专题八 勾股定理的应用【（挑战压轴题）导图知识卡片+十五大考点讲练+思维拓展训练 共45题】-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题八 勾股定理的应用 【思维导图+十五大考点讲练+思维拓展训练 共45题〔解析版〕】 目 录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 2 【考点讲练-重点难点 举一反三】 2 【压轴考点01】勾股定理与网格问题 2 【压轴考点02】勾股定理与折叠问题 5 【压轴考点03】求旗杆高度（勾股定理的应用） 6 【压轴考点04】求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 9 【压轴考点05】求小鸟飞行距离（沟股定理的应用） 11 【压轴考点06】求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 12 【压轴考点07】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用） 13 【压轴考点08】解决航海问题（勾股定理的应用） 15 【压轴考点09】求河宽（勾股定理的应用） 17 【压轴考点10】求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 18 【压轴考点11】判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 20 【压轴考点12】判断是否受台风影响(勾股定理的应用） 22 【压轴考点13】选址使到两地距离相等（沟股定理的应用） 24 【压轴考点14】求最短路径（勾股定理的应用） 29 【压轴考点15】勾股定理逆定理的实际应用 32 【压轴强化-精选真题 实战演练】 35 【压轴考点01】勾股定理与网格问题 【典例精讲】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)画出，使与关于直线对称； (2)在直线上确定一点，使到、的距离之和最小，最小值为______，并在图中标出点（保留作图痕迹）； 【答案】(1)解：如图所示即为所求， (2)；如图，点P即为所求作的点 【思路引导】（1）利用轴对称的性质画出的对应点，再顺次连接即可； （2）连接，交直线于点，则点即为所求作的点，用勾股定理求出的长度即可； 【规范解答】（1）略 （2）解：连接，如图， 由对称知， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小，且最小值为． 【对应练习】（2026·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中画格点C，使； (2)在图②中画格点D，使； (3)在图③中画格点E，使． 【答案】(1)解：如图所示为所求： (2)解：如图所示为所求： (3)解：如图所示为所求： 【思路引导】（1）利用水平网格线与竖直网格线互相垂直即可作图； （2）取格点，使得，，连接，易证是等腰直角三角形，即可作出； （3）利用网格线的特征，取格点，使得，连接，利用邻补角的定义即可得到． 【压轴考点02】勾股定理与折叠问题 【典例精讲】如图，在直角三角形中，，，，折叠的一角，使点B与点A重合，展开后得折痕，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】连接，根据折叠的性质，设，则，再根据勾股定理，列出方程求解即可． 【规范解答】解：连接， 设，则， 由折叠知，， 在中，，， ，则， ， 则的长是． 【对应练习】（25-26八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则_____；的长为_____． 【答案】 【思路引导】根据直角三角形的两个锐角互余，可知，根据折叠的性质可知；根据折叠的性质可知，，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【规范解答】解：在中，， ， 由折叠可知，， ； 在中，，，， ， 由折叠可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：； 【压轴考点03】求旗杆高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·云南德宏·期末）数学兴趣小组在郊外放风筝时，想要测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直．小组成员测量了相关数据，并画出如下示意图，水平距离的长为80米，的长为100米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米（米）．求风筝离地面的垂直高度的长为多少米． 【答案】风筝离地面的垂直高度为米 【思路引导】在中，由勾股定理求得的长，再利用求解即可． 【规范解答】解：依题意得，，，， 在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 答：风筝离地面的垂直高度为米． 【对应练习】（25-26八年级上·浙江温州·期中）白鹭洲公园是温州市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.62米． (1)根据以上操作，可得风筝的垂直高度为_____； (2)若小明想让风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ (3)若小明以1米每秒的速度往左移动，风筝线也以1米每秒的速度延长，而风筝始终保持在点E的上方，风筝在经过t秒之后高度是上升还是下降，说出你的理由． 【答案】(1)17.62米 (2)他应该往回收线7米 (3) 解：风筝高度上升，理由如下： 由题意，设经过t秒后，小明往左移动t米，水平距离变为米，风筝线长度变为米， ∴此时竖直高度为， ∴风筝的总高度为， ∵， ∴随t的增大而增大， ∴风筝高度上升． 【思路引导】本题主要考查利用勾股定理解决实际问题，熟练利用勾股定理来解决实际问题是解题的关键． （1）首先在中，利用勾股定理求出的长度，最后再加上小明的身高即为风筝的垂直高度； （2）首先明确风筝沿方向下降11米后对应的的高度，即可在新的中，求出的长度，即可求出他应该往回收线多少米； （3）首先根据题意，列出经过t秒后，对应的水平距离变为米，风筝线长度变为米，即可求出此时风筝的总高度，判断此时风筝的总高度的大小即为上升还是下降． 【规范解答】（1）解：根据题意可得：米，米，， ∴在中，（米）， ∵小明的身高为1.62米， ∴（米）， 故答案为：17.62米； （2）解：如图， ∵风筝沿方向下降11米， ∴此时（米）， ∴此时（米）， ∴应该往回收线：（米）； （3）略 【压轴考点04】求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·江西南昌·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【规范解答】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 【对应练习】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上小亮拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变，其中米，米．回答下列问题： (1)若米，求小亮需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)若小亮以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，他能否在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； (3)在（2）的条件下，若小亮收绳t秒后，小船到F的距离刚好等于所收绳长，求t的值． 【答案】(1)米 (2)能 (3) 【思路引导】（1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）求出20秒小亮收绳的长度，再加上的长度后与的长度比较即可得到结论； （3）根据题意可得米，米，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得， 在中，由勾股定理得：（米）， 由题意得，（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴米， 答：小亮需向右移动的距离为米． （2）解：∵，， ∴小亮能在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； （3）解：由题意可得：米，米 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴t的值为． 【压轴考点05】求小鸟飞行距离（沟股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，已知某山的高度为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且米，，欢欢从山下索道口B坐缆车沿索道到山顶A，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？ 【答案】大约34分钟后，欢欢才能到达山顶 【思路引导】根据勾股定理求出，再根据缆车的速度即可求解． 【规范解答】解：∵，米，米， ∴（米）， ∵缆车每分钟走50米， ∴（分钟）， 答：大约34分钟后，欢欢才能到达山顶． 【对应练习】（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【规范解答】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 【压轴考点06】求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远．求折断后竹子离地面的高度． 【答案】4.55尺 【思路引导】设折断后竹子离地面的高度为x尺，根据勾股定理列方程求解即可． 【规范解答】解：1丈=10尺 设折断后竹子离地面的高度为x尺，根据勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴． 答：折断后竹子离地面的高度为4.55尺． 【对应练习】（24-25八年级下·全国·期末）如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高____． 【答案】 【思路引导】本题考查勾股定理的应用，设树高为，则可用表示出，利用勾股定理可得到关于的方程，求解即可．用树的高度表示出，利用勾股定理得到方程是解题的关键． 【规范解答】解：设树高为，则， 由题意可知：， ∴， 根据题意知：，即为直角三角形， ∴， 即， 解得：， 即这棵树高． 故答案为：． 【压轴考点07】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【答案】(1)18 (2) 【思路引导】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【规范解答】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 【对应练习】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【思路引导】本题将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理列方程即可求解水深． 【规范解答】解：∵水池边长为丈，丈尺，葭生长在池中央， ∴池中心到岸边的水平距离为尺， 设池水深度为尺，则葭长为尺，引葭到岸边后，水深、池中心到岸边的水平距离、葭长构成直角三角形，葭长为斜边， 根据勾股定理可得：， 展开得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：， ∴池水深度为尺． 【压轴考点08】解决航海问题（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【答案】(1)海里 (2)本次航行符合安全标准，理由如下： 如图，过点作于， ∵海里，海里，海里，， ∴， ∴， 解得：， 设海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵航行的平均速度为每小时海里， ∴航行时长小时，满足安全标准． 【思路引导】（1）根据方位角的定义得出，海里，海里，利用勾股定理求出，即可得出答案； （2）过点作于，利用“等积法”求出，设海里，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出海里，进而求出海里，根据时间距离速度，即可求出从到所用时间，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∵港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∴， ∴（海里）， ∴港口到港口的直线距离为海里． （2）解：本次航行符合安全标准，理由略 【对应练习】（25-26八年级下·重庆巴南·期末）一巡逻船在点处发现正北方向 海里的 点处，有一艘可疑船正沿 点的北偏东方向行驶，行驶速度 海里每小时，在巡逻船的北偏东方向有一个补给点，点在点 的正东方向．（参考数据： ， ） (1)巡逻船先直接去点补给，再沿点的正北方向行驶，准备在可疑船行驶路线上的点拦截可疑船，求的距离（结果保留一位小数）； (2)若巡逻船沿点 的路线以每小时 海里的速度行驶，补给所需时间为小时，请计算说明巡逻船能否比可疑船先到达点．（结果保留一位小数） 【答案】(1)可疑船行驶的路线的距离为 海里 (2)巡逻船能比可疑船先到达点 【思路引导】 （1）在等腰直角三角形中得到 ，在 中，由含的直角三角形及勾股定理求出，最后由 求出答案即可； （2）分别计算出巡逻船的用时及可疑船的用时，比较时间大小即可得到答案． 【规范解答】（1）解： 在 中， ， ， 海里， ∴ ， （海里）， 在 中， ， ，则 ， 由勾股定理可得，则， （海里）， （海里）， 答：可疑船行驶的路线的距离为 海里； （2）解：在 中， ，由勾股定理可得（海里）， 巡逻船的路程 （海里）， 巡逻船从到达所用时间为 （小时）； 由（1）知，可疑船到达点的路程为 海里，速度为 海里每小时， 可疑船到达点所用时间为 （小时）， ， 巡逻船能比可疑船先到达点． 【压轴考点09】求河宽（勾股定理的应用） 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，为了求出位于湖两岸的点、之间的距离，一名观测者在点处设桩，使恰好为直角三角形．通过测量，得到的长为，的长为．问：从点穿过湖到点有多远？ 【答案】从点穿过湖到点有米 【思路引导】已知是直角三角形，，根据勾股定理可得，将，代入上式中即可求得的长度． 【规范解答】解：为直角三角形，且如图所示，， （）． 答：从点穿过湖到点有米． 【对应练习】（25-26八年级下·广西贺州·期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 【答案】(1) (2)15米 【思路引导】（1）根据勾股定理逆定理求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ； （2）解：米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 【压轴考点10】求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【思路引导】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【规范解答】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 【对应练习】（24-25八年级上·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 【压轴考点11】判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【思路引导】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【规范解答】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； 【对应练习】（25-26八年级下·福建厦门·期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为； ； 这辆小汽车没有超速行驶． 【思路引导】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得：，，， ； （2）略 【压轴考点12】判断是否受台风影响(勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·广东茂名·期中）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)证明：，，， ． 是直角三角形，即； (2)解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响． 【思路引导】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． 【对应练习】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 【答案】(1)学校会处在卡车的噪声影响范围内；理由： 如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度． ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∵ ∴学校会处在卡车的噪声影响范围内． (2)6秒 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的实际应用，三线合一定理，勾股定理， （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；比较的长度是否小于40米，即可得出结论； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． 【规范解答】（1）略 （2）解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 卡车速度为8 米/秒， ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 【压轴考点13】选址使到两地距离相等（沟股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可. 【规范解答】（1）解：∵小区A在快递投放点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 【对应练习】（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，求两个村庄的距离； (2)在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； (3)借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式（）的最小值为_____． ②代数式的最大值为_____． 【答案】(1)千米 (2)千米 (3)①；② 【思路引导】（1）连接，过点作交于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求，设千米，则千米，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）①参考（1）的几何模型，构造，，垂足分别为、，其中，，，，，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作的延长线，交于点，根据勾股定理求出，得出点、、三点共线时，的长就是代数式的最小值，借助勾股定理求出的长即可求解； ②构造与，其中，，，且，过点作交于点，连接，根据勾股定理得出，借助三角形的三边关系得出当点、、三点共线时，的长就是代数式的最大值，借助勾股定理求出的长即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，连接，过点作交于点， 则四边形是矩形， 故千米，（千米）， 在中，（千米）． （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为千米． （3）解：①如图，，，垂足分别为、，其中，，，，， 作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作的延长线，交于点， 则四边形是矩形，，； ∵点、点关于对称， 故是的垂直平分线， ∴， 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最小值，即为求的最小值． 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的长； 即此时的长就是代数式的最小值． 在中，，， 故， 故代数式的最小值为． ②如图，作与，其中，，，且， 过点作交于点，连接， 则四边形是矩形，，，； 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最大值，即为求的最大值． 在中，； 如图，当点、、三点共线时，的值最大，最大值为的长； 即此时的长就是代数式的最大值． 在中，， 故代数式的最大值为． 【考点剖析】解题的关键是根据代数式的几何意义，构造直角三角形，将代数为转换为几何求最值问题，借助将军饮马几何模型和三角形三边关系进行求解． 【压轴考点14】求最短路径（勾股定理的应用） 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在长、宽、高的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处．试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短． 【答案】这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 【思路引导】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和G点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【规范解答】解：（1）如图： 由勾股定理得； （2）如图： 由勾股定理得； （3）如图： 由勾股定理得． ∵， ∴这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 【对应练习】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【答案】 【思路引导】根据四种不同情况，利用勾股定理分别计算顶点爬行到顶点的距离，比较大小，从而确定最短距离． 【规范解答】解：从顶点爬行到顶点共四种情况： 第一种情况：从剪掉一角露出来的截面上的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接交于点E， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， 即，， ∵长方体， ∴， 又∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴， ∵，， 在中，根据勾股定理得， ， ∴（cm）， 第二种情况：从前面的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第三种情况：从前面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第四种情况：从底面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示， 连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 综上所述，从顶点爬行到顶点的最短距离为 cm． 【压轴考点15】勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】米 【思路引导】先利用勾股定理逆定理判定为直角三角形，得到，再在中用勾股定理求出长度，最后用减去得到的长． 【规范解答】解：在中，米，米，米， ， 是直角三角形， ， ， 在中，米，米， （米）， （米）． 【对应练习】（25-26八年级上·广西贵港·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 【答案】(1)A，C (2) (3)铺设管道所需的最少费用为910元． 【思路引导】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【规范解答】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵，，， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为， ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为910元． 1．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图是边长为1的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（     ） A．2.5 B． C．5 D． 【答案】C 【思路引导】利用网格通过割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式求解． 【规范解答】解：由题意可知， 由勾股定理得， 设边上的高为， ， ， ． 2．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺）如图，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．则折断后的竹子高度为（     ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 【答案】A 【思路引导】已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为，通过勾股定理建立方程，求出答案． 【规范解答】解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子的长度为尺． 由勾股定理得：， 解得：， 答：折断后竹子的高度是尺． 3．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在网格中有5个格点，分别为、、、、，下列说法错误的是（     ） A． B． C．与不全等，但是面积相等 D．与的面积相等 【答案】C 【思路引导】根据网格的特点和全等三角形的判定定理可判断A、B、C；根据网格的特点求出和的面积可判断D． 【规范解答】解：A、由网格的特点可得， ∴，原说法正确，不符合题意； B、由网格的特点可得， ∴，原说法正确，不符合题意； C、设网格中的小正方形的边长为1，则，， 又∵， ∴，原说法错误，符合题意； D、设网格中的小正方形的边长为1，则，， ∴与面积相等，原说法正确，不符合题意． 4．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】将长方体表面展开，分前面与右面展开、前面与顶面展开两种情况，利用勾股定理计算的长，比较大小即可． 【规范解答】解：如图1，将前面和顶面展开在同一平面内， ，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒， ，， ； 如图2，将前面和右面展开在同一平面内， ，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒， ，，， ． ， 最短距离为． 5．（21-22八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，点在边上，将边沿折叠，点恰好落在边上的点处，再将折叠，使其落在直线上，点落在点处，折痕为，若，，则（   ）． A． B．6 C． D．5 【答案】D 【思路引导】利用折叠性质推导角度，得出，同时得到垂直关系与线段相等，先求出，最后在中借助勾股定理求出． 【规范解答】解：由折叠性质：， ， 即， ∴， 沿折叠，落在处， ， 即，． 在中：，， 是等腰直角三角形，． 由第二次折叠得：， ， 在中，，，， ∴． 6．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，长方体的长，宽，高分别为6，6，12，点是棱的中点，在长方体下底面的顶点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程为__________． 【答案】 【思路引导】将长方体侧面展开，利用两点之间线段最短及勾股定理计算不同路径的长度，比较后得出最小值． 【规范解答】解：将长方体表面展开，从点到点主要有两种路径情况， 第一种情况：将长方体的前面和右侧面展开在同一平面内，此时构成一个直角三角形， 一条直角边为长方体的高，另一条直角边为长方体的长加上的长， ∵是的中点，， ∴， ∴另一条直角边长为， 根据勾股定理，路径长为； 第二种情况：将长方体的前面和上底面展开在同一平面内，此时构成一个直角三角形， 一条直角边为长方体的长，另一条直角边为长方体的高加上的长， 另一条直角边长为， 根据勾股定理，路径长为； ∵， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为． 7．（26-27八年级上·宁夏银川·阶段检测）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为80元，则购买地毯需花费________元． 【答案】 【思路引导】先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【规范解答】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， 购买地毯需花费（元）． 8．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 【答案】5 【思路引导】先根据勾股定理，求得，接着利用折叠可得，，，最后在中利用勾股定理求得答案． 【规范解答】解：， ∴， ∴由翻折得，，， ∴，，， ∴， v即， 解得． 9．（21-22八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，由九个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是__________． 【答案】 【思路引导】先利用勾股定理求得，再求得，进而可利用等面积法求中边上的高． 【规范解答】解：∵由九个边长为1的小正方形构成一个大正方形， ∴， ∵， 设中边上的高是， ∴， 即， 解得， ∴中边上的高是． 10．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，河流2汇入河流1，已知两条河流的宽度都为4米，且相交所形成锐角为，在交汇处的左侧，、两地被两条河流隔开，经测量，地到河岸的距离米，地到河岸的距离米，且米，现规划在两条河上分别造一座桥，使得从地到地的路径最短，那么最短路径约为_________米．（河流1与河流2的两岸都是分别平行的，且两桥均与河岸垂直，取） 【答案】 【思路引导】本题考查利用平移变换解决最短路径问题．根据题意，将点沿垂直于河流的方向向下平移河宽米得到点，将点沿垂直于河流的方向向左上方平移河宽米得到点，连接，线段的长度即为除去两座桥长后的最短路径，最后利用勾股定理计算即可． 【规范解答】如图，将点沿垂直于河岸的方向向下平移米得到点，则， 此时在河岸下方米处． 将点沿垂直于河流河岸的方向向左上方平移米得到点，则． 过点作河岸的垂线，过点作河岸的平行线，两线相交构造，延长交于点， 如图 依题意，两条河流相交所形成锐角为， 如图，设的延长线与河流2的岸边交于点，与河流2的岸边交于点， 则 ∵， ∴ ∴， ∴ （米）． （米）． 根据勾股定理，线段的长度为：（米）． 所以最短路径约为：（米）． 故答案为 11．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）图1、图2均是的正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在图1、图2给定的网格中按要求作图． (1)在图1中的格点上确定一点D，并作出，使得； (2)在图2中的格点上确定一点E，并作出线段，使得为的中线． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用，结合网格图，找出点； （2）利用勾股定理结合网格图找出线段的中点即可． 【规范解答】（1）解：由图可知，利用勾股定理得，， 找出格点，利用勾股定理得，， ∴在与中， ， ∴； （2）解：找出格点， ∴，， ∴， ∴为的中线． 12．（26-27八年级上·宁夏银川·阶段检测）2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知、之间相距，、之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)观测点会受到台风的影响，理由如下： 如图，作于点， ， ； ，， ， 由等面积可知，， ， 观测点会受到台风的影响； (2)观测点受台风影响的时间为 【思路引导】（1）作，在中，根据勾股定理，求出长，由面积关系求得的长，即可求解； （2）以点为圆心以为半径画弧交于点，，，可知台风在段移动时受到影响，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【规范解答】（1）略 （2）解：如图，以点为圆心以为半径画弧交于点，， 则， 台风在段上移动时受到影响， ， ， ， ， 观测点受台风影响的时间有． 13．（26-27八年级上·广东深圳·开学考试）综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． (3)已知，均为正实数，且，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、的长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．请在图3中，求出的长，并说明理由．所以的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式：（）的最小值． 【答案】(1) (2)如图，即为所求， ； 3 (3)的长为5，理由如下： 如图，过点C作交的延长线于点， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， 在中，， 则的长为5； 5 (4)5 【思路引导】（1）根据构图法，用正方形的面积减去周围三角形的面积，即可求解； （2）利用构图法及勾股定理，画出，再计算出面积即可； （3）过点C作交的延长线于点，利用勾股定理即可求出的长；从而求出的最小值； （4）根据（3）的思路，构造图形，将代数式的最小值转化为求线段的长，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图， ， 则的面积是； （2）解：如图，即为所求， ， 则的面积是； （3）解： ， 当、、共线时，取得最小值，即的长为5， 的最小值是5； （4）解：如图，，，，，，，则、的长分别表示为，， 则（）的最小值即为的最小值，即的长， 如图，过点C作交的延长线于点， 同（3）可得，，， 在中，， 则（）的最小值为5． 14．（26-27八年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少？（杯壁厚度不计），请画出平面展开图并计算结果． 【答案】 【思路引导】先画出圆柱的侧面展开图，作点A关于的对称点，可得即为最短距离，在利用勾股定理，求解即可． 【规范解答】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作点A关于的对称点，连接，则即为最短距离， 过点作，交的延长线于点D， 根据题意，得，，， 故由勾股定理，得． 15．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“和谐点”．例如：平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，如图1，当最大时，若，则点就是的“和谐点”． (1)如图2，为等边三角形，过点作的垂线，点在该垂线上，以为边在其右侧作等边，连接，证明点是的“和谐点”． (2)如图3，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若格点是的“和谐点”，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：连接， 和都是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 在中，， ， ∴点是的和谐点 (2)或或2 【思路引导】（1）根据和都是等边三角形，可得，同时，，可证明，得到，根据，所以在中，，用替换，得到，即可证明点是的“和谐点”． （2）如图3所示：①当最长时：可以找到一个点P，满足，可得到格点是的“和谐点”，此时；②当最长时，可以找到一个点P，满足，可得到格点是的“和谐点”，此时；③当最长时，可以找到一个点P，满足，可得到格点是的“和谐点”，此时． 【规范解答】（1）略． （2）解：如图3所示：①当最长时： 可以找到一个点P，此时， ， 所以，故； ②当最长时， 可以找到一个点P，此时， ， ， 所以，故； ③当最长时， 可以找到一个点P，此时， ， ， 所以，故， 所以的长为或或2． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null 2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题八 勾股定理的应用 【思维导图+十五大考点讲练+思维拓展训练 共45题〔原卷版〕】 目 录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 2 【考点讲练-重点难点 举一反三】 2 【压轴考点01】勾股定理与网格问题 2 【压轴考点02】勾股定理与折叠问题 3 【压轴考点03】求旗杆高度（勾股定理的应用） 4 【压轴考点04】求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 6 【压轴考点05】求小鸟飞行距离（沟股定理的应用） 7 【压轴考点06】求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 7 【压轴考点07】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用） 8 【压轴考点08】解决航海问题（勾股定理的应用） 9 【压轴考点09】求河宽（勾股定理的应用） 10 【压轴考点10】求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 11 【压轴考点11】判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 12 【压轴考点12】判断是否受台风影响(勾股定理的应用） 13 【压轴考点13】选址使到两地距离相等（沟股定理的应用） 14 【压轴考点14】求最短路径（勾股定理的应用） 16 【压轴考点15】勾股定理逆定理的实际应用 16 【压轴强化-精选真题 实战演练】 18 【压轴考点01】勾股定理与网格问题 【典例精讲】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)画出，使与关于直线对称； (2)在直线上确定一点，使到、的距离之和最小，最小值为______，并在图中标出点（保留作图痕迹）； 【对应练习】（2026·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中画格点C，使； (2)在图②中画格点D，使； (3)在图③中画格点E，使． 【压轴考点02】勾股定理与折叠问题 【典例精讲】如图，在直角三角形中，，，，折叠的一角，使点B与点A重合，展开后得折痕，则的长是（    ） A． B． C． D． 【对应练习】（25-26八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则_____；的长为_____． 【压轴考点03】求旗杆高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·云南德宏·期末）数学兴趣小组在郊外放风筝时，想要测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直．小组成员测量了相关数据，并画出如下示意图，水平距离的长为80米，的长为100米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米（米）．求风筝离地面的垂直高度的长为多少米． 【对应练习】（25-26八年级上·浙江温州·期中）白鹭洲公园是温州市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.62米． (1)根据以上操作，可得风筝的垂直高度为_____； (2)若小明想让风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ (3)若小明以1米每秒的速度往左移动，风筝线也以1米每秒的速度延长，而风筝始终保持在点E的上方，风筝在经过t秒之后高度是上升还是下降，说出你的理由． 【压轴考点04】求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·江西南昌·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【对应练习】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上小亮拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变，其中米，米．回答下列问题： (1)若米，求小亮需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)若小亮以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，他能否在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； (3)在（2）的条件下，若小亮收绳t秒后，小船到F的距离刚好等于所收绳长，求t的值． 【压轴考点05】求小鸟飞行距离（沟股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，已知某山的高度为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且米，，欢欢从山下索道口B坐缆车沿索道到山顶A，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？ 【对应练习】（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【压轴考点06】求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远．求折断后竹子离地面的高度． 【对应练习】（24-25八年级下·全国·期末）如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高____． 【压轴考点07】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【对应练习】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【压轴考点08】解决航海问题（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【对应练习】（25-26八年级下·重庆巴南·期末）一巡逻船在点处发现正北方向 海里的 点处，有一艘可疑船正沿 点的北偏东方向行驶，行驶速度 海里每小时，在巡逻船的北偏东方向有一个补给点，点在点 的正东方向．（参考数据： ， ） (1)巡逻船先直接去点补给，再沿点的正北方向行驶，准备在可疑船行驶路线上的点拦截可疑船，求的距离（结果保留一位小数）； (2)若巡逻船沿点 的路线以每小时 海里的速度行驶，补给所需时间为小时，请计算说明巡逻船能否比可疑船先到达点．（结果保留一位小数） 【压轴考点09】求河宽（勾股定理的应用） 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，为了求出位于湖两岸的点、之间的距离，一名观测者在点处设桩，使恰好为直角三角形．通过测量，得到的长为，的长为．问：从点穿过湖到点有多远？ 【对应练习】（25-26八年级下·广西贺州·期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 【压轴考点10】求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【对应练习】（24-25八年级上·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【压轴考点11】判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【对应练习】（25-26八年级下·福建厦门·期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【压轴考点12】判断是否受台风影响(勾股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级上·广东茂名·期中）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【对应练习】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 【压轴考点13】选址使到两地距离相等（沟股定理的应用） 【典例精讲】（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 【对应练习】（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，求两个村庄的距离； (2)在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； (3)借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式（）的最小值为_____． ②代数式的最大值为_____． 【压轴考点14】求最短路径（勾股定理的应用） 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在长、宽、高的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处．试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短． 【对应练习】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【压轴考点15】勾股定理逆定理的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【对应练习】（25-26八年级上·广西贵港·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 1．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图是边长为1的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（     ） A．2.5 B． C．5 D． 2．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺）如图，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．则折断后的竹子高度为（     ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 3．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在网格中有5个格点，分别为、、、、，下列说法错误的是（     ） A． B． C．与不全等，但是面积相等 D．与的面积相等 4．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（     ） A． B． C． D． 5．（21-22八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，点在边上，将边沿折叠，点恰好落在边上的点处，再将折叠，使其落在直线上，点落在点处，折痕为，若，，则（   ）． A． B．6 C． D．5 6．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，长方体的长，宽，高分别为6，6，12，点是棱的中点，在长方体下底面的顶点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程为__________． 7．（26-27八年级上·宁夏银川·阶段检测）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为80元，则购买地毯需花费________元． 8．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 9．如图，由九个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是__________． 10．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，河流2汇入河流1，已知两条河流的宽度都为4米，且相交所形成锐角为，在交汇处的左侧，、两地被两条河流隔开，经测量，地到河岸的距离米，地到河岸的距离米，且米，现规划在两条河上分别造一座桥，使得从地到地的路径最短，那么最短路径约为_________米．（河流1与河流2的两岸都是分别平行的，且两桥均与河岸垂直，取） 11．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）图1、图2均是的正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在图1、图2给定的网格中按要求作图． (1)在图1中的格点上确定一点D，并作出，使得； (2)在图2中的格点上确定一点E，并作出线段，使得为的中线． 12．（26-27八年级上·宁夏银川·阶段检测）2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知、之间相距，、之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 13．（26-27八年级上·广东深圳·开学考试）综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． (3)已知，均为正实数，且，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、的长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．请在图3中，求出的长，并说明理由．所以的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式：（）的最小值． 14．（26-27八年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少？（杯壁厚度不计），请画出平面展开图并计算结果． 15．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“和谐点”．例如：平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，如图1，当最大时，若，则点就是的“和谐点”． (1)如图2，为等边三角形，过点作的垂线，点在该垂线上，以为边在其右侧作等边，连接，证明点是的“和谐点”． (2)如图3，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若格点是的“和谐点”，请直接写出的长． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题八勾股定理的应用 【思维导图+十五大考点讲练+思维拓展训练共45题〔原卷版〕】 目录 【思维导图-知识梳理技巧点拨】 【考点讲练-重点难点举一反三】 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 2 【压轴考点O1】勾股定理与网格问题★★★ 【压轴考点02】勾股定理与折叠问题★★★ 3 【压轴考点03】求旗杆高度（勾股定理的应用）★★★ 【压轴考点04】求梯子滑落高度（勾股定理的应用）★★食 【压轴考点05】求小鸟飞行距离（沟股定理的应用）★★★ …7 【压轴考点O6】求大树折断前的高度（勾股定理的应用）★★★ 【压轴考点07】解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）★★★★ 。。。。。。。。 