精品解析：河北邯郸市曲周县第一中学等校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

2026-2027学年高二上学期第一次月考 数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（     ） A. B. 2 C. D. 4 3. 如图，在正方体中，E，F，G分别是线段BD，，的中点，则异面直线AG与EF所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 已知向量，，，则三棱锥的体积为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在正方体的表面上运动，且平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B. 若直线：与直线：互相平行，则或2 C. 对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 二、多选题 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 10. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 在长方体中，，则直线与所成角的余弦值为_____. 13. 直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为______． 14. 如图，在棱长为的正方体中，点分别为棱的中点，点为侧面内部（不含边界）一动点，给出下列四个结论： ①当点运动时，平面截正方体所得的多边形可能为四边形、五边形或六边形； ②当点运动时，均有平面平面； ③当点为的中点时，直线平面； ④当点为的中点时，平面截正方体的外接球所得截面的面积为. 其中所有正确结论的序号是______. 四、解答题 15. 在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. （1）求直线的方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程； （3）求过点且与直线垂直的直线的方程. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点P到平面的距离． 18. 已知两直线，，两直线的交点为M. （1）求过点M，且与直线垂直的直线方程； （2）已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 19. 如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． （1）求线段的长度； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期第一次月考 数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】已知向量，，且， 则，解得，故B正确. 2. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（     ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线斜率公式先计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为 所以，，即，解得. 3. 如图，在正方体中，E，F，G分别是线段BD，，的中点，则异面直线AG与EF所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据线线夹角的向量公式求解即可． 【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，，所以，． 设异面直线AG与EF所成的角为， 则． 故选：C． 4. 如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 5. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 6. 已知向量，，，则三棱锥的体积为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平面的法向量，再利用向量求出点到平面的距离，然后利用向量求出点到直线的距离，进而求出的面积，最后利用三棱锥的体积公式即可. 【详解】设平面的法向量为， 则，则， 则点到平面的距离为， 又，， 则点到直线的距离为， 则， 故三棱锥的体积为. 7. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在正方体的表面上运动，且平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过面面平行可推出线面平行，找到P的轨迹，再求解轨迹长度. 【详解】 取 中点 ， 中点 ，连接, , , 为中点，为中点,所以, 平面，平面 所以; 设正方体 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，棱长为 2，则，，，， 所以，, 所以, 所以 ∵ 平面，平面,所以 又平面内，两条相交直线， 所以, 因为点在正方体的表面上运动，且平面， 因此的轨迹是平面与正方体表面相交形成的闭合折线段： , , , , 总轨迹长度：. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B. 若直线：与直线：互相平行，则或2 C. 对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】对于选项A，按照过点的直线过原点和不过原点进行讨论求解；对于选项B，利用两条直线平行的公式求出的值，将的值代入直线检验是否有平行，从而得到结论；对于选项C，利用两条直线垂直的公式求出的值，利用充分条件和必要条件求解；对于选项D，求出直线恒过的定点，求出，，结合图形得到的范围. 【详解】对于选项A，当过点的直线过原点时，此直线在两坐标轴上的截距均为， 截距相等，此时，此直线的斜率为，方程为； 当过点的直线不过原点时， 此直线在两坐标轴上截距相等，设此直线方程为， 代入，得到，解得， 设此直线方程为， 综上可知，过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为或，故选项A错误； 对于选项B，直线：与直线：互相平行， ，，或， 当时，直线：与直线：，； 当时，直线：与直线：，直线重合； 综上可知，直线：与直线：互相平行， 则，故选项B错误； 对于选项C，直线与直线垂直， ，，或， “”是“直线与垂直”的充分不必要条件， 故选项C正确； 选项D，直线转化为，，解得， 则直线恒过点， ，， 直线和以，为端点的线段相交， 或，故选项D错误. 故选：C. 二、多选题 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 10. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A：直线的方程可化为，由，解得， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B：直线的斜率为，直线与直线垂直， 则直线得斜率，故B错误. 对于C：由，令，解得，依题意，解得，故C正确； 对于D：依题意，因，由正切函数的性质，可得，故D错误. 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 在长方体中，，则直线与所成角的余弦值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】 根据异面直线所成角的求法求解；或建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法求解. 【详解】方法一：如图所示，连接，由，得四边形是平行四边形，所以. 所以即直线与所成的角. 在中，， ， ， 所以. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 方法二：长方体中，以为原点，分别以为轴建立如图空间直角坐标系， 则，所以. 设异面直线与所成角为，则. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 13. 直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，按截距是否为0分类，结合直线的截距式方程求解. 【详解】当直线在轴上的截距为零时，由直线过原点及，得方程为，即； 当直线在轴上的截距不为零时，设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，方程为，即， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 14. 如图，在棱长为的正方体中，点分别为棱的中点，点为侧面内部（不含边界）一动点，给出下列四个结论： ①当点运动时，平面截正方体所得的多边形可能为四边形、五边形或六边形； ②当点运动时，均有平面平面； ③当点为的中点时，直线平面； ④当点为的中点时，平面截正方体的外接球所得截面的面积为. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】通过分析正方体截面的特征可确定①错误；根据平行关系和线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可知②正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，由线面平行的向量证法可证得③正确；利用点到面的距离公式可求得球心到平面的距离，进而确定截面圆半径，得④正确. 【详解】对于①，如图所示， 当点运动时，平面截正方体所得的多边形可能为五边形或六边形，无法得到四边形，①错误； 对于②，连接， 分别为中点，，又，， 四边形为正方形，，； 平面，平面，，； 又，平面，平面， 平面，平面平面，②正确； 对于③，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， ，即，平面，③正确； 对于④，正方体的外接球半径， 又球心，， 球心到截面的距离， 截面圆半径，截面圆面积，④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】方法点睛：本题考查立体几何中的动点问题的求解，其中涉及到球的截面面积的求解问题，解决此类问题的常用方法是建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解球心到截面的距离，根据球的半径，截面圆半径和球心到截面的距离满足的关系式，即来求解所需条件. 四、解答题 15. 在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. （1）求直线的方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程； （3）求过点且与直线垂直的直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由直线方程的两点式得 ，即. 【小问2详解】 设过点且与直线平行 的直线的斜率为，由（1）知直线的斜率为1， 则有，由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线平行的直线的方程为. 【小问3详解】 设过点且与直线垂直的直线的斜率为， 由（1）知直线的斜率为1，则有， 由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线垂直的直线的方程为. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）因为平面 ，平面 ，所以， 由底面 是正方形，可得，又，且 平面 ， 根据线面垂直的判定定理，可得 平面  （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线与，即可推得结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算角度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则： ，即， 令，得，即平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成角为，则， 因为，​，， 所以，又，所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点P到平面的距离． 【答案】（1） 因为底面，底面，所以， 又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故， 又平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行； （2）求出平面的一个法向量，再由向量法求解； （3）求出向量，再由向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，设平面的法向量为， 则，取， 又平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 因为， 所以点P到平面的距离， 即点P到平面的距离为. 18. 已知两直线，，两直线的交点为M. （1）求过点M，且与直线垂直的直线方程； （2）已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）联立方程求出坐标，然后根据两直线垂直确定所求直线的斜率，进而得到所求直线的方程. （2）①根据两直线平行计算即可；②先求出点关于直线对称的点为，进而确定的最小值. 【小问1详解】 联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. 【小问2详解】 ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等. 所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. 19. 如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． （1）求线段的长度； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【解析】 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数基本关系求出余弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【小问1详解】 连接，因为为线段的中点，所以， 由题意知面面，且面面， 又面，所以平面，取边的中点记为，则． 以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 易知，所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以，，， 记平面的一个法向量， 所以 ，不妨取，得，即， 记直线与平面所成角为， 则， 考虑到，有，从而， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 【小问3详解】 设，其中． ， ， ，记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得，即， 则点到平面的距离， 整理得：，即， 解得或（舍去）， 所以当点位于线段的靠近点的三等分点时， 点到平面的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $