5.5.4经济与集合问题（课件）--2026-2027学年浙教版数学七年级上册

# 浙教版数学七年级上册5.5.4 经济与集合问题 专项练习（1321字） ## 一、核心知识点梳理 本节两大题型：**经济（销售利润）问题**、**集合（容斥原理）问题**。 ### 经济问题基础公式 - 利润 = 售价 − 进价（成本） - 利润率 = $\dfrac{利润}{进价}\times100\%$ - 售价 = 标价 × 折扣（打几折就乘零点几，八折就是标价×0.8） ### 集合（容斥原理，两个集合） 总数量 = A集合数量 + B集合数量 − A、B重叠部分数量 理解：重叠部分被重复算了两次，要减去一次。 列方程解应用题七步：审、设、找、列、解、验、答。 高频易错点：经济问题，折扣直接乘标价不是进价；混淆“利润”和“利润率”；容斥问题忘记减去重叠部分；设未知数不带单位；结果要符合实际，商品数量、人数不能为负数或小数。经济、容斥是期末大题高频考点。 ## 二、专项练习题 ### （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 一件商品进价100元，标价150元，打八折出售，则售价为（） A.100元 B.120元 C.140元 D.150元 2. 一件商品进价80元，售价100元，利润是（） A.20元 B.80元 C.100元 D.180元 3. 班级一共45人，参加美术22人，参加音乐25人，两项都参加$x$人，容斥方程（） A.$\(22+25+x=45\)$ B.$22+25-x=45$ C.$22+x-25=45$ D.$25-x=45$ 4. 一件商品标价200元，打九折销售，仍获利50元，设进价$x$元，方程（） A.$200\times0.9-x=50$ B.$200-x\times0.9=50$ C.$200\times0.9=x-50$ D.$200\times9-x=50$ 5. 对容斥原理说法正确的是（） A.两类人数相加直接等于总人数 B.重叠部分重复计算，要减去 C.重叠部分需要再加一遍 D.总人数一定等于两类人数之差 ### （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 利润 = 售价 − ________。 2. 标价300元，打七五折，售价是________元。 3. 一个班40人，参加跑步21人，参加跳绳24人，两项都参加的有________人。 4. 商品进价200元，售价260元，利润是________元。 5. 两个集合容斥公式：总数 = A数量+B数量−________。 ### （三）解答题（共60分） 1.（15分）一件商品标价为300元，打八折销售后仍可获利40元，求这件商品的进价。 2.（15分）七年级某班共有学生48人，参加围棋社团的有26人，参加象棋社团的有28人，每人至少参加一个社团。求两个社团都参加的人数。 3.（15分）一件商品进价150元，标价225元，商店打折出售，要保证利润不低于30元，最低可以打几折？ 4.（15分）简述销售利润三个核心公式、两集合容斥公式；举例说明两类典型错误：①折扣误乘进价；②容斥问题忘记减去重叠部分。 ## 三、参考答案与解析 选择题：1.B 2.A 3.B 4.A 5.B 解析：八折：$150\times0.8=120$；利润=售价−进价；容斥：A+B−重叠=总数。 填空题：1.进价；2.$225$；3.$5$；4.$60$；5.重叠部分数量。 解析：$21+24-40=5$；$260-200=60$。 解答题： 1.解：设商品进价为$x$元。 $300\times0.8-x=40$ $240-x=40$ $\(x=200\)$ 答：这件商品进价200元。 2.解：设两个社团都参加的有$x$人。 $26+28-x=48$ $54-x=48$ $\(x=6\)$ 答：两个社团都参加的有6人。 3.解：设最低打$x$折。 $225\times0.1x-150=30$ $\(22.5x=180\)$ $\(x=8\)$ 答：最低打8折。 4.核心公式： 利润=售价−进价；利润率=$\dfrac{利润}{进价}\times100\%$；售价=标价×折扣； 两集合容斥：总数量=A数量+B数量−重叠数量。 错误①：标价300元，八折，错写成$300\times0.8-x=40$写成$300-x\times0.8=40$，折扣是对标价打折，不是进价。 错误②：全班48人，围棋26人，象棋28人，错写成$\(26+28=48\)$，忽略有同学两项都参加，这部分被重复加了，必须减去重叠人数。 ## 小结 经济题抓住：折扣乘标价，利润是售价减成本；容斥题记住：两类相加，减去重叠等于总数。 高频易错坑：打折计算时小数点搞错；容斥原理分不清什么时候加、什么时候减；检验答案，人数、商品价格不能为负数。 到这里一元一次方程应用题全部题型学完，接下来就是**期末综合复习卷**，要不要继续保持这套格式？ 浙教版（新教材）数学七年级上册 5.5.4经济与集合问题 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第五章 一元一次方程 教学目标：1、继续体验方程是刻画现实世界的有效的数学模型； 2、掌握利率、税率问题、集合问题的基本数量关系，进一步 掌握分析数量关系、列方程的方法； 3、会用面积法分析应用题中的数量关系． 学习目标 02 新知导入 某商场在国庆节期间，开展商品促销活动.该商场将某型号的电脑按进价提高50%后，以打8折再送50元路费的方式销售，每台电脑仍获利350元，问每台电脑的进价是多少元? 02 新知导入 “双11”期间，各个电商平台、网络店铺都展开了促销活动，小黄是一家服装网店的店主，为了吸引顾客搭配了的一套套装进行促销，上衣是裤子进价两倍，其中上衣标价1240 元，裤子标价560元，商家盘算着如果按自己的促销活动买一套打八折还能赚20%，请问上衣的进价是多少? 思考：销售问题应如何作解？ 02 新知导入 解: 设上衣的进价是2x元，裤子的进价是x元. 由题意，得(1240+560)×0.8-2x-x=(2x+x)·20%， 解得x=400，则2×400=800(元). 答:上衣的进价是800元. 02 新知导入 销售问题： (1)相等关系:①利润=售价-进价，②利润率=×100%;③售价=进价×(1+利润率) (2)打折:n折就是标价的，如7折就是标价的)，其中n叫折数，实际售价=标价×. 02 新知导入 分段计费问题常见类型: 我国公民个人所得税按分段累进税制计算;为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、燃气费实行分段收费标准;解决这些分段问题的关键是理顺部分与整体的关系:①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同。 02 新知导入 利息问题： (1)本金×利率×期数=利息;(若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数) (2)本金+利息=本息和;本息和=本金×(1+利率×期数). 02 新知导入 容斥原理: 容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。 知识过关 ①售价×毛利率＝售价－ 　进价　. ②毛利润＝售价－进价. ③利息＝本金× 　利率　× 　存期　. 进价 利率 存期 举一反三 经济问题 1. 某种商品进价为100元，标价为200元后再打8折销售，则 利润为(　B　) A. 50元 B. 60元 C. 70元 D. 80元 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 2. 某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季 滞销，商场决定将这批服装按标价的八折销售.若打折 后每件服装仍能获利30％，则这批服装每件的标价 为 元. 3. 小杰将今年春节收到的2 500元压岁钱的80％存入银行， 存期一年，到期后得到2 050元，那么这项储蓄的年利率 是 ⁠. 325　 2.5％　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 4. [2024·宁波期末]一种商品每件按进价的1.5倍标价，再降 价15元售出后每件可以获得30％的利润，那么该商品每件 的进价为 元. 75　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 02 新知导入 例： 03 新知讲解 ▶例7 某商店一款无线耳机按进价提高30%后标价，再优惠15元销售，能获得20%的毛利率(毛利率＝ ) 。销售一副该款耳机所得毛利润为多少元？ 分析：题中的数量有进价、标价、售价、毛利率、毛利润，它们之间有如下的相等关系： 03 新知讲解 如果设进价为x元，那么根据前两个数量关系，就能用含 x的代数式表示售价。然后根据第三个数量关系列方程、求解。 解：设一副该款无线耳机的进价为x元，则售价为 ［（1+30%）x－15］元。 根据题意，得 （1＋30%）x－15－x＝［（1＋30%）x－15］×20%， 解得x＝300。 所获得的毛利润为300×30%－15＝75（元）。 答：销售一副该款耳机所得的毛利润是75元。 03 新知讲解 用一元一次方程解决实际问题时，可以先用文字表述数量关系，再将其中的一个未知量设为未知数，把其他的未知量用含该未知数的代数式表示， 根据相等关系列出方程。 03 新知讲解 ▶例8 七年级二班有 45人报名参加了文学社或书画社。已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的有20人。问：参加书画社的有多少人？ 分析：我们可通过画示意图来分析数量关系。在图中，左边圆的面积表示参加书画社的人数，右边圆的面积表示参加文学社的人数，则两圆公共部分的面积表示两个社都参加的人数。 03 新知讲解 根据图中的面积关系，有下面的相等关系： 根据上面的分析，可列方程求解。 解：设参加书画社的有x人，那么参加文学社的有（x＋5）人。根据题意，得x＋(x＋5)－20＝45。 解这个方程，得x＝30。 答：参加书画社的有30人。 哪一部分的面积表示只参加文学社的数？ 想一想 【解】设这种商品的成本价是x元， 根据题意得(1＋40％)x×0.8＝224， 解得x＝200. 答：这种商品的成本价是200元. 5. [2024·西安新城区三模]红星超市将某种商品按成本价提高 40％后标价，端午期间为答谢顾客，这种商品打八折销 售，售价为224元，这种商品的成本价是多少元？(列方程 解决问题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 集合问题 6. 九(3)班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最 后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31 人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有 (　C　) A. 17人 B. 21人 C. 25人 D. 37人 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 7. 七年级参加体育小组和舞蹈小组的共有30人，其中参加体 育小组的有18人，参加舞蹈小组的有20人，两个小组都参 加的有 人. 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 8. [2024·北京朝阳区月考]为让学生们感受书香文化，学校组 织学生们去省图书馆阅读，计划将学生分若干小组管理， 每个小组由一位教师带领.若每位教师带19名学生，则剩 余26名学生；若每位教师带20名学生，则最后一位教师只 需带5名学生.求此次带队的教师人数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 【解】设此次带队的教师有x人， 根据题意得19x＋26＝20(x－1)＋5， 解得x＝41. 答：此次带队的教师有41人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 [易错题]因混淆“部分”与“整体”而出错 9. [情境题·商场购车]“盛中”商场为了促销新上市的新款A 牌汽车，决定2024年“国庆节”期间购买该车者可以分两 期付款：在购买时先付一笔款，余下部分及它的利息(年 利率为8％)在2025年“国庆节”付清.已知该汽车每辆售 价为74 074元，若购车者的两次付款恰好相同，则每次应 付款约多少元？(结果保留整数) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 【解】设每次应付款x元， 根据题意得(74 074－x)＋(74 074－x)×8％＝x， 解得x＝38461.5≈38 462. 答：每次应付款约38 462元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 10. [2024·深圳南山区期末]某种商品原先的利润率为20％， 为了促销，现降价20元销售，此时利润率下降为10％.那 么这种商品的进价是(　D　) A. 20元 B. 100元 C. 150元 D. 200元 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 11. [2024·东莞期末]某种商品的进价为120元，出售时标价为 180元，后来由于商品积压，商店打折出售，打折后利润 率为20％，则该商品打了 折销售. 八　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 12. [母题 教材P153作业题T6]如图所示，每个圆纸片的面积 都是30.圆纸片A与B、B与C、C与A的重叠部分面积 分别为6，8，5.三个圆纸片覆盖的总面积为73.则三个圆 纸片重叠部分的面积为 ，图中阴影部分的面积 为 .　 2　 58　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 13. [新考法·表格信息法][2024·杭州期末] 某商店用70 000元 的资金购进A，B两种商品共600件. 类型 进价(元/件) 标价(元/件) A 150 220 B 100 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 (1)求A商品购进的数量； 【解】设A商品购进的数量为x件，则B商品购进的 数量为(600－x)件， 由题意得150x＋100(600－x)＝70 000， 解得x＝200. 答：A商品购进的数量为200件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 (2)商店为了促销，决定推出优惠活动，A商品在标价的 基础上打8折，B商品在标价的基础上打9折.当600件 商品销售完时，求商店获得的总利润.(总利润＝总售 价－总进价) 【解】220×0.8×200＋150×0.9×(600－200)－70 000＝19 200(元). 答：商店获得的总利润为19 200元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 14. [2024·南宁月考]小李在“双十一”期间逛超市，看到如 下两家超市的促销信息： 甲超市：全场均按八八折优惠； 乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200 元，其中的200元打九折，超过200元的部分打八折. 已知两家超市相同商品的标价都一样. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 (1)当一次性购物总额是300元时，甲、乙两家超市实付 款分别为多少元？ 【解】由题意得，甲超市实付款为300×0.88＝ 264(元)； 乙超市实付款为200×0.9＋(300－200)×0.8＝180＋ 80＝260(元). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 (2)当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？ 【解】设当购物总额是x元时，甲、乙两家超市实付 款相同， 因为当购物总额不超过200元时，甲超市实付款肯定 比乙超市低，所以x＞200. 由题意得0.88x＝200×0.9＋(x－200)×0.8，解得x ＝250， 所以当购物总额是250元时，甲、乙两家超市实付款 相同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 (3)小李选择在乙超市购物，实际付款280元，对比去甲 超市购物，小李的选择划算吗？请说明理由. 【解】小李的选择划算.理由如下： 由题意得，小李购买的物品的原价为200＋(280－ 200×0.9)÷0.8＝325(元)， 则小李去甲超市购物实付款为325×0.88＝286(元). 因为286元＞280元， 所以小李的选择划算. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 举一反三 05 课堂小结 知识点1 销售问题： (1)相等关系:①利润=售价-进价，②利润率=×100%;③售价=进价×(1+利润率) (2)打折:n折就是标价的，如7折就是标价的)，其中n叫折数，实际售价=标价×. 05 课堂小结 知识点2 分段计费问题常见类型: 我国公民个人所得税按分段累进税制计算;为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、燃气费实行分段收费标准; 解决这些分段问题的关键是理顺部分与整体的关系: ①各段费用之和=总费用； ②每一段的计费标准不同。 谢谢观看 THANKS $