【压轴考点08】解决航海问题（勾股定理的应用）★★★★ 9 【压轴考点09】求河宽（勾股定理的应用）★★食. 10 【压轴考点10】求台阶上地毯长度（勾股定理的应用）★★★..... 11 【压轴考点11】判断汽车是否超速（勾股定理的应用）★★★★....12 【压轴考点12】判断是否受台风影响（勾股定理的应用）★★★......…13 【压轴考点13】选址使到两地距离相等（沟股定理的应用）★★★★.… 14 【压轴考点14】求最短路径（勾股定理的应用）★★★★. 16 ,【压轴考点15】勾股定理逆定理的实际应用★★★★ 16 【压轴强化-精选真题实战演练】 18 第1页共23页 思维导图 知识梳理技巧点拨 一、勾股定理 五、常见图形中的面积关系 定义直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方， 1,大正方形与小正方形组成 公式a2+b2=c2 (直角边：a.b.斜边：c) (1)图2（分制成甲、乙、丙.丁四部分）(2)图3（智边形丙是正方形） 围形表示 重要意义 ·勾股定理不仅在数学 史上具有重要的里程 碑意义和文化价值， 而且在生话中也有重 a2+b2=c2 要的实用价值。 挑战压轴题专题七 S方An=a2+b SE有ecD=4S△g+a2-b 二、勾股定理的逆定理 2.大正方形包含四个直角三角形和一个小正方形（图6】 如果三角形的三边长a,6,c满足a2+=c, 勾股定理 那么这个三角形是直角三角形. 证明思路 与逆定理 =4.Tab+(b-a)=a+b 使∠C=0.C=,AC AC全等 3.由“弦图”证明勾股定理 。角三角形 常用结论 如果三角形的三边分别为a,b. 且。+B=,那么这个三角形是直角三角形 四、应用举例（压轴常考类型） 六、勾股数 0求线段长度 定义满足a2+b3=c2的三个正整数a,b,c称为勾股数 三、几何原本中的证明（面积法】 性质如果a,6.c为正整数，且a2+b2=c2 勾殷定理是数学史上一个非常重要的定理，数学家 则k,k，kc(为正整数)也是勾股数 利用面积关系证明了匀股定理。 ②求形中的未如量 常见勾股数组 方法要通过构透图形。转化为面积相等 将复杂图形分解，找出 (1)3.4,5 题跑c2=a2+6 直角三角形，列方程 记住略1 求x或其他未知量。 (2)5,12,13 勾股定理和逆定理 古人真聪明 ③求面积 (3)8,15,17 是解题的利器！ 也能证明 勾股定理 利用勾般定理求出边长 (4)7,24,25 再计算面积或用面积 关系求解. 七、压轴题解题技巧 1.识别直角三角形 2.构造直角三角形 3.转化思想 4.面积法思想 5.逆向思维 从已知条件或图形特征中 添加辅助线或延长线 将复杂图形分解或拼接，转化为 利用面积关系（如图2、图3.图6》 当题目涉及判断三角形类型时 找出隐藏的直角三角形 构造直角三角形。 若于直角三角形解决问题 建立方程求解 优先考虑勾殷定理的逆定理 考点讲练 重点难点举一反三 【压轴考点01】勾股定理与网格问题★★★ 【典例精讲】(2026八年级上·全国·专题练习)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1 个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上 (1)画出△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于直线对称； (2)在直线上确定一点P,使P到B、C的距离之和最小，最小值为一一一，并在图中标出点P(保留作图痕 第2页共23页 迹)； 【对应练习】(2026·吉林长春·模拟预测)图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形 的顶点称为格点，点A、B均在格点上.仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留 作图痕迹 B B B 图① 图② 图③ (1)在图①中画格点C,使∠ACB=90°： (2)在图②中画格点D,使∠ADB=45; (3)在图③中画格点E,使∠AEB=135° 【压轴考点02】勾股定理与折叠问题★★★ 【典例精讲】如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,折叠△ABC的一角，使点B与 点A重合，展开后得折痕DE,则BD的长是() B A.3 2 B. C.33 第3页共23页 【对应练习】(25-26八年级下·湖北十堰·期末)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=10, BC=6,点D为斜边AC上一点，连接BD,将△BCD沿BD翻折，使C落在点E处，点F为直角边AB上一点， 连接DF,将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，则∠BEF=_一；AF的长为_· 【压轴考点03】求旗杆高度（勾股定理的应用）★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·云南德宏·期末)数学兴趣小组在郊外放风筝时，想要测量风筝离地面 的垂直高度.假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直.小组成员测量了相关数据，并画出如下示意图，水平 距离BC的长为80米，AB的长为100米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米(BE=1.6米)·求风筝 离地面的垂直高度AD的长为多少米. B E D 第4页共23页 【对应练习】(25-26八年级上·浙江温州·期中)白鹭洲公园是温州市民放风筝的最佳场所.某校八年 级(1)班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CB,他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米： ③牵线放风筝的小明的身高为1.62米. D E 7macmmmmmm (1)根据以上操作，可得风筝的垂直高度CE为一： (2)若小明想让风筝沿CD方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ (3)若小明以1米每秒的速度往左移动，风筝线也以1米每秒的速度延长，而风筝始终保持在点E的上 方，风筝在经过t秒之后(t≠0)高度是上升还是下降，说出你的理由. 第5页共23页 【压轴考点04】求梯子滑落高度（勾股定理的应用）★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·江西南昌·期末)物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们 将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上.初始时， AC1BC,AC=80cm,BC=60cm.绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计. 绳子 绳子 B 2----------- 图1 图2 (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高70cm,求此时滑块B向左滑动的距离. 【对应练习】如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船.河岸上小亮拽着绳子另一端向右走，绳端从C 移动到E,同时小船从A移动到B,且绳长始终保持不变，其中CF=5米，AF=12米.回答下列问题： C B (1)若AB=8米，求小亮需向右移动的距离：（结果保留根号） (2)若小亮以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，他能否在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位 置； (3)在(2)的条件下，若小亮收绳t秒后，小船到F的距离刚好等于所收绳长，求t的值. 第6页共23页 【压轴考点05】求小鸟飞行距离（沟股定理的应用）★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·陕西榆林·期末)如图，已知某山的高度AC为800米，从山上A处与山 下B处各建一个索道口，且BC=1500米，AC1BC,欢欢从山下索道口B坐缆车沿索道BA到山顶A,已 知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？ 【对应练习】(25-26八年级下·北京·期中)如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树AB上觅食，它的巢 筑在与该树水平距离(BC)为12m的一棵大树CM上，大树高CM=8m,喜鹊的巢位于树项下方1m的D 处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为2m/s,那么它要飞回巢中所需的时间 至少是( M D A.6.5s B.6s C.5.5s D.5s 【压轴考点06】求大树折断前的高度（勾股定理的应用）★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·课后作业)折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远.求折 断后竹子离地面的高度. 第7页共23页 【对应练习】(24-25八年级下·全国·期末)如图在一棵树的10m高的D处有两只猴子，其中一只猴子 爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处.如果两只猴子所经过的距离相 等，试问这棵树高_一m B 二【压轴考点07】解夹水杯中筷子同题（勾殿定理的应用）★★女★ 【典例精讲】(25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末)寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶.现用 搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为12cm,高为16cm.老师遇到了这样一个问题： 搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部. 图① 图② (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口2cm才合适.