精品解析：山东日照市东港区泰安路中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试卷

初三年级数学练习题 分值：120分 时长：120分钟 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（　　） A. B. C. D. 或 3. 抛物线的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 9. 根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 一架无人机沿竖直方向执行航拍任务，其飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论 ①无人机起飞2秒后的高度是35m； ②无人机从起飞到落地经过的路程是80m； ③无人机起飞3秒时达到最高点； ④当时，无人机的高度． 其中正确的有（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ①②③ 二、填空题（每小题3分，共18分．） 11. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 12. 已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是； ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大； ④当时，函数的最大值是10． 13. 已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 14. 在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给___________ 15. 已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为3，则的值为___________． 16. 随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，图1是北京三里屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径，最大深度．为了更好地跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 已知：抛物线经过点． （1）求的值； （2）若，求这条抛物线的顶点坐标； 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 20. 如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），并在BC边上开一道2m宽的门，现在可用的材料为38m长的木板． （1）若仓库的面积为150平米，求AB． （2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积． 21. 如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点． （1）求点的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 如图，已知抛物线L：经过点，． （1）求该二次函数解析式； （2）将抛物线L向右平移个单位得到抛物线．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E（点E在点P右侧）．若，求m的值． 23. 已知二次函数（为常数且）． （1）当点在该二次函数图象上时，求的值． （2）已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学练习题 分值：120分 时长：120分钟 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”三个条件逐一判断选项． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含有1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程. 对各选项分析如下： A选项含有两个未知数，不满足条件，排除； B选项未知数的最高次数为1，不满足条件，排除； C选项分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，排除； D选项只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义． 2. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是由一元二次方程的解求参数，解题关键是熟练掌握由一元二次方程的解求参数． 将方程的根代入原方程即可求出的值． 【详解】解：依题意得：， ． 故选：． 3. 抛物线的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标． 【详解】因为是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（5，2）． 故选A 4. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】令，转化为一元二次方程，利用根的判别式，求解即可． 【详解】解：令，得， ， ∴抛物线与x轴有2个交点． 5. 已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的对称性可得抛物线对称轴，由a＜0可得抛物线开口向下，进而求解． 【详解】解：根据题意，则 ∵， ∴对称轴是：， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，正确的进行判断． 6. 已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 7. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余田的面积为468列出方程即可． 【详解】解：设入口的宽度为x m，由题意得： （30-2x）（20-x）=468． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 8. 对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次函数顶点式得到顶点坐标，再根据题目给出的“点值”定义列一元一次方程，即可求解出的值． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式 ， ∴该二次函数图象的顶点坐标为 ， ∵顶点的“点值”为 ， 且点值定义为 ， ∴代入顶点坐标得 ， 整理得 ， 解得 . 9. 根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程与二次函数的关系，灵活运用函数值的符号变化是解题的关键．根据二次函数的函数值在时为负、时为正，进而判断出方程的一个解的取值范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，的值会从负变为正，即存在使得， 方程的一个解的取值范围是． 故选：． 10. 一架无人机沿竖直方向执行航拍任务，其飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论 ①无人机起飞2秒后的高度是35m； ②无人机从起飞到落地经过的路程是80m； ③无人机起飞3秒时达到最高点； ④当时，无人机的高度． 其中正确的有（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图像特征求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：由图像可知，抛物线顶点为，且经过点． 设函数解析式为． 将代入得，解得． ∴． ①当时，，故①错误； ②无人机上升最大高度为，下落高度也为，总路程为，故②正确； ③∵顶点坐标为，且， ∴当时，h取最大值，即达到最高点，故③正确． ④当时，． 由对称性可知，当时，． ∵抛物线开口向下， ∴当时，，故④正确． 综上，正确的结论有②③④． 二、填空题（每小题3分，共18分．） 11. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，由根的判别式得，即可求解；掌握根的判别式：“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有无的实数根．”是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， ， k的取值范围是且， 故答案为：且． 12. 已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是； ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大； ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 13. 已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义将转化为含的代数式，代入所求式子化简后，结合根与系数的关系计算结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 即， 则 ． 14. 在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给___________ 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程—传播问题解应用题，正确的列出方程是解题的关键．设每轮平均一人分享给x人，根据“经过两轮分享后，共225人掌握此技巧”列方程求出x的值即可． 【详解】解：设每轮平均一人分享给x人，根据题意得 ， ，（舍去）， ∴每轮平均一人分享给14个人． 故答案为：14． 15. 已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为3，则的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值． 根据题意可以根据的正负得到关于的方程，从而可以求得的值，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线， ∴当时，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴当时，当时，， 当时，， ∴， 解得； 当时，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴当时，当时，， 当时，， ∴， 解得； 故答案为：或． 16. 随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，图1是北京三里屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径，最大深度．为了更好地跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为______． 【答案】 【解析】 【分析】以G为原点，点G所在水平直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，求出点C的坐标，则可求出抛物线的解析式；根据题意可推出旋转前直线与水平方向的夹角为，则可设旋转前直线的解析式为，求出旋转前直线的解析式，进而求出旋转前点H的坐标即可得到答案． 【详解】解：如图2所示，以G为原点，点G所在水平直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则可设抛物线的解析式为， ∵反射面口径，最大深度， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； ∵如图3所示，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，当时，， ∴旋转前直线与水平方向的夹角为， ∴旋转前直线与第一、三象限的角平分线平行， ∴可设旋转前直线的解析式为， ∴， ∴， ∴旋转前直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴旋转前点H的坐标为， ∴旋转前， ∴由旋转的性质可得旋转后． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） 原方程无实数根 （2） ， 【解析】 【分析】（1）通过判别式判断方程根的情况； （2）提取公因式因式分解后求解． 【小问1详解】 解：对于方程， ，，， ∴， ∴原方程无实数根． 【小问2详解】 解：， 提取公因式得， 整理得， 即或， 解得，． 18. 已知：抛物线经过点． （1）求的值； （2）若，求这条抛物线的顶点坐标； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的性质．关键是将抛物线上的点代入抛物线解析式，得出的值． （1）将点代入抛物线中变形，即可求出的值； （2）把代入（1）中的结果即可求得的值；根据、的值，确定抛物线解析式，配方成顶点式即可求得顶点坐标； 【小问1详解】 （1）把点代入抛物线中， 得， 整理得； 【小问2详解】 把代入中，得：， ， ∴抛物线解析式为，即， 故抛物线顶点坐标为． 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 20. 如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），并在BC边上开一道2m宽的门，现在可用的材料为38m长的木板． （1）若仓库的面积为150平米，求AB． （2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积． 【答案】（1）15米； （2）当AB=10米时，仓库的最大面积为200平方米． 【解析】 【分析】（1）设AB的长为x m，则AD=（38+2-2x）m，根据题意得到x（38+2-2x）=150，解方程即可得到结论； （2）设仓库的最大面积为y平方米，根据题意得到函数关系y=x（38+2-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200，根据二次函数的关系即可得到结论． 【小问1详解】 设AB的长为x m，则AD=（38+2-2x）m， 根据题意得，x（38+2-2x）=150， 解得：x1=15，x2=5， 当x1=15时，AD=10，当x2=5时，AD=30＞22（不合题意舍去）， ∴AB=15（米）； 【小问2详解】 设仓库的面积为y平方米， 根据题意得，y=x（38+2-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200， ∵a=-2＜0，38+2-2×10=20＜22， ∴当x=10时，y最大值=200， 答：当AB=10米时，仓库的最大面积为200平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键． 21. 如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点． （1）求点的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），点坐标为 （2）点坐标为或 【解析】 【分析】（1）将点代入二次函数解析式中，解得二次函数解析式，令求出点的坐标，将二次函数转化为顶点式，得到顶点的坐标； （2）将点的坐标设出来，根据求出的面积，从而解出点的坐标． 【小问1详解】 解：把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； 当时，，解得，则， ∵， ∴点坐标为． 【小问2详解】 解：存在．理由如下： 设， ∵， ∴， 得， 当，解得， 此时P点坐标为或， 当时，方程没有实数解． 综上所述，P点坐标为或． 22. 如图，已知抛物线L：经过点，． （1）求该二次函数解析式； （2）将抛物线L向右平移个单位得到抛物线．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E（点E在点P右侧）．若，求m的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平移性质得平移后抛物线的解析式为，根据 P是抛物线上一点，横坐标为，得到，由轴，，得到，，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得抛物线L：经过点，， ， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 由抛物线L向右平移个单位得到抛物线， 故平移后抛物线的解析式为， P是抛物线上一点，横坐标为， ， 故， 由轴，， 则，， 解得，， 故， 在抛物线上， ， 整理，得， 解得， 由，故舍去， 故． 23. 已知二次函数（为常数且）． （1）当点在该二次函数图象上时，求的值． （2）已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①证明：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ， 为到抛物线对称轴直线的距离， 为到抛物线对称轴直线的距离， ， 抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大， ； ② 【解析】 【分析】（1）把点代入二次函数解析式即可解答； （2）①当时，抛物线开口向下，根据二次函数解析式可得对称轴为直线，根据题意推出到对称轴的距离比到对称轴的距离小即可解答； ②根据，可得或，代入不等式即可解答． 【小问1详解】 解：把代入抛物线解析式， 得， 解得； 【小问2详解】 ①略 ②解： 或， 当时，， ， 解得， 解得， ∴不等式组无解； 当时，即， ， ， 解得， 解得， ∴不等式组的解集为， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $