5.5.2 一元一次方程的应用（课件）--2026-2027学年浙教版数学七年级上册

# 浙教版数学七年级上册5.5.2 一元一次方程的应用 专项练习（1321字） ## 一、核心知识点梳理 本节重点：**行程问题（相遇、追及）**。 基本公式：路程＝速度×时间\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)变形：速度＝路程÷时间\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)时间＝路程÷速度。 1. 相遇问题（相向而行）：两者路程之和＝总路程；同时出发\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)相遇时时间相等。 2. 追及问题（同向而行）：快者路程 − 慢者路程＝路程差；同时出发\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)追上时时间相等。 列方程解应用题七步：审、设、找、列、解、验、答。行程问题建议画线段图辅助\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)直观找到等量关系。 本节高频易错点：分不清相遇是路程相加、追及是路程相减；单位不统一（千米和米、小时和分钟混用）；不同时出发的题目\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)时间计算出错；解方程后忘记检验结果是否符合实际。行程问题是一元一次方程应用题的经典题型\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)考试大题高频出现。 ## 二、专项练习题 ### （一）选择题（每题4分\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)共20分） 1. 甲、乙两人相距1200米\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)相向而行\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)甲速度60米/分\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)乙速度40米/分\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)$x$分钟后相遇\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)方程为（） A.$\(60x+40x=1200\)$ B.$60x-40x=1200$ C.$\(60+40x=1200\)$ D.$\(60x+40=1200\)$ 2. 甲、乙同向\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)乙在甲前方300米\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)甲速度8 m/s\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)乙速度5 m/s\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)$x$秒甲追上乙\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)方程（） A.$\(8x+5\(x=3\)00\)$ B.$8x-5\(x=3\)00$ C.$\(8x=5\)$ D.$\(8x+300=5x\)$ 3. A、B两地相距300km\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)甲乙两车分别从A、B同时相向开出\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)甲60km/h\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)乙40km/h\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)经过几小时相遇（） A.2 B.3 C.4 D.5 4. 小明和小红相距200米\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)小红在前\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)小明在后同向追\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)小明速度5m/s\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)小红3m/s\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)多久追上（） A.50秒 B.80秒 C.100秒 D.120秒 5. 下列关于相遇追及说法正确的是（） A.相遇问题：快路程−慢路程=总路程 B.追及问题：两者路程相加等于初始距离 C.同时出发\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)相遇时两人运动时间相同 D.行程问题单位可以不统一直接计算 ### （二）填空题（每题4分\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)共20分） 1. 相遇问题：两人相向而行\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)**路程______ = 总路程**。 2. 追及问题：两人同向而行\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)快者路程 − 慢者路程 = ________。 3. 甲乙相距400米\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)相向\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)甲50米/分\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)乙30米/分\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)______分钟相遇。 4. 快车速度70km/h\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)慢车50km/h\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)慢车在前方60km\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)同时同向出发\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)______小时追上。 5. 路程公式：路程＝________。 ### （三）解答题（共60分） 1.（15分）甲、乙两站相距450 km\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)一列快车从甲站开出\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)速度90 km/h；慢车从乙站开出\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)速度60 km/h。两车同时相向而行\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)多少小时后相遇？ 2.（15分）小明和小亮在同一条直路上\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)小亮在小明前方120米处\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)两人同时同向出发。小明速度6米/秒\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)小亮速度4米/秒\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)几秒后小明追上小亮？ 3.（15分）A、B两地相距280千米\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)甲车从A地以60km/h先走1小时\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)然后乙车从B地出发\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)以80km/h相向而行。乙车出发多久后两车相遇？ 4.（15分）简述相遇、追及问题的等量关系\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)举例说明行程题常见错误：单位不统一。 ## 三、参考答案与解析 选择题：1.A 2.B 3.B 4.C 5.C 解析：相遇路程相加；追及路程相减；同时出发时间相等。第3题：$\(60x+40\(x=3\)00\)$\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)$100\(x=3\)00\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)\(x=3\)$。第4题：$5x-3x=200\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)2x=200\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)x=100$。 填空题：1.之和；2.初始路程差；3.$5$；4.$3$；5.速度×时间。 解析：第3题：$50x+30x=400\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)80x=400\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)x=5$；第4题：$70x-50\(x=60\)\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)20\(x=60\)\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)\(x=3\)$。 解答题： 1.解：设$x$小时后两车相遇。 $\(90x+60x=450\)$ $\(150x=450\)$ $\(x=3\)$ 答：3小时后相遇。 2.解：设$x$秒小明追上小亮。 $6x-4x=120$ $\(2x=120\)$ $\(x=60\)$ 答：60秒后追上。 3.解：设乙车出发$x$小时后相遇。 甲车先走1小时路程：$60\times1$ $60\times1+60x+80x=280$ $\(60+140x=280\)$ $\(140x=220\)$ $x=\frac{11}{7}$ 答：乙车出发$\frac{11}{7}$小时后相遇。 4.等量关系：相遇（相向）：甲路程+乙路程=两地总路程；追及（同向）：快者路程−慢者路程=出发时两人距离。 单位错误举例：速度60千米每小时\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)时间给30分钟\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)直接用$60\times30$计算。没有把30分钟化为0.5小时\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)单位不统一\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)结果错误。正确：$60\times0.5$。 ## 小结 行程题记住：相遇加\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)追及减。画线段图\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)分清相向还是同向；有先后出发的\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)单独计算先走的路程；单位一定要统一。解完检验\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)时间路程不能是负数。行程掌握之后\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)下一节学习工程、利润类应用题。 继续**5.5.3 一元一次方程的应用（工程、利润）**\(100\(x=3\)00，\(x=3\)\)保持这套格式吗？ 浙教版（新教材）数学七年级上册 5.5.2 一元一次方程的应用 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第五章 一元一次方程 教学目标：1.使学生掌握形积问题的意义，能分析题中已知数与未知数之 间的相等关系，列出一元一次方程解简单的应用题． 2.了解列一元一次方程解应用题的方法步骤． 学习目标 02 新知导入 把一杯水倒入另一只杯中。请指出倒水过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变。 02 新知导入 如图，现有空的长方体容器A和水深24厘米的长方体容器B(单位:厘米) (1)如果将容器B中的水全部倒入容器A，容器A中的水深会是多少厘米? (2)如果将容器B中的水倒一部分给容器A，使两容器中水的高度相同。这时水深是多少厘米? 02 新知导入 等积(长)变形问题的关键： 此类问题的关键在“等积”与“等长”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的周长、面积、体积公式。 “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。“等长变形”是形状改变而周长不变为前提。 03 新知讲解 ▶例3 某雕像的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3.2米的正方形框（如图中阴影部分）。已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗岩（接缝忽略不计），问：该雕像的底面边长是多少米？ 分析：如图用x表示中间空白正方形的边长，本题的数量关系是： 03 新知讲解 解：设雕像底面的边长为x米，根据题意，得 4×3.2(x＋3.2)＝0.8×0.8×144。 解这个方程，得x＝4。 答：雕像的底面边长为4米。 知识过关 常见图形的周长、面积或体积公式： ① (1)若长方形的长为a，宽为b，则它的面积是 　ab　，周长是 　2(a＋b)　. (2)若圆的半径为r，则圆的面积是 　πr2　，周长 是 　2πr　. ab 2(a＋b) πr2 2πr 举一反三 ②(1)若长方体的长为a，宽为b，高为h，则长方体的体积 为 　abh　. (2)若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积 为 　2πrh　，体积为 　πr2h　. abh 2πrh πr2h 举一反三 等长问题 1. 用一根长为20 cm的铁丝围成一个长方形，且长方形的长 比宽多4 cm，则这个长方形的宽为(　B　) A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 5 cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 举一反三 2. [2024·杭州期末]墙上钉着用一根彩绳围成的梯形的饰物， 如图实线所示(单位：cm).小颖将梯形下底的钉子去掉， 并将这根彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示.小颖所钉 长方形的长、宽各为多少厘米？如果设长方形的长为x cm，根据题意，可得方程为(　A　) A A. 2(x＋10)＝10×4＋6×2 B. 2(x＋10)＝10×3＋6×2 C. 2x＋10＝10×4＋6×2 D. 2(x＋10)＝10×2＋6×2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 举一反三 03 新知讲解 在运用方程解决有关实际问题时，清楚地分辨量与量之间的关系，尤其是相等关系，是建立方程的关键。解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体过程可以省略不写。 03 新知讲解 ▶例4 如图用直径为200mm的钢柱锻造一块长、宽、高分别为300mm，300mm和80mm的长方体毛坯底板。问：应截取钢柱多少长（不计损耗，结果误差不超过1mm）？ 03 新知讲解 分析：钢柱在锻造过程中体积不变，即 解：设截取圆柱的高为x（mm），根据题意，得 π××x＝300×300×80。 解这个方程，得x＝≈229。 答：应截取钢柱的长约为229mm。 等面积问题 3. 如图，小刚将一张正方形纸片剪去一个宽为5 cm的长方形 后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为6 cm的长方 形，如果两次剪去的长方形面积正好相等，则两次剪去的 长方形的面积之和为(　C　) A. 215 cm2 B. 250 cm2 C. 300 cm2 D. 320 cm2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 举一反三 等体积问题 4. [2024·绍兴期末]用一个底面为20 cm×20 cm的长方体容器 (已装满水)向一个长、宽、高分别是16 cm，10 cm和5 cm 的长方体空铁盒内倒水，当铁盒装满水时，长方体容器中 水面的高度下降了(　B　) A. 1 cm B. 2 cm C. 10 cm D. 20 cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 举一反三 5. 如图，一个棱长为10 cm的立方块固定在一个长、宽、高 分别为20 cm，20 cm，30 cm的无盖长方体容器的底部， 现将一个直径为20 cm，高为20 cm的圆柱形容器盛满水倒 入长方体容器内，则此时长方体容器内水面的高度约为 (　B　) cm.(不计损耗，π取3) A. 15 B. 17.5 C. 22.5 D. 30 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 举一反三 6. 如图，一个瓶子的容积为1升，瓶内装着一些溶液，当瓶 子正放时，瓶内溶液的高度为20 cm，倒放时，空余部分 的高度为5 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 举一反三 (1)瓶内溶液的体积为 升； (2)现把溶液部分倒在一个底面积为60 cm2的圆柱形杯子 里，再把瓶子倒放，此时瓶内溶液的高度是圆柱形杯 子内溶液高度的6倍，已知瓶子的高度是33 cm，则倒 入圆柱形杯子内的溶液体积为 ⁠. 0.8　 224 cm3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 举一反三 [易错题]因弄错题目中的等量关系而出错 7. [2024·丽水期末]如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内 底面半径为5 cm，容器内水的高度为6 cm.把一根底面半 径为1 cm的圆柱形玻璃棒垂直插入水中，容器内的水将升 高 cm. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 举一反三 8. 如图，有两根木条，一根AB长为100 cm，另一根CD长 为150 cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N(圆孔 直径忽略不计，M、N抽象成两个点)，将它们的一端重 合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的 距离MN是 ⁠. 25 cm或125 cm　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 举一反三 9. [新考向·传统文化][2023·北京]对联是中华传统文化的瑰 宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头 和地头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头长与 地头长的比是6∶4，左、右边的宽相等，均为天头长与地 头长的和的 .某人要装裱一副对联，对联的长为100 cm，宽为27 cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 举一反三 【解】设天头长为6x cm，则地头长为4x cm，左、右边 的宽为 (6x＋4x)＝x(cm)， 根据题意得100＋(6x＋4x)＝4×(27＋x＋x)， 解得x＝4，所以天头长为6×4＝24(cm). 答：边的宽为4 cm，天头长为24 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 举一反三 10. [新考向·知识情境化]如图，某容器由A，B，C三个长 方体容器组成(接触面相连通)，其中容器A，B的底面 积分别为25 cm2，10 cm2，容器C的容积是整个容器容 积的 (容器各面的厚度忽略不计)，容器A，B的总高度 为12 cm.现以均匀的速度(单位：cm3/min)向容器内注 水，直至注满.已知单独注满容器A，B分别需要的时间 为10 min，8 min.求： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 举一反三 (1)注满整个容器所需的总时间； 【解】由题意，得注满整个容器所需的总 时间为(10＋8)÷ ＝24(min). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 举一反三 (2)容器A的高度和注水的速度. 【解】设容器A的高度为x cm，则容器B 的高度为(12－x)cm.根据题意，得 ＝ ，解得x＝4，则 ＝10. 答：容器A的高度为4 cm，注水的速度为10 cm3/min. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 举一反三 05 课堂小结 知识点 等积(长)变形问题的关键： 此类问题的关键在“等积”与“等长”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的周长、面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。“等长变形”是形状改变而周长不变为前提。 在运用方程解决有关实际问题时，清楚地分辨量与量之间的关系，尤其是相等关系，是建立方程的关键。解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体过程可以省略不写。 谢谢观看 THANKS $