请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至 少需要cm: (2)如图②，老师新买的一根长为25cm的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为cm,你能求出h的取 值范围吗？ 第8页共23页 【对应练习】(25-26八年级下·安徽滁州·期中)《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池 方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”，其中一丈为十尺，其意 思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正 好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是() A.8尺 B.28尺 C.12尺 D.10尺 心【压销考点8】解决航海问题（勾殿定理的应用）★★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·云南玉溪·期中)如图，在海平面上，0为灯塔，A、B为两个港口.其 中港口A在灯塔0的北偏西25°方向上，距离灯塔60海里.港口B在灯塔0的北偏东65°方向上，距离灯塔 80海里.一艘轮船从港口A沿直线向港口B运输货物，航行的平均速度为每小时20海里. E (1)求港口A到港口B的直线距离： (2)为保障航行的安全，灯塔0将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为50海里，在轮船从港口A 向港口B航行的过程中，接收安全信号的时长不低于1小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安 全标准？请说明理由， 第9页共23页 【对应练习】(25-26八年级下·重庆巴南·期末)一巡逻船在点B处发现正北方向60海里的A点处， 有一艘可疑船正沿A点的北偏东60°方向行驶，行驶速度20海里每小时，在巡逻船的北偏东45°方向有 一个补给点C,点C在点A的正东方向.（参考数据：V2≈1.414，V3≈1.732) 609 北 千东 (1)巡逻船先直接去C点补给，再沿C点的正北方向行驶，准备在可疑船行驶路线上的D点拦截可疑船，求 AD的距离（结果保留一位小数）： (2)若巡逻船沿点B→C→D的路线以每小时50海里的速度行驶，补给所需时间为0.5小时，请计算说明 巡逻船能否比可疑船先到达点D.(结果保留一位小数) 【压轴考点09】求河宽（勾股定理的应用）★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一 名观测者在点C处设桩，使△ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC的长为160m,BC的长为 128m.问：从点A穿过湖到点B有多远？ 128m 160m 第10页共23页 【对应练习】(25-26八年级下·广西贺州·期中)校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学 知识测量池塘两端A,B之间的距离，他们的操作过程如下：①沿AB延长线的方向，在池塘边的空地上选 点C,使BC=6米；②在AC的一侧选点D,恰好使BD=8米，CD=10米；③测得AD=17米.请根据 他们的操作过程，回答以下问题： (1)求∠ABD的度数： (2)求出A,B两点间的距离 【压轴考点10】求合阶上地毯长度（勾股定理的应用）★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·青海西宁·期中)如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分 别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的 食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是() 20 A.20 B.24 C.25 D.35 【对应练习】(24-25八年级上·江西吉安·期末)某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将 楼梯台阶完全盖住.楼梯台阶剖面图如图，已知∠C=90°，AC=3m,AB=5m. 5m 3m B 第11页共23页 (1)求BC的长： (2)若已知楼梯宽2.8m,需要购买 一一一m的地毯才能铺满所有台阶. 【压轴考点11】判断汽车是否超速（勾股定理的应用）★★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·重庆南川·期末)如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地 的监控中心A到公路的垂直距离为1200米.一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行 驶.用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路B处，距A处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的D处， 距A处1300米， 西 B D C公路东 (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心A到景观公路只有一条长为1500米的小路AC.监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员， 当外来车辆到达D处时，安保人员同时开车从A出发，沿小路AC进行拦截，若安保人员车速为30m/s,能 否成功在C处拦截外来车辆？请通过计算进行说明. 第12页共23页 【对应练习】(25-26八年级下·福建厦门·期末)为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理 局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由80km/h调整为70m/h,小型汽 车限速值由90km/h调整为80km/h.如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速 检测像A处的正前方60m的C处（即AC=60m),过了4s小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测 仪间的距离为100m. 小汽车 小汽车 、A 检测仪 (1)求BC的长； (2)这辆小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由.（参考数据：1m/s=3.6kam/h) 【压轴考点12】判断是否受台风影响（勾股定理的应用）★★★ 【典例精讲】(25-26八年级上·广东茂名·期中)我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾 害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿 东西方向AB由点A行驶向点B,己知点C为一海港，且点C与直线AB上A,B两点的距离分别为300km和 400km,且AB=500km,以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域. (1)求证：∠ACB=90°： (2)海港C受台风影响吗？为什么？ 第13页共23页 【对应练习】(25-26八年级上·重庆·阶段检测)如图，∠M0N=45°，在距离0点32√2米的A处有一 学校，一重型卡车P沿道路0N方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响. A -M (1)请你判断学校A是否会受到卡车噪声影响.为什么？ (2)若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车P沿途给学校A带来噪声影响的时间. 二【压轴考点13】选址使到两地距离相等（沟股定理的应用）★★女★ 【典例精讲】(25-26八年级下·北京密云·期末)如图，在东西走向的和平街上有两个相距12km的快 递投放点B、C,快递投放点C的正北方向有一小区A,小区A到快递投放点B的距离为13km. C B 和平街 B D (1)求小区A到快递投放点C的距离. (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点D,新的投放点D到小区A与快递投放点B的距 离相等，求快递投放点B、D之间的距离. 第14页共23页 【对应练习】(25-26八年级下·广东广州·阶段检测)著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图 形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数 问题： D D C C A DB 备用图 (1)如图1，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点）， AD1AB,BC1AB,垂足分别为A、B,AD=24千米，BC=16千米，求两个村庄的距离： (2)在(1)的条件下，要在AB上建造一个供应站P,使得PC=PD,求AP的距离： (3)借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中x>0) ①代数式Vx2+9+√(x-16)2+81(0<x<16)的最小值为-一 ②代数式√x+4)2+16-Vx2+1的最大值为. 第15页共23页 【压轴考点14】求最短路径（勾股定理的应用）★★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，在长30cm、宽50cm、高40cm的长方体上， 有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处.试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使 其爬行的路程最短 40cm 50cm A 30cm 【对应练习】(25-26八年级下·广东广州·期末)如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为2cm, 2cm,3cm,沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着 图2中的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm. B ) 2 A 图1 图2 【压轴考点15】勾股定理逆定理的实际应用★★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·甘肃平凉·期末)如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部 分)，A、B两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得A、B间的距离，小明采用如下方法测 量：在地面上取一点C,使点C能直接到达点A和点B,在AB的延长线上取一点D,使得BD=12米.经测 量AC=34米，CD=16米，CB=20米，请你计算点A、B之间的距离. 第16页共23页 【对应练习】(25-26八年级上·广西贵港·期末)综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集 设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计. 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m,在CD上选取两点E,F为浇灌点，从水源点G处铺 设管道引水 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点B,F: 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H,先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点 B,F铺设管道 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点 之间的距离为15m,就可以快速确定∠ABC的度数. 街 道 街道 (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离. (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用. (3)若∠EGF=90°，EF=10m,EG=8m,管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道 方案中，哪一种方案所需的费用最少， 第17页共23页 压轴强化 精选真题实战演练 1.(26-27八年级上·四川成都·阶段检测)如图是边长为1的正方形网格，已知△ABC的三个顶点均在 正方形格点上，则BC边上的高是( A.2.5 B.9 C.5 D.52 2.(26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测)“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算 术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？”题目大意：一根竹子，原高1 丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？ (1丈=10尺)如图，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形ABC,∠C=90°，其中一直角边BC长3 尺，其余两边长度之和为10尺.则折断后的竹子高度AC为( A.4.55尺 B.5.45尺 C.4.2尺 D.5.8尺 3.(24-25八年级上·河北邢台·期末)如图，在网格中有5个格点，分别为D、E、H、G、F,下列说 法错误的是( ) F E A.△EHD≌△ABC B.△EGF≌△ABC C.△DHG与△FGH不全等，但是面积相等 第18页共23页 D.△HDF与△ABC的面积相等 4.(24-25八年级上·山东青岛·阶段检测)如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9,BB= 5,BC=8,在线段AB的三等分点E(靠近点A)处有一只蚂蚁，BC中点F处有一米粒，则蚂蚁沿长方体 表面爬到米粒处的最短距离为( ) D B D B A.V106 B.V117 C.5+3V5 D.6+V34 5.(21-22八年级上·山东青岛·期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E在AB边上，将边AC沿CE 折叠，点A恰好落在AB边上的点D处，再将BC折叠，使其落在直线CD上，点B落在点B'处，折痕为CF,若 CE=3,BF=1,则BC=() A.3V5 B.6 C.5V2 D.5 6.(26-27八年级上·河南郑州·阶段检测)如图，长方体的长，宽，高分别为6,6,12，点D是棱BC 的中点，在长方体下底面的顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点D处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最 短路程为 12 6 第19页共23页 7.(26-27八年级上·宁夏银川·阶段检测)某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m,高5m 的台阶上铺设地毯(（如图)，若台阶的宽为4m,地毯的价格为80元/，则购买地毯需花费 元 5m 13m 8.(26-27八年级上·四I川达州·开学考试)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=8,点D 在BC上，将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对称点E恰好落在AB上，则线段BD的长为一一-· D A B E 9.如图，由九个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC,则 △ABC中AB边上的高是 10.(25-26八年级下·四川成都·期末)如图，河流2汇入河流1，己知两条河流的宽度都为4米，且 相交所形成锐角为30°，在交汇处的左侧，A、B两地被两条河流隔开，经测量，A地到河岸m的距离AC= 2米，B地到河岸m的距离BD=12米，且CD=10.8米，现规划在两条河上分别造一座桥，使得从A地到B 地的路径最短，那么最短路径约为 米.（河流1与河流2的两岸都是分别平行的，且两桥均与 河岸垂直，取3≈1.7) A D 河流1 2 河流2 第20页共23页 11.(26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)图1、图2均是6×8的正方形网格，每个正方形的顶 点称为格点，△ABC的三个顶点均在格点上.仅用无刻度的直尺，在图1、图2给定的网格中按要求作 图. 图1 图2 (1)在图1中的格点上确定一点D,并作出△DCB,使得△DCB兰△ABC: (2)在图2中的格点上确定一点E,并作出线段BE,使得BE为△ABC的中线， 12.（26-27八年级上·宁夏银川·阶段检测)2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中 心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级.已知七级风圈半径约250km (即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受到台风影响)，如图，线段BC表示台风中心在 深圳附近从C地向西北方向移动到B地的路径，A是深圳市某观测点，且AB1AC.已知A、C之间相距 300km,A、B之间相距400km. (1)判断观测点A是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由. (2)若台风中心的移动速度为40km/h,则观测点A受台风影响的时间有多长？ 第21页共23页 13.（26-27八年级上·广东深圳·开学考试)综合探究： “在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为V5、V1O、V13,求这个三角形的面积”. 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点 △ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格 就能计算出它的面积.我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法. 图1 图2 图3 (1)直接写出图1中△ABC的面积是 (2)若△DEF的三边的长分别为V5、√17、2√2，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的△DEF,并写 出它的面积 (3)已知a,b均为正实数，且a+b=3,求Va2+1+Vb2+9的最小值. 小明同学发现Va2+1可看作两直角边分别为a和1的直角三角形的斜边长，√b2+9可看作两直角边分别是 b和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为 求线段CD的长，如图，AE=a,BE=b,AC=1,BD=3,AC⊥AB,BD⊥AB,则CE、DE的长分别表 示为Va2+1,√b2+9.由于CE+ED≥CD,当C、D、E共线时，取等号，所以只要求出CD的长，就可以 解决问题.请在图3中，求出CD的长，并说明理由.所以√a2+1+Vb2+9的最小值是 (4)拓展应用：求代数式：Vx2+1+√(4-x)2+4(0≤x≤4)的最小值. 第22页共23页 14.（26-27八年级上·宁夏银川·阶段检测)如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯 内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处， 则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程是多少c？(杯壁厚度不计)，请画出平面展开图并计算结果. 蚂蚁 A B 蜂蜜 15.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末)定义：如果平面内一点到三角形三个项点的距离中，最长 距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“和谐点”·例如：平面内有一点P到 △ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC,如图1，当PC最大时，若PC2=PA2+PB2,则点P就是 △ABC的“和谐点”. 图1 图2 图3 (1)如图2，△ABC为等边三角形，过点A作AB的垂线，点D在该垂线上，以CD为边在其右侧作等 边△CDE,连接AE,证明点A是△CDE的“和谐点”， (2)如图3，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的项点在格点上，若格点P是△ABC的“和 谐点”，请直接写出AP的长. 第23页共23页