30.1.2 圆的切线（ 第2课时 切线长定理）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“切线长定理”，通过空竹、悠悠球旋转情境抽象数学图形，衔接切线判定与性质旧知，引导学生过圆外一点画切线并猜想线段关系，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以情境引入培养数学眼光，通过全等推理发展数学思维，规范几何语言强化数学表达。典例结合测量铁环半径等实际问题提升应用意识，小结归纳辅助线方法构建知识体系，助力学生理解应用，帮助教师高效教学。

M A T H E M A T I C S 直线与圆 L I N E & C I R C L E 离在毫厘 交在咫尺 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 数学课件 教 学 设 计 数缺形时少直观，形少数时难入微。 ——华罗庚 教 学 课 件 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 1 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2　切线长定理 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 目录页 新课导入 讲授新课 当堂练习 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 3 1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点） 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明. （难点） 学习目标 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 新课导入 教学目标 教学重点 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 5 情境引入 同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O和⊙O外一点P，你能够过点P画出⊙O的切线吗？ 1.猜想：图中的线段PA与PB有什么关系？ 2.图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？ 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 讲授新课 典例精讲 归纳总结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 8 知识点 切线长定理 下面研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系. 如图，过圆外一点P有两条直线PA,PB分别与⊙O相切.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 如图，连接OA和OB. ∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB,OP=OP. ∴Rt△AOP≌Rt△BOP. ∴PA=PB,∠APO=∠BPO. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 B P O A 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. PA、PB分别切☉O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 注意 知识要点 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 O. P 已知：如图，PA，PB是☉O的两条切线，A，B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 证明：∵PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得OB⊥PB. ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 推理验证 A B 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 想一想：若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB. 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB. O. P A B M 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 想一想：若延长PO交⊙O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明. 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. ∵PC=PC， ∴ △PCA ≌ △PCB， ∴AC=BC. CA=CB O. P A B C 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 典例精析 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是 AB上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点 D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为 ，则 △PDE的周长为______，∠DOE的度数为______． ⌒ 6 60° 例题1 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，连接AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB的周长. 解：连接OA． ∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA. 又∠APO=30°，∴∠APB=60°. ∴△PAB为等边三角形．∴AB=PA=PB. 又在Rt△POA中，∠APO=30°，OP＝2， ∴OA＝1，PA= .∴△PAB的周长为 ． 典例精析 例题2 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径． 解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径． O 例题3 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°， O Q 解：设铁环的圆心为O，过O作OQ⊥AB于Q，连接OP，OA. ∵AP，AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO. 又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°. ∴铁环的半径为 O B C 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 B P O A PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= ; （2）若∠BPA=60 °,则OP= . 5 6 练一练 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 当堂练习 当堂反馈 即学即用 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 20 1 (5分) 选择题 如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA＝10 cm，C是弧AB 上的点(不与点A，B重合)，过点C的切线分别交PA，PB于点E， F，则△PEF的周长为（　） A．10 cm B．15 cm C．20 cm D．25 cm 答案 答案：C 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 2 (5分) 填空题 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°， 则∠P＝________°. 答案 答案：76 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 22 3 (10分) 解答题 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB， OP，AB.若OA＝1，∠APB＝60°，求△PAB的周长． 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 3 (10分) 解答题（续） 答案 解：∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴PA＝PB，OA⊥PA，OP平分∠APB. ∵∠APB＝60°， ∴∠APO＝ ∠APB＝30°，△PAB为等边三角形． 在Rt△OAP中，∵∠APO＝30°， ∴OP＝2OA＝2. ∴PA²＝ OP2－OA2=3.∴PA= ∴△PAB的周长为3 . 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 课堂小结 归纳总结 构建脉络 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 25 切线长 切线长定理 作用 图形的轴对称性 原理 提供了证线段和角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点. 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 E N D O F C L A S S · 感谢您的聆听 再会 愿图形与数量之间的对话，成为你日常的乐趣。 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 · 切线长定理 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线长定理 27 $