4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边） 思考：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？ A B C A B C “两角及夹边” “两角和其中一角的对边” 它们能判定两个三角形全等吗？ 探究1：利用“ASA”判定三角形全等 活动：用量角器和刻度尺画一个三角形， 使它的两个角分别为60°，40°，且两个角的夹边为3 cm. 将自己画的三角形与其他同学画的三角形叠放在一起，它们完全重合吗？你能得到什么结论？ 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 完全重合 三角形全等 60° 40° 3cm 60° 40° 3cm 在△ABC 和△DEF 中， 所以△ABC≌△DEF (角边角)． 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”(ASA). 几何语言： ∠A = ∠D， AB = DE， ∠B = ∠E， A B C D E F 全等三角形的判定定理（角边角）: 例1 如图，点 A，F，E，C 在同一条直线上，AB∥DC，AB = CD，∠B =∠D.求证：△ABE≌△CDF. 分析： AB∥DC AB = CD，∠B =∠D. ①先找现有条件： ②再找隐含条件： 由分析可知，△ABE与△CDF具备“角边角”的条件. ∠A =∠C 例1 如图，点 A，F，E，C 在同一条直线上，AB∥DC，AB = CD，∠B =∠D.求证：△ABE≌△CDF. 证明：因为 AB∥DC， 所以∠A =∠C. 在△ABE 和△CDF 中， 所以△ABE≌△CDF (角边角). ∠A =∠C， AB = CD， ∠B =∠D， 例2 如图，∠1 =∠2，∠C =∠E，AC = AE. 求证：△ABC≌△ADE. 证明：因为∠1 =∠2， 所以∠1 +∠BAE =∠2 +∠BAE， 即∠BAC =∠DAE. 在△ABC 和△ADE 中， 所以△ABC≌△ADE(角边角). ∠BAC =∠DAE ， AC = AE， ∠C =∠E， 探究2：利用“AAS”判定三角形全等 问题：如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗？为什么？ 如图，在△ABC 与△A'B'C'中，满足 ∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，BC = B'C'. B C A A' B' C' △ABC≌△A′B′C′ 如何用所学的知识证明呢？ 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′， ∠B＝∠B′，BC＝B′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′. 证明：因为∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∠ A′ ＋∠ B′ ＋∠ C′ ＝180°， 又∠A＝∠A′， ∠B ＝ ∠B′(已知) 所以 ∠C＝∠C′(等量代换). 因为在△ABC和△A′B′C′中， 所以△ABC≌△A′B′C′(ASA). B C A A' B' C' 在△ABC 和△A′B′C′中， 所以△ABC≌△A′B′C′(角角边)． 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”(AAS). 几何语言： ∠A = ∠A′， ∠B = ∠B′， BC = B′C′， 全等三角形的判定定理（角角边）: B C A A' B' C' 例3 如图，∠B = ∠D，∠1 = ∠2. 求证：△ABC ≌ △ADC. 证明：因为∠1 = ∠2， 所以∠ACB = ∠ACD（等角的补角相等）. 在△ABC和△ADC中， 所以△ABC ≌ △ADC（角角边）. “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形的内角和定理可知，“ASA”和“AAS”可以互相转化 AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起， 边相等放在最后 思考：小组讨论，尝试总结一下“ASA”和“AAS”的区别与联系？ 证明：∵ BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°. ∴∠ABD＋∠BAD＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠CAE＋∠BAD＝90°. ∴∠ABD＝∠CAE. 在△BDA 和△AEC 中， ∠ADB＝∠CEA＝90°， ∠ABD＝∠CAE， AB＝AC， ∴△BDA≌△AEC(AAS). 例4 如图，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线 m 经过点 A，BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为点 D、E. 求证：(1) △BDA≌△AEC； (2) DE＝BD＋CE. ∴ BD＝AE，AD＝CE. ∴ DE＝DA＋AE＝BD＋CE. (2)证明：∵△BDA≌△AEC， 方法总结：利用全等三角形可以建立线段之间的等量关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成 “ASA”). “角角边”“角边角”中两角与边的区别. 全等三角形的判定定理（角边角、角角边） 内容 应用 注意 为证明线段和角相等提供了新的证法. 两角相等和其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成 “AAS”). 1.如图，已知 的三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中与 全等的是( ) B A.甲 B.乙 C.甲和乙 D.以上都不对 随堂小练 2.如图，已知，为 的中点，若，，则 的 长为( ) C A. B. C. D. 3.如图，∠1＝∠2，BC＝EC，请补充一个条件： 　 　能使用“AAS”方法判定△ABC≌△DEC． ∠A＝∠D 4.如图，在 与中，，，， 在同一条直线上， ，，， ，求 的长. 解：因为，所以 . 因为 ， 所以，即 . 在和中， 所以（AAS），所以 . 5.如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，若AB＝BD+CF， 求证：△ADE≌△CFE． 证明：∵AB＝BD+CF， 又AB＝BD+AD，∴CF＝AD ∵AB∥CF，∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F 在△ADE与△CFE中， ∴△ADE≌△CFE（ASA）． ∠A=∠ACF， CF=AD, ∠ADF＝∠F， 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，动点D，E，F分别在边AB，BC，AC上移动，移动过程中始终保持BD＝CE，∠DEF＝∠B，请你分析是否存在始终与△BDE全等的三角形，并说明理由． 解:存在始终与△BDE全等的三角形，△CEF≌△BDE.理由如下：因为∠CED＝∠B＋∠BDE＝∠CEF＋∠DEF，∠DEF＝∠B， 所以∠CEF＝∠BDE. 因为AB＝AC，所以∠B＝∠C. 在△CEF和△BDE中，∠C＝∠B，CE＝BD，∠CEF＝∠BDE， 所以△CEF≌△BDE(ASA)． $