3.2.1 单调性与最大（小）值 讲义- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦函数单调性与最值核心知识点，构建从定义理解（单调性、最值定义）到判断证明（定义法四步流程），再到单调区间求解（图象法、常见函数），进而应用于比较大小、解不等式、求参数及综合问题（分段函数、抽象函数），最终掌握最值求法与应用的递进式学习支架。 该资料以数学思维的逻辑推理为核心，通过定义法证明四步规范、分段函数单调性“段内单调+接点有序”等实例落实分类讨论思想，结合几何直观理解最值几何意义，培养数学建模解决实际优化问题能力。课中助力教师系统授课，课后便于学生回顾例题与小结，查漏补缺。

第三章函数的概念与性质 3.2.1 单调性与最大（小）值 [学习要点] 1. 理解函数单调性、单调区间的定义，掌握定义法证明函数单调性的标准步骤与方法； 2. 能通过图象法、定义法准确求出常见函数的单调区间，掌握单调区间的规范书写要求； 3. 能运用函数单调性比较函数值大小、解函数不等式、求解参数取值范围，熟练掌握单调性的三类基础应用； 4. 能处理分段函数单调性、抽象函数单调性等综合问题，落实分类讨论、转化与化归的数学思想； 5. 理解函数最大值与最小值的定义与几何意义，能准确辨析最值相关的概念误区； 6. 掌握图象法、单调性法、配方法等求函数最值（值域）的常用方法，能求解各类常见函数的最值； 7. 能根据函数的最值或值域求解参数的取值与范围，掌握恒成立问题与函数最值的转化关系； 8. 能建立函数模型解决实际生活中的最值优化问题，提升数学建模与实际应用能力； 9. 能解决动轴定区间、值域包含关系等最值综合问题，提升综合分析与逻辑推理能力。 一、函数单调性的判断与证明 核心知识点 1． 单调性的定义 设函数的定义域为D，区间： · 单调递增：若，当时，都有，则称在区间I上单调递增。 · 单调递减：若，当时，都有，则称在区间上单调递减。 若函数在整个定义域上单调递增/递减，则分别称为增函数、减函数。 2． 定义法证明单调性的四步流程 ① 取值：任取，且规定； ② 作差变形：计算，通过因式分解、通分、配方、有理化等方式，变形为易于判断符号的乘积/商形式； ③ 定号：结合区间范围与已知条件，确定的正负； ④ 下结论：根据符号对应单调性定义，明确给出函数在该区间的单调性。 3． 核心注意点 · 单调性是函数的局部性质，描述时必须指明对应的区间； · 定义中具有任意性，不能用区间内的特殊值代替全体； · 单调性方向、自变量大小、函数值大小三者满足“知二推一”。 例1.根据定义证明函数在区间上单调递增。 证明：任取，且， 由，得，，因此， 故，即。 因此函数在上单调递增。 例2.证明函数在区间上单调递减。 证明：任取，且， 由，得，，且分母， 因此，即。 故函数在上单调递减。 二、求函数的单调区间 核心知识点 · 图象法求单调区间 作出函数图象，从左向右观察图象升降趋势：上升段对应单调递增区间，下降段对应单调递减区间。 · 常见初等函数的单调区间 1. 一次函数：时在上单调递增；时在上单调递减。 2. 二次函数：对称轴为；时，递减，递增；时单调性相反。 3. 反比例函数：时，在和上分别单调递减；时，两个区间上分别单调递增。 · 书写规范 · 多个不连续的单调区间不能用符号“”连接，需用逗号隔开或用“和”连接； · 单调区间端点若在定义域内，写开或写闭均可；若端点处函数无定义，则必须写开区间。 例3.求函数的单调区间。 解：将函数写成分段形式： 分别分析两段的单调性： 当时，的对称轴为，开口向上， 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，的对称轴为，开口向上， 故在上单调递减，在上单调递增。 综上，函数的单调递减区间为和； 单调递增区间为和。 例4. 求函数的单调递增区间。 【答案】先分析基础二次函数，开口向上，零点为和，顶点为。 将其图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，即可得到的图象。 结合图象升降趋势可知： 1. 在上，原图象从0下降到-4，翻折后从0上升到4，单调递增； 2. 在上，原图象保持上升，翻折后仍单调递增。 因此函数的单调递增区间为和。 三、函数单调性的应用 核心知识点 单调性有三类基础应用： · 比较函数值大小：将自变量统一到同一个单调区间内，根据单调性由自变量的大小关系，直接推出函数值的大小关系。 · 解函数不等式：利用单调性脱去函数符号“”，将转化为普通不等式；必须同时保证都在函数定义域内。 · 已知单调区间求参数范围 · 二次函数：根据对称轴与给定区间的位置关系列不等式； · 一次、反比例函数：根据系数符号与单调性的对应关系直接求解。 例5.已知函数是定义在上的减函数，且，求实数m的取值范围。 【答案】因为的定义域为，且为减函数，， 所以需同时满足定义域约束与单调性条件： 分别解得： · ； · ； · 。 取交集得，即的取值范围为。 例6.若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围。 【答案】函数是开口向上的二次函数，对称轴为， 其单调递减区间为。 由题意，区间是递减区间的子集，因此， 解得，即实数的取值范围是。 四、函数单调性的综合应用 核心知识点 1. 分段函数的全定义域单调性 若分段函数在整个实数域上单调，则需同时满足两个核心条件： ① 每一段函数在各自的区间上保持相同的单调性； ② 在分段点处，两段的函数值满足单调性的大小关系（递增则左段右端点值≤右段左端点值，递减则相反）。 2. 抽象函数的单调性 通过赋值法推导函数性质，结合单调性定义完成证明；解不等式时，先将式子转化为的形式，再结合单调性与定义域求解。 例7. 已知函数 是上的增函数，求实数a的取值范围。 【答案】要使在上单调递增，需同时满足三个条件： ① 左段二次函数在上递增：开口向下，对称轴，解得； ② 右段反比例函数在上递增：需； ③ 分段点处满足左段值≤右段值：，解得。综上，三个条件同时满足得，即a的取值范围为。 例8. 已知函数的定义域为，且对任意正实数都有，当时。 (1) 判断并证明的单调性； (2) 若，解不等式。 【答案】(1) 在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，故。 因此，即， 故在上单调递增。 (2) 由，得。 不等式可化为。 结合单调性与定义域，得： 解得，即不等式的解集为。 五、对函数最值的理解 1. 最大值定义 设函数的定义域为，若存在实数满足： ① ，都有； ② ，使得。 则称是函数的最大值。 2. 最小值定义 设函数y=的定义域为，若存在实数满足： ① ，都有； ② ，使得。 则称m是函数的最小值。 3. 概念要点 · 几何意义：最大值对应图象最高点的纵坐标，最小值对应最低点的纵坐标； · 存在性：并非所有函数都有最值，如在上既无最大值也无最小值； · 唯一性：函数的最大值、最小值若存在则唯一，但取得最值的自变量可以有多个； · 两个条件缺一不可：仅“所有函数值都≤M”不能说明M是最大值，必须存在自变量能取到M。 例9. （多选）下列关于函数最值的说法中，正确的有（ ） A. 函数在闭区间上一定存在最大值和最小值 B. 若函数的最大值为3，则定义域内所有函数值都不超过3 C. 若对定义域内所有 x 成立，则 5 是的最大值 D. 常函数的最小值等于最大值 【答案】：BD 【详解】A错误，只有闭区间上的连续函数才一定有最值，不连续的分段函数未必存在最值； B正确，最大值是所有函数值的上界，定义域内所有值都不会超过最大值； C错误，缺少“存在使得”的条件，5未必是函数的最大值； D正确，常函数的所有函数值都相等，因此最大值与最小值相等。 六、求函数的最值(值域) 核心知识点 求函数最值的三种常用方法： 1. 图象法：作出函数图象，直接读取最高点与最低点的纵坐标，适用于分段函数、绝对值函数等图象易绘制的函数。 2. 单调性法：先判断函数在给定区间上的单调性，再根据单调性确定最值点： · 单调递增：最小值在左端点，最大值在右端点； · 单调递减：最大值在左端点，最小值在右端点。 3. 配方法：针对二次函数型，通过配方化为顶点式，结合定义域与对称轴的相对位置求最值。 例10.求函数在区间上的最大值与最小值。 【答案】先通过分离常数变形： 当时，单调递增，单调递减，因此在上单调递减。 · 最大值为； · 最小值为。 七、根据函数的最值(值域)求参数的值或范围 1. 已知最值求参数 根据函数类型，结合单调性或对称轴位置，建立关于参数的方程求解；参数影响单调性或对称轴位置时，需分类讨论。 2. 恒成立问题与最值的转化 · 恒成立 ； · 恒成立 。 例11.已知函数在区间上的最小值为 2，求实数a的值。 【答案】分情况讨论： ① 当时，在上单调递减，最小值为，不符合题意； ② 当时，对称轴为： · 若即，最小值为，解得，符合条件； · 若即，函数在上递减，最小值为，解得，不符合条件，舍去； ③ 当时，对称轴，函数在上单调递减，最小值为，解得，与矛盾，舍去。 综上，。 课堂小结 1. 单调性核心：定义是判断与证明的根本依据，遵循“取值—作差变形—定号—结论”四步；单调区间是局部概念，多个不连续区间需分开书写。 2. 单调性应用：解函数不等式勿忘定义域约束，求参数范围关键是找准对称轴与区间的位置关系；分段函数单调需同时满足“段内单调+接点有序”。 3. 最值核心：最值需同时满足“整体有界+能取到”两个条件；闭区间上的单调函数，最值必在端点处取得。 4. 最值应用：恒成立问题可转化为函数最值问题；实际问题先建立函数模型再求解；动轴定区间问题按对称轴位置分类讨论，做到不重不漏。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章函数的概念与性质 3.2.1 单调性与最大（小）值 [学习要点] 1. 理解函数单调性、单调区间的定义，掌握定义法证明函数单调性的标准步骤与方法； 2. 能通过图象法、定义法准确求出常见函数的单调区间，掌握单调区间的规范书写要求； 3. 能运用函数单调性比较函数值大小、解函数不等式、求解参数取值范围，熟练掌握单调性的三类基础应用； 4. 能处理分段函数单调性、抽象函数单调性等综合问题，落实分类讨论、转化与化归的数学思想； 5. 理解函数最大值与最小值的定义与几何意义，能准确辨析最值相关的概念误区； 6. 掌握图象法、单调性法、配方法等求函数最值（值域）的常用方法，能求解各类常见函数的最值； 7. 能根据函数的最值或值域求解参数的取值与范围，掌握恒成立问题与函数最值的转化关系； 8. 能建立函数模型解决实际生活中的最值优化问题，提升数学建模与实际应用能力； 9. 能解决动轴定区间、值域包含关系等最值综合问题，提升综合分析与逻辑推理能力。 一、函数单调性的判断与证明 核心知识点 1． 单调性的定义 设函数的定义域为D，区间： · 单调递增：若，当时，都有，则称在区间I上单调递增。 · 单调递减：若，当时，都有，则称在区间上单调递减。 若函数在整个定义域上单调递增/递减，则分别称为增函数、减函数。 2． 定义法证明单调性的四步流程 ① 取值：任取，且规定； ② 作差变形：计算，通过因式分解、通分、配方、有理化等方式，变形为易于判断符号的乘积/商形式； ③ 定号：结合区间范围与已知条件，确定的正负； ④ 下结论：根据符号对应单调性定义，明确给出函数在该区间的单调性。 3． 核心注意点 · 单调性是函数的局部性质，描述时必须指明对应的区间； · 定义中具有任意性，不能用区间内的特殊值代替全体； · 单调性方向、自变量大小、函数值大小三者满足“知二推一”。 例1.根据定义证明函数在区间上单调递增。 例2.证明函数在区间上单调递减。 二、求函数的单调区间 核心知识点 · 图象法求单调区间 作出函数图象，从左向右观察图象升降趋势：上升段对应单调递增区间，下降段对应单调递减区间。 · 常见初等函数的单调区间 1. 一次函数：时在上单调递增；时在上单调递减。 2. 二次函数：对称轴为；时，递减，递增；时单调性相反。 3. 反比例函数：时，在和上分别单调递减；时，两个区间上分别单调递增。 · 书写规范 · 多个不连续的单调区间不能用符号“”连接，需用逗号隔开或用“和”连接； · 单调区间端点若在定义域内，写开或写闭均可；若端点处函数无定义，则必须写开区间。 例3.求函数的单调区间。 例4. 求函数的单调递增区间。 三、函数单调性的应用 核心知识点 单调性有三类基础应用： · 比较函数值大小：将自变量统一到同一个单调区间内，根据单调性由自变量的大小关系，直接推出函数值的大小关系。 · 解函数不等式：利用单调性脱去函数符号“”，将转化为普通不等式；必须同时保证都在函数定义域内。 · 已知单调区间求参数范围 · 二次函数：根据对称轴与给定区间的位置关系列不等式； · 一次、反比例函数：根据系数符号与单调性的对应关系直接求解。 例5.已知函数是定义在上的减函数，且，求实数m的取值范围。 例6.若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围。 四、函数单调性的综合应用 核心知识点 1. 分段函数的全定义域单调性 若分段函数在整个实数域上单调，则需同时满足两个核心条件： ① 每一段函数在各自的区间上保持相同的单调性； ② 在分段点处，两段的函数值满足单调性的大小关系（递增则左段右端点值≤右段左端点值，递减则相反）。 2. 抽象函数的单调性 通过赋值法推导函数性质，结合单调性定义完成证明；解不等式时，先将式子转化为的形式，再结合单调性与定义域求解。 例7. 已知函数 是上的增函数，求实数a的取值范围。 例8. 已知函数的定义域为，且对任意正实数都有，当时。 (1) 判断并证明的单调性； (2) 若，解不等式。 五、对函数最值的理解 1. 最大值定义 设函数的定义域为，若存在实数满足： ① ，都有； ② ，使得。 则称是函数的最大值。 2. 最小值定义 设函数y=的定义域为，若存在实数满足： ① ，都有； ② ，使得。 则称m是函数的最小值。 3. 概念要点 · 几何意义：最大值对应图象最高点的纵坐标，最小值对应最低点的纵坐标； · 存在性：并非所有函数都有最值，如在上既无最大值也无最小值； · 唯一性：函数的最大值、最小值若存在则唯一，但取得最值的自变量可以有多个； · 两个条件缺一不可：仅“所有函数值都≤M”不能说明M是最大值，必须存在自变量能取到M。 例9. （多选）下列关于函数最值的说法中，正确的有（ ） A. 函数在闭区间上一定存在最大值和最小值 B. 若函数的最大值为3，则定义域内所有函数值都不超过3 C. 若对定义域内所有 x 成立，则 5 是的最大值 D. 常函数的最小值等于最大值 六、求函数的最值(值域) 核心知识点 求函数最值的三种常用方法： 1. 图象法：作出函数图象，直接读取最高点与最低点的纵坐标，适用于分段函数、绝对值函数等图象易绘制的函数。 2. 单调性法：先判断函数在给定区间上的单调性，再根据单调性确定最值点： · 单调递增：最小值在左端点，最大值在右端点； · 单调递减：最大值在左端点，最小值在右端点。 3. 配方法：针对二次函数型，通过配方化为顶点式，结合定义域与对称轴的相对位置求最值。 例10.求函数在区间上的最大值与最小值。 七、根据函数的最值(值域)求参数的值或范围 1. 已知最值求参数 根据函数类型，结合单调性或对称轴位置，建立关于参数的方程求解；参数影响单调性或对称轴位置时，需分类讨论。 2. 恒成立问题与最值的转化 · 恒成立 ； · 恒成立 。 例11.已知函数在区间上的最小值为 2，求实数a的值。 课堂小结 1. 单调性核心：定义是判断与证明的根本依据，遵循“取值—作差变形—定号—结论”四步；单调区间是局部概念，多个不连续区间需分开书写。 2. 单调性应用：解函数不等式勿忘定义域约束，求参数范围关键是找准对称轴与区间的位置关系；分段函数单调需同时满足“段内单调+接点有序”。 3. 最值核心：最值需同时满足“整体有界+能取到”两个条件；闭区间上的单调函数，最值必在端点处取得。 4. 最值应用：恒成立问题可转化为函数最值问题；实际问题先建立函数模型再求解；动轴定区间问题按对称轴位置分类讨论，做到不重不漏。 学科网（北京）股份有限公司 $