精品解析：贵州省遵义市汇川区2025-2026学年上学期(第一次)质量监测九年级数学试卷

2025~2026学年度秋季学期（第一次）质量监测 九年级数学 （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项：1答题前，务必将自己的班级、姓名、座位号填写在答题卡规定的位置上； 2答题时，一律用2B铅笔成黑色签字笔将答案填涂或填写在答题卡规定的位置上； 3所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无败． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列选项中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程的两个根是和，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 若关于的函数是二次函数，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 或2 D. 4. 方程x2+2x﹣4＝0配方成(x+m)2＝n的形式后，则(　　) A. m＝1，n＝5 B. m＝﹣1，n＝5 C. m＝2，n＝5 D. m＝﹣2，n＝3 5. 已知关于的一元二次方程的两个实数根相等，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或2 6. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 7. 一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（ ） A. B. C. D. 8. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 9. 嘉嘉和琪琪一起写作业，在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项．因而得到方程的两个根是和；琪琪在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是3和2．则正确的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 11. 下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 m 下列关于这个二次函数的结论中，不正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 12. 关于二次函数，①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其最小值为2；④其图像一定过点；⑤当时，随的增大而增大．以上说法正确的个数是（ ）． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上） 13. 关于x的一元二次方程的解为________． 14. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 15. 已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 16. 对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2） 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 19. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数的图象． （1）___________，___________，___________； （2）写出二次函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标． 20. 数学活动：某校学生对三角点阵中前行的点数计算进行了探究：如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点．第行有个点……容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和．（提示：） （1）求三角形点阵中前10行的点数和； （2）若三角形点阵中前行的点数之和为136，求的值． 21. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 22. 在函数的研究中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括归纳函数性质的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题 （1）列表： … 0 1 2 … … 2 2 … 写出表中的值：___________，___________； （2）描点、连线：请根据表中各组对应值，在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）请根据（2）中画出的函数图象，写出该函数的一条性质：___________． 23. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 24. 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 25. 已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； （3）如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度秋季学期（第一次）质量监测 九年级数学 （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项：1答题前，务必将自己的班级、姓名、座位号填写在答题卡规定的位置上； 2答题时，一律用2B铅笔成黑色签字笔将答案填涂或填写在答题卡规定的位置上； 3所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无败． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列选项中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，根据二次函数的定义对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】A．，是一次函数，故本选项错误； B．，是反比例函数，故本选项错误； C．，是二次函数，故本选项正确； D．，是一元二次方程，故本选项错误． 故选C． 2. 若方程的两个根是和，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于方程 ，其两根之和为． 直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵方程中，二次项系数，一次项系数． 根据根与系数的关系，两根之和为：． 故选：A． 3. 若关于的函数是二次函数，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 或2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：， 故选：B． 4. 方程x2+2x﹣4＝0配方成(x+m)2＝n的形式后，则(　　) A. m＝1，n＝5 B. m＝﹣1，n＝5 C. m＝2，n＝5 D. m＝﹣2，n＝3 【答案】A 【解析】 【分析】先把方程中的常数项移到等号的右边，再在方程的两边同时加1，再进行配方，即可得出答案． 【详解】x2+2x﹣4＝0， x2+2x＝4， x2+2x+1＝4+1， （x+1）2＝5， ∴方程x2+2x﹣4＝0配方成（x+m）2＝n的形式后，m＝1，n＝5， 故选A． 【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法的步骤是本题的关键，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 5. 已知关于的一元二次方程的两个实数根相等，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算判别式并解方程，排除不符合条件的解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根相等， ，且 解得（舍）或， 故选：C． 6. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 7. 一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的系数与图象的关系是解题的关键．先利用一次函数的图象得出，的取值范围，再判断的图象． 【详解】解：由一次函数的图象可得，， ∴对于二次函数的图象，开口向上，与轴的交点在轴负半轴上， 又∵的图象的对称轴为轴， 只有选项B的图象符合， 故选：B． 8. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 9. 嘉嘉和琪琪一起写作业，在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项．因而得到方程的两个根是和；琪琪在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是3和2．则正确的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系． 利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：根据得， 由得，当时，一元二次方程的一次项系数为6， 由得，当时，一元二次方程的常数项为6， ∴该一元二次方程为， 故选：D． 10. 如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出一元二次方程的解为或8，然后由矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求出，进而得到，即可求解． 【详解】 或 解得或 ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴． ∴方程的正数解是线段的长． 故选：C． 11. 下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 m 下列关于这个二次函数的结论中，不正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由由表格可知当和时，函数值相等，即可得出抛物线的对称轴与顶点坐标，即可判断B；由时，最大，即可得出抛物线的开口方向以及增减性，即可判断A、C；最后由抛物线的对称性即可判断D． 【详解】解：由表格可知当和时，函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，故B正确； ∵时，最大， ∴抛物线开口向下；当时，y随x的增大而增大；故A正确，C错误； ∵， ∴当与时，y值相等， ∵时，， ∴时，，故D正确； 故选：C． 12. 关于二次函数，①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其最小值为2；④其图像一定过点；⑤当时，随的增大而增大．以上说法正确的个数是（ ）． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握并灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点式的性质逐项分析即可解答． 【详解】解：①由抛物线的开口方向由系数a决定．若，开口向上；若，开口向下．因a的正负未知，故①错误． ②顶点式为，对称轴为．此处，对称轴为，故②正确． ③当时，函数有最小值2；当时，有最大值2．因未明确a的正负，无法确定是否有最小值，故③错误． ④由题意可得顶点坐标为，无论a为何值，抛物线必过顶点，故④正确． ⑤当时，时y随x增大而减小；当时，时y随x增大而增大．因a的正负未知，无法确定增减性，故⑤错误． 综上，正确的说法为②和④，共2个． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上） 13. 关于x的一元二次方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 14. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数之间的关系，根据题意，得到：，，利用整体代入法，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴ ； 故答案为：0． 15. 已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向上，当时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，， ∴当时，二次函数有最小值， 由，根据距离对称轴越远，函数值越大， ∴当时，， ∴当时，函数的取值范围为， 故答案为：． 16. 对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解． 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ， ∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，． 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴（舍去）或（舍去） 综上所述， 或 故答案为：或 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、配方法、直接开平方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）通过整理方程后提取公因式进行因式分解求解． 【小问1详解】 或 ， 【小问2详解】 或 ， 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元一次方程根与系数的关系，掌握相关的知识是解题的关键． （1）证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，，将变形为，代入相应的值，得到关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两实根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或． 19. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数的图象． （1）___________，___________，___________； （2）写出二次函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【答案】（1），， （2）开口向下，， 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，涉及到二次函数的性质和二次函数图象的平移规律． （1）利用平移规律，可写出平移后的解析式，进而确定，，的值； （2）根据确定开口方向，根据顶点式求得对称轴和顶点坐标． 【小问1详解】 解：由题意得： 把抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到二次函数的图象，即， ，，． 【小问2详解】 二次函数， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 20. 数学活动：某校学生对三角点阵中前行的点数计算进行了探究：如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点．第行有个点……容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和．（提示：） （1）求三角形点阵中前10行的点数和； （2）若三角形点阵中前行的点数之和为136，求的值． 【答案】（1）55 （2）16 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探究，一元二次方程的应用． （1）将前10行的点数相加，即可求出结论； （2）先用式子表示出前a行的点数之和，再根据前a行的点数之和为136，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 ． 答：三角形点阵中前10行的点数和为55． 【小问2详解】 三角形点阵中前行的点数之和为：， ∵前a行的点数之和为136， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：的值为16． 21. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）电动车车棚的长为，宽为； （2） 解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， ， 原方程无解， 不能围成占地面积为的电动车车棚． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用、根的判别式，解题关键是正确理解题意，找到等量关系列出方程． （1）设车棚宽为，则车棚长为，列出关于车棚面积的一元二次方程，解出该方程即可得解，需注意该方程的解需满足车棚的长不超过； （2）根据（1）中方法列出关于车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断即可解题． 【小问1详解】 解：设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：电动车车棚的长为，宽为． 【小问2详解】 略 22. 在函数的研究中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括归纳函数性质的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题 （1）列表： … 0 1 2 … … 2 2 … 写出表中的值：___________，___________； （2）描点、连线：请根据表中各组对应值，在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）请根据（2）中画出的函数图象，写出该函数的一条性质：___________． 【答案】（1），3 （2） 解：列表、描点、连线画出函数图象，如图所示： （3）当时，函数的最小值为（不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了画二次函数图象、画函数图象、从函数图象获取信息等知识点，掌握数形结合是解题的关键． （1）把分别代入，求出y值即可解答； （2）根据列表、描点、连线画出函数图象即可； （3）结合图象根据增减性，最小值等写出一条性质即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，； 当时，， 故答案为：，3． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据函数图象可知，存在最小值，即当时，函数的最小值为． 故答案为：当时，函数的最小值为（不唯一）． 23. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 24. 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 【答案】（1）剪去的小正方形的边长为； （2）①收纳盒的高为厘米；②不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 【解析】 【分析】本题主要考查用一元二次方程的运用， （1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为厘米，宽为厘米，根据面积的计算公式列式即可求解； （2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为列式可得， ②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解． 【小问1详解】 解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： ，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为 【小问2详解】 ①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米， ∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为厘米， ②∵， ∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 25. 已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； （3）如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2） 当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，． ∴， ∴的值为定值； （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解； （3）设，则，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值． 【小问1详解】 ∵二次函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴当时，线段长度的最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $