第一章 勾股定理 单元测试题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八上勾股定理单元复习卷，分A/B卷分层设计，贴合深圳中考题型，覆盖定理应用、折叠与立体最短路径等，适配普通班巩固与重点班提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8/24|勾股数判断、赵爽弦图面积|基础概念辨析，融入古算文化| |填空|5/15|网格线段计算、勾股树面积|考查几何直观与空间观念| |解答|7/61|折叠方程应用、立体表面路径、深圳港货轮建模|分层设计，综合推理能力与模型意识，贴合本地情境|

第一章 勾股定理 单元测试卷 答案与详细解析 2026–2027学年北师大版八年级上册数学 第一章 勾股定理 单元测试卷 答案与详细解析 2026–2027学年北师大版八年级上册数学 A卷 · 基础过关卷 答案与解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 答案：B 【知识点】勾股定理（两直角边求斜边） 【难度】基础 【来源】教材例题改编 【解析】在 Rt△ABC 中，∠C=90°，由勾股定理，斜边 AB=√(AC²+BC²)=√(4²+3²)=√(25)=5。 【易错警示】勾股定理 a²+b²=c² 中，c 必须是斜边（直角所对的边），先找准直角，再把直角边的平方相加。 2. 答案：B 【知识点】勾股定理（知斜边与一直角边求另一直角边） 【难度】基础 【来源】真题改编 【解析】∠C=90°，AB 为斜边。由勾股定理 AC²+BC²=AB²，得 AC=√(AB²-BC²)=√(10²-6²)=√(64)=8。 【易错警示】已知斜边求直角边时用减法（a²=c²-b²），不要把斜边平方与直角边平方相加。 3. 答案：B 【知识点】赵爽弦图；勾股定理验证 【难度】基础 【来源】教材改编（数学文化） 【解析】直角三角形斜边长 c=√(6²+8²)=√(100)=10，即大正方形边长为10。观察图形，每个直角三角形的长直角边为8、短直角边为6，中间小正方形的边长等于两直角边之差 8-6=2，所以小正方形面积为 2²=4。 【易错警示】小正方形的边长不是 8-6 之外的其他量；可通过“大正方形面积 10²=100，四个直角三角形面积和 4×1/2×6×8=96，小正方形面积 100-96=4”复核。 4. 答案：C 【知识点】勾股定理逆定理；勾股数判定 【难度】基础 【来源】真题改编 【解析】逐组检验较短两边的平方和是否等于最长边的平方：A. 1²+2²=5≠9=3²；B. 2²+3²=13≠16=4²；C. 3²+4²=25=5²，能组成直角三角形；D. 4²+5²=41≠36=6²。故选 C。 【易错警示】判定时必须用“两条较短边的平方和”与“最长边的平方”比较，三边顺序先排大小再计算。 5. 答案：B 【知识点】网格中求线段长（格点线段） 【难度】基础 【来源】真题改编 【解析】以线段 AB 为斜边构造直角三角形：横向直角边长为4、纵向直角边长为3。由勾股定理，AB=√(4²+3²)=√(25)=5。 6. 答案：C 【知识点】勾股定理实际应用（云梯靠墙） 【难度】基础 【来源】深圳建筑工地/消防云梯情境，真题改编 【解析】墙与地面垂直，△ABC 为直角三角形，∠C=90°，云梯 AB=17 m 为斜边，BC=8 m。则 AC=√(AB²-BC²)=√(17²-8²)=√(225)=15 m。 【易错警示】梯子长度是斜边，墙高和梯脚到墙脚的水平距离是两条直角边，注意对号入座。 7. 答案：B 【知识点】勾股定理实际应用（门框对角线） 【难度】基础 【来源】教材例题改编 【解析】门框为宽1 m、高2 m 的长方形，对角木条与门框的宽、高构成直角三角形，木条长为斜边：l=√(1²+2²)=√(5) m。比较大小 √(5)≈2.24<3，故选 B。 【易错警示】对角线是长方形中能容纳的最长直线段，“至少长”即取对角线长度。 8. 答案：A 【知识点】方位角与勾股定理（垂直方向行走） 【难度】基础 【来源】深圳海滨栈道情境，真题改编 【解析】正东方向与正北方向互相垂直，△OAB 中∠O=90°，OA=600 m、OB=800 m 为两条直角边。两人直线距离 AB=√(600²+800²)=√(1000000)=1000 m。 【易错警示】两人走的距离是直角边，不是斜边；路程之和1400 m 不是直线距离。 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 答案：100 或 28 【知识点】勾股定理；分类讨论（未指明斜边） 【难度】基础 【来源】真题改编（经典易错题） 【解析】题目只说“直角三角形的两边长为6和8”，未指明8是否为斜边，需分两种情况： ① 当6、8都是直角边时，第三边（斜边）的平方为 6²+8²=100； ② 当8为斜边、6为直角边时，第三边（另一直角边）的平方为 8²-6²=64-36=28。 【易错警示】本题最易漏解。看到两边长先问“哪边是斜边”，最长边才可能是斜边，故8可能为直角边也可能为斜边。 10. 答案：√13 【知识点】网格/坐标中两点间距离 【难度】基础 【来源】教材改编 【解析】分别过 A、B 作水平、竖直网格线交于格点，构成直角三角形，横向距离为3、纵向距离为2。AB=√(3²+2²)=√(13)。 11. 答案：60 【知识点】等腰三角形性质；勾股定理求高；三角形面积 【难度】基础 【来源】真题改编 【解析】等腰三角形底边上的高也是底边中线（等腰三角形“三线合一”），故 BD=1/2BC=5。在 Rt△ABD 中，AD=√(AB²-BD²)=√(13²-5²)=√(144)=12。所以面积 S=1/2× BC× AD=1/2×10×12=60。 12. 答案：直角三角形 【知识点】勾股定理逆定理判定三角形形状 【难度】基础 【来源】真题改编 【解析】最长边为25。因为 7²+24²=49+576=625=25²，满足勾股定理逆定理条件，所以该三角形是直角三角形（长为25的边所对的角为直角）。 【易错警示】逆定理判定后，直角在最长边所对的顶点处，不要写成“边长25的角是直角”。 13. 答案：18 【知识点】勾股树；正方形面积与勾股定理的关系 【难度】中档 【来源】教材改编（规律探究） 【解析】勾股树的基本关系：直角三角形两直角边上正方形面积之和等于斜边上正方形面积。逐层向上累加：A、B 上方正方形面积为 4+9=13，C、D 上方正方形面积为 1+4=5，最大正方形 E 的面积为 13+5=18（也可直接理解为 S_E=S_A+S_B+S_C+S_D=4+9+1+4=18）。 【易错警示】勾股树中无论分支多少，最外层各小正方形面积之和始终等于最大正方形面积，这是勾股定理“面积语言”的反复使用。 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14.【基础】（8分） 【知识点】勾股定理直接计算（求斜边、求直角边） 【来源】教材改编 【答案】 （1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，由勾股定理： AB=√(AC²+BC²)=√(12²+5²)=√(169)=13。 （4分） （2）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB 为斜边，由勾股定理： AC=√(AB²-BC²)=√(17²-8²)=√(225)=15。 （4分） 15.【基础】（8分） 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用（判定垂直） 【来源】深圳装修验收情境，真题改编 【答案】 ∠ABC 是直角。（2分） 理由：在△ABC 中，AB=80 cm，BC=60 cm，AC=100 cm。 因为 AB²+BC²=80²+60²=6400+3600=10000, AC²=100²=10000, 所以 AB²+BC²=AC²。（4分） 根据勾股定理的逆定理，△ABC 是直角三角形，且最长边 AC 所对的∠ABC=90°，即角架的夹角为直角，验收合格。（2分） 【易错警示】逆定理应用要先找最长边（本题为 AC=100），验证两条较短边的平方和等于最长边平方，再指出直角在最长边所对的顶点 B。 16.【基础】（8分） 【知识点】勾股定理实际应用（折断模型） 【来源】深圳台风季情境，真题改编 【答案】 设旗杆折断处为 B，旗杆底部为 C，旗杆顶部落地处为 A，则 BC⊥AC，∠C=90°，BC=5 m，AC=12 m。（2分） 折断后斜段 AB 的长由勾股定理得： AB=√(BC²+AC²)=√(5²+12²)=√(169)=13 m。 （4分） 旗杆折断前的总高度为未断部分与折断部分之和： BC+AB=5+13=18 m。 （2分） 答：旗杆折断前的总高度为18 m。 【易错警示】折断后斜段与残留竖段、地面水平距离构成直角三角形；原旗杆高度是“残留高度 + 斜段长”，不是只有斜段长。 17.【基础】（8分） 【知识点】网格作图；无理数线段；格点直角三角形 【来源】教材改编（动手操作） 【答案】 （1）因为 √(13)=√(3²+2²)，在图①中取两个格点，使它们横向相差3格、纵向相差2格，连接所得线段长即为√13（其他合理画法同样给分）。（4分） （2）在图②中取三个格点，例如取 P(2,2)、Q(3,3)、R(5,1)，依次连接 PQ、QR、RP： · 直角边 PQ 横向跨1格、纵向跨1格，PQ=√(1²+1²)=√(2)； · 直角边 QR 横向跨2格、纵向跨−2格，QR=√(2²+2²)=√(8)； · 两条直角边所在方向：一个“横1纵1”、一个“横2纵−2”，横向格数乘积与纵向格数乘积之和为 1×2+1×(-2)=0，两边互相垂直，∠PQR=90°； · 斜边 PR=√(PQ²+QR²)=√(2+8)=√(10)。 故 △PQR 三边长分别为 √2、√8、√10，且为直角三角形，三顶点均在格点上，符合要求（其他合理画法同样给分）。（4分） 【易错警示】①网格中画无理数线段，关键是把根号内的数拆成两个整数的平方和（如 13=9+4、2=1+1、8=4+4、10=9+1），再按“横几格、纵几格”找点；②画格点直角三角形时，两条直角边所在方向要互相垂直：一条“横 a 纵 b”，另一条取“横 b 纵 −a”或“横 −b 纵 a”即可保证垂直。 18.【基础】（8分） 【知识点】矩形折叠；折叠的性质；勾股定理与方程思想 【来源】真题改编（深圳莲花中学同类题改编） 【答案】 （1）由折叠的性质，折叠前后对应边相等，所以 AF=AD=15。（1分） 在 Rt△ABF 中，∠B=90°，AB=9，由勾股定理： BF=√(AF²-AB²)=√(15²-9²)=√(144)=12。 （3分） （2）因为 BC=AD=15，所以 FC=BC-BF=15-12=3。（1分） 设 EC=x。由折叠知 DE=FE，又 DE+EC=CD=AB=9，所以 EF=DE=9-x。（1分） 在 Rt△EFC 中，∠C=90°，由勾股定理： EC²+FC²=EF², x²+3²=(9-x)², x²+9=81-18x+x², 18x=72, x=4。 所以 EC=4。（2分） 【易错警示】折叠问题抓“对应边相等”：AD=AF、DE=FE；设未知数后把三条边都用 x 表示，在含直角的小三角形中列方程。 19.【中档】（9分） 【知识点】立体图形表面最短路径；长方体侧面展开；勾股定理 【来源】真题改编（深圳实验光明学校同类长方体题改编，包装盒情境） 【答案】 （1）将长方体的底面与右面展开到同一平面内（如图②），连接 MN，线段 MN 即为最短路线（两点之间线段最短）。（3分） （2）展开后，点 M 在棱 AB 上且 AM=4 cm，点 N 为棱 FG 的中点。 展开图中，从 M 到 N 的水平方向跨度为 MB+1/2FG=(12-4)+1/2×8=8+4=12 cm，竖直方向（沿宽 BF）跨度为9 cm。 由勾股定理： MN=√(12²+9²)=√(144+81)=√(225)=15 cm。 （5分） 答：小虫从点 M 爬到点 N 的最短路程为15 cm。（1分） 【易错警示】表面最短路径必须“展开成平面后连线段”；本题沿“底面+右面”展开得到15 cm，为各种展开方式中的最小值，立体图形上的折线都不会比展开后的线段更短。 20.【提高】（12分）★ 【知识点】方位角建模；勾股定理；方程思想（动态距离） 【来源】教材原型创新（深圳港航物流情境） 【建模思路】本题的核心是把航海情境抽象为直角三角形模型：两船航向分别为正北、正东，互相垂直，故任一时刻两船与港口构成直角三角形，两船与港口的距离为两条直角边，两船间距为斜边。第(1)问求直角边，第(2)问求斜边，第(3)问把时间 t 作为未知数，利用“斜边=45”建立方程求解。 【答案】 （1）出发2小时后： 甲货轮 OA=12×2=24 海里； 乙货轮 OB=9×2=18 海里。（3分） （2）因为正北方向与正东方向垂直，∠AOB=90°，在 Rt△AOB 中，由勾股定理： AB=√(OA²+OB²)=√(24²+18²)=√(900)=30 海里。 （4分） （3）设经过 t 小时两货轮相距45海里。此时甲货轮距港口 12t 海里，乙货轮距港口 9t 海里，两船间距为斜边： √((12t)²+(9t)²)=√(144t²+81t²)=√(225t²)=15t。 令 15t=45，解得 t=3。 检验：t=3 为正数，符合实际。（4分） 答：（1）OA=24 海里，OB=18 海里；（2）两货轮相距30 海里；（3）经过3小时，两货轮之间的距离恰好为45海里。（1分） 【易错警示】①两船的速度、时间要对应到直角边长度，不要把航速直接当距离；②第(3)问列方程时两船间距为 √((12t)²+(9t)²)=15t，注意速度12、9、15 恰为一组勾股数的3倍关系（3×(3,4,5)），可速算；③第(3)问的时间 t 从出发时刻算起，不是从第2小时之后算起。 B卷 · 培优提升卷 答案与解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 答案：B 【知识点】勾股数的概念 【难度】基础 【来源】教材改编（题库第13题同类） 【解析】勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两较小数的平方和等于最大数的平方。A项0.3、0.4、0.5虽满足 0.3²+0.4²=0.5²，但不是正整数；C项 1²+2²=5≠9=3²；D项含无理数 √(3)、√(5)，且不是整数；B项6、8、10为正整数，且 6²+8²=36+64=100=10²，是勾股数。 【易错警示】勾股数的“数”专指正整数，小数和无理数即使满足平方关系也不是勾股数。 2. 答案：A 【知识点】勾股定理（按比例设元） 【难度】基础 【来源】真题改编（3:4:5比例模型） 【解析】设三边长分别为 3x、4x、5x（x>0）。最长边为 5x、最短边为 3x，由题意 5x-3x=6，解得 x=3。周长为 3x+4x+5x=12x=12×3=36。 【易错警示】按比例设元后，要把“最长边比最短边长6”翻译为 5x-3x=6，不要错写成 5x-4x=6。 3. 答案：A 【知识点】赵爽弦图；面积法 【难度】中档 【来源】真题改编（弦图面积模型，题库第3、4题同类） 【解析】设直角三角形两直角边为 a、b（a<b），斜边为 c。大正方形边长等于斜边长，故 c²=13。四个直角三角形的面积之和为 4×3=12。由“大正方形面积=四个直角三角形面积+小正方形面积”，得小正方形面积为 13-12=1。 【易错警示】弦图中：大正方形面积=斜边平方；四个三角形面积之和=2ab；小正方形面积=(b-a)²。本题 ab=6、a²+b²=13，对应直角边为2和3，(3-2)²=1，可复核。 4. 答案：B 【知识点】直角三角形折叠；勾股定理与方程思想 【难度】中档 【来源】真题改编（题库第37题） 【解析】D 为 BC 中点，故 BD=1/2BC=3。由折叠的性质，折叠后 AN=DN。设 BN=x，则 AN=DN=AB-BN=9-x。在 Rt△BDN 中，∠B=90°，由勾股定理： BN²+BD²=DN², x²+3²=(9-x)², x²+9=81-18x+x², 18x=72, x=4。 故 BN=4。 【易错警示】折叠问题先找“对应边相等”：A 折到 D，折痕上的点 N 到 A、D 距离相等，即 AN=DN；设未知数后把 BN、DN 都用 x 表示，在小直角三角形 BDN 中列方程。 5. 答案：A 【知识点】网格中求线段长；勾股定理的逆定理；三角形面积 【难度】中档 【来源】真题改编（题库第17题同类，坐标数据调整） 【解析】由网格中两点距离： AB²=4²+2²=20, AB=2√(5); BC²=(4-3)²+(2-4)²=1+4=5, BC=√(5); AC²=3²+4²=25, AC=5。 因为 AB²+BC²=20+5=25=AC²，由勾股定理的逆定理，∠B=90°。所以 S△ABC=1/2· AB· BC=1/2×2√(5)×√(5)=5。 【易错警示】网格中求面积，先用“横纵格数差平方和”求三边平方，再用逆定理判断直角，确认是直角三角形后用两直角边求面积；不要直接用底乘高找高。 6. 答案：A 【知识点】圆柱侧面展开；最短路径 【难度】中档 【来源】真题改编（题库第42题） 【解析】将圆柱侧面沿过点 A 的母线展开为长方形：长方形的长为底面周长18 m、宽为圆柱的高12 m。点 A 在下底边缘，点 B 在上底与 A 正对处，展开后两点横向相距半周长 18÷2=9 m、纵向相距高12 m。由勾股定理： AB=√(9²+12²)=√(81+144)=√(225)=15 m。 【易错警示】“正对”（同一轴截面内）两点展开后横向相距半周长；“绕一周”才相距一个整周长，注意区分。 7. 答案：A 【知识点】勾股定理的面积形式；半圆面积；整体代换 【难度】提高 【来源】原创（希波克拉底月牙定理初中适配版） 【解析】设以 AC=3、BC=4、AB=5 为直径的半圆面积分别为 S₁、S₂、S₃。半圆面积 =1/2π r²=(π d²)/(8)，故 S₁+S₂=π/8(AC²+BC²)=π/8(3²+4²)=(25π)/(8), S₃=π/8· AB²=π/8×5²=(25π)/(8)。 两个月牙面积之和 =S₁+S₂+S△ABC-S₃（两个小半圆加三角形，减去与三角形重叠的大半圆），即 S月牙=(S₁+S₂-S₃)+S△ABC=0+1/2×3×4=6。 【易错警示】月牙面积看似含 π，实际由勾股定理 AC²+BC²=AB²，小半圆面积和恰等于大半圆面积，π 项整体抵消，月牙面积和就等于直角三角形的面积。 8. 答案：A 【知识点】动点问题；点到直线的距离；等面积法求高 【难度】中档 【来源】真题改编（题库第7题等面积模型） 【解析】点 P 在斜边 AB 上运动，CP 的长度随 P 的位置变化。根据“直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短”，当 CP⊥AB 时 CP 最短，此时 CP 就是斜边 AB 上的高。由三角形面积的两种表示： 1/2· AC· BC=1/2· AB· CP, CP=(AC· BC)/(AB)=(6×8)/(10)=24/5。 【易错警示】斜边上的高不能用“斜边一半”（斜边中线定理本章未学且 P 是动点不是中点），必须用等面积法 h=(两直角边乘积)/(斜边) 求。 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 答案：25 【知识点】长方体表面展开；最短路径的多方案比较 【难度】中档 【来源】真题改编（题库第50题经典三展开模型，礼盒情境） 【解析】蚂蚁从下底面前左顶点 A 到后右竖棱上的点 P（P 距上顶点 G 为5 cm，即距底面 20-5=15 cm），将长方体表面展开为平面，两点之间线段最短。比较三种本质不同的展开方式： ① 前面与右面展开到同一平面：直角边为高20 cm 和 10+5=15 cm，路程 √(20²+15²)=√(625)=25 cm； ② 前面与上面展开（越过顶面）：直角边为 20+5=25 cm 和宽10 cm，路程 √(25²+10²)=√(725)=5√(29)≈26.9 cm； ③ 经左面/下面三面翻折展开：直角边为 20+10=30 cm 和 15-5=10 cm，路程 √(30²+10²)=√(1000)=10√(10)≈31.6 cm。 比较得最短路程为 25 cm。 【易错警示】长方体表面最短路径必须把三种本质不同的展开方式都算出来再比较，不能只展开一种；展开后找准直角三角形的两条直角边分别由哪些棱长拼接而成。 10. 答案：12 【知识点】勾股定理；方程思想（《九章算术》葭生池中） 【难度】基础 【来源】古题改编（题库第59题，教材1.3例题同源） 【解析】设水深为 x 尺，则芦苇长为 (x+1) 尺。芦苇生于水池中央，拉向池边的水平距离为池边长的一半 10÷2=5 尺。芦苇顶端恰好到达池边水面时，水深、半池宽与芦苇长构成直角三角形。由勾股定理： x²+5²=(x+1)², x²+25=x²+2x+1, 2x=24, x=12。 故水深12尺（芦苇长13尺）。 【易错警示】芦苇长=水深+出水1尺，斜边是芦苇长而不是水深；水平距离是半池宽5尺而非池边长10尺。 11. 答案：√(5) 【知识点】勾股定理；无理数在数轴上的表示 【难度】基础 【来源】教材改编（衔接第二章实数） 【解析】直角三角形两直角边长为2和1，斜边长为 √(2²+1²)=√(5)。以原点为圆心、斜边长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点到原点的距离等于半径 √(5)，故该交点表示的数为 √(5)。 【易错警示】弧的半径是直角三角形的斜边长 √(5)，不是直角边长2；交点在正半轴上表示 +√(5)。 12. 答案：2√(5) 【知识点】矩形折叠（对角顶点重合）；折痕长；勾股定理与方程思想 【难度】中档 【来源】真题改编（题库第40、36题同类，数据调整） 【解析】由折叠知折痕 EF 是线段 AC 的垂直平分线，折痕上的点到 A、C 距离相等，故 AF=CF，AE=CE。设 AF=CF=x，则 BF=BC-CF=8-x。在 Rt△ABF 中，∠B=90°： 4²+(8-x)²=x², 16+64-16x+x²=x², 16x=80, x=5。 所以 AF=5，BF=3；同理 AE=5。过点 F 作 FH⊥AD 于 H，则 FH=AB=4，EH=AE-BF=5-3=2。在 Rt△EFH 中： EF=√(FH²+EH²)=√(4²+2²)=√(20)=2√(5)。 【易错警示】A、C 重合折叠时，折痕是 AC 的中垂线，故折痕上的 E、F 两点都满足“到 A、C 距离相等”，据此先求 AF、AE，再用水平竖直方向的间距构造直角三角形求折痕长。 13. 答案：16(n+1) 【知识点】勾股树递推规律；等腰直角三角形；面积关系 【难度】中档 【来源】原创（题库第56题模型改编，初始面积改为16） 【解析】每次生长时，以一个正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以两条直角边为边作两个新正方形。设原正方形面积为 S，由勾股定理，两个新正方形面积之和等于斜边上正方形的面积 S，即每次“生长”出的两个新正方形面积之和等于上一代正方形面积：第1次生长新增面积16，第2次生长新增面积 8+8=16……每次生长新增的面积总和都是16。故生长 n 次后： S_n=16+16n=16(n+1)。 检验：n=0 时 S₀=16；n=1 时 S₁=32；图③对应 n=2，S₂=48，均与图示吻合。 【易错警示】规律探究要抓住“新增量”：无论生长到第几代，每一代两个小正方形面积之和恒等于它们上一代正方形面积，故每次生长新增总面积恒等于初始正方形面积16，而不是逐代翻倍。 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14.【基础】（8分） 【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；四边形面积分割 【来源】深圳地块测绘情境，真题改编 【答案】 （1）在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=24，BC=7，由勾股定理： AC=√(AB²+BC²)=√(24²+7²)=√(576+49)=√(625)=25 m。 （3分） （2）在△ACD 中，DA=15，CD=20，AC=25。因为 DA²+CD²=15²+20²=225+400=625=25²=AC², 根据勾股定理的逆定理，△ACD 是直角三角形，且∠D=90°。（3分） 所以四边形 ABCD 的面积为 SABCD=S△ABC+S△ACD=1/2×24×7+1/2×15×20=84+150=234 m²。 （2分） 答：对角线 AC 长25 m，四边形地块 ABCD 的面积为234 m²。 【易错警示】四边形求面积先连对角线分割为两个三角形；第二个三角形必须先用逆定理验证是直角三角形，才能用“两直角边乘积的一半”求面积。 15.【基础】（8分） 【知识点】轴对称（反射）求最短路径；勾股定理实际应用 【来源】深圳供水工程情境，真题改编 【答案】 作法：作点 B 关于河岸边所在直线的对称点 B′，连接 AB′，与河岸边交于点 P，则点 P 即为所求水泵站位置。（画图3分：对称点、连线、交点 P） 理由：由对称性，PB=PB’，故 PA+PB=PA+PB’=AB’。根据“两点之间线段最短”，此时输水管总长度最短。（2分） 过 A 作河岸的垂线，过 B′ 作河岸的平行线（或构造直角三角形）：A 到河岸距离为3，B 到河岸距离为6，故 A、B′ 的竖直距离为 3+6=9 km；两垂足相距12 km，即 A、B′ 的水平距离为12 km。在直角三角形中： AB’=√(12²+9²)=√(144+81)=√(225)=15 km。 （2分） 答：水泵站建在 AB′ 与河岸的交点 P 处时，输水管总长度最短，最短总长度为 15 km。（1分） 【易错警示】河流同侧两点的最短路径问题，用“轴对称反射”把同侧转化为异侧（七下轴对称已学）：反射点与另一点的连线和河流的交点即为所求；构造直角三角形时，竖直直角边是两村到河距离之和 3+6=9，不是距离之差。 16.【中档】（8分） 【知识点】矩形沿对角线折叠；平行线性质；等腰三角形判定；勾股定理与方程思想 【来源】真题改编（题库第38题） 【答案】 （1）证明：由折叠的性质，折叠前后对应角相等，故 ∠EBD=∠CBD。因为四边形 ABCD 是长方形，AD∥BC，所以 ∠EDB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。因此 ∠EBD=∠EDB，所以 BE=DE。（3分） （2）设 DE=x，由（1）知 BE=DE=x。因为 AD=BC=8，所以 AE=AD-DE=8-x。在 Rt△ABE 中，∠A=90°，AB=4，由勾股定理： AB²+AE²=BE², 4²+(8-x)²=x², 16+64-16x+x²=x², 16x=80, x=5。 所以 DE=5。（3分） （3）△BDE 以 DE 为底，AB（长方形的宽）为 DE 边上的高： S△BDE=1/2· DE· AB=1/2×5×4=10。 （2分） 答：DE 的长为5，△BDE 的面积为10。 【易错警示】沿对角线折叠问题的关键是用“折叠对应角相等+平行线内错角相等”推出等腰三角形 BE=DE，再设未知数列方程；求面积时底 DE 在边 AD 上，对应的高就是长方形的宽 AB。 17.【中档】（8分） 【知识点】圆柱侧面展开；最短路径（半周/绕一周两种情形） 【来源】深圳油库储油罐/公园景观柱情境，真题改编（题库第41、43题） 【答案】 （1）将储油罐侧面展开为长方形：长为底面周长24 m、宽为高16 m。A 在下底边缘、B 在上底与 A 正对处，展开后两点横向相距半周长 24÷2=12 m、纵向相距16 m。由勾股定理： AB=√(12²+16²)=√(144+256)=√(400)=20 m。 壁虎沿侧面爬行的最短路程为20 m。（4分） （2）灯带绕景观柱一周，将侧面展开为长方形：长为底面周长10 m、宽为高24 m。灯带起点 A 与终点 B 展开后横向相距一个整周长10 m、纵向相距24 m。由勾股定理： AB=√(10²+24²)=√(100+576)=√(676)=26 m。 灯带的最短长度为26 m。（4分） 答：（1）最短路程20 m；（2）灯带最短长度26 m。 【易错警示】展开长方形中横向取“半周长”还是“整周长”，取决于路径在柱面上跨过的圆周范围：上下正对（半周位置）取半周长，绕一周取整周长；纵向始终取圆柱的高。 18.【中档】（8分） 【知识点】方位角建模；勾股定理；等面积法求高；勾股数递推 【来源】深圳梧桐山登山情境，真题改编（题库第16题航海模型） 【答案】 （1）出发1分钟后：甲队 OA=30×1=30 米，乙队 OB=40×1=40 米。正北方向与正东方向互相垂直，∠AOB=90°，在 Rt△AOB 中： AB=√(OA²+OB²)=√(30²+40²)=√(900+1600)=√(2500)=50 米。 （3分） （2）O 到线段 AB 的最短距离为斜边 AB 上的高 h（垂线段最短）。由三角形面积： 1/2· OA· OB=1/2· AB· h, h=(OA· OB)/(AB)=(30×40)/(50)=24 米。 （3分） （3）甲队再走15米后 OC=30+15=45 米，乙队再走20米后 OD=40+20=60 米，∠COD=90°。在 Rt△COD 中： CD=√(OC²+OD²)=√(45²+60²)=√(2025+3600)=√(5625)=75 米。 （2分） 答：（1）A、B 两队相距50米；（2）大本营 O 到 AB 的最短距离为24米；（3）C、D 两队相距75米。 【易错警示】三问数据是两组勾股数的倍数关系：30-40-50 与 45-60-75（分别为 3-4-5 的10倍、15倍），第（2）问的“最短距离”指点到直线的垂线段长，用等面积法求，不要误用斜边一半。 19.【提高】（9分）★ 【知识点】赵爽弦图证明勾股定理；伽菲尔德梯形证法；面积恒等式 【来源】教材原型创新（数学文化探究，题库缺口建议第4条） 【建模思路】本题用两种面积法验证同一个定理：弦图从“大正方形面积=四个直角三角形+小正方形”出发；梯形证法从“梯形面积=三个直角三角形面积之和”出发。两种证法的共同思想是：用不同方式计算同一图形的面积，建立恒等式后化简出 a²+b²=c²。 【答案】 （1）证明：图①中大正方形的边长为斜边长 c，其面积为 c²；大正方形由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成。每个直角三角形面积为 1/2ab；小正方形的边长为 b-a，面积为 (b-a)²。由面积关系： c²=4×1/2ab+(b-a)²=2ab+b²-2ab+a²=a²+b²。 即 a²+b²=c²，勾股定理得证。（4分） （2）当 a=6、b=8 时，斜边长 c=√(a²+b²)=√(6²+8²)=√(100)=10。大正方形面积为 c²=100；小正方形的边长为 b-a=8-6=2，面积为 2²=4。（2分） （3）证明：图②中直角梯形的上底为 a、下底为 b、高为 a+b，其面积为 S梯形=1/2(a+b)(a+b)=1/2(a+b)²。 梯形由两个全等的直角三角形（面积各为 1/2ab）和一个等腰直角三角形 AED（直角边均为 c，面积为 1/2c²）拼成，故 S梯形=2×1/2ab+1/2c²=ab+1/2c²。 于是 1/2(a+b)²=ab+1/2c², 两边乘2并展开：a²+2ab+b²=2ab+c²，化简得 a²+b²=c²。 勾股定理再次得证。（3分） 【易错警示】面积法证明的书写要点：①同一图形用两种方式表示面积；②列出恒等式后利用完全平方公式展开、消去含 ab 的项，剩下的就是 a²+b²=c²。梯形证法中三个三角形的面积不要漏数中间的等腰直角三角形。 20.【提高】（12分）★ 【知识点】长方体表面最短路径；动点分类讨论；方程思想与方案决策 【来源】原创（深圳物流仓库情境，题库第50题模型升级为动点决策） 【建模思路】动点 M 在竖棱 AE 上的位置 x 改变了展开图中直角三角形两条直角边的拼接方式：x 越小（M 越靠近底面 A），走“前面+右面”类展开越有利；x 越大（M 越靠近顶面 E），走经过顶面的“前面+上面”类展开越有利。第（3）问令两类路程相等求分界点，再比较决策。 【答案】 （1）当 x=0 时，M 与 A 重合。比较三种本质展开，最短路程为“前面+右面”展开：直角边分别为 12+9=21 dm 和高20 dm： d最小=√(21²+20²)=√(441+400)=√(841)=29 dm。 （3分） （2）当 x=20 时，M 与 E 重合。由点 E 经过顶面 EFGH 到顶点 G，展开后直角边分别为长12 dm、宽9 dm： d最小=√(12²+9²)=√(144+81)=√(225)=15 dm。 （3分） （3）① 令 d₁=d₂： √(21²+(20-x)²)=√(12²+(29-x)²), 两边平方： 441+(20-x)²=144+(29-x)²。 设 u=20-x，则 29-x=9+u，代入： 441+u²=144+(9+u)²=144+81+18u+u²=225+18u+u², 18u=216, u=12, 所以 x=20-u=20-12=8。 即当 x=8 时，d₁=d₂。（3分） ② 检验：x=0 时 d₁=29、d₂=√(12²+29²)=√(985)≈31.4，d₁<d₂；x=20 时 d₁=√(21²+0)=21、d₂=15，d₂<d₁。故当 0≤ x<8 时方式一更短，8<x≤20 时方式二更短（x=8 时两者相等）。 又 d₁=√(441+(20-x)²) 与 d₂=√(144+(29-x)²) 在 0≤ x≤20 上都随 x 的增大而减小，故当 x=20（即点 M 与点 E 重合）时，蚂蚁从点 M 到点 G 的路程最短，最短为 15 dm。（3分） 答：（1）最短路程为29 dm；（2）最短路程为15 dm；（3）① x=8；② 0≤ x<8 时方式一更短，x=20 时总路程最短，最短为15 dm。 【易错警示】①动点在棱上时，展开图的直角边随 x 变化，要写出每类展开路程关于 x 的表达式再比较，不能套用某一固定展开的结论；②令两类路程相等解出分界点后，要代入分界点两侧的数值验证大小关系；③两个路程表达式都随 x 增大而减小，故最短出现在区间端点 x=20，而非分界点。 附录 附录一 A卷双向细目表 题号 题型 分值 难度 知识点 教材章节 核心素养 目标层次 情境类型 命题来源 1 选择 3 基础 勾股定理求斜边 §1.1 几何直观、运算能力 L1 无 教材例题改编 2 选择 3 基础 勾股定理求直角边 §1.1 运算能力 L1 无 真题改编 3 选择 3 基础 赵爽弦图验证定理 §1.1 几何直观、推理能力 L2 数学文化 教材改编 4 选择 3 基础 逆定理判定勾股数 §1.2 推理能力 L1 无 真题改编 5 选择 3 基础 网格中求线段长 §1.1 几何直观、运算能力 L2 网格 真题改编 6 选择 3 基础 云梯靠墙实际应用 §1.3 模型观念、运算能力 L2 深圳建筑工地/消防 真题改编 7 选择 3 基础 门框对角线实际应用 §1.3 模型观念 L2 生活（木工） 教材例题改编 8 选择 3 基础 方位垂直行走求距离 §1.3 模型观念、运算能力 L2 深圳海滨栈道 真题改编 9 填空 3 基础 分类讨论求第三边 §1.1 推理能力、运算能力 L2 无 真题改编 10 填空 3 基础 网格坐标两点距离 §1.1 几何直观、运算能力 L1 网格 教材改编 11 填空 3 基础 等腰三角形作高求面积 §1.1 推理能力、运算能力 L2 无 真题改编 12 填空 3 基础 逆定理判定三角形形状 §1.2 推理能力 L1 无 真题改编 13 填空 3 中档 勾股树面积规律 §1.1 几何直观、推理能力 L3 规律探究 教材改编 14 解答 8 基础 勾股定理基本计算 §1.1 运算能力 L1 无 教材改编 15 解答 8 基础 逆定理判定垂直 §1.2 模型观念、推理能力 L2 深圳装修验收 真题改编 16 解答 8 基础 折断模型实际应用 §1.3 模型观念、运算能力 L2 深圳台风季旗杆 真题改编 17 解答 8 基础 网格作无理数线段/直角三角形 §1.1/§1.2 几何直观、动手操作 L2 网格作图 教材改编 18 解答 8 基础 矩形折叠+方程思想 §1.3 模型观念、运算能力 L3 折纸 真题改编 19 解答 9 中档 长方体表面最短路径 §1.3 空间观念、模型观念 L3 礼盒包装 真题改编 20 解答 12 提高 方位建模+方程综合 §1.3 模型观念、运算能力、应用意识 L4 深圳港航物流 教材原型创新 附录二 B卷双向细目表 题号 题型 分值 难度 知识点 教材章节 核心素养 目标层次 情境类型 命题来源 1 选择 3 基础 勾股数概念辨析 §1.2 推理能力 L1 无 教材改编 2 选择 3 基础 3:4:5比例设元求周长 §1.1 运算能力 L2 无 真题改编 3 选择 3 中档 赵爽弦图面积关系 §1.1 几何直观、推理能力 L3 数学文化 真题改编 4 选择 3 中档 直角三角形折叠+方程 §1.3 模型观念、运算能力 L3 折纸 真题改编 5 选择 3 中档 网格逆定理+面积 §1.1/§1.2 几何直观、推理能力 L3 网格 真题改编 6 选择 3 中档 圆柱侧面最短路径 §1.3 空间观念、模型观念 L3 储油罐 真题改编 7 选择 3 提高 半圆面积关系（月牙定理） §1.1 几何直观、推理能力 L4 数学探究 原创 8 选择 3 中档 动点问题+等面积法求高 §1.1/§1.3 模型观念、几何直观 L3 无 真题改编 9 填空 3 中档 长方体三展开方案比较 §1.3 空间观念、模型观念 L4 礼盒 真题改编 10 填空 3 基础 葭生池中方程建模 §1.3 模型观念、运算能力 L2 数学文化 古题改编 11 填空 3 基础 数轴上表示√n §1.2 几何直观、运算能力 L2 数轴 教材改编 12 填空 3 中档 矩形折叠求折痕 §1.3 模型观念、运算能力 L4 折纸 真题改编 13 填空 3 中档 勾股树递推规律 §1.1 几何直观、推理能力 L4 规律探究 原创 14 解答 8 基础 四边形地块分割求面积 §1.1/§1.2 模型观念、运算能力 L2 深圳地块测绘 真题改编 15 解答 8 基础 轴对称反射+最短路径 §1.3 模型观念、应用意识 L3 深圳供水工程 真题改编 16 解答 8 中档 沿对角线折叠证等腰+方程 §1.3 推理能力、模型观念 L3 折纸 真题改编 17 解答 8 中档 圆柱半周/绕一周最短路径 §1.3 空间观念、模型观念 L3 深圳油库/公园景观柱 真题改编 18 解答 8 中档 方位角建模三问+等面积 §1.3 模型观念、运算能力 L3 深圳梧桐山登山 真题改编 19 解答 9 提高 弦图与总统证法双证明 §1.1 推理能力、几何直观 L4 数学文化探究 教材原型创新 20 解答 12 提高 长方体动点最短路径决策 §1.3 空间观念、模型观念、应用意识 L4 深圳物流仓库 原创 附录三 A卷选题来源表 题号 来源类型 具体出处 改编说明 1 教材改编 北师大版八上§1.1随堂练习 3-4-5基础求斜边 2 真题改编 深圳各区期中真题（题库考点二同类） 知斜边10、直角边6求另一边，数据调整 3 教材改编 赵爽弦图（深圳期末真题汇编第1题同源） 直角边6、8求小正方形面积，融入数学文化 4 真题改编 深圳龙华区期中（题库第12题） 四组数判定直角三角形 5 真题改编 深圳宝安区期中（题库第18题） 网格横4纵3求线段长 6 真题改编 云梯/梯子真题（题库第23—25题模型） 数据改为17 m、8 m、15 m，融入深圳建筑工地消防云梯情境 7 教材改编 教材“门框过木板”例题 门框宽1高2求对角线木条 8 真题改编 方位垂直行走真题（题库第16题模型） 数据600/800/1000，融入深圳湾海滨栈道情境 9 真题改编 深圳宝安区期中（题库第6题） 两边6、8分类讨论求第三边平方 10 教材改编 教材网格两点距离例题 坐标(0,0)、(3,2)求√13 11 真题改编 等腰三角形求面积常见题 腰13底10，作高求面积60 12 真题改编 逆定理判定形状（题库第12题同类） 7-24-25判定直角三角形 13 教材改编 勾股树（题库第54、55题模型） 四正方形面积4、9、1、4求最大正方形面积18 14 教材改编 北师大版§1.1习题 5-12-13求斜边、17-8-15求直角边 15 真题改编 逆定理实际应用（测绘/验收类） 60-80-100判定角架直角，融入深圳装修验收情境 16 真题改编 折树/断杆真题（题库第26、27题模型） 断处5 m、落地12 m，融入深圳台风季旗杆情境 17 教材改编 教材网格作图题（题库第20题同类） 画√13线段与格点直角三角形 18 真题改编 深圳莲花中学期中折叠题（题库第35题模型） 长方形9×15折叠D至F，求BF、EC，数据保持勾股整齐 19 真题改编 长方体表面最短路径（题库第51题深圳实验光明题模型） 礼盒12×9×8，M在棱上、N为棱中点，最短15 cm 20 原创 教材航海原型+深圳港航情境创新 两船正北/正东12、9海里每时，三问递进，末问方程 附录四 B卷选题来源表 题号 来源类型 具体出处 改编说明 1 教材改编 勾股数概念题（题库第13题同类） 四组数据辨析勾股数，含小数/无理数干扰项 2 真题改编 3:4:5比例直角三角形常见题 最长边比最短边长6求周长，按比例设元 3 真题改编 赵爽弦图面积题（题库第3、4题模型） 大正方形面积13、三角形面积3求小正方形1 4 真题改编 深圳期末真题汇编折叠题（题库第37题） Rt△折叠A到BC中点，方程求BN=4 5 真题改编 网格判定直角三角形（题库第17题同类） 坐标调整为A(0,0)、B(4,2)、C(3,4)，逆定理+面积5 6 真题改编 圆柱最短路径（题库第42题宝安中学期中） 周长18高12半周展开求15 7 原创 希波克拉底月牙定理初中适配版 3-4-5三半圆，月牙面积和=三角形面积6 8 真题改编 等面积法求高（题库第7题模型）动点化 动点P沿斜边，CP最小=斜边上高24/5 9 真题改编 长方体三展开经典题（题库第50题） 15×10×20、点在竖棱距顶5，三展开25/√725/√1000取25 10 古题改编 《九章算术》葭生池中（题库第59题，教材例题） 出水1、半宽5，水深12葭长13 11 教材改编 教材数轴作无理数点（衔接第二章实数） 直角边2、1作弧交数轴于√5 12 真题改编 矩形对角顶点重合折叠（题库第40、36题） 4×8折叠A、C重合，折痕EF=2√5 13 原创 勾股树生长规律（题库第56题模型） 初始面积16，S_n=16(n+1) 14 真题改编 四边形地块测绘题（题库验收/勾股综合） 24-7-25与15-20-25两直角三角形，面积234 15 真题改编 河边取水/泵站最短路径经典模型 距河3、6垂足距12，反射法求15，融入深圳供水工程 16 真题改编 矩形沿对角线折叠（题库第38题） 4×8沿BD折叠，DE=5、△BDE面积10 17 真题改编 圆柱题（题库第41题储油罐、第43题绕柱丝线） 半周24×16求20、绕一周10×24求26，两问对比 18 真题改编 航海/方位角模型（题库第16题） 30-40-50、高24、45-60-75三问，融入梧桐山登山 19 教材原型创新 赵爽弦图+伽菲尔德总统证法（题库缺口建议第4条） (1)弦图证明(2)a=6,b=8求面积(3)梯形证法迁移 20 原创 深圳物流仓库情境，题库第50题模型动点升级 12×9×20动点M在棱上，29/15/分界x=8三问决策 附录五 命题说明 一、核心概念 本章的核心大观念是：直角三角形的三边之间存在确定的定量关系——a²+b²=c²（勾股定理）；反过来，满足 a²+b²=c² 的三角形必为直角三角形（勾股定理的逆定理）。这一组“正—逆”关系把“形”的直角特征与“数”的平方关系精确对应起来，使直角三角形成为现实世界中可测量、可判定、可预测的基本模型。 这一大观念包含三个层次： 1. 定量关系（定理本身）：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。它把边长的度量关系用平方联系起来，是平面几何中把“长度”度量与“面积”度量统一起来的经典定理； 2. 逆定理判定：由三边的平方关系可以反推一个三角形是否为直角三角形，实现了“以数判形”； 3. 现实建模：折叠、折断、航海方位、立体表面路径等现实问题，都可以抽象为直角三角形，用勾股定理求解——这是本章“应用”的落点。 二、为什么引入这一概念 在学习勾股定理之前，学生对直角三角形的认识停留在“有一个角是直角”的定性层面，知道直角三角形两锐角互余，但无法在只知部分边长时求出其余边长。现实中大量问题——梯子能搭多高、折断的旗杆原高多少、两船相距多远、盒子表面小虫怎么爬最近——都需要在“不能直接测量”的条件下推算长度。勾股定理恰好提供了这种“知二求一”的定量工具： - 没有勾股定理，直角三角形的三边是彼此孤立的； - 没有逆定理，判断一个角是不是直角只能靠量角器，无法用三边数据验收； - 没有展开与建模的思想，立体表面、航海方位中的距离问题无法转化为平面计算。 三、没它行不行 不行。勾股定理是整个平面几何度量体系的基石之一： - 不掌握定理，已知两边无法求第三边，网格中无理数长度（如√13、√5）无法刻画； - 不掌握逆定理，装修验收、地块测绘中“墙角是否为直角”无法用边长数据判定； - 不掌握方程思想与展开思想，折叠问题（长度未知）和立体最短路径问题无法解决； - 从后续学习看，勾股定理是第二章实数（无理数的几何表示）、八下四边形与相似、九年级解直角三角形（锐角三角函数）的直接基础，也是平面直角坐标系中两点距离公式的源头。 四、为后续学习的作用 · 第二章 实数：√5、√13 等无理数在数轴与网格上的表示，直接以勾股定理为作图依据； · 八下 三角形的证明/平行四边形：等腰三角形作高、菱形对角线、矩形折叠都反复使用勾股定理； · 九年级 解直角三角形：锐角三角函数以勾股定理为计算底座； · 平面直角坐标系：两点间距离公式 d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²) 本质就是勾股定理。 五、本章的数学语言 （一）定理语言——直角三角形三边的平方关系： - a²+b²=c²（c 为斜边）； - 面积语言：直角三角形两直角边上正方形（或任意相似图形）面积之和，等于斜边上正方形（对应图形）的面积；勾股树、弦图、三半圆月牙都是这一语言的图形化。 （二）判定语言——逆定理： - “若三角形三边长 a、b、c 满足 a²+b²=c²（c 为最长边），则该三角形为直角三角形，且最长边所对的角为直角。” （三）建模语言——把现实问题翻译为直角三角形： - 折叠：“折叠前后对应边相等、对应角相等”，在新产生的直角三角形中设未知数列方程； - 立体表面：“展开成平面，两点之间线段最短”，再在展开图的直角三角形中计算；长方体要把本质不同的展开方式全部列出比较； - 方位：“正北与正东（或两航向夹角90°）互相垂直”，路程为直角边、间距为斜边； - 同侧最短路径：用轴对称反射把同侧点转化为异侧点，再连线用勾股定理。 六、A/B卷命题特色 A卷（基础过关卷）难度结构为 17 基础 / 2 中档 / 1 提高： - 选择题1—8覆盖定理直接计算、弦图验证、逆定理判定、网格求长、两类实际应用（云梯、门框、方位）； - 填空题9—13覆盖分类讨论易错点、网格距离、等腰作高、逆定理判形状、勾股树规律； - 解答题14—18为基础技能：定理基本计算、逆定理验收、折断模型、网格作图、折叠方程； - 19题（中档）长方体表面最短路径，只要求一次展开与比较，数据12-9-15为整齐勾股数； - 20题（提高，12分）以深圳港航物流为情境，三问递进：求直角边→求斜边→列方程求时间，综合方位建模与方程思想； - 深圳情境自然融入：建筑工地消防云梯（A6）、海滨栈道（A8）、装修验收（A15）、台风季旗杆（A16）、港航物流（A20），纯几何题保持干净表述，不硬套情境。 B卷（培优提升卷）难度结构为 6 基础 / 11 中档 / 3 提高： - 选择题侧重辨析与转化：勾股数概念辨析（B1）、比例设元（B2）、弦图面积（B3）、折叠方程（B4）、网格逆定理求面积（B5）、圆柱展开（B6）、月牙面积整体代换（B7，提高）、动点等面积求高（B8）； - 填空题要求思维转换：长方体三展开方案比较（B9）、葭生池中方程（B10）、数轴作√5（B11）、折叠求折痕（B12）、勾股树递推公式（B13，原创）； - 解答题14—18为中档综合：地块分割（B14）、反射最短路径（B15）、沿对角线折叠证等腰（B16）、圆柱半周/绕一周对比（B17）、方位三问含等面积法（B18）； - 19题（提高，9分）为数学文化探究：赵爽弦图证明+数值计算+伽菲尔德梯形证法迁移，一题两证； - 20题（提高，12分）为原创压轴：长方体棱上动点最短路径决策，三问从特殊点取值到两类展开路程相等求分界点，考查分类讨论与函数增减性判断； - 深圳情境自然融入：地块测绘（B14）、供水工程（B15）、油库与公园景观柱（B17）、梧桐山登山（B18）、物流仓库（B20），与数学文化题（弦图、古题、总统证法）相映成趣。 七、A/B卷对比一览 对比维度 A卷（基础过关） B卷（培优提升） 难度比 约8.5:1:0.5 约3:5.5:1.5 基础题分值 约76分 28分 中档题分值 约12分 48分 提高题分值 12分 24分 核心能力 定理直接应用、基本计算、规范作图 方程思想、多方案比较、面积转化、分类决策 折叠题层次 单次折叠求一条线段（A18） 折叠证等腰+求折痕（B4/B12/B16） 最短路径层次 长方体单一展开（A19） 三展开比较+圆柱两种情形+动点决策（B6/B9/B17/B20） 压轴题特色 方位建模+列方程求时间 棱上动点+两类展开分界+方案决策 数学文化 赵爽弦图识别 弦图证明+葭生池中+总统证法双证明 附录六 文档简介 本试卷为「构·思」北师大版初中数学系列同步单元作业卷，专为深圳地区初二学生量身打造，适配北师大版（2024版）八年级上册第一章《勾股定理》。全套七套覆盖八个年级上册全部教学单元，统一采用 A 基础过关卷 + B 培优提升卷分层模式：A 卷立足课本基础，对标日常课后作业与普通班单元周测，夯实勾股定理及其逆定理的基本理解、网格计算与常规应用；B 卷面向重点实验班培优提升，侧重弦图面积恒等式、折叠与方程思想、立体表面最短路径多方案比较、数学文化证明与动点决策，拔高空间思维与综合解题能力。 本卷分 A、B 两卷共40题，每卷8选择、5填空、7解答，满分各100分，建议答题时间各60分钟。题源约70%改编自教材例题习题与深圳各区期中期末真题，约30%为原创（月牙面积探究、勾股树递推、弦图与总统证法双证明、长方体动点压轴等）；深圳本地情境（港航物流、地块测绘、供水工程、梧桐山登山、物流仓库等）自然融入。所有图形均按教材级标准数据驱动绘制，题干数据与配图严格一致；全部答案经程序独立验算，命题严格依据2022版课标与北师大版2024新教材，不含相似三角形、锐角三角函数等超纲内容，最短路径仅考查长方体、圆柱表面展开，适合普通班周测、重点班拔高与周末巩固训练使用。 附录七 关键词 勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形；斜边；直角边；a²+b²=c²；赵爽弦图；伽菲尔德梯形证法；勾股数；网格求线段长；格点作图；数轴上的无理数；等腰三角形三线合一；等面积法；斜边上的高；勾股树；半圆面积；月牙定理；折叠问题；对应边相等；方程思想；长方体表面展开；圆柱侧面展开；最短路径；两点之间线段最短；轴对称反射；葭生池中；折断模型；方位角；正北正东；动点问题；分类讨论；数学建模；北师大版八年级上册；2024版；深圳；AB分层；基础过关；培优提升 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理 单元测试卷 2026–2027学年北师大版八年级上册数学 学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 学号：____________ ───────────── 密 封 线 内 不 要 答 题 ───────────── 适用年级： 八年级上学期 适用教材： 北师大版（2024版） 适用区域： 深圳市 考试时间： A卷标准答题时长60分钟；B卷标准答题时长60分钟；A+B拓展训练合计120分钟 试卷结构： A卷（基础过关卷）100分 + B卷（培优提升卷）100分 【系列说明】 本系列为专为深圳地区初二学生量身打造的同步单元作业卷，全套共七套，完整覆盖北师大版八年级上册七个教学单元，贴合深圳本地校历、课堂进度与中考命题导向，可作为日常课后作业、单元限时检测、周末巩固训练使用。整套统一采用 A 基础过关卷 + B 培优提升卷分层模式，精准适配深圳普通平行班、重点实验班差异化教学需求：A 卷立足课本基础，对标日常课后作业要求，夯实概念、基础计算与常规题型，重在巩固课堂所学；B 卷侧重逻辑推理、数学建模、分类讨论、规律探究，拔高空间思维与综合解题能力，满足尖子生拓展提升需求。 【使用指引】 A卷（基础过关卷）： 适用普通班单元周测，侧重勾股定理及其逆定理的基本理解、网格中线段长计算、折叠入门、立体表面最短路径的单一展开、实际情境建模等基础知识和基本技能。 B卷（培优提升卷）： 适用重点班培优提升，侧重勾股定理与弦图面积恒等式综合、折叠与方程思想深度结合、立体最短路径多方案比较、古题建模与综合压轴等核心能力。 试卷题型结构贴合深圳中考单元检测标准：8选择、5填空、7解答，全卷满分100分。 本套分层单元卷适配深圳市北师大版八上第一章勾股定理，分基础A卷、培优B卷，贴合本地中考题型，兼顾勾股定理的探索、判定与应用全考点，适合普通班周测、重点班拔高训练。 说明： 标注★的题目为综合性较强的情境探究题。本卷中 Rt△ 表示直角三角形，网格中每个小正方形的边长均为1。 A卷 得分栏 题号 一（选择题24分） 二（填空题15分） 三（解答题61分） 总分 得分 A卷 · 基础过关卷 满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个正确选项） 1.【基础】 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，两直角边长分别为3和4，则斜边 AB 的长为（　　） A. 4　　B. 5　　C. √7　　D. 25 2.【基础】 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，斜边 AB=10，一条直角边 BC=6，则另一条直角边 AC 的长为（　　） A. 6　　B. 8　　C. 10　　D. 12 3.【基础】 如图是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形。若直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则图中小正方形的面积为（　　） A. 2　　B. 4　　C. 6　　D. 8 4.【基础】 下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A. 1，2，3　　B. 2，3，4　　C. 3，4，5　　D. 4，5，6 5.【基础】 如图，在边长为1的正方形网格中，点 A、B 均为格点，线段 AB 横向跨越4格、纵向跨越3格，则线段 AB 的长为（　　） A. 4　　B. 5　　C. 6　　D. √5 6.【基础】 深圳某建筑工地使用一架长17 m 的消防云梯斜靠在竖直墙面上，云梯底端 B 距墙脚 C 为8 m（如图），则云梯顶端 A 距地面的高度为（　　） A. 12 m　　B. 13 m　　C. 15 m　　D. 18 m 7.【基础】 木工师傅要做一个矩形门框，设计门框宽1 m、高2 m。为防止门框变形，需在门框对角方向钉一根加固木条，则这根木条至少长（　　） A. √3 m　　B. √5 m　　C. 3 m　　D. 2 m 8.【基础】 周末，小明和小红从深圳湾海滨栈道的同一地点 O 出发，小明沿正东方向步行，小红沿正北方向步行（两人步行速度相同、路线互相垂直，如图）。当小明走了600 m、小红走了800 m 时，两人之间的直线距离为（　　） A. 1000 m　　B. 1400 m　　C. 200 m　　D. 700 m 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.【基础】 已知直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方为　　　　。 10.【基础】 如图，在边长为1的正方形网格中，点 A 的坐标为(0, 0)，点 B 的坐标为(3, 2)（A、B 均为格点），则线段 AB 的长为　　　　。 11.【基础】 如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC=13，底边 BC=10，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，则该等腰三角形的面积为　　　　。 12.【基础】 已知三角形的三边长分别为7、24、25，则这个三角形的形状为　　　　（填“锐角三角形”“直角三角形”或“钝角三角形”）。 13.【中档】 如图是一株“勾股树”，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形。若正方形 A、B、C、D 的面积分别为4、9、1、4，则最大正方形 E 的面积为　　　　。 三、解答题（本大题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题9分，第20题12分，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14.【基础】（8分）求下列直角三角形中未知边的长： （1）如图①，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，两直角边 BC=5、AC=12，求斜边 AB 的长； （2）如图②，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，斜边 AB=17，直角边 BC=8，求直角边 AC 的长。 15.【基础】（8分）深圳某小区装修新房，工人师傅现场制作一个直角收纳角架。他用两根木条 AB、BC 钉在墙角 B 处（AB 竖直、BC 水平），并测得 AB=80 cm、BC=60 cm，然后取一根长100 cm 的木条 AC 连接两端（如图）。请你判断这个角架的夹角 ∠ABC 是否为直角，并说明理由。 16.【基础】（8分）深圳台风季过后，某学校操场上一根旗杆在离地面5 m 处被折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m 处的地面上（如图，折断处仍相连）。求这根旗杆折断前的总高度。 17.【基础】（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，按下列要求作图（所画图形的顶点都必须在格点上）： （1）在图①中画一条长度为√13 的线段； （2）在图②中画一个直角三角形，使它的三边长分别为 √2、√8、√10。 18.【基础】（8分）如图，将一张长方形纸片 ABCD（AB=9，AD=15）折叠，使顶点 D 恰好落在边 BC 上的点 F 处，折痕为 AE，点 E 在边 CD 上。 （1）求线段 BF 的长； （2）求线段 EC 的长。 19.【中档】（9分）如图，一个长方体礼盒的长 AB=12 cm、宽 BF=9 cm、高 BC=8 cm。一只小虫在礼盒表面爬行，点 M 在棱 AB 上且 AM=4 cm，点 N 是棱 FG 的中点。 （1）请在图②的展开图中画出小虫从点 M 沿礼盒表面爬到点 N 的最短路线（连接线段即可）； （2）求小虫从点 M 爬到点 N 的最短路程。 20.【提高】（12分）★ 深圳港某码头有两艘货轮甲、乙同时从港口 O 出发执行运输任务：甲货轮沿正北方向以12海里/时的速度航行，乙货轮沿正东方向以9海里/时的速度航行，两航线互相垂直，如图所示。 （1）出发2小时后，甲、乙两货轮分别到达点 A、B，求此时甲货轮到港口 O 的距离 OA 和乙货轮到港口 O 的距离 OB； （2）求出发2小时后两货轮之间的距离 AB； （3）若两货轮保持原航向、原速度继续航行，经过多少小时，两货轮之间的距离恰好为45海里？ B卷 得分栏 题号 一（选择题24分） 二（填空题15分） 三（解答题61分） 总分 得分 B卷 · 培优提升卷 满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个正确选项） 1.【基础】 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. 0.3，0.4，0.5　　B. 6，8，10　　C. 1，2，3　　D. √(3)，√(4)，√(5) 2.【基础】 若一个直角三角形的三边长之比为 3:4:5，且最长边比最短边长6，则这个直角三角形的周长为（　　） A. 36　　B. 24　　C. 18　　D. 12 3.【中档】 如图是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”。若大正方形的面积为13，每个直角三角形的面积为3，则图中小正方形（阴影）的面积为（　　） A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4 4.【中档】 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=9，BC=6，D 为 BC 的中点。将三角形纸片折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕交 AB 于点 N，则 BN 的长为（　　） A. 3　　B. 4　　C. 5　　D. 6 5.【中档】 如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，其坐标分别为 A(0,0)、B(4,2)、C(3,4)，则 △ABC 的面积为（　　） A. 5　　B. √(5)　　C. 5/2　　D. 4 6.【中档】 如图，一个圆柱形油罐的底面周长为18 m、高为12 m。一只蚂蚁从油罐下底面边缘的点 A 出发，沿油罐侧面爬到上底面与 A 正对的点 B，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　） A. 15 m　　B. 18 m　　C. 21 m　　D. 3√(10) m 7.【提高】 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，分别以 △ABC 的三边为直径向外作半圆，则图中两个月牙形（阴影部分）的面积之和为（　　） A. 6　　B. (25π)/(8)　　C. (25π)/(8)-6　　D. 6+(25π)/(8) 8.【中档】 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10。动点 P 沿斜边 AB 从点 A 向点 B 运动（点 P 不与 A、B 重合），连接 CP，则线段 CP 的最小长度为（　　） A. 24/5　　B. 5　　C. 12/5　　D. 24/13 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.【中档】 如图，一个长方体礼盒的长为15 cm、宽为10 cm、高为20 cm。一只蚂蚁位于礼盒下底面前左顶点 A 处，发现后右竖棱上点 P 处有食物，点 P 距上底面顶点 G 的距离为5 cm。蚂蚁沿礼盒表面从点 A 爬到点 P，则它需要爬行的最短路程为______cm。 10.【基础】 （《九章算术》“葭生池中”）如图，有一个边长为10尺的正方形水池，水池中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺。把芦苇的顶端拉向池边，芦苇顶端恰好到达池边的水面，则水深为______尺。 11.【基础】 如图，在数轴上，以原点为直角顶点作直角三角形，使两条直角边长分别为2和1，以原点为圆心、该直角三角形的斜边长为半径画弧，弧与数轴正半轴交于一点，则该交点表示的数为______。 12.【中档】 如图，在长方形纸片 ABCD 中，AB=4，BC=8。将纸片折叠，使对角顶点 A 与 C 重合，折痕为 EF（点 E 在边 AD 上，点 F 在边 BC 上），则折痕 EF 的长为______。 13.【中档】 如图是一株“勾股树”的生长过程：图①是一个面积为16的正方形；以它的一边为斜边向外作等腰直角三角形，再以该三角形的两直角边为边向外作两个正方形，称为第1次生长（如图②）；如此继续生长得到图③…… 若生长 n 次后，图中所有正方形的面积之和记为 S_n，则 S_n=______（用含 n 的式子表示）。 三、解答题（本大题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题9分，第20题12分，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14.【基础】（8分）深圳某地块测绘中，测得四边形地块 ABCD 的边 AB=24 m、BC=7 m、CD=20 m、DA=15 m，且 ∠B=90°（如图）。 （1）求对角线 AC 的长； （2）求四边形地块 ABCD 的面积。 15.【基础】（8分）如图，深圳某地一条笔直河流的同一侧有 A、B 两个村庄，A、B 两村到河岸边的垂直距离分别为3 km 和6 km，两村在河岸上的垂足相距12 km。现要在河岸边建一个水泵站 P，用输水管向 A、B 两村供水。问水泵站 P 建在何处时，输水管总长度 PA+PB 最短？最短总长度为多少？（画出 P 的位置并求解） 16.【中档】（8分）如图，在长方形纸片 ABCD 中，AB=4，BC=8。将长方形沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 C′ 处，BC′ 交 AD 于点 E。 （1）求证：BE=DE； （2）求线段 DE 的长； （3）求 △BDE 的面积。 17.【中档】（8分）立体图形表面最短路径问题在生活中十分常见： （1）如图（1），深圳某油库一个圆柱形储油罐的底面周长为24 m、高为16 m。一只壁虎在储油罐下底面边缘的点 A 处，发现在上底面与 A 正对的点 B 处有一只蚊虫，求壁虎沿储油罐侧面爬行的最短路程； （2）如图（2），深圳某公园有一根圆柱形景观柱，底面周长为10 m、高为24 m。一根灯带从柱底的点 A 开始沿柱面绕景观柱一周，恰好到达柱顶与 A 正对的点 B，求这根灯带的最短长度。 18.【中档】（8分）深圳梧桐山登山活动中，甲、乙两支登山队从大本营 O 同时出发，甲队沿正北方向行进，乙队沿正东方向行进（两路线互相垂直，如图）。甲队速度为30米/分，乙队速度为40米/分。 （1）出发1分钟后，甲、乙两队分别到达点 A、B，求此时 A、B 两队之间的距离； （2）求此时大本营 O 到线段 AB 的最短距离（即联络点到 AB 路线的垂线段长）； （3）若两队保持原方向继续行进，甲队再走15米、乙队再走20米后分别到达点 C、D，求此时 C、D 两队之间的距离。 19.【提高】（9分）★ 勾股定理的证明方法已有数百种，我国古代的“赵爽弦图”与美国第20任总统伽菲尔德的“梯形证法”是其中两个经典代表。 （1）如图①，“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形（两直角边分别为 a、b，斜边为 c，a<b）和一个小正方形拼成一个大正方形。请利用图①证明勾股定理 a²+b²=c²； （2）在图①中，若 a=6、b=8，求大正方形与小正方形的面积； （3）如图②，伽菲尔德将两个全等的直角三角形（直角边分别为 a、b，斜边为 c）拼成一个直角梯形（点 B、E、C 在同一直线上，∠AED=90°）。请利用图②的面积关系再次验证勾股定理。 20.【提高】（12分）★ 深圳某物流仓库有一个长方体货箱，其长 AB=12 dm、宽 AD=9 dm、高 AE=20 dm（如图，底面 ABCD，顶面 EFGH，其中顶点 G 与顶点 A 为体对角位置）。一只蚂蚁从点 A 出发，先沿竖棱 AE 向上爬行到棱 AE 上的点 M（设 AM=x dm，0≤ x≤ 20），再沿货箱表面从点 M 爬到顶点 G。 （1）当 x=0（点 M 与点 A 重合）时，求蚂蚁从点 A 沿货箱表面爬到点 G 的最短路程； （2）当 x=20（点 M 与点 E 重合）时，求蚂蚁从点 M 爬到点 G 的最短路程； （3）蚂蚁从点 M 到点 G 的最短表面路径只与两类展开方式有关：方式一是“前面+右面”展开，路程记为 d₁；方式二是“前面+上面”（经过顶面）展开，路程记为 d₂。经分析，d₁=√(21²+(20-x)²)，d₂=√(12²+(29-x)²)。 　① 求 d₁=d₂ 时 x 的值； 　② 请直接写出：当 x 在什么范围内时，方式一更短？当 x 取何值时，蚂蚁从点 M 到点 G 的总路程最短？最短为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $