精品解析：天津市培杰中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题

高二年级数学学科第一次质量检测 一、单选题（共9小题，每小题4分，共36分） 1. 已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. 60° C. 150° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程得斜率，从而可得倾斜角． 【详解】由题意直线的斜率为，而倾斜角大于等于且小于， 故倾斜角为． 故选：C． 2. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 3. 图中的直线的斜率分别为，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果. 【详解】由图象可得，， 故选：C 4. 空间向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的定义进行求解即可. 【详解】空间向量在方向上的投影向量为， 故选：B 5. 已知直线经过点，且在轴和轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【详解】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 6. 已知直线：与：相交于点，则过点且与垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直两直线方程的特征进行求解即可. 【详解】由， 与垂直的直线方程可设为， 把代入，得， 故选：B 7. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行的性质计算出后验证是否重合即可得. 【详解】由，则有， 化简得，故或； 当时，，，此时与重合，不符； 当时，，，符合要求； 综上所述：. 故选：A. 8. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，在平行六面体 中， . 又因为为底面平行四边形 对角线与的交点， 所以 . 在平行六面体中，， ， ， 所以 . 从而 . 9. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由两直线方程求出的坐标，由于两直线垂直，所以，若设，则，，然后表示出变形后，利用三角函数的性质可求得其范围. 【详解】解：由题意可知，动直线经过定点， 动直线，即，经过点定点， 动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直， 又是两条直线的交点， ，． 设，则，， 由且，可得， ， ，， ，， ，， ，， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：此题考查直线过定点问题，考查两直线的位置关系，考查三角函数的应用，解题的关键是由已知得到，通过三角换元转化为利用三角函数的性质求的取值范围，考查数学转化思想，属于较难题. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知在平面内的点，，直线的倾斜角为，则______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据倾斜角可得斜率，结合斜率公式运算求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 且点，，则，解得. 故答案为：8. 11. 设，已知为空间四边形，空间内一点满足，若，，共面，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知四点共面，结合四点共面的推论运算求解. 【详解】若，，共面，则四点共面， 因为，则，解得. 故答案为：. 12. 已知直线：与：相互平行，则与之间的距离为______. 【答案】2 【解析】 【分析】先由两平行线间系数关系求出，再由两平行线间距离公式求解即可. 【详解】因为直线：与：相互平行， 所以， 所以：， 所以与之间的距离为. 故答案为：2. 13. 已知，，．若、、三向量共面，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，存在实数x，y，使，列出方程组，即可求得答案. 【详解】因为不平行，且、、三向量共面， 所以存在实数x，y，使， 所以，解得， 故答案为： 14. 点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则l的方程为_______ 【答案】3x－y＋3＝0 【解析】 【分析】先求出A、B的中点，再求AB的斜率，求出中垂线的斜率，然后用点斜式求出直线方程． 【详解】对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线， A、B的中点坐标(1,6)，AB的斜率为： 中垂线的斜率为：3 则l的方程为：y−6=3(x−1)即：3x−y+3=0 故答案为：3x−y+3=0 【点睛】本题主要考查直线垂直斜率之间的关系，考查了直线的点斜式方程的应用，属于基础题. 15. 设点，，若直线与线段AB没有交点，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由于直线恒过点，然后结合图形求解即可 【详解】如图，直线恒过点，，， 故，即． 故答案为： 三、解答题（共3小题，共34分） 16. 已知空间三点，，，设，． （1）设，，求； （2）求与的夹角的余弦值； （3）若与互相垂直，求k． 【答案】（1） 或 （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）利用向量运算的坐标表示及共线向量的定义列式求解. （2）利用空间向量夹角的公式，结合向量的坐标运算求解. （3）利用垂直关系的向量表示，并借助（2）的信息列式求解. 【小问1详解】 由点，得， 由，设，由，得，解得， 所以  或 . 【小问2详解】 由（1）得，，， 则，所以与的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由与互相垂直，得，即， 由（2）得，解得或，所以或. 17. 如图，平行六面体中，． （1）证明：； （2）求的长； （3）求直线与AC所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图所示：以，， 为基底， 则由题意得：， 又， ， ，， ， 即 故 ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以，， 为基底表示出，，再利用向量的数量积即可证明； （2）以，， 为基底表示出，再利用向量的模即可求解； （3）利用向量的数量积即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知， 即 ， 故的长为； 【小问3详解】 ， ， ； ； ； 即， 由题意可知直线与AC所成角为锐角， 故直线与AC所成角的余弦值为. 18. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：法一：分别取、的中点、，连接、、， 由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，， 因为，所以，所以点、、、四点共面， 因为、分别为、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； 法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，易知平面的一个法向量， 所以，所以， 又因为平面，所以平面． （2） （3） 假设存在点，使得，其中， 则， 由（2）得平面的一个法向量为， 由题意可得， 整理可得．即， 因为，解得或，所以，或． 【解析】 【分析】（1）法一：分别取、的中点、，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立； 法二：以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）假设存在点，使得，其中，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解之即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角余弦值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学学科第一次质量检测 一、单选题（共9小题，每小题4分，共36分） 1. 已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. 60° C. 150° D. 120° 2. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 图中的直线的斜率分别为，则有（ ） A. B. C. D. 4. 空间向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线经过点，且在轴和轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知直线：与：相交于点，则过点且与垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 8. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A. B. C. D. 9. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知在平面内的点，，直线的倾斜角为，则______. 11. 设，已知为空间四边形，空间内一点满足，若，，共面，则______. 12. 已知直线：与：相互平行，则与之间的距离为______. 13. 已知，，．若、、三向量共面，则实数______． 14. 点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则l的方程为_______ 15. 设点，，若直线与线段AB没有交点，则a的取值范围是______． 三、解答题（共3小题，共34分） 16. 已知空间三点，，，设，． （1）设，，求； （2）求与的夹角的余弦值； （3）若与互相垂直，求k． 17. 如图，平行六面体中，． （1）证明：； （2）求的长； （3）求直线与AC所成角的余弦值． 18. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $