精品解析：贵州遵义市第十九中学2026-2027学年上学期九年级数学第一次学情自测

2026秋季学期本校九年级第一次自主限时练习 数学（人教版） （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答题时，一律用2B铅笔或黑色签字笔将答案填涂或填写在答题卡规定的位置上； 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是( ) A. B. C. D. 2. 已知是二次函数，则（ ） A. a不为零 B. b不为零 C. c不为零 D. a，b，c均不为零 3. 将一元二次方程化为的形式，若，则，的值分别为（ ） A. 5，1 B. ， C. ， D. ，1 4. 二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 6. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 7. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 8. 将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（ ） A. 先向右平移个单位，再向上平移个单位 B. 先向右平移个单位，再向下平移个单位 C. 先向左平移个单位，再向上平移个单位 D. 先向左平移个单位，再向下平移个单位 9. 设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. D. 10. 二次函数中的，的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 7 0 0 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 顶点坐标为 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴的交点坐标为和 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 12. 在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（　　） A. B. C. 2 D. 5 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上） 13. 请写出一个二次项系数与常数项互为相反数的一元二次方程：___． 14. 二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 15. 如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 16. 已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过，两点． （1）求该二次函数的表达式； （2）若平移该二次函数的图象，使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的表达式． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 20. 如图，在中，，，，动点从沿以向运动，动点从沿以向运动，同时出发．当其中一个动点运动到目标点时，另一个点停止运动．设 面积为，运动时间为． （1）当时，求的值； （2）求的表达式及的最大值． 21. 实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 22. 长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． （1）采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） （2）该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 23. 已知二次函数（，，是常数且）的函数值与自变量的部分对应值如表： ··· ··· ··· ··· （1）该函数图象的对称轴为直线　　　； （2）求该函数的表达式，并在如图的坐标系中画出它的图象（注意图象的对称性）； （3）若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，请直接写出的取值范围． 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否为“邻根方程”． （2）已知关于的方程是“邻根方程”，求的值． （3）若关于的方程是“邻根方程”，令，试求的最大值． 25. 已知二次函数． （1）若点向上平移1个单位，向左平移m个单位（）长度后，恰好落在该二次函数上，求m的值． （2）已知该函数图象经过，两个不同的点． ①当，，且时，求的取值范围． ②当，时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026秋季学期本校九年级第一次自主限时练习 数学（人教版） （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答题时，一律用2B铅笔或黑色签字笔将答案填涂或填写在答题卡规定的位置上； 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需明确一元二次方程需满足只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程这几个条件，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：∵一元二次方程的定义为只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程 ∴对各选项分析如下： A选项：代入后方程为，含有两个未知数和，不符合一元二次方程定义； B选项：代入后方程为，整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； C选项：代入后方程为，整理得，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程定义，符合题意； D选项：代入后方程为，整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 已知是二次函数，则（ ） A. a不为零 B. b不为零 C. c不为零 D. a，b，c均不为零 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数需满足最高次项（二次项）的系数不为零，即 ． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， 故选：A． 3. 将一元二次方程化为的形式，若，则，的值分别为（ ） A. 5，1 B. ， C. ， D. ，1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，将方程移项化为一般形式，再比较系数即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， 故选：D． 4. 二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】二次函数顶点式的对称轴为直线，直接根据顶点式即可得出结果． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线， 故选：A． 5. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ∵是一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：B． 6. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由抛物线为，则抛物线开口向上，对称轴是直线，故抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合，，是抛物线上的点，可得，，，，进而可以得解． 【详解】解：∵抛物线为， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， 又∵，，是抛物线上的点， ∴，，，， ∴． 故选：C． 7. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程公式法求解，通过对比一元二次方程的求根公式，直接确定系数a、b、c的值，从而匹配对应方程 【详解】解：一元二次方程， ， ， ，即；，即； ， ， 故方程为 ， 故选：A 8. 将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（ ） A. 先向右平移个单位，再向上平移个单位 B. 先向右平移个单位，再向下平移个单位 C. 先向左平移个单位，再向上平移个单位 D. 先向左平移个单位，再向下平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】先把抛物线化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】∵抛物线可化为 ∴其顶点坐标为：(2,−1)， ∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位． 故选C. 【点睛】本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键. 9. 设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对所求代数式因式分解，再利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的两个实数根， ∴ 根据一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 对所求代数式因式分解得： ， 将，代入得： 原式． 10. 二次函数中的，的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 7 0 0 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 顶点坐标为 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴的交点坐标为和 【答案】B 【解析】 【分析】由表中数据，运用待定系数法求出二次函数表达式，结合二次函数图象与性质分析各个选项即可． 【详解】解：抛物线过和， 设抛物线表达式为， 抛物线过， ，解得， 即抛物线表达式为， 由，可知抛物线开口向上，A错误；由顶点式可知抛物线顶点坐标为，B正确；由抛物线开口向上、对称轴为，可知当时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，C错误；由表中数据可知，抛物线与轴的交点坐标为和，D错误． 【点睛】此类问题，无论题目如何要求，只要能有条件求出二次函数表达式，先求出表达式再求解是最优方法． 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】结合一元二次方程的定义和根的判别式求解，一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有实数根要求判别式，联立不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴二次项系数，得， ∵方程有实数根， ∴根的判别式，即 解得， 综上，k的取值范围是且． 12. 在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（　　） A. B. C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，根据坐标系中的四个点画出二次函数的图象，根据图象判断经过A、D、C三点的抛物线当时，y的值最大，利用待定系数法求得二次函数的系数即可求解． 【详解】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会经过A、B、C三点， ∴抛物线经过可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图，经过A、D、C三点的抛物线，当时，y的值最大， 把代入得 ， 解得， ∴经过A、D、C三点的抛物线的解析式为， 当时，， 故的最大值等于2， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上） 13. 请写出一个二次项系数与常数项互为相反数的一元二次方程：___． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【详解】解：一元二次方程的一般形式为，题目要求二次项系数与常数项互为相反数，即满足 令，可得，取一次项系数，代入一般形式得：该方程满足条件，符合要求． 14. 二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【解析】 【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 二次函数图象开口向下， ， （答案不唯一）． 15. 如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去  表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当  时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 16. 已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线. ， 当时，取得最小值， 由的最小值为，得，解得， 此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上， 则离对称轴越远，函数值越大， ，，， 则当时，取得最大值， 将，代入解析式得：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意，确定出当时，取得最小值，从而求得． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 18. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过，两点． （1）求该二次函数的表达式； （2）若平移该二次函数的图象，使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式． 【小问1详解】 解：把，代入， 得：， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，设平移后的二次函数的解析式为， 将点代入，得， 解得． ∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）k的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 20. 如图，在中，，，，动点从沿以向运动，动点从沿以向运动，同时出发．当其中一个动点运动到目标点时，另一个点停止运动．设 面积为，运动时间为． （1）当时，求的值； （2）求的表达式及的最大值． 【答案】（1） （2），的最大值是 【解析】 【分析】（1）时，，，由三角形面积公式求解即可； （2），，由三角形面积公式建立函数表达式，再由二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：时，， ， ； 【小问2详解】 解：由题意得，，， ， ， ∴抛物线开口向下， 当时，的最大值为． 21. 实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 【答案】可以，米 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解．设,表示出的长度，然后利用面积列出方程求解即可． 【详解】解：可以，理由如下： 设米，则米，根据题意得 ∴， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴，即米． 22. 长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． （1）采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） （2）该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【答案】（1）， （2）每件童装应该降价元 【解析】 【分析】（1）根据“每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”列出代数式即可； （2）根据总利润销售量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元， ∴采取降价措施后，每天可销售件，每件盈利元 【小问2详解】 解：由题意得， 整理得， 解得，， ∵要使优惠力度最大， ∴， ∴每件童装应该降价元． 23. 已知二次函数（，，是常数且）的函数值与自变量的部分对应值如表： ··· ··· ··· ··· （1）该函数图象的对称轴为直线　　　； （2）求该函数的表达式，并在如图的坐标系中画出它的图象（注意图象的对称性）； （3）若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据纵坐标相同的两个点是对称点，且对称轴为对称点横坐标之和的一半，计算即可； （2）利用待定系数法求解表达式，再描点连线即可作图； （3）根据二次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得和是对称点， 故对称轴为直线； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得， 故抛物线的表达式为； 画图略； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，函数有最小值，当时，函数有最小值，为，抛物线的对称轴为直线，且与对称轴距离越大函数值越大， ∵，且包含在这个范围内， 故该范围内函数的最小值为； ∵， ∴时，取得最大值，且， ∴y的取值范围是． ∵关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根， 即抛物线与直线在的范围内有交点， ∴． 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否为“邻根方程”． （2）已知关于的方程是“邻根方程”，求的值． （3）若关于的方程是“邻根方程”，令，试求的最大值． 【答案】（1）是“邻根方程” （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次方程得到两个根，结合“邻根方程”的定义进行判断； （2）先解一元二次方程得到两个根，根据定义列方程求解； （3）根据“邻根方程”定义得到两根差为，利用完全平方公式变形结合根的和与积推导得到与的关系，代入后配方求最大值. 【小问1详解】 解方程， 因式分解得， 解得，，  ，符合“邻根方程”的定义 ， 是“邻根方程”； 【小问2详解】 解方程， 因式分解得， 解得，， 方程是“邻根方程” ， ， 当时，得； 当时，得， 的值为或； 【小问3详解】 设方程的两根为，， 方程是“邻根方程” ， ，两边平方得，变形得， 由一元二次方程根与系数的关系得，， 代入得， 整理得， 代入， 得 ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 25. 已知二次函数． （1）若点向上平移1个单位，向左平移m个单位（）长度后，恰好落在该二次函数上，求m的值． （2）已知该函数图象经过，两个不同的点． ①当，，且时，求的取值范围． ②当，时，求证：． 【答案】（1）2或6 （2）①； ②证明：， ∵，， ∴， 当时，， 则； 当时，， 则， ∴得证． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，直角坐标系下点的平移，二次函数函数值的求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决本题的关键． （1）先表示出点平移之后的坐标，再将平移后的点代入二次函数解析式求解即可； （2）①将和代入函数解析式分别求解出，再解不等式求解即可； ②先求解，再根据x的范围证明即可． 【小问1详解】 解：点向上平移个单位，得到， 再向左平移个单位（），得到， ∵平移后的点落在二次函数上， ∴将，代入函数可得：， 展开式子得，即， 解得，， 因此，的值为或； 【小问2详解】 解：①已知二次函数， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 即，解得， ∴的取值范围是； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $