第1章勾股定理分层训练-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

第1章勾股定理分层训练-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024） 基础巩固 一、单选题 1．已知一个直角三角形的斜边长为10，一直角边长为8，则另一直角边的长是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，山坡的高，水平距离，若在山坡上每隔栽一棵茶树，则从上到下共可栽茶树（   ） A．17 B．18 C．20 D．21 3．若3，4，a为勾股数，则a的值为（     ） A．7 B．5 C．6 D．2 4．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度的最小值为（     ）． A． B． C． D． 5．五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（     ） A．12 B．14 C．15 D．17 6．在中，，垂直交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在网格中有5个格点，分别为、、、、，下列说法错误的是（     ） A． B． C．与不全等，但是面积相等 D．与的面积相等 8．某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 二、填空题 9．教学楼的南偏东方向，距离教学楼P，90米有食堂A，它沿北偏东方向走120米到达操场B，此时操场B与教学楼P的距离为_______米． 10．如图，在中，，，，则的面积为______． 11．如图，在三角形支架中，，垂足为，，，，则的长为_______． 12．如图，在中，，，．将分别沿，折叠，使点A，C都与点B重合，若，则________． 13．一架云梯长分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙分米，如果梯子的顶端下滑了分米，那么梯子的底端在水平方向滑动了______分米． 14．如图，在中，，，以三边为直径向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为________． 三、解答题 15．如图，四边形中，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小方格的顶点叫做格点．以格点为顶点，分别按下列要求在网格中画出图形并回答问题． (1)在图中，以线段为一边画一个正方形，并写出所画正方形的面积； (2)在图中，画一个三边长分别为，，的三角形． 17．如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 18．如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． (1)求的度数． (2)若，，，求线段的长． 19．学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． (2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 难题突破 20．综合与实践 在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接． (1)【尝试发现】如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小明同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易得，于是可得，．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（_________①），所以，可得_______②，因此猜想成立． 请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______； (2)【类比探究】如图2，当点D在线段的延长线上时， ①探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段的长； (3)【拓展应用】若，，请直接写出线段的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1章勾股定理分层训练-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B B D D C D 1．C 【详解】解：∵一个直角三角形的斜边长为10，一直角边长为8， ∴另一直角边的长是． 2．D 【分析】首先利用勾股定理求得线段的长，然后除以株距即可求得结果． 【详解】解：山坡的高，水平距离， ， 每隔栽一棵茶树， 棵， ∴从上到下共21棵． 3．B 【分析】未明确最大边时，分为斜边、4为斜边两种情况，结合勾股数为正整数的条件求解． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为斜边长时，，解得， ∵为正整数， ∴； 当为斜边长时，，解得， 此时不是正整数，不符合勾股数要求，舍去． 综上所述，a的值为5． 4．B 【分析】 铅笔在笔筒外面的长度=铅笔长度铅笔在笔筒内的长度；铅笔在笔筒外面的长度最小时，在笔筒内的长度最长，即斜放在圆柱形笔筒内的时候，用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图所示：铅笔斜放在圆柱形笔筒内的时候，铅笔在笔筒外面的长度最小， ，，， 由勾股定理得：， （负值已舍去）， ， 答：铅笔在笔筒外面部分长度的最小值是． 5．D 【分析】如图，先根据正方形面积公式和勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． 6．D 【分析】根据勾股定理求出，根据等面积法得到，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 7．C 【分析】根据网格的特点和全等三角形的判定定理可判断A、B、C；根据网格的特点求出和的面积可判断D． 【详解】解：A、由网格的特点可得， ∴，原说法正确，不符合题意； B、由网格的特点可得， ∴，原说法正确，不符合题意； C、设网格中的小正方形的边长为1，则，， 又∵， ∴，原说法错误，符合题意； D、设网格中的小正方形的边长为1，则，， ∴与面积相等，原说法正确，不符合题意． 8．D 【分析】由题意可得米，米，米，则米，设绳子的长度为米，则米，米，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：米，米，米， ∴米， 设绳子的长度为米，则米，米， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为米． 9．150 【分析】如图，过点作交于，利用平行线的性质以及方位角说明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作交于， 根据题意得，， 米，米， ， 在中，根据勾股定理得， （米），即此时与教学楼的距离为150米． 10．24 【详解】已知在中，，，， ，， ， 是直角三角形，且， 的面积为． 11． 【分析】先推导出，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 12． 【分析】根据折叠计算可得，设，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：， ， 由折叠得，，，，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 13． 【分析】由题意知分米，分米，分米，由勾股定理求得分米，分米，然后通过线段的和与差即可求解． 【详解】解：如图，由题意知分米，分米，分米， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）， ∴梯子的底端在水平方向滑动了分米． 14． 【分析】根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． 15．(1)证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，再由即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，，， ∴， ∴． 16．(1)正方形即为所求，8 (2)即为所求 【分析】（1）观察网格，求出正方形面积，从点、点作垂直边，四点顺次连接即为以为边的格点正方形． （2）将无理数边长拆分为网格直角三角形斜边，是直角边1、3的斜边，是直角边2、3的斜边，3为整数格线段，取公共顶点拼接三边得到目标三角形． 【详解】（1）解：观察网格，点、横向差2格，纵向差2格，由勾股定理，正方形面积， 因此正方形面积为8． 从点向下平移2格、向右平移2格，同理从点作垂直边，四点顺次连接即为以为边的格点正方形． （2）解：，，另为横格线段， 在网格中取格点，距离为3； 另取一点使其满足上述勾股定理， 即得到三边长为、、的三角形． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵小区A在快递投放点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 18．(1) (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质证明，，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可； （2）连接，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 设，则，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 19．(1)（10，24，26） (2)，， 证明：∵，， ∴， ∴是勾股数． 【分析】（1）通过观察得到下一组勾股数组的前两个数为，，利用勾股定理计算或者通过规律得到第三个数是26； （2）由观察归纳得到两个数与n之间的关系，结合代数运算验证猜想的正确性． 【详解】（1）略 （2）略 20．(1)等式性质1， (2)①， 证明：∵在中，， ∴  ， 由旋转知， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当时， (3) 【分析】（1）根据，得，理由是等式性质1，可得； （2）①根据证明，得，由得，进而得，从而可得； ②由①得，根据勾股定理求出的长即可； （3）由（2）得，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：由①得， ， 在中，； （3）解：当，时， 由（1）（2）知，， ， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $