精品解析：河北部分学校2026-2027学年高二第一学期9月月考数学试题

绝密★启用前 高二数学 班级___________ 姓名___________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l的倾斜角为，则该直线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间中、、、四点共面，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，点O为线段的中点，点P在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，分别是圆台的上、下底面圆半径，且，，，若异面直线，所成的角为，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在平行六面体中，底面，，，点P是棱上的动点，则平面与平面的夹角的正弦值的最大值为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件为或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若，则直线关于直线对称的直线方程为 10. 在直二面角中，，，，点M，N分别在线段和上移动，且，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. C. 当时，的长最小，且最小值为 D. 当的长最小时，点D到平面的距离为 11. 空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为．根据上面的材料，以下选项说法正确的是（ ） A. 若过点的平面方程为，则 B. 若平面的方程为，平面的方程为，则这两平面夹角的正弦值为 C. 若平面的方程为，则点在平面内的射影的坐标为 D. 若平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，，则直线l与平面的夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 方程所表示的直线恒过的定点坐标为_________． 13. 在空间直角坐标系中，已知，，，若直线的一个方向向量为，则的面积为_________． 14. 在四面体中，平面与平面互相垂直，，，为等腰三角形，且，，则异面直线与夹角的余弦值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 中，已知，，点为边的中点． （1）求边上的高所在直线的一般式方程； （2）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 16. 如图，正四面体的棱长为1，若E，F分别在棱，上，且，．设，，． （1）试用、、表示，并求的长度； （2）求异面直线与所成的角的余弦值． 17. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，且，，，F，G分别为线段，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． （1）求边所在直线的方程； （2）求点的坐标； （3）求的平分线所在直线的方程． 19. 如图，平行六面体的底面是菱形，，，． （1）当，，时，求的长； （2）当，平面时， ①求的长； ②当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 高二数学 班级___________ 姓名___________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l的倾斜角为，则该直线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由直线l的倾斜角为45°，得直线l的斜率. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】由，可得， 因为，则，即，解得． 3. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A选项，成立，故不能构成空间的另一个基底； 对于B选项，不存在实数，，使得，故能构成空间的另一个基底； 对于C选项，，故不能构成空间的另一个基底； 对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底． 4. 已知空间中、、、四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得，，， 因为、、、四点共面，且、不共线，设， 即， 所以，解得. 5. 已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 6. 在正方体中，点O为线段的中点，点P在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用线面角的向量求法将用一元函数表示出来，再求解取值范围即可. 【详解】设正方体的棱长为2，以D点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，设， 则，，， 设平面的一个法向量为， 得到，令，解得， 可得为平面的一个法向量， 则直线OP与平面所成的角的正弦值如下， 得到， 由，可得， 所以. 7. 已知，分别是圆台的上、下底面圆半径，且，，，若异面直线，所成的角为，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过向量分解将空间线段长度转化为向量运算，利用异面直线​与所成角，分析与的夹角情况​，需分别计算向量数量积。再代入已知的各线段长度和向量数量积结果，计算的可能值。 【详解】因为，，，异面直线所成的角为， 所以或，所以 ． 当时，， 当时，． 综上，或，由于选项中只有，故选C． 8. 已知在平行六面体中，底面，，，点P是棱上的动点，则平面与平面的夹角的正弦值的最大值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出动点的坐标；分别求平面、的法向量；利用法向量夹角公式求两平面夹角余弦，再用转化为二次函数最值问题. 【详解】已知底面，，设，， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，设， 得到，，， 记平面和平面的夹角为． 记平面的法向量为，则 令，则，，所以，则． 记平面的法向量为，则 令，则，，所以，则， 所以，， ， 当且仅当时，不等式取等号，所以，故平面与平面的夹角的正弦值的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件为或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若，则直线关于直线对称的直线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直线相互平行的充要条件为“交叉相乘再相减为0”，且不重合.直线相互垂直的充要条件为“对应相乘再相加为0”.直线不经过第四象限，可以先化为斜截式，判断斜率与截距求解.注意到时，直线与直线相互平行，则对称的直线方程可以根据直线之间的距离求解. 【详解】选项A，显然直线的斜率存在，若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以， 故的充要条件是， A不正确； 选项B，若，则，解得，B正确； 选项C，若直线不经过第四象限，则解得，C正确； 选项D，若，则直线，即， 显然直线与直线平行， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则直线和到直线的距离相等， 则，解得， 所以时，直线关于直线对称的直线方程为，即，D正确． 10. 在直二面角中，，，，点M，N分别在线段和上移动，且，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. C. 当时，的长最小，且最小值为 D. 当的长最小时，点D到平面的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】通过建系求异面直线所成角的余弦值判断选项A；利用向量坐标表示并验证判断选项B；将化为关于的二次函数求最小值判断选项C；在最值点处求平面的法向量，用点到平面距离公式验证选项D． 【详解】在直二面角中，，， ，，两两垂直，以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，故，， 对于A，设直线与所成的角为，且， 则，，故A错误； 对于B，，，，， ，，， 又，，，故B正确； 对于C，，， 由二次函数性质得当时，取得最小值，即取得最小值， 得到，故C正确； 对于D，当时，，得到，， 设平面的法向量为，则， 令，解得，则， ，点D到平面的距离，故D错误． 11. 空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为．根据上面的材料，以下选项说法正确的是（ ） A. 若过点的平面方程为，则 B. 若平面的方程为，平面的方程为，则这两平面夹角的正弦值为 C. 若平面的方程为，则点在平面内的射影的坐标为 D. 若平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，，则直线l与平面的夹角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，考查点满足平面方程的条件，将点P代入平面方程，计算即可得到；对于B选项，考查面面角的求解，根据平面方程提取出平面、平面的法向量，分别为和，利用向量夹角公式，求出法向量夹角的余弦值，再计算得到平面夹角的正弦值；对于C选项，考查点在平面内的射影，根据平面方程提取出平面的法向量，设点在平面内的射影为，根据点满足平面的方程以及，联立解出点；对于D选项，考查线面角的求解，根据平面方程提取出平面、平面、平面的法向量，分别为、、，设平面和平面的交线l的方向向量为，根据，联立得到，设直线l与平面的夹角为，结合公式，即可求解. 【详解】对于A，把点代入，得，解得，故A正确； 对于B，因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为， 又平面的方程为，所以平面的一个法向量为， 所以， 则这两平面夹角的正弦值为，所以B错误； 对于C，因为平面的方程为，所以平面的一个法向量．设 点在平面内的射影为，则，且， 于是有，解得，所以，故C正确； 对于D，因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为； 因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为， 设直线l的方向向量为，则有 取，则，，则， 又因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为， 设直线l与平面的夹角为，则， 所以，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 方程所表示的直线恒过的定点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【详解】方程，即，由 可得， 所以方程所表示的直线恒过的定点坐标为． 13. 在空间直角坐标系中，已知，，，若直线的一个方向向量为，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线的方向向量与平行求出，进而得到和的坐标；再利用向量投影求出点到直线的距离，最后用三角形面积公式计算即可． 【详解】由题可知，，又直线的一个方向向量为，所以，解得， 所以，， 又，所以，且， 所以向量在向量上的投影向量的模长为， 故点A到直线的距离为， 所以． 14. 在四面体中，平面与平面互相垂直，，，为等腰三角形，且，，则异面直线与夹角的余弦值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点构造垂直关系，将向量分解简化运算，结合已知条件求解向量模长与数量积，最终计算夹角余弦值. 【详解】如图，取BD的中点O，连接OA，OC，则由题易得，，， 又因为平面平面CBD，平面平面，平面BCD， 所以平面ABD，所以，所以． ， 因为，所以， 设，由题意得 则，所以， 则，则． 设AC与BD夹角为，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 中，已知，，点为边的中点． （1）求边上的高所在直线的一般式方程； （2）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到点的坐标，进而根据得到的斜率即可求解； （2）根据（1）中点的坐标，分“直线过原点”和“直线不过原点”两种情况进行讨论即可. 【小问1详解】 因为，点为边的中点，所以有可得， 又因为，所以， 因为是边上的高， 所以有，即，解得， 所以高所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 由（1）知， ①当所求直线过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以有，解得，则所求直线方程为； ②当所求直线不过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以有，解得，则所求直线方程为． 综上，过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或． 16. 如图，正四面体的棱长为1，若E，F分别在棱，上，且，．设，，． （1）试用、、表示，并求的长度； （2）求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】（1），EF的长度为 （2） 【解析】 【分析】用空间向量基底表示向量，并求指定向量的长度和异面直线的夹角，注意根据给定多面体的几何性质得到基向量间的夹角. 【小问1详解】 易知， 所以． 由题意得，， 可得， 故EF的长度为． 【小问2详解】 由（1）知，，又， 所以， 又易知，， 设异面直线PF与BE所成的角为， 则， 即异面直线PF与BE所成的角的余弦值为． 17. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，且，，，F，G分别为线段，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为四边形为矩形，所以， 连接，在中，，，， 所以，所以， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以，两两垂直． 以为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易知，，，，所以． 易得为平面的一个法向量， 因为，所以， 又平面，所以∥平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先由矩形与勾股定理证平面，得三线两两垂直，再建系；求出与平面法向量垂直，证线面平行； （2）建系后写出坐标，求平面的法向量，利用两平面夹角余弦公式代入计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， 设平面的法向量为， 则令，得，即． 又平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． （1）求边所在直线的方程； （2）求点的坐标； （3）求的平分线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线得到直线的斜率，再结合点的坐标即可求解； （2）设点的坐标为，根据中点坐标公式得到的坐标，联立方程即可求解； （3）由（2）得到的坐标，根据角平分线上的点到角两边的距离相等列出方程，结合图形即可求解. 【小问1详解】 因为边上的高所在直线方程为，斜率为， 所以边所在直线的斜率为，且经过点， 因此边所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 设点的坐标为， 因为边上的高所在直线方程为，所以， 又因为点是边的中点，根据中点坐标公式，可得的坐标为， 由边所在直线的方程为， 所以，即， 由，解得，所以点的坐标为． 【小问3详解】 由（2）可得点的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即， 设的平分线所在的直线斜率为，其中任意一点的坐标为， 又直线所在直线的方程为，则， 所以，即或， 化简得或， 又因为，，所以， 所以结合图形可知的平分线所在直线的方程为． 19. 如图，平行六面体的底面是菱形，，，． （1）当，，时，求的长； （2）当，平面时， ①求的长； ②当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） （2）①1 ；② 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的数量积、数量积运算律及向量的模求解即可. （2）①根据垂直关系的向量表示、空间向量的数量积、数量积运算律求解即可. ②根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 如图，连接BD，， 设，，，由题易得，， 依题意，，，， 而． 所以 ，即． 【小问2详解】 ①由（1）知，令， 因为， 所以，，， 易知，，， 因为平面，平面，所以，， 即． 整理得， 而，解得，所以的长为1． ②当时，由①得，， ，则，， ， 而为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则 ， 而，即，则， ，即， 所以直线与平面所成的角的正弦值的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $