学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（贵州专用，范围：新教材北师大版九上第一～二章）

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：北师大版九上1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列说法中不正确的是（    ） A．对角线垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．菱形的面积等于对角线乘积的一半 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定和性质对各项进行分析和判断即可． 【详解】解：A．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴A正确，不符合题意； B．∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴B正确，不符合题意； C．菱形的面积等于对角线乘积的一半， ∴C正确，不符合题意； D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形， ∴D不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定和性质,熟记相关性质和判定方法是解题的关键． 2．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A．当时，是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B．含有分式，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； C．未知数项的最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； D．可变形为，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，第一个月进馆1200人次，进馆人次逐月增加，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一个月的进馆人次数及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆人次，第三个月进馆人次，结合第三个月进馆1728人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 4．设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，通过得到的关系，将代数式变形成已知式子的形式，是解答本题的关键． 根据一元二次二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，得到，，又，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ，是方程的两个实数根， ，， ， 故选：． 5．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，连接，则的长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，过点E作交延长线于F，可证明，得到，则，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作交延长线于F， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 故选：C． 6．学习特殊平行四边形的判定知识后，某数学小组开展作图探究活动，尝试在平行四边形中构造菱形，分析不同作图方案的正误．在平行四边形中，，，要求在边，上分别找到点，，使四边形是菱形．数学小组给出了两种方案，下列判断正确的是（     ） 方案Ⅰ：作的垂直平分线，分别交、于点、，连接、． 方案Ⅱ：作，的平分线，分别交、于点、． A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行 C．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，线段垂直平分线与角平分线的尺规作图及菱形的判定进行求解即可． 【详解】解：方案Ⅰ：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图可知：垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 方案Ⅱ：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，的平分线分别交、于点、， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 由题意无法得到该四边形的一组邻边相等，所以四边形不一定是菱形； 综上：只有方案Ⅰ可行． 7．如图，在中，，，，现要在其内部作正方形，使边在上，另两个顶点，分别在，上，则正方形的边长为（  ） A．48 B．46 C．42 D．40 【答案】A 【分析】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形． 根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即，从而得出边长之比，进而求出正方形的边长； 【详解】解：设正方形零件的边长为， 在正方形中，， ， ， ， 即：． 解得：． 故选：A． 8．下列一元二次方程的两个实数根之和为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系以及使用的前提条件是一元二次方程有实根，掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式是解题的关键． 根据根的判别式判断一元二次方程根的情况，再根据根与系数的关系求解即可 【详解】解：A. ，， ，不符合题意； B. ， ，该方程无实根，不符合题意； C. ，，该方程有实根，且 ，符合题意； D. ， ，该方程无实根，不符合题意； 故选C． 9．如图，在矩形中，，，点G在线段上，，连接，过点A作于点E，交对角线于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，作于，由矩形的性质可得，，，由勾股定理可得，证明，得出，，，，从而求出，证明，求出，即可得出，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，作于， ， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，即，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．如图，已知菱形的边长是8，，则菱形的面积是（     ） A． B． C．32 D．16 【答案】B 【分析】根据题意可求出，根据，可求出，根据菱形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，然后求出对角线的长即可求解． 【详解】解：∵菱形的边长是8，， ∴，， ∵， ∴， 设交于点， ∴在中，，， ∴， ∴ ∴， ∴菱形的面积是． 11．为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 根据单循环赛制，总比赛场次为组合数，即，再根据总安排28场比赛，列出方程． 【详解】解：∵每个队之间都要比赛一场， ∴总比赛场次为， 又∵计划安排7天，每天4场， ∴总比赛场次为. ∴， 即， 故选：A． 12．如图， 正方形的边长是3，， 连接交于点O， 并分别与边交于点 F， E， 连接， 下列结论： ； ； ；当时， 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由正方形的性质及易证，则，从而可以判定①；证明，得；根据得，从而可判定②；证明，得，则有；再证明，得，则可判定③；由，求得，从而求得，再由，求得，从而可判定④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故②错误； 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴， 即； 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故④正确， 故正确有3个， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．已知是方程的两个根，已知一根为1，则__________． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．根据一元二次方程的解的定义，把代入方程得到关于m的方程，然后求得m的值． 【详解】解：把代入得， 解得． 故答案为：4． 14．若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即得到关于的不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 15．若是方程的一个解，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，利用方程解的定义，将代入方程得到，然后变形代入计算解答即可． 【详解】解：因为是方程 的一个解， 所以 ，即 ， 则代数式， 故答案为：． 16．如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半，连接，先由菱形性质可得对角线与交于点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，，进而由菱形对角线求出边长，由，解三角形即可求出，正确进行计算是解题关键． 【详解】解：如图，连接， 点是的中点， 、、三点在同一直线上， ， ，， ，， ， ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共98分。其中：17题每题16分，18、19、20题每题8分，21、22题每题10分，23、24题每题12分，25题每题14分。 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的多种解法（因式分解法、公式法），解题的关键是观察方程结构，优先选用简便的因式分解法，无法因式分解时利用求根公式求解． （1）移项后利用平方差公式因式分解求解； （2）十字相乘法因式分解求解； （3）化为标准式后套用求根公式求解； （4）先展开、移项、合并同类项整理成一元二次方程标准形式，再因式分解求解． 【详解】（1）解： 或 解得 （2）解： 或 解得 （3）∵， 方程有两个不相等的实数根， 即 （4）解： 或 解得 18．如图，，，连接． (1)尺规作图：在上作点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2) 证明：∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵，即 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）根据作角平分线的尺规作图方法作出的平分线与的交点即为点； （2）先根据平行线+角平分线证明，然后进行等量代换结合平行证明四边形是平行四边形，再由有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 19．为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 解答过程中可直接使用表格中的数据哟！ 1.18 1.39 1.64 （1）求该公司每个季度产值的平均增长率； （2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由． 【答案】（1）该公司每个季度产值的平均增长率为18％； （2）该公司今年总产值能超过1.6亿元，理由如下： 由（1）及题意可得： （万元）=1.6672亿元； ∵1.6672＞1.6， ∴今年总产值超过了1.6亿元． 【分析】（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x，由题意可得，然后求解即可； （2）由（1）及题意可直接进行求解． 【详解】解：（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x，由题意可得： ， 解得：（舍去）； 答：该公司每个季度产值的平均增长率为18％ （2）略 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 20．如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，使EH=FH，连接BE，CF． （1）求证：△BEH≌△CFH． （2）当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？ 请说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）当BH=EH时，平行四边形BFCE为矩形 【详解】试题分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形． 试题解析：∵点H是BC的中点， ∴BH=CH， 在△BEH和△CFH中， ∴△BEH≌△CFH（SAS）； （2）解：∵BH=CH，EH=FH， ∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）， ∵当BH=EH时，则BC=EF， ∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）． 考点：1.全等三角形的判定与性质；2.矩形的判定 21．某农户计划利用现有的一道墙（墙长为米），另三边用总长为米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为平方米． (1)当时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少? (2)若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长的取值范围； (3)若农户想将养鸡场面积扩大到平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现?若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当时，养鸡场平行于墙的一边的长是米； (2)墙长的取值范围是； (3) 不能实现，理由， 设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米， 根据题意得， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 即围成养鸡场的面积不能达到平方米， ∴不能实现． 【分析】（）设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由（）得平行于墙的一边的长是米或是米，然后分当时；当时；当时，进行讨论即可； （）设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米，根据题意得，整理得，由即可判断． 【详解】（1）解：设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米， 根据题意得， 整理得：， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长是，不符合题意； 当时，平行于墙的一边的长是，符合题意； 答：当时，养鸡场平行于墙的一边的长是米； （2）解：由（）得平行于墙的一边的长是米或是米， 当时，两边都不超过墙长，有种围法； 当时，两边都不超过墙长，有种围法； 当时，两边都超过墙长，无法围成； ∴墙长的取值范围是； （3）解：略． 22．如图，的对角线相交于点O，过点D作且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形为菱形； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)证明：四边形为平行四边形， ， ，， 且， 四边形是平行四边形； (2) 证明：由（1）知四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形为菱形； (3) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，能够综合应用上述知识是解题的关键． （1）由平行四边形对角线互相平分，可得，结合，，可得且，即可证明四边形是平行四边形； （2）先证四边形是矩形，推出，即可证明四边形为菱形； （3）先证是等边三角形，再用勾股定理解求出，由四边形是矩形可得，再用勾股定理解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：菱形中， ，， 是等边三角形， ， ， 菱形中， ， 由（2）知四边形是矩形， ，， ． 23．综合与实践 新能源汽车停车场设计与收费问题 素材1 设计要求：矩形停车场，其布局如图．已知，，阴影部分设计为停车位，面积为，车位总数为60个，其余部分均为宽度为x米的道路． 素材2 收费运营：该停车场只接受月租用户，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． 素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值．方法如下：∵，由，得；∴代数式的最大值是7． (1)求道路的宽是多少米？ (2)设该停车场收到的月租金为y元，当每个车位的月租金上涨m（m是5的倍数）元时，试用含m的代数式表示停车场的月租金y． (3)请求出该停车场月租金收入最高为多少元，此时每个车位月租金为多少元？ 【答案】(1)6米 (2) (3)12500；250 【分析】（1）根据矩形的面积公式列出方程，解方程得到答案； （2）根据题意列出关系式即可； （3）利用素材3的思路即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：道路的宽是6米； （2）解：根据题意可得， （3）解：， ， ， ∴当时，的最大值是， 此时每个车位月租金为（元）． 24．若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【答案】(1) (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②； 【分析】（1）先计算根的判别式，根据原方程有两个不相等的实数根，得出不等式，解不等式，得出，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知可得或，解一元二次方程，即可求解． （2）①由，是方程的根得到，，结合的定义进行证明； ②根据根与系数的关系写出、的值，运用完全平方公式变形求得的值，利用①中的结论求得的值． 【详解】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； （2）①略 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． 25．如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为．过点作于，连接交于点．以、为边作平行四边形． (1)____________（用含的代数式表示）； (2)当为菱形时，求的值； (3)是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (4)请分析说明在运动的过程中，线段的长度是否发生变化；若不变，求出的长． 【答案】(1) (2)4 (3)存在． (4)不变，理由如下： 如图2中，作交于K， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故线段的长度不发生变化，． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，由可知，故； （2）由是菱形得到，进而可求解； （3）如图1中，连接交于M，证明，由此构建方程即可解决问题； （4）作交于K，可证明，得出，证明即可解决问题． 【详解】（1）解：在等边中，， ， ， ， ， ， ． （2）解：由题意可知， 在等边中，， ， 当是菱形时，， ， 解得， 即当为菱形时，的值为． （3）解：存在． 理由：如图1中，连接交于M， 平分，， ，， ， ， ， ，， ， 解得． 故存在某一时刻，使点在的平分线上，． （4）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 =====-=■一-一====-=====■一==一====-==-== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 考生禁填：缺考标记 ▣ 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 ◆ 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【]【/1 一、 单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B1[C][D] 6.[A][B][CI[D] 10.[AJ[B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 11.A][B][C][D] 4.[AJ[B][C][D] 8[A][B][C][D] 12.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13. 14. 15 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(16分) (1)(2x-1)2=(2-x)2: (2)4x2+11x-3=0: (3)2x2-8x+3=0: (4)x-4)2+(4x-3)2=(3x+1)2. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) B 19.(8分) 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 21.(10分) 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 23.(12分) 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：北师大版九上第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列说法中不正确的是（    ） A．对角线垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．菱形的面积等于对角线乘积的一半 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，第一个月进馆1200人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1728人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，连接，则的长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 6．学习特殊平行四边形的判定知识后，某数学小组开展作图探究活动，尝试在平行四边形中构造菱形，分析不同作图方案的正误．在平行四边形中，，，要求在边，上分别找到点，，使四边形是菱形．数学小组给出了两种方案，下列判断正确的是（     ） 方案Ⅰ：作的垂直平分线，分别交、于点、，连接、． 方案Ⅱ：作，的平分线，分别交、于点、． A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行 C．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 7．如图，在中，，，，现要在其内部作正方形，使边在上，另两个顶点，分别在，上，则正方形的边长为（  ） A．48 B．46 C．42 D．40 8．下列一元二次方程的两个实数根之和为的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，，点G在线段上，，连接，过点A作于点E，交对角线于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知菱形的边长是8，，则菱形的面积是（     ） A． B． C．32 D．16 11．为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 12．如图， 正方形的边长是3，， 连接交于点O， 并分别与边交于点 F， E， 连接， 下列结论： ； ； ；当时， 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．已知是方程的两个根，已知一根为1，则__________． 14．若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 15．若是方程的一个解，则代数式的值为______． 16．如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为_____． 三、解答题：本题共9小题，共98分。其中：17、25题每题16分，18题每题12分，19题每题7分，20题每题6分，21、22、23题每题9分，24题每题14分。 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．如图，，，连接． (1)尺规作图：在上作点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接，求证：四边形是菱形． 19．为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 解答过程中可直接使用表格中的数据哟！ 1.18 1.39 1.64 （1）求该公司每个季度产值的平均增长率； （2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由． 20．如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，使EH=FH，连接BE，CF． （1）求证：△BEH≌△CFH． （2）当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？ 请说明理由． 21．某农户计划利用现有的一道墙（墙长为米），另三边用总长为米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为平方米． (1)当时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少? (2)若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长的取值范围； (3)若农户想将养鸡场面积扩大到平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现?若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 22．如图，的对角线相交于点O，过点D作且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形为菱形； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 23．综合与实践 新能源汽车停车场设计与收费问题 素材1 设计要求：矩形停车场，其布局如图．已知，，阴影部分设计为停车位，面积为，车位总数为60个，其余部分均为宽度为x米的道路． 素材2 收费运营：该停车场只接受月租用户，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． 素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值．方法如下：∵，由，得；∴代数式的最大值是7． (1)求道路的宽是多少米？ (2)设该停车场收到的月租金为y元，当每个车位的月租金上涨m（m是5的倍数）元时，试用含m的代数式表示停车场的月租金y． (3)请求出该停车场月租金收入最高为多少元，此时每个车位月租金为多少元？ 24．若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 25．如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为．过点作于，连接交于点．以、为边作平行四边形． (1)____________（用含的代数式表示）； (2)当为菱形时，求的值； (3)是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (4)请分析说明在运动的过程中，线段的长度是否发生变化；若不变，求出的长． 试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第5页（共10页） 试题 第6页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：北师大版九上1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列说法中不正确的是（    ） A．对角线垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．菱形的面积等于对角线乘积的一半 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，第一个月进馆1200人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1728人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，连接，则的长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 6．学习特殊平行四边形的判定知识后，某数学小组开展作图探究活动，尝试在平行四边形中构造菱形，分析不同作图方案的正误．在平行四边形中，，，要求在边，上分别找到点，，使四边形是菱形．数学小组给出了两种方案，下列判断正确的是（     ） 方案Ⅰ：作的垂直平分线，分别交、于点、，连接、． 方案Ⅱ：作，的平分线，分别交、于点、． A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行 C．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 7．如图，在中，，，，现要在其内部作正方形，使边在上，另两个顶点，分别在，上，则正方形的边长为（  ） A．48 B．46 C．42 D．40 8．下列一元二次方程的两个实数根之和为的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，，点G在线段上，，连接，过点A作于点E，交对角线于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知菱形的边长是8，，则菱形的面积是（     ） A． B． C．32 D．16 11．为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 12．如图， 正方形的边长是3，， 连接交于点O， 并分别与边交于点 F， E， 连接， 下列结论： ； ； ；当时， 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．已知是方程的两个根，已知一根为1，则__________． 14．若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 15．若是方程的一个解，则代数式的值为______． 16．如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为_____． 三、解答题：本题共9小题，共98分。其中：17题每题16分，18、19、20题每题8分，21、22题每题10分，23、24题每题12分，25题每题14分。 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．如图，，，连接． (1)尺规作图：在上作点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接，求证：四边形是菱形． 19．为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 解答过程中可直接使用表格中的数据哟！ 1.18 1.39 1.64 （1）求该公司每个季度产值的平均增长率； （2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由． 20．如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，使EH=FH，连接BE，CF． （1）求证：△BEH≌△CFH． （2）当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？ 请说明理由． 21．某农户计划利用现有的一道墙（墙长为米），另三边用总长为米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为平方米． (1)当时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少? (2)若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长的取值范围； (3)若农户想将养鸡场面积扩大到平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现?若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 22．如图，的对角线相交于点O，过点D作且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形为菱形； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 23．综合与实践 新能源汽车停车场设计与收费问题 素材1 设计要求：矩形停车场，其布局如图．已知，，阴影部分设计为停车位，面积为，车位总数为60个，其余部分均为宽度为x米的道路． 素材2 收费运营：该停车场只接受月租用户，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． 素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值．方法如下：∵，由，得；∴代数式的最大值是7． (1)求道路的宽是多少米？ (2)设该停车场收到的月租金为y元，当每个车位的月租金上涨m（m是5的倍数）元时，试用含m的代数式表示停车场的月租金y． (3)请求出该停车场月租金收入最高为多少元，此时每个车位月租金为多少元？ 24．若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 25．如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为．过点作于，连接交于点．以、为边作平行四边形． (1)____________（用含的代数式表示）； (2)当为菱形时，求的值； (3)是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (4)请分析说明在运动的过程中，线段的长度是否发生变化；若不变，求出的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13._______________ 14. ___________ 15. _________________ 16. __________________ 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（16分） (1)； (2)； (3)； (4)． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D B B C A A C A B A C 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．4 14． 15． 16． 三、解答题：本题共9小题，共98分。其中：17题每题16分，18、19、20题每题8分，21、22题每题10分，23、24题每题12分，25题每题14分。 17．（本题16分）【解析】（1）解： 或 解得（4分） （2）解： 或 解得（8分） （3）∵， 方程有两个不相等的实数根， 即（12分） （4）解： 或 解得（16分） 18．（本题8分）【解析(1)如图，点即为所求； （4分） (2) 证明：∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴（6分） ∴ ∵ ∴ ∵，即 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形．（8分） 19．（本题8分）【解析】解：（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x，由题意可得： ， 解得：（舍去）；（4分） （2）该公司今年总产值能超过1.6亿元，理由如下： 由（1）及题意可得： （万元）=1.6672亿元； ∵1.6672＞1.6， ∴今年总产值超过了1.6亿元． 答：该公司每个季度产值的平均增长率为18％（8分） 20．（本题8分）【解析】试题分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形． 试题解析：∵点H是BC的中点， ∴BH=CH， 在△BEH和△CFH中， ∴△BEH≌△CFH（SAS）；（4分） （2）解：∵BH=CH，EH=FH， ∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）， ∵当BH=EH时，则BC=EF， ∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．（8分） 考点：1.全等三角形的判定与性质；2.矩形的判定 21．（本题10分）【解析】（1）解：设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米， 根据题意得， 整理得：， 解得：，，（3分） 当时，平行于墙的一边的长是，不符合题意；（4分） 当时，平行于墙的一边的长是，符合题意；（5分） 答：当时，养鸡场平行于墙的一边的长是米； （2）解：由（）得平行于墙的一边的长是米或是米， 当时，两边都不超过墙长，有种围法； 当时，两边都不超过墙长，有种围法； 当时，两边都超过墙长，无法围成； ∴墙长的取值范围是；（7分） （）设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米，根据题意得，整理得，由即可判断．（10分） 22．（本题10分）【解析】(1)证明：四边形为平行四边形， ， ，， 且， 四边形是平行四边形；（3分） (2) 证明：由（1）知四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形为菱形；（6分） （3）解：菱形中， ，， 是等边三角形， ， ， 菱形中， ， 由（2）知四边形是矩形， ，， ．（10分） 23．（本题12分）【解析】（1）解：由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：道路的宽是6米；（4分） （2）解：根据题意可得，（7分） （3）解：，（9分） ， ， ∴当时，的最大值是，（11分） 此时每个车位月租金为（元）．（12分） 24．（本题12分）【解析】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ；（4分） (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式（6分） ②，是方程的两根， ，， ；（7分） 由①知： ．（12分） 25．（本题14分）【解析】（1）解：在等边中，， ， ， ， ， ， ．（4分） （2）解：由题意可知， 在等边中，， ， 当是菱形时，， ， 解得， 即当为菱形时，的值为．（7分） （3）解：存在． 理由：如图1中，连接交于M， 平分，， ，， ， ， ， ，， ， 解得． 故存在某一时刻，使点在的平分线上，．（10分） (4)不变，理由如下： 如图2中，作交于K， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故线段的长度不发生变化，．（14分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $