3.2.2 奇偶性 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.2　奇偶性 教学目标 （1）通过观察具体函数的图象，经历从图形特征抽象出函数奇偶性概念的过程，理解偶函数与奇函数的定义，能用符号语言精确刻画函数图象的对称性特征。 （2）理解记号的数学意义。 （3）会根据定义判断给定函数的奇偶性。 （4）通过从具体函数图象特征归纳出奇偶性定义的抽象概括活动，培养数学抽象与逻辑推理核心素养，体会数形结合与从特殊到一般的数学思想方法，感受对称美在数学研究中的价值。 教学重难点 教学重点：函数奇偶性的概念，偶函数与奇函数的定义及其判断方法，函数图象对称性与代数关系式的联系。 教学难点：用符号语言精确描述函数图象的对称性特征，理解定义域关于原点对称的必要性。 教学准备 教学流程设计 自然界与日常生活中随处可见对称现象，如蝴蝶翅膀的左右对称、建筑物的轴对称设计、雪花图案的中心对称等。这些对称现象不仅给人以美的感受，也蕴含着深刻的数学规律。将这种对称性反映在函数研究中，就体现为函数图象关于坐标轴或原点的对称性。前面我们用符号语言精确描述了函数的单调性，现在需要从图象对称性的角度，继续研究函数的另一个重要性质。 问题1：初中阶段我们学过哪些关于轴对称和中心对称的知识？你能举出图象具有对称性的函数例子吗？ 师生活动：回顾轴对称与中心对称的定义，举出二次函数等实例。 教师活动：强调对称是函数的重要几何特征，设问引入新课。 二 创设情境，探究发现 （一）函数奇偶性的概念 1 情境1：问题1 画出函数和的图象，观察这两个函数的图象有什么共同特征？可以发现，这两个函数的图象都关于纵轴对称，即沿纵轴折叠后左右两侧能够完全重合。 关键要素：两个函数的图象均关于纵轴对称，左右两侧互为镜像。 逐点说明：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等，如，对应关系是确定的。 情境2：如图1，列出函数和在自变量取若干相反数时的函数值，观察函数值的变化规律。 关键要素：从表中数据可以看出，当自变量取与、与、与等相反数时，对应的函数值分别相等，即，。 逐点说明：这种数值上的相等关系对于定义域内的每一个自变量都成立，体现了对应关系的确定性和规律性。 情境3：观察函数和的图象，发现两个图象都关于原点成中心对称。 关键要素：当自变量取一对相反数时，相应的函数值也是一对相反数，即。 逐点说明：对于函数，有，，，这种关系对定义域内所有自变量均成立。 对于函数，有，同样满足函数值互为相反数的关系，图象关于原点对称。这两类对称性分别对应着偶函数和奇函数两种重要的函数性质。 上述情境从图象观察、数值列表和解析式验证三个不同角度，呈现了函数图象关于纵轴对称和关于原点对称的本质特征，为归纳奇偶性概念提供了丰富的感性材料。 教师活动：引导学生从三个层面归纳共同特征，组织讨论。 学生活动：分组讨论三个情境中的共同点，尝试用符号语言描述图象的对称性本质。 归纳：关于纵轴对称等价于。 关于原点对称等价于，且定义域内任取时也在定义域内。 定义域关于原点对称是前提。 在教师启发下，归纳上述情境的共同属性如下： （1）三个情境中的函数定义域都关于原点对称。 （2）函数图象具有对称性——关于纵轴或关于原点对称。 （3）当自变量取一对相反数时，函数值要么相等要么互为相反数，这种关系对定义域内所有自变量均成立，体现了函数图象对称性的本质。 定义：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数。 如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数。 要素一：定义域关于原点对称，即对于定义域内任意一个，也一定在定义域内，这是函数具有奇偶性的前提条件。 要素二：关系式表明函数值在相反数处相等，对应图象关于纵轴对称；关系式表明函数值在相反数处互为相反数，对应图象关于原点对称。 3 变式思考，解决问题 （1）下列函数中为偶函数的是 A．　B．　C．　D． 分析：逐一验证各选项是否满足偶函数定义，需同时检查定义域是否关于原点对称。 解：对于选项A，，为奇函数，不符合；对于选项B，定义域为全体实数，，为偶函数，符合；对于选项C，，为奇函数，不符合；对于选项D，定义域为，，为奇函数，不符合。如图2，函数的图象关于纵轴对称。 答案： （2）下列函数中为奇函数的是 A．　B．　C．　D． 分析：逐一验证各选项是否满足奇函数定义，需同时检查定义域是否关于原点对称。 解：对于选项A，，为偶函数，不符合；对于选项B，，为偶函数，不符合；对于选项C，定义域为全体实数，，为奇函数，符合；对于选项D，定义域为，，为偶函数，不符合。如图3，函数的图象关于原点对称。 答案： （二）函数奇偶性的三要素 包括：定义域对称性、等式条件、图象对称性。 （三）常见函数奇偶性的相关要素 同一函数奇偶性判定定义：一是函数的定义域关于原点对称，二是满足或。 如图4，展示偶函数与奇函数的对称特征。 （四）延伸 例.函数奇偶性是舍弃了具体实际背景后抽象出来的数学概念，可广泛刻画一类具有对称性的变量对应关系。例如，函数可描述广场中喷泉水柱高度关于水平距离的对称分布，函数可描述某些非线性系统中输入与输出的反对称关系。奇偶性概念不依赖于具体背景，只关注定义域对称性和函数值关系，因而具有广泛的适用性。 试构建一个问题情境，使其中的变量间关系可用奇函数来描述。 （五）小结及作业 本节课你学到了哪些关于函数奇偶性的知识？体会到了哪些数学思想方法？ 学科网（北京）股份有限公司 $