广西玉林市第十中学2026-2027学年高二上学期数学国庆假期作业2

玉林市第十中学2026年秋季期高二数学国庆假期作业2 命题人： 何玉剑 审题人： 陈起珍 使用时间：2026.10.2 一、单选题 1．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 2．已知平面的一个法向量，内有一点，外有一点，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 3．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱AB，的中点.点P为线段EF上的动点.则下面结论中错误的是（    ） A． B．平面 C． D．是锐角 4．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 5．给出以下命题，其中正确的是（    ） A．若共线，则 B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面的法向量分别为，，则 D．三点不共线，对空间任意一点，若，则四点共面 6．如图正四棱柱中，，. 动点，分别在线段，上，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．已知点，，若过的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 8．已知直线，，则“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．如图所示，在棱长为2的正方体中，为的中点，为靠近的四等分点，为线段MG上一动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B． C．HD的最小值为 D．若，则 10．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 11．下列说法正确的有（    ） A．若两条直线的斜率相等，则这两条直线可能平行 B．若，则 C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直 D．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行 三、填空题 12．在空间直角坐标系中，直线l的方向向量，点在直线l上，则点到直线l的距离是________. 13．如图，已知一个二面角的平面角为，它的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，则线段的长为__________. 14．若空间三点，则的面积为____. 班级：___________姓名：___________ 三、填空题 12 13. 14. 四、解答题 15．如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 16．如图，直线平面，四边形是正方形，且，点、、分别是线段、、的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)在线段上是否存在一点，使，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 17．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点、的坐标； (2)直线的方程； 18．平行四边形的边和所在的直线方程分别是、，对角线的交点是. (1)求边所在直线的方程； (2)平行四边形的面积. 19．如图，在侧棱垂直底面的三棱柱中，，，是棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值 假期作业2试题第1页（共2页） 假期作业2假期作业2试题第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 玉林市第十中学2026年秋季期高二数学国庆假期作业2 《国庆假期作业2》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B D B D C AC ABC 题号 11 答案 AD 1．C【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误；对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误.故选：C. 2．C【详解】由已知，点到平面的距离为，故选：C． 3．D【详解】以D为坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则，， ，， 所以，A正确；因为，平面，平面， 所以平面，B正确；， 所以，所以，C正确； ，当时，，此时为钝角，故D错误.故选：D 4．B【详解】因为 所以，因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，所以，化简得，解得或1．故选：B 5．D【详解】选项，若，共线，则，，，四点有可能共线，故A错误； 选项，因为，， 所以与不共线，所以直线不垂直于平面，故C错误； 选项，，，与不平行，不成立，故C错误； 选项，，三点不共线，对空间任意一点，， 因为，所以，，，四点共面，故D正确．故选:D． 6．B【详解】由题意可知，线段长度的最小值为异面直线、的公垂线的长度. 如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则点、、、， 所以，，，， 设向量满足，， 由题意可得，解得，取，则，， 可得，因此，.故选：. 7．D【详解】由题意，，，由图可知，故选：D. 8．C 【详解】当时，，，则直线斜率为，截距为， 直线斜率为，截距为，因为两条直线斜率，且在轴上的截距， 所以，此“”是的充分条件； 若，当时，，，显然两条直线有交点， 当时，若，则需满足两条直线斜率相等且在轴上的截距不相等， 即：，解得：，因此“”是的必要条件，所以“”是的充要条件. 9．AC【详解】对于A，取中点为，连中点为，连， 则易得且，故为平行四边形，， 又GM为中位线，故，故， 又平面平面，故平面， 其上任意一点到平面的距离相等，故三棱锥体积为定值，A正确， 对于B，由题，，而， 故，B错误， 对于C，当时HD最小，在平面内以为原点，DB为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系， 则到GM的距离为，经验证此时在线段GM上，C正确，对于D，当与重合时，，则，取明显错误，故D错误.故选：AC. 10．ABC【详解】对于A，直线的斜率为，则其倾斜角为，故A正确； 对于B，直线的斜率为2，在轴，轴上的截距分别为， 故直线经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，直线与直线，即间的距离为 ，故C正确； 对于D，当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 把点代入直线，得，所以直线方程为； 当截距为0时，设直线方程为，把点代入直线，得，直线方程为，故D错误. 11．AD【详解】对于A：若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，所以这两条直线可能平行，故选项A正确；对于B：若，则或两条直线的斜率都不存在，故选项B不正确； 对于C：若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在且不为，则这两条直线不垂直，故选项C不正确；对于D：若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行，故选项D正确；故选：AD. 12．/【详解】由题设，又点在直线l上，直线l的方向向量， 而，， 所以点到直线l的距离是.故答案为： 13．.【详解】过点作，且， 则四边形为平行四边形，， 又，， ，即为二面角的平面角，即， 在中，， 即，又，，平面，平面， 平面,，， 在中，，即，故答案为：. 14．【详解】依题意，，，则，， ，在中，， 所以的面积为.故答案为： 15．(1)， (2)因，，，， 则，， 由（1）得 ，所以，即； (3)【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ；（2）略 （3）由（1）知， 所以 ，所以. 16．(1)(2)存在， （2）设点，其中，由已知可得出，求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为直线平面，四边形是正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， ，，， 所以，异面直线与所成角的余弦值为. （2）解：设点，其中，，， 若，则，解得，合乎题意. 所以线段上存在一点，使，此时. 17．(1)，(2) 【分析】（1）设点，表示出中点坐标，将坐标分别代入直线和的方程，求出的坐标，再求出直线的方程，与直线的方程联立，可求得点的坐标； （2）根据（1）、的坐标求出直线的斜率，进而可求得直线的方程. 【详解】（1）设点，则线段中点坐标为， 因为在直线上，所以，即 又在直线上，所以， 联立，解得，所以； 又边上的高所在直线方程为， 所以可设直线的方程为，将点代入得：，故， 所以直线的方程为，联立，解得，故； （2）由（1）可得，，所以 所以直线的方程为，即. 18．(1)；(2)【详解】（1）如图所示， 由，解得，； 因为对角线的交点是，所以， 因为平行于,所以设：， 点代入得，解得， 边所在直线的方程为：. （2）由（1）可知直线和直线之间距离为， 由，解得，， 由，得， 平行四边形的面积为. 19．（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）如图所示，以为轴建立空间直角坐标系，计算两个平面的法向量，根据法向量垂直得到证明. （2）直接利用向量的夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则，取得到， 设平面的法向量为，则， 取得到，，故平面平面. （2）直线与平面所成角为， 则. 国庆假期作业2答案 第 2 页 共 4 页 国庆假期作业2答案 第 1 页 共4 页 学科网（北京）股份有限公司 $