3.2.2 奇偶性【知识清单+8大题型】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数奇偶性核心知识点，系统梳理偶函数与奇函数的定义、定义法图象法性质法三种判断方法，以及奇偶函数的图象特征、单调性与最值关系、对称性等性质，承接函数单调性学习，为函数综合应用构建知识支架。 该资料以结构化知识清单与分层例题设计为特色，通过定义法培养逻辑推理（数学思维），图象法强化几何直观（数学眼光），典例覆盖求解析式解不等式等应用，结合高考真题提升实战能力。课中辅助教师系统授课，课后检测帮助学生查漏补缺，巩固知识应用。

3.2.2 奇偶性 第一部分：知识清单 知识点一：函数的奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点二：奇函数，偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 知识点三：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 第二部分：典型例题汇总 典例一 用定义法判断函数的奇偶性 典例二 利用奇偶性求函数值 典例三 利用奇偶性求函数解析式 典例四 由奇偶性求参数 典例五 由函数奇偶性解不等式 典例六 奇函数+常数模型 典例七 抽象函数的奇偶性 典例八 奇偶函数对称性的应用 第三部分：典型例题 典例一 用定义法判断函数的奇偶性 1．（25-26高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 2．（25-26高一上·河北·阶段检测）判断下列函数是否具有奇偶性，并说明理由． (1)； (2)； (3) 3．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2) ； (3). 4．（25-26高二下·浙江宁波·期末）（多选）已知函数，则（    ） A．的解集为或 B．为偶函数 C． D．，不等式恒成立 典例二 利用奇偶性求函数值 5．（2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 6．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知是定义域为的奇函数，若时，，则（　　） A． B．0 C．1 D．2 7．（25-26高一上·四川达州·期中）已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 8．（25-26高一上·广东湛江·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B．2 C． D． 典例三 利用奇偶性求函数解析式 9．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 10．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 11．（26-27高一上·全国·专题训练）已知定义在上的奇函数，当时，.求函数在上的解析式. 12．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 典例四 由奇偶性求参数 13．（26-27高一上·全国·专题训练）若函数是上的偶函数，则的值为______． 14．（2026·湖南长沙·三模）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 15．（2026·山西运城·二模）若为偶函数，则________． 16．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）若，存在实数，使得的图象是轴对称图形，所有符合条件的实数的值为______． 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）已知函数在定义域上是奇函数，又是减函数，若，求实数的取值范围． （2）定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围． 18．（26-27高三上·北京·开学考试）已知是定义域为的奇函数，且单调递增，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 典例五 由函数奇偶性解不等式 19．（25-26高一下·云南丽江·期末）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）函数是定义在上的奇函数，且. (1)证明在上的单调性； (2)解关于的不等式. 21．（25-26高一上·江苏无锡·期末）若定义在上的函数满足：当时，，的图象关于对称，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数是定义在R上的奇函数，且对于且，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 典例六 奇函数+常数模型 23．（25-26高一上·重庆·期中）设函数上的最大值为，最小值为，则______ 24．（25-26高一下·广东广州·开学考试）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为__________． 25．（26-27高一上·全国·专题训练）已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 26．（2026高三·全国·专题练习）已知函数且，则的值为______． 典例七 抽象函数的奇偶性 27．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）函数是上的增函数，对任意的都有． (1)证明为奇函数； (2)解不等式：． 28．（25-26高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 29．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 30．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 典例八 奇偶函数对称性的应用 31．（25-26高一上·重庆·阶段检测）若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，且不等式对于一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·上海·期中）设函数是奇函数，当时，.若对任意的，不等式都成立，则实数的取值范围为______________ 33．（25-26高一上·福建厦门·期中）若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，且不等式对于一切恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 34．（2026·浙江·三模）已知函数为定义在上的奇函数，则______． 35．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）（多选）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于点对称 D．若在上单调递减，则 36．（2026·山东济南·二模）已知函数的定义域为R，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 第四部分：课后检测 1．（25-26高一上·天津·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）若，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆·模拟预测）（多选）已知函数，则（    ） A． B． C．当时， D．，不等式恒成立 8．（2026·广西河池·三模）（多选）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 9．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）（多选）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．在区间上单调递增 D．的解集为 10．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的取值范围是______. 11．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知定义在R上的函数在区间上单调递减，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为______ 12．（25-26高三下·上海宝山·期中）若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______. 13．（26-27高二上·山西晋中·开学考试）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在上单调递增，在上单调递减； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 14．（25-26高三上·福建宁德·开学考试）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. (1)证明：在上是增函数； (2)证明：是偶函数； (3)如果，解不等式. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 奇偶性 第一部分：知识清单 知识点一：函数的奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点二：奇函数，偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 知识点三：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 第二部分：典型例题汇总 典例一 用定义法判断函数的奇偶性 典例二 利用奇偶性求函数值 典例三 利用奇偶性求函数解析式 典例四 由奇偶性求参数 典例五 由函数奇偶性解不等式 典例六 奇函数+常数模型 典例七 抽象函数的奇偶性 典例八 奇偶函数对称性的应用 第三部分：典型例题 典例一 用定义法判断函数的奇偶性 1．（25-26高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）（3）（4）根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数. （2）非奇非偶函数，理由如下： 由得且， 故函数的定义域为且，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 2．（25-26高一上·河北·阶段检测）判断下列函数是否具有奇偶性，并说明理由． (1)； (2)； (3) 【答案】(1)由题意得的定义域为， 因为，都有， 且 所以是奇函数； (2)的定义域为，当时，， 所以，中，既不是奇函数也不是偶函数； (3)当时，，则， 当时，，则， 所以是偶函数．． 【分析】先求定义域是否关于原点对称，再利用定义判断 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 3．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2) ； (3). 【答案】(1)奇函数 (2)是奇函数，也是偶函数 (3)既不是奇函数，也不是偶函数 【分析】（1）求得的定义域，计算，与比较，可得结论； （2）求得的定义域，化简，可得结论； （3）求得的定义域，判断是否关于原点对称，可得结论． 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， ，则为奇函数. （2）由，解得，则的定义域为，关于原点对称， 又，则既是奇函数，也是偶函数. （3）由，可得或， 的定义域不关于原点对称，则既不是奇函数，也不是偶函数． 4．（25-26高二下·浙江宁波·期末）（多选）已知函数，则（    ） A．的解集为或 B．为偶函数 C． D．，不等式恒成立 【答案】BCD 【分析】利用一元二次不等式的解法即可验证A项，利用偶函数的定义即可验证B项；化简函数，得到函数在单调递减，在单调递增，利用单调性得到即可验证C项；由函数为偶函数和其单调性，将，不等式恒成立，转化为，不等式恒成立，即恒成立即可验证D项. 【详解】对于A项，即，化简得到，解得，故A错误； 对于B项，定义域为，关于原点对称，，所以函数为偶函数，故B正确； 对于C项， ， 因为在单调递增，所以在单调递增， 所以函数在单调递减， 因为为偶函数，所以函数在单调递增， 所以，故C正确； 对于D项，因为为偶函数，函数在单调递增，单调递减， 所以要证，不等式恒成立， 等价于，不等式恒成立，即恒成立 因为恒成立， 所以，不等式恒成立，故D正确. 典例二 利用奇偶性求函数值 5．（2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】利用奇偶性，结合恒等式可求解，从而可求出结果. 【详解】因为定义域均为且， 所以可得， 又因为是奇函数，是偶函数，所以 即上式可化简为， 再与相加可得， 代入可得， 所以即. 故选：A. 6．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知是定义域为的奇函数，若时，，则（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用奇函数的性质求出时解析式可得. 【详解】由题意可得， 因为是定义域为的奇函数，若时，， 当时，，则， 因为，所以， 所以. 故选：C. 7．（25-26高一上·四川达州·期中）已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性与函数解析式求函数值. 【详解】因为为定义在R上的奇函数， 所以，得， 则当时,， 故， 所以. 故选：C. 8．（25-26高一上·广东湛江·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由是定义在上的奇函数得到.由当时，得到当时的表达式，从而求出，即可得解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以.因为当时，， 所以当时，，所以，故. 故选：C. 典例三 利用奇偶性求函数解析式 9．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以． 因为当时，， 所以． 又因为奇函数在原点有意义，所以． 故． 10．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求解函数的解析式即可. 【详解】由题意知，当时，， 则，又为上的偶函数， 所以. 故答案为： 11．（26-27高一上·全国·专题训练）已知定义在上的奇函数，当时，.求函数在上的解析式. 【答案】 【分析】是定义在上的奇函数，当时，则，再由，进而求解即可． 【详解】为上的奇函数， . 时， 当时，则， ， 为奇函数， ， 即 当时，， ． 12．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 【详解】当时，，所以 函数是上的奇函数，所以 故选：B. 典例四 由奇偶性求参数 13．（26-27高一上·全国·专题训练）若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． 14．（2026·湖南长沙·三模）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 【答案】 【详解】由题可知，，所以， 又，即，即对任意恒成立， 所以，所以 15．（2026·山西运城·二模）若为偶函数，则________． 【答案】3 【详解】因为为偶函数，故， 即， 即， 所以，即，所以，则． 16．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）若，存在实数，使得的图象是轴对称图形，所有符合条件的实数的值为______． 【答案】或1 【分析】根据题意先求出的零点，根据对称性得到或，再作验证即可. 【详解】由题意， 当时，为三次函数无对称轴， 当时，令可得，或，或， 即函数与轴交点坐标为， 故根据对称性，或，得或， 验证如下： 当时，， 此时，故函数关于对称，满足题意； 当时，， 此时，故函数关于轴对称，满足题意. 故答案为：或1 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）已知函数在定义域上是奇函数，又是减函数，若，求实数的取值范围． （2）定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由，得． 因为在上是奇函数， 所以，所以． 又因为在上单调递减，所以，解得， 所以，所以实数的取值范围是． （2）因为函数是偶函数，所以， 所以，． 因为在区间上单调递减，且，即， 所以，解得，所以实数的取值范围是． 18．（26-27高三上·北京·开学考试）已知是定义域为的奇函数，且单调递增，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数性质转化不等式，结合函数单调性去掉函数符号，求解一元一次不等式得到解集. 【详解】 是定义域为的奇函数，，且由题可知在上单调递增， 对原不等式变形：等价于， 根据奇函数性质可得，因此不等式化为， 在上单调递增， ，移项解得，即不等式解集为 典例五 由函数奇偶性解不等式 19．（25-26高一下·云南丽江·期末）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定函数的单调性，分情况将不等式变形利用函数的单调性求解. 【详解】因为对任意的且，都有不等式， 所以函数在单调递增， 因为是奇函数，所以对，，且， 即函数是偶函数. 因为函数在单调递增，所以函数在单调递减， 当可化为或 又为偶函数，，所以①或②， 由①得，解得; 由②得，可得，解得； 综上不等式的解集是. 20．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）函数是定义在上的奇函数，且. (1)证明在上的单调性； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)证明：因为函数是定义在上的奇函数，所以，解得； 又，则，解得； 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数，所以. 设， 则. 又，则，，，， 则，即， 则函数在上为增函数. (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出的解析式，利用函数单调性的定义证明即可. （2）根据函数的奇偶性及单调性解不等式即可. 【详解】（1）函数在上为增函数，证明略； （2）由（1）知为奇函数且在上为增函数， 所以，即，也即， 所以，解得， 故不等式的解集为. 21．（25-26高一上·江苏无锡·期末）若定义在上的函数满足：当时，，的图象关于对称，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数的单调性，对称性，奇偶性解不等式即可. 【详解】因为函数的定义域为，且当时，， 所以在上单调递增. 由的图象关于对称，可得的图象关于对称， 即为偶函数，则，且函数在上单调递减， 于是，不等式可化为(i)或(ii)， 由（i）可得，解得； 由（ii）可得，解得. 故该不等式的解集为. 故选：B. 22．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数是定义在R上的奇函数，且对于且，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知函数为定义在R上的减函数，根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可求出答案. 【详解】因且，都有， 则，即 则为定义在R上的减函数， 不等式可化为 因为是定义在R上的奇函数， 则， 根据单调性可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 典例六 奇函数+常数模型 23．（25-26高一上·重庆·期中）设函数上的最大值为，最小值为，则______ 【答案】 【分析】化简函数，令，求得为奇函数，得到，进而求得的值，即可得到答案. 【详解】由函数， 令，其定义域关于原点对称， 且，即， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可得， 则， 所以. 故答案为：. 24．（25-26高一下·广东广州·开学考试）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为__________． 【答案】 【分析】构造函数，由其为奇函数即可求解； 【详解】， 构造函数定义域为，则，故为奇函数， 所以， 所以， 故答案为：2 25．（26-27高一上·全国·专题训练）已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先证得为奇函数，所以，再由奇函数的性质可求出. 【详解】令，函数定义域为R， ，所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 26．（2026高三·全国·专题练习）已知函数且，则的值为______． 【答案】 【详解】函数且， 所以，即, 所以 典例七 抽象函数的奇偶性 27．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）函数是上的增函数，对任意的都有． (1)证明为奇函数； (2)解不等式：． 【答案】(1) ， 取，则，解得， 取，则，， 故为奇函数. (2)或. 【分析】（1）取，解得， 取，得到，故为奇函数. （2）由为奇函数，将转化为，将中的换，， 得到，代入，得到，利用得到，由是上的增函数，得到，解此不等式即可. 【详解】（1）略 （2），为奇函数，， ，将换，取，， ，将代入， 得到，，转化为， 是上的增函数，，解得或. 不等式的解集为或. 28．（25-26高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 【答案】(1) 函数为奇函数，理由如下： 因函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，可得． 令，则，即， 用代换，可得，所以为奇函数． (2) 由（1）知，则，即， 令，且，则且， 可得， 因为当时，，所以，即， 所以函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减． (3) 【分析】（1）先求得，再令，得到，即可证得为奇函数； （2）由（1）得到，令且，根据题意，证得，即可得证； （3）由（2）求得，根据题意，把不等式转化为，得到不等式，求解即得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，可得， 由题设，可得，又，故原不等式可化为， 由（2）函数在上单调递减，可得，解得， 故不等式的解集为． 29．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：设，则， 因为，所以，故，而， 故，所以是单调递增函数． (2) 是奇函数， 证明：由， 所以， 由，令， 则，再令，解得， 所以， 所以， 故是奇函数． 【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义法代入计算，即可证明； （2）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 30．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2) 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数; (3) 【分析】（1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得； （2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得. 【详解】（1）因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. （2）略 （3）在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则解得或 即实数的取值范围为. 典例八 奇偶函数对称性的应用 31．（25-26高一上·重庆·阶段检测）若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，且不等式对于一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上单调递增，对于一切恒成立，可转化为对于一切恒成立，设，，，，求与即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 所以在上单调递增， 因为不等式对于一切恒成立， 所以对于一切恒成立， 所以对于一切恒成立， 即对于一切恒成立， 设，，，， 则， 因为，在上单调递增， 所以， 因为，在上单调递增， 所以， 所以. 故选：B. 32．（25-26高三上·上海·期中）设函数是奇函数，当时，.若对任意的，不等式都成立，则实数的取值范围为______________ 【答案】 【分析】分类讨论写出函数的解析式，再根据奇偶性的性质作出与的图像，将不等式转化为的图像恒在的图像下方，根据图像列出不等式求解. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 由是奇函数，可作出的图像，如图所示， 又因为对任意，又成立，所以的图像恒在的图像下方， 即的图像往又平移一个单位后，得到的图像要恒在图像下方， 由图可得：，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要考查分段函数的图像的画法及利用函数图像解不等式，解题的关键是把题干转化为的图像恒在的图像下方，之所以有这种想法是因为函数解析式较为复杂，如果用分类讨论求解非常的麻烦，所以当所求不等式用代数解法比较困难的情况下需考虑用图像法求解. 33．（25-26高一上·福建厦门·期中）若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，且不等式对于一切恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得在上单调递增，不等式对于一切恒成立，可转化为对于一切恒成立，设，求与即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 所以在上单调递增. 因为不等式对于一切恒成立， 所以对于一切恒成立， 所以对于一切恒成立， 即对于一切恒成立. 设， 则. 因为的开口向上，且，， 所以. 因为在上单调递增， 所以， 所以. 故选:C. 34．（2026·浙江·三模）已知函数为定义在上的奇函数，则______． 【答案】4051 【分析】由已知可得函数关于中心对称，然后利用中心对称的性质求解即可. 【详解】因为函数为定义在R上的奇函数，则, 且函数关于中心对称，所以, ． 故答案为：4051 35．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）（多选）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于点对称 D．若在上单调递减，则 【答案】ABC 【分析】求出函数的定义域和值域可判断A、B；根据图象的平移法可判断C；根据函数的单调性解不等式可判断D 【详解】由得，所以的定义域为，A正确； 由及， 可得的值域为，B正确； 的图象可由奇函数的图象向右平移4个单位， 再向上平移个单位得到，所以的图象关于点对称，C正确； 在上单调递减，则或，即或 ，D错误． 故选：ABC． 36．（2026·山东济南·二模）已知函数的定义域为R，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得. 【详解】因为， 所以，即， 又，函数的定义域为R， 所以，是定义域为R的奇函数，所以，， 所以，，故， 所以是以4为周期的周期函数， 所以. 故选：A 第四部分：课后检测 1．（25-26高一上·天津·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性求解析式即可. 【详解】，则， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以. 故选：. 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】C 【分析】由奇函数的定义求解 【详解】若，则， 所以， 所以，，. 3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】因为具有奇偶性，所以定义域一定关于原点对称，再通过偶函数定义即可求得，代入即可求解. 【详解】根据题意得，解得，此时， 因为为偶函数，所以， 解得，经验证符合题意，故，所以. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）若，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析出函数为上的偶函数，且在上为增函数，利用偶函数的性质将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数的定义域为，且， 故函数为定义域上的偶函数． 由得， 又当时，在上单调递增，所以，即,即，解得. 5．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数是上的偶函数，得到，根据题意，画出函数和的图象，结合图象，分类讨论，即可得到不等式的解集. 【详解】因为是上的偶函数，所以， 又因为在上单调递增，且，可得， 画出和的图象，如图所示， 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，符合题意； 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，符合题意； 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，不符合题意， 综上可得，不等式的解集为. 6．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得为奇函数，为奇函数，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】因对于任意实数，，都有， 令，可得， 再令，则，从而为奇函数. 注意到， 结合为R上奇函数，为R上偶函数， 可得为R上奇函数， 由题可得存在，且为，存在，且为. 又由奇函数性质可得， 从而. 7．（2026·重庆·模拟预测）（多选）已知函数，则（    ） A． B． C．当时， D．，不等式恒成立 【答案】BCD 【分析】利用不等式的基本性质求出的值域，可判断A选项；代入验算可判断BC选项；利用函数的单调性与奇偶性的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，， 因为，则，可得，所以，所以A错误； 对于B选项，函数的定义域为，，所以B正确； 对于C选项，，所以C正确； 对于D选项，因为 ，故该函数在单调递减， 又由B知该函数为偶函数，且，即， 所以，所以D正确. 8．（2026·广西河池·三模）（多选）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】BCD 【分析】根据抽象函数的对称性、周期性，结合函数奇偶性的定义逐项分析判断即可. 【详解】由为偶函数，得，即， 所以的图象关于直线对称. 由及，得. 令，则，所以， 又，所以，即. 所以，因此是偶函数，故A错误，C正确. 由，得， 又是偶函数，所以， 所以，故为奇函数，故B正确. 由，得，又是偶函数，所以， 所以，即是偶函数，故D正确. 9．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）（多选）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．在区间上单调递增 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】通过函数奇偶性求解选项A，选项B即可；通过一元二次方程的性质以及函数为偶函数求选项C，选项D即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，所以，故A正确； 对于B选项，设，所以，又因为，所以，故B正确； 对于C选项，当时，，在区间上为增函数，又由为偶函数，则在区间为减函数，故C错误； 对于D选项，当时，，解得，又因为为偶函数，所以当时，若，则有，则的解集为，故D正确. 故选：ABD. 10．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为函数为奇函数，所以关于点中心对称. 又在上单调递增，则在区间上也单调递增. 当时，，对称轴为； 当时，的图象开口向下，且， 此时在区间上单调递减，不合题意，所以， 解得，所以的取值范围是. 11．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知定义在R上的函数在区间上单调递减，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为______ 【答案】 【分析】根据已知及偶函数性质得的图象关于直线对称，且，结合区间单调性和对称性，利用符号法求不等式的解集. 【详解】因为定义在R上的函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，且的定义域为R， 又函数为偶函数，则， 所以的图象关于直线对称，所以函数在区间上单调递增， 因为，则， 根据已知区间单调性和对称性：时，或时， 所以由得或，解得或， 则不等式的解集是. 12．（25-26高三下·上海宝山·期中）若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______. 【答案】1 【分析】利用函数奇偶性分析求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以且， 当时，， 所以，解得：， 所以当时，，所以. 13．（26-27高二上·山西晋中·开学考试）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在上单调递增，在上单调递减； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，定义域关于原点对称． ，函数为奇函数 (2)任取，则． 因为，且，所以，从而． 故在上单调递增． 任取，同样有． 此时，，所以，从而． 故在上单调递减． (3) 【分析】（1）先确定定义域，再利用函数奇偶性的定义判断；（2）用作差法判断函数值之差的符号；（3）将恒成立问题转化为求函数在给定区间上的最小值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）当时，，且 ． 因此，且当时取等号，所以在上的最小值为． 要使对任意都有，必须且只需． 所以实数的取值范围为． 14．（25-26高三上·福建宁德·开学考试）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. (1)证明：在上是增函数； (2)证明：是偶函数； (3)如果，解不等式. 【答案】(1) 设，则， 由于，所以，所以， 所以，所以， 所以在上是增函数； (2) 因对定义域内的任意，有， 令，则有， 又令，得， 再令，得，从而， 于是有，所以是偶函数． (3) 【分析】（1）根据函数的单调性的定义，即可证得函数的为单调递增函数； （2）令，求得，再由，求得，进而得出，即可证明结论； （3）由（2）可得不等式可变为，结合（1）可求得不等式的解集. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由于，所以， 于是不等式可化为， 由（2）可知函数是偶函数，则不等式可化为， 又由（1）可知在上是增函数，所以可得， 解得，所以不等式的解集为． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $