周周练08 3.4～3.6 圆周角、正多边形与圆（数学新教材苏科版九年级上册）

**基本信息** 聚焦圆周角与正多边形，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查几何直观、推理能力与空间观念，适配九年级周测知识巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|点与圆位置关系、圆周角计算、正多边形边数|第3题结合正多边形中心角与圆周角，体现几何直观| |填空题|10/20|切线性质、内接四边形、翻折问题|第15题劣弧翻折考查空间观念，第17题动态圆与矩形结合培养创新意识| |解答题|8/64|切线证明、内心性质、尺规作图|25题尺规作图与推理结合，26题圆与等腰三角形综合，考查推理能力与模型意识，贴合中考命题趋势|

2026-2027学年九年级上学期数学周周测08 3.4～3.6 圆周角、正多边形与圆 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，则∠CEB的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 3．如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若∠ADB＝18°，则该正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．10 D．11 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 5．如图，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，若AB是⊙O的直径，且∠P＝68°，则∠BAC的度数为（　　） A．34° B．39° C．51° D．56° 6．如图所示，是由正八边形与正方形构成的组合图案，图中阴影部分为植草区域，若正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则植草区域的面积为（图中阴影部分的面积）（　　） A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2 7．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点A，与y轴的一个交点为B．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（3，0），则点B的坐标是（　　） A．（0，7） B．（0，8） C．（0，9） D．（0，10） 8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知∠BCD＝40°，则∠BOD的度数为　 　 ． 10．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上．若∠ACB＝72°，则∠P为　 　 °． 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD．若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠BDC的度数为　 　 ． 12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若P是上一点，则∠BPC的大小是 　 　 ． 13．如图，在正多边形ABCD…PMN中，若∠AMB＝18°，则该多边形的边数为 　 　 ． 14．如图，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB于D点，若O为△BCD的内心，则　 　 ． 15．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠ACD的度数为　 　 ． 16．如图，在正五边形ABCDE中，F，G分别为边AB，DE的中点，连接AC，FG，交于点P，则∠CPG＝　 　 °． 17．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是边AB上的一个动点，点O是边BC上的一个动点，且始终满足BE：BO＝1：2，连接OE，以点O为圆心，OE长为半径作圆，当⊙O与矩形ABCD的边有且只有三个公共点时，BE长等于　 　 ． 18．已知点A、B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA＝120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD＝BC，BA、CD延长线交于点E． （1）求证：∠EAD＝∠BAC； （2）若的度数为64°，则∠E的度数为 　 　 °． 20．（8分）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，对角线AD恰为⊙O的直径，点A恰为的中点．过点A作射线AF，使∠EAF＝∠ADE． （1）AF与⊙O相切吗？为什么？ （2）若∠EAF＝42°，则∠BCD＝　 　 °． 21．（8分）如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD． （1）求证：四边形OBDC是菱形； （2）若∠ABO＝15°，OB＝2，求弦AC长． 22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，连接AC并延长到点D，使AC＝CD，E是OB的中点，连接CE并延长交DB延长线于点F． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若AF交⊙O于点H，连接BF，且AO＝2，求BH的长． 23．（8分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，连接AC并延长至点D，使DC＝AC，连接BD交⊙O于点E，延长BD至点F，连接AF，使∠FAD∠ABD． （1）求证：FA是⊙O的切线； （2）若FD＝4，FA＝8，求BE的长． 24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长． 25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且与边AC相切于点D，分别交边BC、边AB于点E、点F．（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法） （2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，AB＝6，求⊙O的半径． （3）在（1）的条件下，求证：∠BOD＝2∠BDC． 26．（8分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O分别交BC、AB于点D、E． （1）求证：BD＝CD； （2）若BE＝4，AE＝14，则BC＝　 　 ； （3）结合第（1）问的结论，利用无刻度的直尺和圆规完成下列作图： 如图2，已知⊙O及⊙O外一点P，在⊙O上取一点N，连接PN交⊙O于点M，使得PM＝MN．（保留作图痕迹，简要写出作法） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测08 3.4～3.6 圆周角、正多边形与圆 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 【解答】解：∵O的半径为5，点P在⊙O外， ∴OP＞5， 故选：D． 【点评】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，则∠CEB的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【分析】由AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，得∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝60°，而∠ADC＝50°，则∠BDE＝∠ADB﹣∠ADC＝40°，求得∠CEB＝∠B+∠BDE＝100°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°， ∴∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝60°， ∵∠ADC＝50°， ∴∠BDE＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣50°＝40°， ∴∠CEB＝∠B+∠BDE＝60°+40°＝100°， 故选：A． 【点评】此题重点考查圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确理解和应用圆周角定理及其推论是解题的关键． 3．如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若∠ADB＝18°，则该正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．10 D．11 【分析】如图所示，连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝36°，由此即可求解． 【解答】解：如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，∠ADB＝18°，连接OA，OB， ∴∠AOB＝2∠ADB＝36°， ∴， ∴该正多边形的边数为10， 故选：C． 【点评】本题主要考查正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理，合理添加辅助线是解答本题的关键． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 【分析】先根据圆内接四边形的性质得出∠ADC＝∠EBC＝65°，再根据AC＝AD得出∠ACD＝∠ADC＝65°，故可根据三角形内角和定理求出∠CAD＝50°，再由圆周角定理得出∠DBC＝∠CAD＝50°． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC＝∠EBC＝65°． ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝65°， ∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝50°， ∴∠DBC＝∠CAD＝50°， 故选：A． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．也考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理． 5．如图，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，若AB是⊙O的直径，且∠P＝68°，则∠BAC的度数为（　　） A．34° B．39° C．51° D．56° 【分析】连接OP，交AC于H，根据切线长定理得到PA＝PC，∠APO＝∠CPO∠APB，根据切线的性质得到∠OAP＝90°，再根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：如图，连接OP，交AC于H， ∵PA，PC是⊙O的切线， ∴PA＝PC，∠APO＝∠CPO∠APB＝34°，∠OAP＝90°， ∴OP⊥AC， ∴∠PAH＝90°﹣∠APO＝56°， ∴∠BAC＝90°﹣56°＝34°， 故选：A． 【点评】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 6．如图所示，是由正八边形与正方形构成的组合图案，图中阴影部分为植草区域，若正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则植草区域的面积为（图中阴影部分的面积）（　　） A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2 【分析】△ABC是等腰直角三角形，斜边长是a，据此解求得△ABC的面积，则阴影部分的面积即可求解． 【解答】解：△ABC是等腰直角三角形，且AB＝a， 则AC＝BCa， 则S△ABCAC•BCa•a， 中间的正方形的面积是：a2， 则阴影部分的面积是：4a2＝2a2． 故选：A． 【点评】本题考查了正多边形的计算，正确求得三角形ABC的面积是关键． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知∠BCD＝40°，则∠BOD的度数为　80°　 ． 【分析】由AB为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上，且∠BCD＝40°，根据圆周角定理得∠BOD＝2∠BCD＝80°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上， ∴∠BCD∠BOD， ∵∠BCD＝40°， ∴∠BOD＝2∠BCD＝2×40°＝80°， 故答案为：80°． 【点评】此题重点考查圆周角定理，推导出∠BCD∠BOD是解题的关键． 8．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上．若∠ACB＝72°，则∠P为　36　 °． 【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到PA⊥OA，PB⊥OB，再根据四边形内角和是360°求出∠P． 【解答】解：如图，连接OA、OB， 由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝2×72°＝144°， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∴∠P＝180°﹣∠AOB＝180°﹣144°＝36°， 故答案为：36． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD．若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠BDC的度数为　40°　 ． 【分析】由AB＝AC，∠ACB＝70°，得∠ABC＝∠ACB＝70°，求得∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°，由圆周角定理得∠BDC＝∠BAC＝40°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝70°， ∴∠ABC＝∠ACB＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BDC＝∠BAC＝40°， 故答案为：40°． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，求得∠BAC＝40°并且推导出∠BDC＝∠BAC是解题的关键． 10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若P是上一点，则∠BPC的大小是 　45°　 ． 【分析】根据圆内接正方形的性质以及圆周角定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OB，OC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形， ∴∠BOC90°， ∴∠BPC∠BOC＝45°， 故答案为：45°． 【点评】本题考查正多边形和圆，正方形的性质以及圆周角定理，掌握正方形的性质，圆周角定理是正确解答的关键． 11．如图，在正多边形ABCD…PMN中，若∠AMB＝18°，则该多边形的边数为 　10　 ． 【分析】根据正多边形的性质，中心角的计算方法以及圆周角定理列方程求解即可． 【解答】解：如图，设这个正n边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，则∠AMB∠AOB＝18°， ∴18°， 解得n＝10， 经检验，n＝10是原方程的解， ∴这个正多边形是正十边形， 故答案为：10． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法以及圆周角定理是正确解答的关键． 12．如图，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB于D点，若O为△BCD的内心，则　　 ． 【分析】连接OB、OC，则OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB，由CD⊥AB于D点，得∠ADC＝∠BDC＝90°，因为O为△BCD的内心，所以∠OBC∠DBC，∠OCB∠DCB，则∠DBC＝∠DCB，∠OBC+∠OCB＝45°，所以BD＝CD，∠BOC＝135°，由圆周角定理得∠DAC∠BOC＝67.5°，求得∠ACD＝22.5°，在线段CD上截取ED＝AD，连接AE，则∠EAD＝∠AED＝45°，推导出∠ACD＝∠EAC＝22.5°，则CE＝AEAD，所以BD＝CD＝CE+EDAD+AD，即可求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OB、OC，则OB＝OC， ∵△ABC内接于⊙O， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵CD⊥AB于D点， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝90°， ∵O为△BCD的内心， ∴BO平分∠DBC，CO平分∠DCB， ∴∠OBC∠DBC，∠OCB∠DCB， ∴∠DBC∠DCB，∠OBC+∠OCB（∠DBC+∠DCB）＝45°， ∴∠DBC＝∠DCB，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝135°， ∴BD＝CD，∠DAC∠BOC＝67.5°， ∴∠ACD＝90°﹣∠DAC＝22.5°， 在线段CD上截取ED＝AD，连接AE，则∠EAD＝∠AED＝45°， ∴∠EAC＝∠DAC﹣∠EAD＝22.5°， ∴∠ACD＝∠EAC， ∴CE＝AEAD， ∴BD＝CD＝CE+EDAD+AD， ∴， 故答案为：． 【点评】此题重点考查三角形的外接圆与外心、三角形的内切圆与内心、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 13．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠ACD的度数为　38°　 ． 【分析】设上点D的对应点为点E，连接AE、CE，则得∠EAC＝∠BAC＝26°，∠DCA＝∠ECA；由AB是直径及圆内接四边形的性质可得∠ECB的度数，从而求得结果． 【解答】解：设上点D的对应点为点E，连接AE、CE，如图， ∵将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D， ∴∠EAC＝∠BAC＝26°，∠DCA＝∠ECA； ∴∠BAE＝52°， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°； ∵四边形AECB是圆内接四边形， ∴∠ECB＝180°﹣∠BAE＝128°， ∴∠DCA＝∠ECA＝∠ECB﹣∠ACB＝38°， 故答案为：38°． 【点评】本题考查翻折变换（折叠问题），圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 14．如图，在正五边形ABCDE中，F，G分别为边AB，DE的中点，连接AC，FG，交于点P，则∠CPG＝　72　 °． 【分析】根据正五边形的性质，等腰梯形的判定以及平行线的性质进行解答即可． 【解答】解：连接BD， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠E108°， 在△ABC中，AB＝BC，∠B＝108°， ∴∠BAC＝∠BCA36°， ∴∠CAE＝108°﹣36°＝72°， ∴∠CAE+∠E＝72°+108°＝180°， ∴AC∥DE， 同理AE∥BD，即四边形ABDE是等腰梯形， ∵点F是AB的中点，点G是DE的中点， ∴FG∥AE∥BD， ∴∠CPG＝∠CAE＝72°． 故答案为：72． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，平行线的性质是正确解答的关键． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，对角线AD恰为⊙O的直径，点A恰为的中点．过点A作射线AF，使∠EAF＝∠ADE． （1）AF与⊙O相切吗？为什么？ （2）若∠EAF＝42°，则∠BCD＝　132　 °． 【分析】（1）由AD是⊙O的直径，得∠E＝90°，由∠EAF＝∠ADE，推导出∠OAF＝∠EAF+∠EAD＝∠ADE+∠EAD＝90°，即可证明AF与⊙O相切． （2）连接BD，则∠ABD＝90°，由，得∠ADB＝∠ADE＝42°，则∠BAD＝90°﹣∠ADB＝48°，求得∠C＝180°﹣∠BAD＝132°，于是得到问题的答案． 【解答】解：（1）AF与⊙O相切， 理由：∵AD是⊙O的直径， ∴∠E＝90°， ∵∠EAF＝∠ADE， ∴∠OAF＝∠EAF+∠EAD＝∠ADE+∠EAD＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AF⊥OA， ∴AF与⊙O相切． （2）连接BD，则∠ABD＝90°， ∵点A为的中点，∠EAF＝∠ADE＝42°， ∴， ∴∠ADB＝∠ADE＝42°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ADB＝48°， ∴∠C＝180°﹣∠BAD＝132°， 故答案为：132． 【点评】此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定与性质、圆内接四边形的对角互补等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 16．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，连接AC并延长到点D，使AC＝CD，E是OB的中点，连接CE并延长交DB延长线于点F． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若AF交⊙O于点H，连接BF，且AO＝2，求BH的长． 【分析】（1）根据点C是弧AB的中点，由垂径定理得OC⊥AB，证明OC是△ABD的中位线得OC∥BD，由此得BD⊥AB，然后根据切线的判定即可得出结论； （2）依题意得OC＝OB＝OA＝2，AB＝4，证明△COE和△FBE全等得OC＝BF＝2，在Rt△ABF中，由勾股定理得AF，然后由三角形面积公式可得BH的长． 【解答】（1）证明：连接OC，如图所示： ∵AB是⊙O的直径，点C是的中点， ∴，OA＝OB， 根据垂径定理得：OC⊥AB， 在△ABD中，OA＝OB，AC＝CD， ∴OC是△ABD的中位线， ∴OC∥BD， ∵OC⊥AB， ∴BD⊥AB， 即BD⊥OB， 又∵OB是⊙O的半径， ∴BD是⊙O的切线； （2）解：∵AO＝2， ∴OC＝OB＝OA＝2， ∴AB＝OA+OB＝4， ∵BD是⊙O的切线，OC⊥AB， ∴∠COE＝∠FBE＝90°， ∵点E是OB的中点， ∴OE＝BE， 在△COE和△FBE中， ， ∴△COE≌△FBE（ASA）， ∴OC＝BF＝2， ∵∠FBE＝90°， ∴△ABF是直角三角形， 由勾股定理得：AF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AHB＝90°， 即BH⊥AF， 由三角形面积公式得：S△ABFAF×BHAB×BF， ∴BH． 【点评】此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解圆周角定理，垂径定理，熟练掌握切线的判定，全等三角形的判定和性质，灵活利用三角形的面积公式及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测08 3.4～3.6 圆周角、正多边形与圆 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 【解答】解：∵O的半径为5，点P在⊙O外， ∴OP＞5， 故选：D． 【点评】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，则∠CEB的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【分析】由AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，得∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝60°，而∠ADC＝50°，则∠BDE＝∠ADB﹣∠ADC＝40°，求得∠CEB＝∠B+∠BDE＝100°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°， ∴∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝60°， ∵∠ADC＝50°， ∴∠BDE＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣50°＝40°， ∴∠CEB＝∠B+∠BDE＝60°+40°＝100°， 故选：A． 【点评】此题重点考查圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确理解和应用圆周角定理及其推论是解题的关键． 3．如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若∠ADB＝18°，则该正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．10 D．11 【分析】如图所示，连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝36°，由此即可求解． 【解答】解：如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，∠ADB＝18°，连接OA，OB， ∴∠AOB＝2∠ADB＝36°， ∴， ∴该正多边形的边数为10， 故选：C． 【点评】本题主要考查正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理，合理添加辅助线是解答本题的关键． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 【分析】先根据圆内接四边形的性质得出∠ADC＝∠EBC＝65°，再根据AC＝AD得出∠ACD＝∠ADC＝65°，故可根据三角形内角和定理求出∠CAD＝50°，再由圆周角定理得出∠DBC＝∠CAD＝50°． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC＝∠EBC＝65°． ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝65°， ∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝50°， ∴∠DBC＝∠CAD＝50°， 故选：A． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．也考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理． 5．如图，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，若AB是⊙O的直径，且∠P＝68°，则∠BAC的度数为（　　） A．34° B．39° C．51° D．56° 【分析】连接OP，交AC于H，根据切线长定理得到PA＝PC，∠APO＝∠CPO∠APB，根据切线的性质得到∠OAP＝90°，再根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：如图，连接OP，交AC于H， ∵PA，PC是⊙O的切线， ∴PA＝PC，∠APO＝∠CPO∠APB＝34°，∠OAP＝90°， ∴OP⊥AC， ∴∠PAH＝90°﹣∠APO＝56°， ∴∠BAC＝90°﹣56°＝34°， 故选：A． 【点评】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 6．如图所示，是由正八边形与正方形构成的组合图案，图中阴影部分为植草区域，若正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则植草区域的面积为（图中阴影部分的面积）（　　） A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2 【分析】△ABC是等腰直角三角形，斜边长是a，据此解求得△ABC的面积，则阴影部分的面积即可求解． 【解答】解：△ABC是等腰直角三角形，且AB＝a， 则AC＝BCa， 则S△ABCAC•BCa•a， 中间的正方形的面积是：a2， 则阴影部分的面积是：4a2＝2a2． 故选：A． 【点评】本题考查了正多边形的计算，正确求得三角形ABC的面积是关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点A，与y轴的一个交点为B．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（3，0），则点B的坐标是（　　） A．（0，7） B．（0，8） C．（0，9） D．（0，10） 【分析】过点P作PD⊥OB于点D，连接PA、PB，根据切线的性质得到PA⊥x轴，根据矩形的性质得到PD＝OA＝3，OD＝PA＝3，根据勾股定理求出BD，进而求出OB，得出点B的坐标． 【解答】解：如图，过点P作PD⊥OB于点D，连接PA、PB， ∵⊙P与x轴相切于点A， ∴PA⊥x轴， 则四边形DOAP为矩形， ∴PD＝OA＝3，OD＝PA＝3， 在Rt△BDP中，PD＝3，PB＝5， 由勾股定理得：BD4， ∴OB＝OD+BD＝5+4＝9， ∴点B的坐标为（0，9）， 故选：C． 【点评】本题考查的是切线的性质、坐标与图形性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【分析】连接OF交AC于点G，作FH⊥BC于点H，证明，得到OG⊥AC，AG＝CGAC，∠BFC＝90°，证明△CEF是等腰直角三角形，得到CF＝EFCE，则BF，利用等积法得到FH＝CG＝2，即可得到答案． 【解答】解：⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC的内心，如图，连接OF交AC于点G，作FH⊥BC于点H， ∴∠CBF＝∠ABF，∠ACE＝∠BCE， ∴， ∴OG⊥AC，AG＝CG， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BFC＝90°， ∵∠CEF＝∠CBF+∠BCE，∠ECF＝∠ACF+∠ACE，∠CBF＝∠ABF＝∠ACF， ∴∠CEF＝∠ECF， ∴△CEF是等腰直角三角形，， 在直角三角形BCF中，由勾股定理得：BF2， ∵S△BCFBF•CFBC•FH， ∴FH2， ∵S△OCFOC•FHOF•CG，OC＝OF， ∴FH＝CG＝2， ∴AC＝2CG＝4， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，三角形内心的性质，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论是解题的关键． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知∠BCD＝40°，则∠BOD的度数为　80°　 ． 【分析】由AB为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上，且∠BCD＝40°，根据圆周角定理得∠BOD＝2∠BCD＝80°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上， ∴∠BCD∠BOD， ∵∠BCD＝40°， ∴∠BOD＝2∠BCD＝2×40°＝80°， 故答案为：80°． 【点评】此题重点考查圆周角定理，推导出∠BCD∠BOD是解题的关键． 10．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上．若∠ACB＝72°，则∠P为　36　 °． 【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到PA⊥OA，PB⊥OB，再根据四边形内角和是360°求出∠P． 【解答】解：如图，连接OA、OB， 由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝2×72°＝144°， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∴∠P＝180°﹣∠AOB＝180°﹣144°＝36°， 故答案为：36． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD．若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠BDC的度数为　40°　 ． 【分析】由AB＝AC，∠ACB＝70°，得∠ABC＝∠ACB＝70°，求得∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°，由圆周角定理得∠BDC＝∠BAC＝40°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝70°， ∴∠ABC＝∠ACB＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BDC＝∠BAC＝40°， 故答案为：40°． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，求得∠BAC＝40°并且推导出∠BDC＝∠BAC是解题的关键． 12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若P是上一点，则∠BPC的大小是 　45°　 ． 【分析】根据圆内接正方形的性质以及圆周角定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OB，OC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形， ∴∠BOC90°， ∴∠BPC∠BOC＝45°， 故答案为：45°． 【点评】本题考查正多边形和圆，正方形的性质以及圆周角定理，掌握正方形的性质，圆周角定理是正确解答的关键． 13．如图，在正多边形ABCD…PMN中，若∠AMB＝18°，则该多边形的边数为 　10　 ． 【分析】根据正多边形的性质，中心角的计算方法以及圆周角定理列方程求解即可． 【解答】解：如图，设这个正n边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，则∠AMB∠AOB＝18°， ∴18°， 解得n＝10， 经检验，n＝10是原方程的解， ∴这个正多边形是正十边形， 故答案为：10． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法以及圆周角定理是正确解答的关键． 14．如图，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB于D点，若O为△BCD的内心，则　　 ． 【分析】连接OB、OC，则OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB，由CD⊥AB于D点，得∠ADC＝∠BDC＝90°，因为O为△BCD的内心，所以∠OBC∠DBC，∠OCB∠DCB，则∠DBC＝∠DCB，∠OBC+∠OCB＝45°，所以BD＝CD，∠BOC＝135°，由圆周角定理得∠DAC∠BOC＝67.5°，求得∠ACD＝22.5°，在线段CD上截取ED＝AD，连接AE，则∠EAD＝∠AED＝45°，推导出∠ACD＝∠EAC＝22.5°，则CE＝AEAD，所以BD＝CD＝CE+EDAD+AD，即可求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OB、OC，则OB＝OC， ∵△ABC内接于⊙O， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵CD⊥AB于D点， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝90°， ∵O为△BCD的内心， ∴BO平分∠DBC，CO平分∠DCB， ∴∠OBC∠DBC，∠OCB∠DCB， ∴∠DBC∠DCB，∠OBC+∠OCB（∠DBC+∠DCB）＝45°， ∴∠DBC＝∠DCB，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝135°， ∴BD＝CD，∠DAC∠BOC＝67.5°， ∴∠ACD＝90°﹣∠DAC＝22.5°， 在线段CD上截取ED＝AD，连接AE，则∠EAD＝∠AED＝45°， ∴∠EAC＝∠DAC﹣∠EAD＝22.5°， ∴∠ACD＝∠EAC， ∴CE＝AEAD， ∴BD＝CD＝CE+EDAD+AD， ∴， 故答案为：． 【点评】此题重点考查三角形的外接圆与外心、三角形的内切圆与内心、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 15．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠ACD的度数为　38°　 ． 【分析】设上点D的对应点为点E，连接AE、CE，则得∠EAC＝∠BAC＝26°，∠DCA＝∠ECA；由AB是直径及圆内接四边形的性质可得∠ECB的度数，从而求得结果． 【解答】解：设上点D的对应点为点E，连接AE、CE，如图， ∵将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D， ∴∠EAC＝∠BAC＝26°，∠DCA＝∠ECA； ∴∠BAE＝52°， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°； ∵四边形AECB是圆内接四边形， ∴∠ECB＝180°﹣∠BAE＝128°， ∴∠DCA＝∠ECA＝∠ECB﹣∠ACB＝38°， 故答案为：38°． 【点评】本题考查翻折变换（折叠问题），圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 16．如图，在正五边形ABCDE中，F，G分别为边AB，DE的中点，连接AC，FG，交于点P，则∠CPG＝　72　 °． 【分析】根据正五边形的性质，等腰梯形的判定以及平行线的性质进行解答即可． 【解答】解：连接BD， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠E108°， 在△ABC中，AB＝BC，∠B＝108°， ∴∠BAC＝∠BCA36°， ∴∠CAE＝108°﹣36°＝72°， ∴∠CAE+∠E＝72°+108°＝180°， ∴AC∥DE， 同理AE∥BD，即四边形ABDE是等腰梯形， ∵点F是AB的中点，点G是DE的中点， ∴FG∥AE∥BD， ∴∠CPG＝∠CAE＝72°． 故答案为：72． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，平行线的性质是正确解答的关键． 17．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是边AB上的一个动点，点O是边BC上的一个动点，且始终满足BE：BO＝1：2，连接OE，以点O为圆心，OE长为半径作圆，当⊙O与矩形ABCD的边有且只有三个公共点时，BE长等于　或2　 ． 【分析】设BE＝x，则BO＝2x，圆的半径是，利用直线与圆的位置关系求解即可． 【解答】解：当圆与AD相切时，得到4，x， OB+44＞7， 此时圆与边AB，CD，AD各有一个交点， 当OE＝OD时， x2+4x2＝（6﹣2x）2+42， x1＝2，x2＝﹣26（舍去）， 故答案为：或2． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，知道圆心到直线的距离等于圆的半径直线与圆相切，圆心到直线的距离大于圆的半径直线与圆相离，圆心到直线的距离小于圆的半径直线与圆相交是解题关键． 18．已知点A、B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA＝120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是 　1　 ． 【分析】根据垂径定理即可判断点P在以OA为直径的圆上，设为⊙Q，连接BQ，与⊙Q的交点即为P点，此时BP有最小值，最小值为BQ﹣QP，利用等腰三角形的性质和解直角三角形即可求得QH，BH，然后根据勾股定理求得BQ，进而求得BP的最小值为1． 【解答】解：连接OP， ∵点P是AM的中点， ∴OP⊥AM， ∴点P在以OA为直径的圆上，设为⊙Q， ∴OQ＝AQ＝QP＝1， 连接BQ，与⊙Q的交点即为P点，此时BP有最小值，最小值为BQ﹣QP， 作ON⊥AB于N，QH⊥AB与H， ∵OA＝OB， ∴N是AB的中点， ∵∠BOA＝120°， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°， ∴ANOA，AHAQ，QHAQ， ∴AB＝2， ∴BH， ∴BQ， ∴BP的最小值为1， 故答案为1． 【点评】本题考查了点和圆的位置关系，圆周角定理关系，等腰三角形的性质，以及解直角三角形等，确定点P在以OA为直径的圆上是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD＝BC，BA、CD延长线交于点E． （1）求证：∠EAD＝∠BAC； （2）若的度数为64°，则∠E的度数为 　32　 °． 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，进而得到∠EAD＝∠BCD，再根据圆周角定理、等腰三角形的性质证明即可； （2）先求出∠ACB＝32°，再根据三角形内角和定理计算，求出∠E． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BAD+∠EAD＝180°， ∴∠EAD＝∠BCD， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD， 由圆周角定理得：∠BAC＝∠BDC， ∴∠EAD＝∠BAC； （2）解：∵的度数为64°， ∴∠ACB＝32°， ∵∠EAD＝∠BAC，∠EDA＝∠ABC， ∴∠E＝∠ACB＝32°， 故答案为：32． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 20．（8分）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，对角线AD恰为⊙O的直径，点A恰为的中点．过点A作射线AF，使∠EAF＝∠ADE． （1）AF与⊙O相切吗？为什么？ （2）若∠EAF＝42°，则∠BCD＝　132　 °． 【分析】（1）由AD是⊙O的直径，得∠E＝90°，由∠EAF＝∠ADE，推导出∠OAF＝∠EAF+∠EAD＝∠ADE+∠EAD＝90°，即可证明AF与⊙O相切． （2）连接BD，则∠ABD＝90°，由，得∠ADB＝∠ADE＝42°，则∠BAD＝90°﹣∠ADB＝48°，求得∠C＝180°﹣∠BAD＝132°，于是得到问题的答案． 【解答】解：（1）AF与⊙O相切， 理由：∵AD是⊙O的直径， ∴∠E＝90°， ∵∠EAF＝∠ADE， ∴∠OAF＝∠EAF+∠EAD＝∠ADE+∠EAD＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AF⊥OA， ∴AF与⊙O相切． （2）连接BD，则∠ABD＝90°， ∵点A为的中点，∠EAF＝∠ADE＝42°， ∴， ∴∠ADB＝∠ADE＝42°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ADB＝48°， ∴∠C＝180°﹣∠BAD＝132°， 故答案为：132． 【点评】此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定与性质、圆内接四边形的对角互补等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 21．（8分）如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD． （1）求证：四边形OBDC是菱形； （2）若∠ABO＝15°，OB＝2，求弦AC长． 【分析】（1）连接OD，证明△BOD和△COD是等边三角形，得到OB＝BD＝DC＝OC，根据菱形的判定定理证明即可； （2）求出∠AOC＝90°，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】（1）证明：连接OD， 由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝120°， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴∠BOD＝∠COD＝60°， ∵OB＝OD，OC＝OD， ∴△BOD和△COD是等边三角形， ∴OB＝BD＝DC＝OC， ∴四边形OBDC是菱形； （2）解连接OA， ∵OB＝OA，∠ABO＝15°， ∴∠AOB＝150°， ∴∠AOC＝360°﹣150°﹣120°＝90°， ∴AC． 【点评】本题考查的是菱形的判定、圆周角定理、勾股定理，掌握圆周角定理、菱形的判定定理是解题的关键． 22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，连接AC并延长到点D，使AC＝CD，E是OB的中点，连接CE并延长交DB延长线于点F． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若AF交⊙O于点H，连接BF，且AO＝2，求BH的长． 【分析】（1）根据点C是弧AB的中点，由垂径定理得OC⊥AB，证明OC是△ABD的中位线得OC∥BD，由此得BD⊥AB，然后根据切线的判定即可得出结论； （2）依题意得OC＝OB＝OA＝2，AB＝4，证明△COE和△FBE全等得OC＝BF＝2，在Rt△ABF中，由勾股定理得AF，然后由三角形面积公式可得BH的长． 【解答】（1）证明：连接OC，如图所示： ∵AB是⊙O的直径，点C是的中点， ∴，OA＝OB， 根据垂径定理得：OC⊥AB， 在△ABD中，OA＝OB，AC＝CD， ∴OC是△ABD的中位线， ∴OC∥BD， ∵OC⊥AB， ∴BD⊥AB， 即BD⊥OB， 又∵OB是⊙O的半径， ∴BD是⊙O的切线； （2）解：∵AO＝2， ∴OC＝OB＝OA＝2， ∴AB＝OA+OB＝4， ∵BD是⊙O的切线，OC⊥AB， ∴∠COE＝∠FBE＝90°， ∵点E是OB的中点， ∴OE＝BE， 在△COE和△FBE中， ， ∴△COE≌△FBE（ASA）， ∴OC＝BF＝2， ∵∠FBE＝90°， ∴△ABF是直角三角形， 由勾股定理得：AF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AHB＝90°， 即BH⊥AF， 由三角形面积公式得：S△ABFAF×BHAB×BF， ∴BH． 【点评】此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解圆周角定理，垂径定理，熟练掌握切线的判定，全等三角形的判定和性质，灵活利用三角形的面积公式及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 23．（8分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，连接AC并延长至点D，使DC＝AC，连接BD交⊙O于点E，延长BD至点F，连接AF，使∠FAD∠ABD． （1）求证：FA是⊙O的切线； （2）若FD＝4，FA＝8，求BE的长． 【分析】（1）由AB是直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到BC⊥AD，结合条件DC＝AC，可知BC既是AD边上的高，又是AD边上的中线，由此得到BA＝BD，设∠FAD＝α，结合已知角的倍数关系得到∠ABD＝2α，利用等腰三角形内角和求出∠BAD，计算推出∠BAF＝90°，根据切线的判定定理证明FA是⊙O的切线； （2）已经得到BA＝BD，设BA＝BD＝x，利用勾股定理列方程，求解得到AB与BD的长度，连接AE，再次利用直径所对圆周角是直角，得AE⊥BF，用直角三角形面积的两种表达方式，面积法求出线段AE，最后在Rt△AEB中，再通过勾股定理计算BE的长． 【解答】（1）证明：连接BC，如图： ∵AB是⊙O的直径，且点C在⊙O上， ∴∠ACB＝90°，即BC⊥AD， 又∵DC＝AC， ∴BC垂直平分AD， ∴BA＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA， 设∠FAD＝α， ∵， ∴∠ABD＝2α， 在等腰△BAD中，， ∴∠BAF＝∠BAD+∠FAD＝（90°﹣α）+α＝90°， ∴FA⊥AB， ∵AB是⊙O的直径，且点A在⊙O上， ∴FA是⊙O的切线； （2）解：设BD＝x， 由（1）知，BA＝BD， ∴BA＝BD＝x， ∵FD＝4， ∴FB＝FD+DB＝4+x， 在Rt△FAB中， ∵FA2+AB2＝FB2，且FA＝8， ∴82+x2＝（4+x）2， 解得x＝6， ∴BA＝BD＝6，FB＝4+6＝10， 连接AE，如图： ∵AB是⊙O的直径，且点E在⊙O上， ∴∠AEB＝90°，即AE⊥BF， ∵， ∴FA•AB＝FB•AE，即8×6＝10AE， 解得， ∵在Rt△AEB中，， ∴． 【点评】三角形同一条边上高线与中线重合，可以判定该三角形为等腰三角形，题目出现直径优先使用直径所对圆周角为直角，直角三角形可以利用面积法求斜边上的高． 24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长． 【分析】（1）连接OD，由角平分线和等腰三角形的性质得出∠ODA＝EAD，证出EA∥OD，再由已知条件得出DE⊥OD，即可得出结论． （2）作DF⊥AB，垂足为F，由AAS证明△EAD≌△FAD，得出AF＝AE＝8，DF＝DE，求出OF＝3，由勾股定理得出DF，即可得出结果． 【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠OAD， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠ODA＝EAD， ∴EA∥OD， ∵DE⊥EA， ∴DE⊥OD， ∵点D在⊙O上， ∴直线DE与⊙O相切． （2）作DF⊥AB，垂足为F，如图2所示： ∴∠DFA＝∠DEA＝90°， 在△EAD和△FAD中， ， ∴△EAD≌△FAD（AAS）， ∴AF＝AE＝8，DF＝DE， ∵OA＝OD＝5， ∴OF＝3， 在Rt△DOF中，DF4， ∴DE＝DF＝4． 【点评】本题考查圆与直线相切的判定、平行线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定方法，证明三角形全等是解决问题（2）的关键． 25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且与边AC相切于点D，分别交边BC、边AB于点E、点F．（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法） （2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，AB＝6，求⊙O的半径． （3）在（1）的条件下，求证：∠BOD＝2∠BDC． 【分析】（1）利用圆的有关性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接OD，易得AO＝2OD，即可得解； （3）设∠ODB＝m°，利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的切线的性质定理和直角三角形的性质分别表示出∠BOD，∠BDC即可得出结论． 【解答】（1）解：①作∠ABC的平分线BD，交AC于点D， ②过点D作DO⊥AC于点D，交AB于点O， ③以点O为圆心，OD为半径画圆，交AB于点E，如图， 则⊙O即为所求作． （2）解：连接OD，如图， ∵AC与⊙O相切， ∴OD⊥AC， ∴∠ODA＝90°， 设OD＝OB＝x， ∴AO＝AB﹣OB＝6﹣x， ∵∠ABC＝60°，∠ACB＝90°， ∴∠A＝30°， 在Rt△ADO中，则AO＝2OD， ∴6﹣x＝2x， 解得x＝2， ∴⊙O的半径为2． （3）证明：连接BD，如图， 设∠ODB＝m°， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD＝m°． ∴∠BOD＝180°﹣2m°＝2（90°﹣m°）， ∵AC为⊙O的切线， ∴OD⊥AC． ∴∠BDC＝∠ODC﹣∠ODB＝90°﹣m°， ∴∠BOD＝2∠BDC． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 26．（8分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O分别交BC、AB于点D、E． （1）求证：BD＝CD； （2）若BE＝4，AE＝14，则BC＝　12　 ； （3）结合第（1）问的结论，利用无刻度的直尺和圆规完成下列作图： 如图2，已知⊙O及⊙O外一点P，在⊙O上取一点N，连接PN交⊙O于点M，使得PM＝MN．（保留作图痕迹，简要写出作法） 【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的三线合一即可求证； （2）连接EC，由勾股定理求出CE，进而利用勾股定理求出BC即可得解； （3）作出CP＝CN＝AB即可得解． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵AC是圆的直径， ∴∠ADC＝90°， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD； （2）如图，连接EC， 则∠AEC＝90°， ∵BE＝4，AE＝14， ∴AC＝AB＝18， ∴CE2＝AC2﹣AE2＝128， 在Rt△BEC中，BC12， 故答案为：12； （3）如图，直线PN即为所求的直线l． 简要作法：1．以P为圆心，直径AB为半径，画弧交⊙O于点C； 2．连接CO并延长交⊙O于N； 3．连接PN交⊙O于M． 【点评】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理、尺规作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测08 3.4～3.6 圆周角、正多边形与圆 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，则∠CEB的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 3．如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若∠ADB＝18°，则该正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．10 D．11 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 5．如图，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，若AB是⊙O的直径，且∠P＝68°，则∠BAC的度数为（　　） A．34° B．39° C．51° D．56° 6．如图所示，是由正八边形与正方形构成的组合图案，图中阴影部分为植草区域，若正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则植草区域的面积为（图中阴影部分的面积）（　　） A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知∠BCD＝40°，则∠BOD的度数为　 　 ． 8．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上．若∠ACB＝72°，则∠P为　 　 °． 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD．若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠BDC的度数为　 　 ． 10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若P是上一点，则∠BPC的大小是 　 　 ． 11．如图，在正多边形ABCD…PMN中，若∠AMB＝18°，则该多边形的边数为 　 　 ． 12．如图，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB于D点，若O为△BCD的内心，则　 　 ． 13．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠ACD的度数为　 　 ． 14．如图，在正五边形ABCDE中，F，G分别为边AB，DE的中点，连接AC，FG，交于点P，则∠CPG＝　 　 °． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，对角线AD恰为⊙O的直径，点A恰为的中点．过点A作射线AF，使∠EAF＝∠ADE． （1）AF与⊙O相切吗？为什么？ （2）若∠EAF＝42°，则∠BCD＝　 　 °． 16．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，连接AC并延长到点D，使AC＝CD，E是OB的中点，连接CE并延长交DB延长线于点F． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若AF交⊙O于点H，连接BF，且AO＝2，求BH的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $