江苏南京第一中学2026-2027学年高二上学期9月阶段性检测数学试题

2026-2027学年度第一学期9月阶段性检测参考答案 高二数学 2026.9 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】ACD 10．【答案】AD 11．【答案】ABD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】（1） （2） 【解析】【小问1详解】已知向量，，． 则， 2分 即， 即； 6分 【小问2详解】已知， 则， 8分 又， 则， 10分 又，则， 则． 13分 16．【答案】（1），平均年龄为31.75 （2） 【解析】 【小问1详解】由，解得； 3分 则平均年龄为； 6分 【小问2详解】根据频率分布直方图可知 第四组的频率为，抽到的人数为； 8分 第五组的频率为，抽到的人数为； 10分 由甲年龄36岁可知，甲在第四组；乙年龄42岁可知，乙在第五组； 记甲、乙两人至少有一人被选上为事件A， 11分 记6人为甲、乙、丙、丁、戊、戌，则从6人中随机抽取2人作为组长，样本空间包含的样本点为： （甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），（甲、戌），（乙、丙），（乙、丁），（乙、戊），（乙、戌），（丙、丁），（丙、戊），（丙、戌），（丁、戊），（丁、戌），（戊、戌），则，， ， 14分 答：甲、乙两人至少有一人被选上的概率为． 15分 17．【答案】（1），-1 （2）2 【解析】【小问1详解】 ， 2分 由，解得， 因为，因此函数的单调递增区间为， 4分 其最小值为． 6分 【小问2详解】，即，化简可得， 因为，所以， 8分 解得，即， 10分 由正弦定理可得 12分 ． 15分 18．【答案】（1）证明：在线段截取， 1分 在中，因为且，那么有且． 在中，，，， 则，．即且． 也就是说且，所以四边形为平行四边形， 此时，又，，故平面． 4分 （2）连接，交于P，过点作交于H点， 在矩形中，，，， 则，即，， 为二面角的平面角，， 又由，，，平面，平面， 平面． 6分 又平面，， 又，，平面，平面， 平面， 8分 又，， 故到平面的距离； 10分 （3）连接，在中，，，则， 又在中，，，则，故B、P、D三点共线， 易得平面，又平面， ∴平面平面， 12分 则即直线与平面所成角， 由题可知，在以P为圆心，为半径的圆上， 则当直线与圆相切时，取得最大值，此时，， 14分 故直线与平面所成角的正切值取值范围为． 17分 19．【详解】（1）由直线， 得， 2分 联立，解得， ∴直线l恒过定点． 4分 （2）由题意知圆C的圆心，半径，又由（1）得直线l恒过定点， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程，满足题意； 6分 当直线l的斜率存在时，设直线，因为直线与圆相切，得，解得， 7分 此时直线l的方程为． 9分 综上，直线l的方程为或． 10分 （3）圆的圆心为，半径为2，直线l过点， 直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在，设直线l方程为， 联立，得， 12分 设，，则，， 14分 ． 是定值，定值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京一中2026-2027学年度第一学期9月阶段性检测试卷 高二数学 2026.9 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．两条平行直线与之间的距离是（ ） A． B． C． D． 2．已知直线和垂直，则实数（ ） A． B． C． D． 3．若点在圆的外部，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．在中，，记的面积为S，若，判断的形状为（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 5．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 6．已知正方体的棱长为4，的中点为M，过，D，M的平面把正方体分成两部分，则较小部分的体积为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，，，均为边长是2的等边三角形，P为六边形上的动点（含顶点），则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，已知点A，B在圆上，且，点，，设的中点M的横坐标为，则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则（ ） A．众数是22 B．80百分位数是28 C．平均数是30 D．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小 10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ） A．曲线C的方程为 B．在曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10 C．过点A且被曲线C截得的弦长为的直线有两条 D．曲线C上的点到直线的最大距离为9 11．已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则以下说法正确的是（ ） A．A点的坐标为 B． C．的最大值为5 D．点P到原点O的距离的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数z满足，则 ▲ ． 13．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，3，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，4，8．两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所得卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分恰为1分的概率为 ▲ ． 14．若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知向量，，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 16．（本小题满分15分） 某调研机构为了了解人们对人工智能相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次人工智能知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，将这n人按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄； （2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的人工智能宣传使者．若甲（年龄36岁），乙（年龄42岁）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 17．（本小题满分15分）已知函数，其中，． （1）若，求函数的单调递增区间和最小值； （2）在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，求的值． 18．（本小题满分17分） 如图，在矩形中，，，M为线段上的点，且，将沿折起，点B翻折至位置，连接，，形成四棱锥． （1）若点N在线段上，且，求证：平面； （2）若二面角的平面角大小为60°，求到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正切值取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知直线与圆． （1）求证：直线l过定点，并求出此定点坐标； （2）若直线l与圆C相切，求直线l的方程； （3）设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线，的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $