精品解析：江苏省无锡市第三高级中学2026-2027学年高二上学期第一次基础测试数学试卷

高二第一次基础测试数学试卷 2026.09 一､单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分） 1. 如图，在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 2. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线与所成的角为（ ） A. 30° B. 150° C. 60° D. 120° 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 5. 已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分） 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 向量与向量方向相反 B. 正方体的棱长为1，则 C. ，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 D. 若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为2 10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三､填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 13. 设空间向量，，若，则__. 14. 已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为______． 四､解答题（本组77分） 15. 已知空间中三点，，. （1）求向量在向量上的投影向量的坐标； （2）若点在平面内，求的值. 16. 如图，在直三棱柱中，，，、分别为、的中点，设. （1）证明：平面； （2）直线与平面所成的角为，求的值 17. 空间中，两两垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它的任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，分别为“斜坐标系”下三条数轴轴，轴，轴）正方向上的单位向量，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标.若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作在平行六面体中，，，，建立“空间斜坐标系”如图所示.若，，且. （1）求向量的斜坐标； （2）求； （3）求 18. 如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，.若平面平面，，. （1）求证： （2）若点到平面的距离为，求的值. 19. 如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第一次基础测试数学试卷 2026.09 一､单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分） 1. 如图，在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法的运算法则，即可求解. 【详解】根据空间向量的加法、减法法则， 则. 2. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点关于平面对称的性质判断即可. 【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 3. 若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线与所成的角为（ ） A. 30° B. 150° C. 60° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量夹角公式求得正确选项. 【详解】依题意，， 设直线与所成角为，，所以. 故选：C 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 5. 已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果. 【详解】设在基底下的坐标为， 则， 所以， 解得， 故在基底下的坐标为. 故选：B. 6. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 7. 已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离. 【详解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0）， ＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2）， ∴点A到直线BC的距离为： d＝ ＝1×＝． 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，向量的模，向量的夹角，属于容易题. 8. 如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，设P坐标，根据可得出轨迹方程，再根据轨迹方程即可求解. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设， ，， ，， ∵，∴， ∴点P在侧面的边界及其内部运动的轨迹如图线段： 正方体中，平面， ∴，又， 由图可知当点P在E处取得最大值， 所以面积的最大值. 故选：D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分） 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 向量与向量方向相反 B. 正方体的棱长为1，则 C. ，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 D. 若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相反向量的定义可判断A；根据数量积公式，求得的值，即可判断B；根据四点共面的判定，即可判断C；根据投影向量的公式计算即可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以，所以向量与方向相反，故A正确； 对于B，因为在正方体中，两两夹角为， 所以， ， 所以，故B正确； 对于C，若，由于，所以，，，四点不共面，故C不正确； 对于D，因为，向量，的夹角为， 所以向量在向量方向上投影向量的模为，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AB 【解析】 【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可. 【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确； 两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误． 故选：AB 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理可证；B项利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积公式求解即可；CD项，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标法表示线线角与线面角，建立函数关系求解范围与最值即可进行判断. 【详解】A项，如图，连接. ，，， 且平面， 平面，平面， ，同理，， ，且平面， 直线平面，故A正确； B项，，且， 四边形是平行四边形. ，平面，平面， 平面，点P在线段上运动， 到平面的距离，即点到平面的距离，其为定值， 又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值. 不妨设正方体的棱长为1， 则， 即三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 点P在线段上运动，则可设， 则. C项，，． 所以， ， 因为，则，， ，因为异面直线与所成角为锐角或直角， 故与所成角的取值范围为，故C错误； D项， ，． 由A选项正确，可知是平面的一个法向量， ∴直线与平面所成角的正弦值为 ， ∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 三､填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 【答案】 【解析】 【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由，则，即， 则. 13. 设空间向量，，若，则__. 【答案】9 【解析】 【分析】先利用空间向量共线定理，得到，由此求出和的值，得到，的坐标，求出 的坐标，再利用向量模的计算公式求解即可． 【详解】因为空间向量，，且， 所以设，即 可得，解得，， 所以，，则， 所以. 故答案为：. 14. 已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式计算，再计算面积得到答案. 【详解】，，则， ，， 面积为. 故答案为：. 四､解答题（本组77分） 15. 已知空间中三点，，. （1）求向量在向量上的投影向量的坐标； （2）若点在平面内，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出、的坐标，再代入投影向量公式，其中数量积与模的平方要分别算出后再回代，注意所求是"投影向量"，最后必须乘回； （2）由共面向量定理设，把三个分量对应相等列成方程组，用前两个分量解出、，再代入第三个分量求出. 【小问1详解】 ，. 由，， 得在上的投影向量为. 【小问2详解】 ，因为在平面内， 所以存在实数、使. 即， 由前两个分量得，，解得，. 代入第三个分量得，故. 16. 如图，在直三棱柱中，，，、分别为、的中点，设. （1）证明：平面； （2）直线与平面所成的角为，求的值 【答案】（1）证明：连接， 在中，、分别为、的中点，则为的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据线面平行的判定定理即可证明平面； （2）由（1）知，则可得与平面所成的角为，易证平面，即可得为直线与平面所成的角，最后在中，建立等量关系即可求出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角为， 因为三棱柱为直三棱柱，则平面， 又平面，所以， 因为，则， 又，、平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角，即， 在中，， 又，，所以. 17. 空间中，两两垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它的任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，分别为“斜坐标系”下三条数轴轴，轴，轴）正方向上的单位向量，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标.若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作在平行六面体中，，，，建立“空间斜坐标系”如图所示.若，，且. （1）求向量的斜坐标； （2）求； （3）求 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先用基底写出与，作差即得的斜坐标； （2）把斜坐标还原为、的组合，利用三个单位向量两两成展开数量积（交叉项系数为），由垂直条件解出，再用模长公式求； （3）把两向量的斜坐标都写成、、的组合后逐项展开数量积，注意、都等于. 【小问1详解】 设、、分别为、、轴正方向的单位向量， 由、得，，， 且. 由知是的中点，. 又， 所以，其斜坐标为. 【小问2详解】 由得，且. 由得， 解得. 所以，. 【小问3详解】 . 18. 如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，.若平面平面，，. （1）求证： （2）若点到平面的距离为，求的值. 【答案】（1） 因为为正方形，所以 因为平面平面，且平面平面， 所以平面，且平面， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直，转化为线面垂直和线线垂直； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，首先求平面的法向量，再代入点到平面距离的向量法，即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，， 设平面的法向量为， 则，， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，点到平面的距离为， 所以，解得：. 19. 如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）为等腰梯形，，， 又平面平面，平面平面， 平面， 又平面，平面平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）通过面面垂直的性质定理和判定定理即可证得； （2）推导出平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出； （3）设，利用空间向量法可知，平面的法向量与平面的法向量的夹角余弦值的绝对值为，可得出关于的方程，解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 平面平面，平面平面，，平面， 平面，又平面， ，故两两互相垂直， 以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系， 在等腰梯形，，，，， ，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 设直线与平面所成角为，则. 【小问3详解】 设，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 由题（2）可知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 整理得，解得或（舍去）， 故棱（不包括端点）上存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $