5.5.2 几何问题、行程问题-课件-2026-2027学年浙教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程应用，涵盖几何（周长、面积）与行程（相遇、追及）问题，通过基础题回顾公式，逐步过渡到复杂情境，构建从公式到模型的学习支架。 其亮点是融入真实情境（如京雄高速）和传统文化题，培养数学眼光，借助线段图分析行程、分割法解几何题训练数学思维，规范步骤和模型总结提升数学语言表达，助力学生应用能力提升，方便教师教学。

浙教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月9日 5.5.2 一元一次方程的应用——几何问题、行程问题 第5章一元一次方程 浙教版七年级上册5.5.2 一元一次方程的应用——几何问题、行程问题 练习题 本节习题聚焦一元一次方程两大高频应用题型：几何问题与行程问题。几何问题重点利用周长、面积公式找等量关系；行程问题专攻相遇、追及基础模型，掌握路程、速度、时间核心关系。全程规范设元、列方程、求解作答步骤，针对性解决公式混淆、行程模型判断错误、几何边长设元出错、等量关系找不准等易错点，适配七年级同步拔高训练。 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 长方形周长为24，长为x，宽为4，列方程正确的是（） A. $$2x+4=24$$ B. $$2(x+4)=24$$ C. $$x+4=24$$ D. $$x+2\times4=24$$ 2. 行程问题的核心等量关系是（） A. 路程=速度÷时间 B. 路程=速度×时间 C. 速度=路程×时间 D. 时间=速度×路程 3. 甲乙两人相向而行，相遇时两人的（）相等 A. 速度 B. 时间 C. 路程 D. 位移 4. 一个三角形三边长之比为2:3:4，周长为36，最短边长为（） A. 8 B. 12 C. 16 D. 4 5. 同向追及问题中，等量关系为（） A. 两人路程和=总路程 B. 快者路程-慢者路程=初始距离 C. 速度和×时间=路程 D. 速度差=路程÷时间 二、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 长方形周长公式：周长=________，面积公式：面积=________。 2. 相遇问题：路程和=________×相遇时间。 3. 追及问题：路程差=________×追及时间。 4. 正方形边长增加2cm，周长增加________cm。 5. 甲乙速度分别为3km/h、5km/h，同向而行，每小时路程差为________km。 三、专项解答题（共60分） 1.（20分）几何周长面积问题： 一个长方形的周长为40cm，长比宽多4cm，求长方形的长和宽。 2.（20分）行程相遇问题： 甲乙两车从相距360km的两地相向而行，甲车速度60km/h，乙车速度40km/h，两车同时出发，几小时后相遇？ 3.（20分）行程追及问题： 甲乙两人同地同向出发，甲先出发2小时，速度为4km/h，乙速度为6km/h，乙出发几小时后追上甲？ 参考答案 一、选择题：1.B 2.B 3.B 4.A 5.B 二、填空题：1.$$2(长+宽)$$、$$长\times宽$$ 2.速度和 3.速度差 4.8 5.2 三、解答题： 1. 解：设长方形宽为$$x$$ cm，则长为$$(x+4)$$ cm。 列方程：$$2(x+x+4)=40$$ 化简：$$2(2x+4)=40，2x+4=20$$，解得$$x=8$$ 长：$$8+4=12$$（cm） 答：长方形长12cm，宽8cm。 2. 解：设$$x$$小时后两车相遇。 列方程：$$(60+40)x=360$$ 解得：$$100x=360，x=3.6$$ 答：3.6小时后相遇。 3. 解：设乙出发$$x$$小时后追上甲。 甲总行驶时间：$$(x+2)$$小时 列方程：$$6x=4(x+2)$$ 化简：$$6x=4x+8$$，解得$$x=4$$ 答：乙出发4小时后追上甲。 小节易错总结：1. 几何问题严格套用公式，设边长尽量设小量，避免复杂计算；2. 相遇问题找路程和，追及问题找路程差，模型不混淆；3. 行程问题先后出发题型，务必算对总行驶时间；4. 方程解出后需检验是否符合实际长度、时间意义；5. 应用题必须完整书写设、列、解、答步骤。 1.某雕像的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3.2米的正方形框（如图阴影部分）。已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗岩（接缝忽略不计），问：该雕像的底面边长是多少米? 02 知识精讲 【分析】如图，用x表示中间空白正方形的边长， 本题的数量关系是： 阴影部分的面积=144块边长为0.8米的正方形花岗岩的面积；阴影部分可以分割成4个长为(x+3.2)米，宽为3.2米的长方形。 1.某雕像的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3.2米的正方形框（如图阴影部分）。已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗岩（接缝忽略不计），问：该雕像的底面边长是多少米? 02 知识精讲 解：设雕像底面的边长为x米， 根据题意得：4×3.2(x+3.2)=0.8×0.8×144， 解得：x=4， 答：雕像的底面边长为4米。 02 02 知识精讲 在运用方程解决有关实际问题时，清楚地分辨量与量之间的关系，尤其是相等关系，是建立方程的关键。解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体过程可以省略不写。 3. [真实情境题·道路建设]据新华网北京频道(2023年11月24 日)报道，京雄高速五环至六环段主体已经完工.北京段计 划于2023年12月31日全线贯通.通车后，由西南五环至雄 安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟.小艺爸爸 发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27.5 千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和报 道中描述的情况吻合，通车前小艺爸爸驾车从西南五环去 雄安新区出差的平均车速是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 【解】设通车前小艺爸爸驾车从西南五环去雄安新区出差 的路程为x千米，则通车后小艺爸爸驾车从西南五环去雄 安新区出差的路程为(x－27.5)千米， 由题意得 － ＝17，解得x＝133.5， 所以 ＝ ＝89. 答：通车前小艺爸爸驾车从西南五环去雄安新区出差的平 均车速是89千米/时. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 2.如图，用直径为200mm的钢柱锻造一块长、宽、高分别为300mm，300mm和80mm的长方体毛坯底板。问：应截取钢柱多少长（不计损耗，结果误差不超过1mm）? 02 知识精讲 【分析】钢柱在锻造过程中体积不变，即 截取的圆柱体积=锻造成的长方体体积。 2.如图，用直径为200mm的钢柱锻造一块长、宽、高分别为300mm，300mm和80mm的长方体毛坯底板。问：应截取钢柱多少长（不计损耗，结果误差不超过1mm）? 02 知识精讲 解：设截取圆柱的高为x(mm)， 根据题意得：π×1002×x=300×300×80， 答：应截取钢柱的长约为229mm。 解得：x=≈229， 例1、如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为2，求这个长方形色块图的面积。 解：设D边长为x，则B、C边长x-2，E边长x+2，F边长x+4， 根据题意得：x+2+(x+4)=x+(x-2)+(x-2)， 解得：x=10， 则x+2+(x+4)=x+(x-2)+(x-2)=26，x+(x+2)=22， ∴长方形的长为26，宽为22， ∴长方形的面积为26×22=572， 答：这个长方形色块图的面积是572。 【分析】等量关系：E的边长+F的边长=D的边长+B的边长+C的边长 03 典例精析 例2、在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB=7cm，BC=11cm，则阴影部分图形的总面积为________cm2。 【分析】等量关系：小长方形的长+3×小长方形的宽=BC 03 典例精析 解：设小长方形的长为xcm，则宽为(7-x) cm， 根据题意得：x+3(7-x) =11， 解得：x=5，则7-x=2， ∴阴影部分图形的总面积=7×11-5×5×2=27（cm2）。 27 Q1：小明从家步行到学校大约需要20min，走的路程为1200m，求小明步行的速度。 小明步行的速度==60m/min Q2：(1)行程问题中的基本量是什么？ (2)这些基本量之间的关系是什么？ 路程=速度×时间 速度、路程、时间 02 知识精讲 调配问题 4. [2024·湖州一模]甲煤场有煤390吨，乙煤场有煤96吨，为 了使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨 煤到乙煤场？若设应从甲煤场运x吨煤到乙煤场，则下列 方程中，正确的是(　A　) A. 390－x＝2(96＋x) B. 390＋x＝2(96－x) C. 390－x＝2×96 D. 390－2x＝96 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 5. 甲队有工人144人，乙队有工人108人，如果要求乙队的人 数是甲队人数的 ，那么应从乙队调多少人到甲队？设应 从乙队调x人到甲队，则可列方程为 ⁠ ⁠. (144＋x)＝108 －x　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 Part1：乌龟与兔子相遇的故事 乌龟的速度是10m/min， 兔子的速度是590m/min， 两家相距15000m， 龟兔同时出发， 请问多久以后他们会在路上遇到呢？ 啦啦啦~ 跑啊跑~ 02 知识精讲 解：设x分钟后它们在路上相遇， 相遇 根据题意得：590x+10x=15000， 590x 10x 10m/min 590m/min 15000m 解得：x=25， 答：乌龟和兔子经过了25分钟后可以相遇。 02 知识精讲 02 02 知识精讲 用方程解实际问题时，我们还常常通过画示意图或列表来分析数量关系，再建立方程求解。 例1、甲、乙两站相距365km，一列慢车从甲地开往乙地，每小时行驶65km，慢车行驶1h后，另有一列快车从乙站开往甲站，每小时行驶85km，快车行驶几小时后与慢车相遇？ 【分析】相遇问题：两者的路程之和=两者间的距离 03 典例精析 适当画图更清楚哦~ 365km 甲 乙 慢车 快车 65km/h 85km/h 相遇 65(x+1) 85x 解：设快车行驶x小时后与慢车相遇，则慢车行驶(x+1)小时， 根据题意得：65(x+1)+85x=365， 解得：x=2， 答：快车行驶2小时后与慢车相遇。 365km 甲 乙 慢车 快车 65km/h 85km/h 03 典例精析 不妨设总路程为单位1 03 典例精析 什么是单位1？ 复习单位1的概念： 泛指一个完整的量，比如一段路程、一项工程、一箱苹果、一本书、一段时间等，再赋予它们自然数1的特性。 03 典例精析 【分析】若总路程为“1”，则甲的速度为，乙的速度为， 解：(1)设x小时可以相遇， 根据题意得：x+x=1， 解得：x=， 答：若两人同时相向而行，小时可以相遇； 03 典例精析 (2)设家x小时可以追到乙， 根据题意得：x-x=1， 解得：x=， 答：若两人同时同向而行，甲小时可以追到乙。 例4、甲、乙两站相距480km，一列慢车从甲站开出，每小时行90km，一列快车从乙站开出，每小时行140km。 (1)慢车先开出1h，快车再开，两车相向而行，问快车开出多少小时后两车相遇？ (2)两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600km？ (3)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600km？ 【分析】(1)相遇问题：两者的路程之和=两者间的距离 03 典例精析 解：(1)设快车开出x小时后两车相遇， 根据题意得：90(x+1)+140x=480， 解得：x=，答：快车开出小时后两车相遇。 行程问题 1. 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行 驶，客车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是 60 km/h，客车比卡车早40 min经过B地.设A、B两地间的路程是x km，由题意可得方程为 ⁠. － ＝ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 2. [新考向·传统文化][2024·贵州] 在元朝朱世杰所著的《算 术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240 里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马 需要的天数是 ⁠. 20天　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 6. [情境题·生活应用]某中学举办运动会，学校选派志愿者负 责运动会的秩序维持和联络服务工作，刚开始负责秩序维 持工作的有35人，负责联络服务工作的有24人.因工作需 要，又调30人去支援这两处工作，使得负责秩序维持工作 的人数比负责联络服务工作人数的2倍少1人，应调往联络 服务、秩序维持工作各多少人？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 【解】设应调往联络服务工作x人，则调往秩序维持工作 (30－x)人， 根据题意得2(24＋x)－1＝35＋30－x， 解得x＝6， 所以30－x＝30－6＝24. 答：应调往联络服务工作6人，调往秩序维持工作24人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 [易错题]因弄错一段时间内所行驶的路程而出错 7. 一列火车匀速行驶，完全经过一条长350 m的隧道需要12 s的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照 在火车上的时间是5 s，设火车的行驶速度为x m/s，依题 意列方程是 ⁠. 5x＋350＝12x　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 8. 甲烧杯有432毫升酒精，乙烧杯有96毫升酒精，若从甲烧 杯倒x毫升酒精到乙烧杯后，此时，甲烧杯中的酒精是乙 烧杯中的酒精的2倍，则此时乙烧杯中的酒精是(　C　) A. 80毫升 B. 352毫升 C. 176毫升 D. 256毫升 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 9. [2024·杭州萧山区月考]如图，正方形的边长为6，甲、乙 两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的 边开始运动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环 行，若甲的速度是乙速度的2倍，则它们第2 024次相遇是 在(　B　) B A. AD边上 B. A点 C. BC边上 D. B点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 10. 某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人， 其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每名工人平 均每小时可以制作盒身50个或盒底120个. (1)该工厂有男工、女工各多少名？ 【解】设该工厂有男工x名，则有女工(2x－20)名， 由题意得x＋2x－20＝88，解得x＝36， 女工：2×36－20＝52(名). 答：该工厂有男工36名，有女工52名. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒 底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮 男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰 好配套？ 【解】设调y名女工帮男工制作盒身， 由题意得50(36＋y)×2＝(52－y)×120， 解得y＝12. 答：调12名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制 作的盒身与盒底恰好配套. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 11. [新视角·实践探究题]综合与实践 问题情境：太原滨河自行车专用道位于汾河两侧，不仅 能满足太原市民通勤、运动与休闲的需求，还能缓解滨 河东、西路的交通压力.周末，甲、乙两人相约去滨河自 行车道骑车，甲从通达桥入口(记为A地)进入自行车 道，向胜利桥方向骑行，甲出发20 min后乙从胜利桥入 口(记为B地)进入自行车道，向通达桥方向骑行.已知 A，B两地相距大约18 km，甲的平均速度是10 km/h， 乙的平均速度是12 km/h.设甲骑行的时间为x h. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 数学思考： (1)在两人骑行的过程中，甲骑行的路程为 ⁠km，乙骑行的路程为 km.(用含x的代数式表示) 10x　 (12x－4)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 (2)当甲、乙两人相遇时，求x的值. 【解】由题意可知，A，B两地相距大约18 km， 当甲、乙两人相遇时，可列方程为10x＋(12x－4)＝ 18， 解得x＝1. 问题解决： 答：当甲、乙两人相遇时，x的值为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 (3)两人相遇后，甲继续以原速度向B地骑行，乙休息3 min后掉头按原速度返回B地.在乙返回途中，当甲、 乙两人相距 km时，直接写出x的值. 【解】 或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 【点拨】 根据题意，设两人的相遇点为C， 从相遇点C开始，甲的骑行路程为10(x－1) km， 乙休息3 min，即 h，从相遇点C开始，乙的骑 行路程为12 km，即( 12x－ )km， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 所以①当乙追上甲前，且甲、乙两人相距 km 时，可得10(x－1)＝ ＋ ， 解得x＝ ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 ②当乙追上甲后，且甲、乙两人相距 km时，可 得10(x－1)＋ ＝12x－ ， 解得x＝ . 所以当甲、乙两人相距 km时，x的值为 或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 在运用方程解决有关实际问题时，清楚地分辨量与量之间的关系，尤其是相等关系，是建立方程的关键。解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体过程可以省略不写。 行程问题的几种情形： 相遇问题的等量关系：两者的路程之和=两者间的距离。 追及问题的等量关系：两者的路程之差=两者间的距离。 相背问题的等量关系：两者的路程之和+两者的初距离=两者的终距离。 追击未追上问题的等量关系：两者的路程之差=|两者的终距离-两者的初距离|。 用方程解实际问题时，我们还常常通过画示意图或列表来分析数量关系，再建立方程求解。 $