扇形弧长等于圆锥底面周长，可得： 解得 ∴它的侧面展开图的圆心角为． 【变式1-3】圆锥的底面积是侧面积的，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是 °． 【答案】 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，该圆锥侧面展开图的圆心角度数为，先根据扇形的面积公式和已知得到，则，然后利用弧长公式得到，从而得到的值． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，该圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 根据题意得， 解得， 因为， 即， 解得， 即该圆锥侧面展开图的圆心角度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，熟练掌握圆锥的基本性质是解题关键． ▌题型07 圆锥计算与实际应用问题 1. 实际模型：漏斗、烟囱帽、沙堆、灯罩等，大多只算侧面积；有底面的容器才算全面积。 2. 做题步骤： ①把实际物体抽象成圆锥，区分实际物体需要侧面积还是全面积； ②提取实际数据，对应圆锥的； ③利用勾股定理先补齐缺少的量（）； ④代入面积公式计算，注意题目单位是否统一。 3. 常见考法：求用料面积、物体体积（圆锥体积）。 【典例6-1】如图（1）是我国南方部分地区使用的蒸饭工—甑子．甑体可抽象为立体图形中的圆台图（2）．小明研究发现，圆台可看作是由两个圆锥相减得到的，他画出了其展开图如图（3）所示，若下底面半径，上底面半径，，则圆台的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，证明，求得，再利用圆锥侧面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图，下底面半径，上底面半径，设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为， 由题意得， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴小圆锥的侧面积，大圆锥的侧面积， ∴圆台的侧面积为． 【典例6-2】如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：），电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？ 【答案】11.44πkg 【分析】由图形可知，浮筒的表面积＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.11kg，可求出一个浮筒需用锌量，即可求出100个这样的锚标浮筒需用锌量． 【详解】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为400mm=0.4m， 圆锥的高为300mm=0.3m， 则圆锥的母线长为：＝0.5m． ∴圆锥的侧面积＝π×0.4×0.5＝0.2π（m2）， ∵圆柱的高为800mm=0.8m． 圆柱的侧面积＝2π×0.4×0.8＝0.64π（m2）， ∴浮筒的表面积＝＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，＝1.04π（m2）， ∵每平方米用锌0.11kg， ∴一个浮筒需用锌：1.04π×0.11kg， ∴100个这样的锚标浮筒需用锌：100×1.04π×0.11＝11.44π（kg）． 答：100个这样的锚标浮筒需用锌11.44πkg． 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算和圆柱侧面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几何体的构成，熟记侧面积公式． 【变式1-1】如图1，冰激凌的外壳（不计厚度）可近似的看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． （1）这个冰激凌外壳的侧面展开图的形状是 ； （2）当冰激凌被吃掉一部分后，其外壳仍可近似的看作圆锥，如图2，其母线长为，则此时冰激凌外壳的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 扇形 【分析】（1）由圆锥的性质可知其展开图是扇形； （2）根据圆锥侧面积计算公式求解即可． 【详解】解：（1）有圆锥的性质可知其展开图是扇形； （2）图1圆锥展开图对应扇形所对圆心角与半径的圆的圆心角比为：； 母线长为，则此时冰激凌外壳的侧面积为：； 故答案为：扇形；． 【点睛】本题主要考查扇形的性质及圆锥侧面积的求解，掌握相关计算公式是解题的关键． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住 人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【答案】(1)9 (2)至少需要平方米的涤纶布 【分析】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，理解题意是解决本题的关键． （1）先算出底面积，再根据每人的活动面积是进行计算即可； （2）根据题意算出底面积和侧面积即可． 【详解】（1）解：∵底面直径为， ∴半径， ∴底面积为 ， （人）， ∴该帐篷估计最多可住9人， 故答案为：9； （2）解：∵圆锥高，半径， 根据勾股定理得，母线长 ， ∴侧面积为 ∴底面积为 ， ， 答：至少需要平方米的涤纶布． 【变式1-3】某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合． （1）求这种加工材料的顶角的大小 （2）若圆锥底面圆的直径为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】（1）=90°；（2）S阴影=（100-）cm2． 【分析】（1）设ED=x，则AD=2x，根据圆的周长求 弧长，利用弧长公式求即可； （2）由，=90°，可得△ABC为等腰直角三角形，由可求BD=CD=AD=10cm， 利用三角形面积公式求S△BAC=，利用扇形面积公式求，利用面积差求S阴影即可． 【详解】解：（1）设ED=x，则AD=2x， ∴弧长， ∴， ∴=90°； （2）∵ED=5cm， ∴AD=2ED=10cm， ∵，=90°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∵， ∴BD=CD=AD=10cm， ∴BC=BD+CD=20cm， ∴S△BAC=cm2， ∴ ， ∴S阴影= S△BAC-=（100-）cm2． 【点睛】本题考查圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积，掌握圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积是解题关键． ▌题型08 圆锥与最短距离 1. 核心方法：立体转平面，侧面展开成扇形。圆锥表面两点最短路径，把侧面展开为扇形，两点之间线段最短。 2. 步骤： ①把圆锥侧面沿母线剪开，画出展开扇形； ②标出扇形上对应的两个点； ③连接两点，构造三角形，用勾股定理或者余弦定理计算线段长度，即为最短距离。 3. 关键：展开之后要找准扇形的半径（母线）、扇形圆心角，找准两个点在展开图上的位置。 4. 易错：不要直接在圆锥立体图上连线计算，必须展开平面。 【典例8-1】今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长为12cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B．48cm C． D．20cm 【答案】D 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点C为的中点， ∵，， ∴装饰带的长度， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平面展开−最短路线问题，以及学生的立体思维能力．解题关键是圆柱的侧面展开图是长方形． 【典例8-2】如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，将圆锥沿母线剪开，其侧面展开图如图2所示，若，，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【答案】6 【分析】连接，作于点，根据题意，结合两点之间线段最短，得出即为蚂蚁爬行的最短距离，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，进而即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，作于点， ∴即为蚂蚁爬行的最短距离， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 故答案为： 【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三线合一的性质，解本题的关键在正确作出辅助线和熟练掌握相关的性质、定理． 【变式1-1】如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 【答案】 /3厘米 【分析】蚂蚁从圆锥底部边缘爬行到顶部的最短路线长即为圆锥的母线长，也就是侧面展开图扇形的半径，利用扇形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为，， ∴圆锥侧面展开图扇形的半径为 ， 将，，代入扇形面积公式， 可得，， 解得， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 【变式1-2】如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥侧面从点爬到的中点，最短路径长是______． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．把圆锥沿母线展开得到它的侧面积为扇形点为弧的中点，如图，设该扇形圆心角为，利用弧长公式得到，解得，所以，然后利用等边三角形的性质计算出的长，从而根据两点之间线段最短得到答案． 【详解】解：圆锥底面圆直径长是， ∴圆锥底面圆周长为， ∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：， 如图， ， 是等边三角形， 点是的中点， 点是的中点， ， ， ， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 故答案为：． 【变式1-3】为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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