第3章 再练1课(范围：§3.2～§3.3)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学圆锥曲线核心内容，系统涵盖抛物线标准方程与焦点坐标、双曲线离心率及渐近线、直线与圆锥曲线位置关系（弦中点、弦长计算）、圆锥曲线光学性质应用等知识点，从定义理解到综合问题解决，构建递进式学习支架。 资料通过多样化题型（单选、多选、填空、解答）设计，如抛物线光学性质题培养数学眼光，中点坐标分析最值问题提升数学思维推理能力，详细解析助力课中教师教学实施与课后学生查漏补缺，强化用数学语言表达问题解决过程的能力。

再练一课(范围：§3.2~§3.3) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.抛物线y=-x2的焦点坐标是(　　) A. B.(0，1) C. D.(0，-1) 答案　D 解析　y=-x2即x2=-4y，所以其焦点在y轴负半轴上，坐标为(0，-1). 2.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的实轴长为(　　) A. B.3 C.2 D.6 答案　D 解析　由题意，双曲线的一条渐近线为y=-x，即bx+ay=0，设双曲线的右焦点为F(c，0)，c>0，则c2=a2+b2， 所以焦点到渐近线的距离d===b=3， 又离心率e==， 所以a=3，所以双曲线C的实轴长为2a=6. 3.已知线段AB是抛物线y2=4x的一条弦，且AB的中点M在直线x=1上，则点A的横坐标(　　) A.有最大值，无最小值 B.无最大值，有最小值 C.无最大值，无最小值 D.有最大值，有最小值 答案　D 解析　由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由抛物线范围可知，x≥0， 如图1，当点A在原点时，点A的横坐标有最小值，此时横坐标为0， 由AB的中点M在直线x=1上，可知=1，即x1=2-x2， 所以x1≤2， 即如图2，当点B在原点时，点A的横坐标有最大值，此时横坐标为2. 4.已知双曲线-=1(m>0)的两条渐近线为l1，l2，过双曲线右焦点F且垂直于x轴的直线交l1，l2分别于点P，Q，O为坐标原点，若△OPQ的面积为，则m等于(　　) A.1 B. C. D.2 答案　A 解析　由双曲线方程得其渐近线方程为y=±x， 由题知PQ⊥x轴且过右焦点F，令x=c，得y=±c，∴|PQ|=c. 则△OPQ的面积S=|PQ||OF|=c2=，解得c2=5. ∵双曲线-=1(m>0)，∴c2=4m+m=5，解得m=1. 5.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)的反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为y2=8x，平行于x轴的光线从点M(12，2)射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则|MB|等于(　　) A.6 B.8 C.2 D.29 答案　C 解析　由M(12，2)，可得点A的纵坐标为2，设A(m，2)，则4=8m，解得m=，由题意知反射光线经过抛物线y2=8x的焦点(2，0)，所以直线AB的方程为y-0=(x-2)，整理可得y=-(x-2)，由消去y整理得2x2-17x+8=0，解得x1=，x2=8，则y2=-(x2-2)=-8，所以B(8，-8)，所以|MB|==2. 6.已知双曲线C：-=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2的面积为(　　) A. B. C.2 D.4 答案　A 解析　∵在双曲线C：-=1中， a=3，b=4，c=5， ∴F1(-5，0)，F2(5，0)，|F1F2|=10. ∵|PF2|=|F1F2|=， ∴|PF1|=2a+|PF2|=6+=. ∴在△PF1F2中， cos∠PF1F2==， ∴sin∠PF1F2=， ∴△PF1F2的面积为××10×=. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知双曲线C：x2-=1，则下列说法正确的是(　　) A.双曲线C与圆+y2=1有3个公共点 B.双曲线C的离心率与椭圆+=1的离心率的乘积为1 C.双曲线C与双曲线-x2=1有相同的渐近线 D.双曲线C的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同 答案　BCD 解析　由已知得双曲线C中， a=1，b=， c==2， 所以双曲线C的焦点为(±2，0)， 顶点为(±1，0)，作图可知A不正确； 渐近线方程为y=±x=±x， 离心率为=2. 椭圆+=1的离心率为=，2×=1，故B正确； 双曲线-x2=1的渐近线方程为y=±x，故C正确； 抛物线y2=8x的焦点坐标为(2，0)，故D正确. 8.已知O是平面直角坐标系的原点，抛物线C：y=x2的焦点为F，P，Q两点在抛物线C上，下列说法正确的是(　　) A.若|PF|=5，则点P的坐标为(4，4) B.直线y=x-1与抛物线C不相切 C.点P到直线y=x-2的距离的最小值为 D.若P，F，Q三点共线，则·=-3 答案　CD 解析　由y=x2，得x2=4y，则焦点为F(0，1)，设P(x，y)，由抛物线的定义得，y+1=5，解得y=4，则点P的坐标为(4，4)或(-4，4)，故A错误；联立直线与抛物线方程消去y得x2-4x+4=0，得Δ=0，所以直线y=x-1与抛物线C相切，故B错误；因为直线y=x-1与C相切，又直线y=x-1与直线y=x-2平行，所以两平行直线间的距离即点P到直线y=x-2的最小距离，所求距离为=，故C正确；抛物线x2=4y的焦点为F(0，1)，易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+1，不妨设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得x2-4kx-4=0，则x1+x2=4k，x1x2=-4，·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=-4(1+k2)+4k2+1=-3，故D正确. 9.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的左支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF2，且4|PQ|=3|PF2|，则(　　) A.|PQ|=4a B.3= C.双曲线C的渐近线方程为y=±x D.直线PQ的斜率为4 答案　BC 解析　由4|PQ|=3|PF2|，设|PQ|=3m，|PF2|=4m，由PQ⊥PF2，得|QF2|=5m， 则|PF1|=4m-2a，|QF1|=5m-2a，而|PF1|+|QF1|=|PQ|，解得m=，因此|PF1|=，|QF1|=， 对于A，|PQ|=2a，A错误； 对于B，显然=2，则3=，B正确； 对于C，令|F1F2|=2c，在△PF1F2中，由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，得+=4c2， 则c2=a2，b2=c2-a2=a2，即=，因此双曲线C的渐近线方程为y=±x，C正确； 对于D，由tan∠PF1F2==4，结合对称性，可知直线PQ的斜率为±4，D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知双曲线my2-x2=1(m>0)与抛物线x2=12y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为　　　　.  答案　y=±2x 解析　因为抛物线方程为x2=12y， 所以其焦点为F(0，3)， 因为双曲线my2-x2=1可化为-x2=1， 所以a2=，b2=1， c2=a2+b2=+1， 因为双曲线my2-x2=1与抛物线x2=12y有相同的焦点， 所以+1=9，则m=， 则双曲线方程为-x2=1， 因此该双曲线的渐近线方程为y=±2x. 11.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：4x-5y+4=0与C的一个交点为M，直线MF与C的另一个交点为N，则|MN|=　　　　　.  答案　 解析　抛物线C：y2=4x的焦点为F(1，0)， 由 解得或 即点M(4，4)或M， 当点M的坐标为(4，4)时，直线MF：y=(x-1)， 即4x-3y-4=0， 由得N， 因此|MN|=|MF|+|NF|=4+1++1=. 点与点关于x轴对称，则当点M的坐标为时，点N与点(4，4)关于x轴对称， 则|MN|=，所以|MN|=. 12.(2024·新课标全国Ⅰ)设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C的离心率为　　　　.  答案　 解析　|F1A|=13，|AF2|=|AB|=5， 且AF2⊥F1F2， |F1F2|==12. 由双曲线定义可得2a=|F1A|-|AF2|=8， 2c=|F1F2|=12，化简得a=4，c=6， 则C的离心率e==. 四、解答题(共37分) 13.(12分)已知抛物线C：x2=2py(0<p<6)的焦点为F，点A(4，m)在抛物线C上，且=5. (1)求抛物线C的标准方程；(5分) (2)直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为P(1，2)，求直线l的方程.(7分) 解　(1)因为点A(4，m)在抛物线C上， 所以|AF|=m+=+=5， 又因为0<p<6，解得p=2， 故抛物线C的标准方程为x2=4y. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 所以-=4(y1-y2)， 即(x1-x2)(x1+x2)=4(y1-y2)， 因为MN的中点为P(1，2)，所以x1+x2=2， 则=，故直线l的斜率为， 所以直线l的方程为y-2=(x-1)， 即x-2y+3=0. 14.(12分)已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6).当△APF的周长最小时，求该三角形的面积. 解　设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2-=1可知，a=1，c=3，故F(3，0)，F1(-3，0). 当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线的定义知|PF|-|PF1|=2，∴|PF|=|PF1|+2，从而△APF的周长=|AP|+|PF|+|AF|=|AP|+|PF1|+2+|AF|. ∵|AF|==15为定值， ∴当|AP|+|PF1|最小时，△APF的周长最小. 由图象可知，当|AP|+|PF1|最小时，点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示). 由题意可知直线AF1的方程为y=2x+6， 由 得y2+6y-96=0， 解得y=2或y=-8(舍去)， ∴S△APF=-=×6×6-×6×2=12. 15.(13分)已知直线l：x-y+1=0与抛物线C：x2=2py(p>0)交于A，B两点，|AB|=8. (1)求p；(6分) (2)设抛物线C的焦点为F，过点F且与l垂直的直线与抛物线C交于E，G两点，求四边形AEBG的面积.(7分) 解　(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 由可得x2-2px-2p=0， 易得Δ=4p2+8p>0， 所以xA+xB=2p，xAxB=-2p， 则|AB|==2=8， 即p2+2p-8=0，因为p>0，所以p=2. (2)由题意可得抛物线C的焦点为F(0，1)，直线EG的方程为x+y-1=0. 联立化简可得x2+4x-4=0， 则Δ=16+16>0， 设E(x1，y1)，G(x2，y2)， 则x1+x2=-4，y1+y2=2-(x1+x2)=6， 则|EG|=y1+y2+p=8， 因为AB⊥EG，所以S四边形AEBG=|AB|·|EG|=×8×8=32. 学科网（北京）股份有限公司 $