精品解析：天津市宁河区芦台第二中学2026-2027学年第一学期第一次阶段考试高二年级数学试卷

芦台二中2026-2027学年第一学期第一次阶段考试 高二年级数学学科试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！ 第I卷（共36分） 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在三棱锥中，（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，所以. 3. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为，且， 所以，即． 4. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点关于平面对称的性质判断即可. 【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 5. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入空间向量模的公式即可求出答案. 【详解】,. 6. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 7. 已知点，若向量，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量坐标运算中“向量等于终点的坐标减去起点的坐标”，即可计算出点B的坐标. 【详解】设点的坐标为，已知，， 所以 ，，，解得，，. 因此点的坐标为. 8. 已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 9. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示即可. 【详解】由题意，得. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 已知空间向量，，则 _______． 【答案】3 【解析】 【详解】因为空间向量，， 所以. 11. 已知点，，M在y轴上，且，则点M的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【详解】设，由知，点M到A、B两点距离相等. 由两点之间距离公式可得：， 解之得，所以点M的坐标为. 12. 已知向量，且，则________________． 【答案】1 【解析】 【详解】因为， 所以. 13. 已知点，点，则点到直线的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的方向向量和向量，再代入空间点到直线的向量距离公式计算即可. 【详解】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 14. 已知，则在上的投影向量为__________.（用坐标表示）. 【答案】 【解析】 【详解】向量，则，， 所以在上的投影向量为 15. 已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知，． （1）求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，， 则，，， 所以. 【小问2详解】 若，则， 即，解得. 17. 如图所示，在正方体中，取． （1）用表示； （2）若分别为的中点，用表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）因为平面 ，平面 ，所以， 由底面 是正方形，可得，又，且 平面 ， 根据线面垂直的判定定理，可得 平面  （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线与，即可推得结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算角度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则： ，即， 令，得，即平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成角为，则， 因为，​，， 所以，又，所以. 19. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解； （3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，垂足为，过作，垂足为,连接. 由面，面，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则， 于是 【小问3详解】 [方法一：几何法] 过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为. 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则，又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法] 辅助线同方法一. 设点到平面的距离为. ， . 由，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 芦台二中2026-2027学年第一学期第一次阶段考试 高二年级数学学科试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！ 第I卷（共36分） 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在三棱锥中，（　　） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，若向量，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 已知空间向量，，则 _______． 11. 已知点，，M在y轴上，且，则点M的坐标为____________． 12. 已知向量，且，则________________． 13. 已知点，点，则点到直线的距离为________. 14. 已知，则在上的投影向量为__________.（用坐标表示）. 15. 已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知，． （1）求； （2）若，求实数的值． 17. 如图所示，在正方体中，取． （1）用表示； （2）若分别为的中点，用表示． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 19. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $